第4章第10讲相似三角形及其判定（4.3～4.4）专题训练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

数学 · 九年级上册 第4章 相似三角形　第10讲　相似三角形及其判定（4.3~4.4） 　A组　 1. 如图，已知，其中，，则为（　　） A. B. C. D. 2. 给出下列结论：①任意两个等边三角形相似；②顶角对应相等的两个等腰三角形相似；③两条边对应成比例的两个直角三角形相似．其中正确的是（　　） A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①②③ 3. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6. 如图，在中，点，分别在边，上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．(写出一种情况即可) 7. 《九章算术》中记载着这样的一个问题："今有邑方，不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何？"大意如下：如图，，为正方形一组对边的中点，中，，，，四点共线，，，，三点共线，且，，，，设正方形的边长为，请根据题意列方程，并将方程整理成一元二次方程的一般形式：________． 8. 如图，已知，，，如果图中的两个直角三角形相似，那么________cm． 9. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，相同半径（大于）画弧，弧线分别相交，有两个交点，连结这两个交点的直线交于点，连结，则________．(结果若有根号则保留根号) 10. 如图，，都是的垂线，，，，是上一点，连结，，所得两个三角形相似，则的长是________． 11. 如图，中，，，，点，分别在边，上，且． (1) 求证：． (2) 求线段长的取值范围． 12. 如图，是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于点，交的延长线于点． (1) 求证：． (2) 若，，且，求的长． 13. 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点作，交的延长线于点．……任务： (1) 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2) 填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是________． 　B组　 14. 如图，四个全等的直角三角形排成"赵爽弦图"，其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点，为的中点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 15. 已知中，是边上的高，，若，________． 16. 如图，在中，边在轴上．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，，则的值为________． 17. 如图，边长为1的小正方形组成了网格，点，均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点，并在图中标出点． (1) 图1中，点在线段上且． (2) 图2中，点在线段上且． 18. (1) 如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为．求证：． (2) 【问题解决】如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连结．求证：． (3) 【类比迁移】如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 19. 已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连结，． (1) 问题发现：如图1所示，若和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是________． (2) 类比探究：如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由． (3) 拓展应用：如图3所示，若，，，，当点，，三点共线时，求的长． 　C组　 20. 如图，在中，是上一点(不与点，重合)，过点作交于点，过点作交于点，是线段上一点，，是线段上一点，，连结，，，．若已知的面积，则一定能求出（　　） A. 的面积 B. 的面积 C. 四边形的面积 D. 的面积 21. 数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点，这类图形称为"诺模图"．如图是关于，，三者关系的诺模图，它是由点出发的三条射线，，组成，每条射线上都有相同的刻度，且射线端点刻度为0，其中和，和都相交成角．在射线和上分别取点和，对应的刻度值是和．用直尺连结交射线于点，点的刻度值就是的值． (1) 若，，则的值是________． (2) 若，则________． 22. 如图，在矩形中，是的中点，作交于点，对角线分别交，于点，，当时，则的值为________． 23. (1) 【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点把线段分成两条线段和，使，且，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为"类黄金三角形"．如图2，已知是"类黄金三角形"，且．若，，求的长． (2) 【探索研究方法】如图3，已知是"类黄金三角形"，且．若，过点作于点，小滨发现了两个结论：①；②点是边的黄金分割点．请给出证明． (3) 【尝试问题解决】小滨经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题：如图4，已知是"类黄金三角形"，且．若，，求的长． 24. 如图，是的外接圆，是弧的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连结，，． (1) 求证：． (2) 当时，求的值． (3) 设．①求的值；(用含的代数式表示)②若，，求的长． 参 考 答 案 1. B　解析：由得，即，故． 2. C　解析：①等边三角形三角均相等，必相似，正确；②顶角相等则底角也对应相等，由AA相似，正确；③两条边对应成比例不能保证夹角对应相等，如直角边为2、4的三角形与直角边4、斜边8的三角形有两边成比例但不相似，错误．故①②正确． 3. D　解析：由得．A、C可再补一组角用AA判定；B为夹此角的两边对应成比例，用SAS判定；D中，相等的角不是对应成比例两边的夹角，无法判定相似． 4. B　解析：由网格可求三边之比为，而为的2倍，故相似比为2，需、．经验证各格点中只有满足，由SSS得． 5. D　解析：将直角三角形分成两个相似三角形须过作斜边上的高．①以为边作，则；②是过点作的垂线的标准尺规痕迹；③以为直径作圆交于，由直径所对圆周角为直角得．三种作法均正确． 6. 　解析：答案不唯一，如或或．由公共角，添一组角相等即AA相似，或添夹公共角两边成比例即SAS相似． 7. 　解析：由，得，故，．其中，，，，代入得，整理得． 8. 或　解析：中．两直角三角形相似，斜边与对应，相似比为，故的两直角边为与．对应关系未定，或． 9. 　解析：连线为的垂直平分线，故，．又，得，，故．为黄金三角形，，即． 10. 或或　解析：设，则．与相似有两种对应：①，即，得；②，即，得，或． 11. (1)设，．则，，故，又，所以．(2)由相似得，故．由在上得，由在上得，故，所以． 12. (1)菱形中，对角线平分，故，又，所以，得．(2)设对角线交于，则于，．由得，．因即，在中，由射影定理．设，则，，，，故． 13. (1)∵，∴，．又平分，，∴，．在中，∴，即．(2)．由定理，，得，，周长． 14. C　解析：设直角三角形长直角边为、短直角边为，则．以为原点建系，由为中点且、、共线可求得（为外正方形边长），三点共线化简得，即．结合解得．而． 15. 或　解析：即，结合得，故．当在上时；当为钝角、在延长线上时（此时仍成立）． 16. 　解析：设，，则．由得在双曲线上：，得．又，即，，故． 17. (1)利用格点作过、的两条平行格线段并连结相应格点构造平行四边形，由对角线互相平分得中点（）；(2)过格点作与相交的辅助格线，利用平行线分线段成比例（的格点分割）确定靠近的三等分点，使．所作图形如答案插图所示． 18. (1)矩形中；由得的余角关系：，即，两角对应相等，．(2)正方形中，，，故，得，．由得，；又得，故．(3)菱形中，，又，故，得，．由知为等腰三角形且顶角处底角，故为等边三角形，．于是． 19. (1)由（，，）得．(2)．理由：中，，同理；又得，故，相似比，所以．(3)、均为等腰直角三角形，，，且，故，，．设为原点、直线为轴，，，取，，，由得，．故取正距离：或，或． 20. B　解析：设分为．以为原点建系，由、及、可算得恒有，该比值与点位置及三角形形状无关；而、、与之比均随点位置改变．故一定能求出的面积． 21. (1)由，，：，得，．(2)由，得，故． 22. 　解析：设，，，，．由得；由（即）得，取，，．联立求得，，；．故． 23. (1)由定义，且，故．(2)①，，则，得，即．②由类黄金三角形定义，结合①得．设，由得．于是，且，符合黄金分割定义，故点是边的黄金分割点．(3)在上取点使，因公共得，故，，且．由在上，，，故（因）．由：，得（此时，满足条件）． 24. (1)设交于．是的外接圆且为直径，．∵是弧的中点，∴弧弧，，且．∵，∴（同位角）．又是的外角，；而．故．(2)∵，在直线上，∴．由(1)知，又（平分直角），故，得，即．所以．(3)①设，则．由及（为半径，）可取建系：，，，（），得，，故．②，．由：，得，结合解得，．由得，故． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $