4.4两个相似三角形的判定核心考点同步练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 以考点为单元分层设计，从单一判定定理到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度巩固相似三角形判定，培养推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|单一判定定理直接应用|选择题辨析图形相似（如考点一选1），夯实概念理解| |综合应用层|结合勾股定理/补充条件|填空题开放补充相似条件（如考点三填1），提升推理能力| |拓展提升层|结合全等性质综合证明|解答题多步推理证明（如考点四解答题），深化逻辑思维|

浙教版数学九年级上册4.4两个相似三角形的判定 核心考点同步练（浙江地区适用） 考点一：根据三角形相似的判定定理解题 例题： （选择题）已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　 　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似。 【详解】解：A.由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B.由两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C.由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D.两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：B。 同步练： （选择题）1.如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可。 【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12。 A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； 故选：B。 （选择题）2.如图，是的边的延长线上的一点，连结交于，则图中共有相似三角形（     ）。 A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数。 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 又， ∴； ∵，， ∴； ∴； 故选：C。 （选择题）3.如图，、分别在△ABC的边和上，下列不能说明和相似的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键。根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案。 【详解】解：∵在和中，， ∴当时，不能说明和相似，符合题意； 当时，能说明和相似，不符合题意； 当时，能说明和相似，不符合题意； 当时，能说明和相似，不符合题意； 故选：A。 （选择题）4.下列说法不正确的是（    ）。 A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形相似的判定方法，熟练掌握直角三角形相似的判定方法是解题的关键。 逐一分析各选项是否符合直角三角形相似的判定方法即可。 【详解】A：若两个直角三角形仅有一组角对应相等（如均为直角），但另一锐角不相等，则它们不相似， 例如，一个含锐角的直角三角形与一个含锐角的直角三角形不相似，故选项A错误； B：若两个直角三角形有一组锐角对应相等，则另一锐角也必然相等（因两角之和为）， 满足“两角对应相等”的相似条件，故选项B正确； C：两条直角边对应成比例，且夹角为直角（对应相等）， 符合“两边对应成比例且夹角相等”的相似条件，故选项C正确； D：斜边和一条直角边对应成比例时，根据勾股定理，另一条直角边也必然成相同比例， 满足“三边对应成比例”的相似条件，故选项D正确； 故选：A。 （解答题）5.如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△PAC∽△BPD。 【答案】证明：∵PC＝PD＝CD， ∴为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC， ∴, ∵∠A＝∠BPD， ∴△PAC∽△PBD。 【分析】根据PC＝PD＝CD，可得出为等边三角形，即可得出,进而得出,再根据相似三角形的判定推出即可。 【详解】略 考点二：利用相似三角形的判定定理结合勾股定理解题 例题： （选择题）如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键。根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案。 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A.该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B.该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C.该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D.该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D。 同步练： （选择题）1.下列说法中，不正确的是（     ）。 A．底角为的两个等腰三角形相似 B．一个两边长分别是6和4，另一个两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 C．一个锐角为的两个直角三角形相似 D．有个角为的两个等腰三角形相似 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形，三角形内角和，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。 根据有两角对应相等的两个三角形相似判定A；根据三边不对应成比例的三角形不相似判定B；根据有两角对应相等的两个三角形相似判定C；根据有两角对应相等的两个三角形相似判定D。 【详解】解：A.底角为的两个等腰三角形，有两底角对应相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； B.一个的斜边为6，直角边为4，则另一直角边为，另一个两直角边长分别是9和6，则斜边为，∵ 两三角形三边不对应成比例，∴两三角形不相似，故此选项符合题意； C.一个锐角为的两个直角三角形，有角和直角两对应角相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； D.有个角为的两个等腰三角形，它们顶角是，底角是，顶角与底角分别 对应相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； 故选：B。 （填空题）2.如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③。其中能与相似的是______（只填写序号）。 【答案】② 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键。 分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答。 【详解】解：根据网格可知：，，，的三边之比是， 同理可求：①的三边之比是； ∴与不相似， ②中，； ∴②与相似， ③中，； ∴与不相似， 故答案为：②。 （解答题）3.如图，点均在边长为1的小正方形网格的格点上，连接， 求证：。 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定，由勾股定理可得，结合，得出，再由，即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键。 【详解】证明：，，， ，， ， ， 。 （解答题）4.如图，在正方形中，是的中点，点在上，且。求证：。 【答案】证明：法一：设正方形的边长为, 是的中点， ， ， 四边形为正方形， ， 在Rt中，， ， 又， ， 同理， ， ， 在和中，， ； 法二：设正方形的边长为, 是的中点， ， ， 四边形为正方形， ， 在Rt中，， ， 又， ， 同理， 在中，， ， ， 又， ， 在和中， ， ; 法三： ， 四边形为正方形， , 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， 。 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论。 【详解】略 考点三：补充条件使两个三角形相似的题型 例题： （填空题）如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是_______（只需增加一个条件即可）。 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，和中，已满足一组对角相等，因此再添加一组对角相等，或相等的角的两条边长对应成比例，即可证明。 【详解】解：和中，， 若，则需要增加的一个条件是：或或， 故答案为：（答案不唯一）。 同步练： （填空题）1.如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使△ABC∽△ADE，则这个条件可以是________（填一个即可）。 【答案】∠B=∠D 或∠C=∠AED或 =（答其中一个即可） 【分析】要使△ABC∽△ADE，在这两三角形中，由∠1=∠2可知∠BAC=∠DAE，还需的条件可以是∠B=∠D或∠C=∠AED或 =。 【详解】解：这个条件为：∠B=∠D ∵∠1=∠2， ∴∠BAC=∠DAE ∵∠B=∠D， ∴△ABC∽△ADE （或∠C=∠AED或 =也可）。 （填空题）2.如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个；能得出和相似的是：________（填序号）。 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论。 【详解】解：①，时，，故①符合题意； ②，时，，故②符合题意； ③，时， ，故③符合题意； ④，时，不能推出，故④不符合题意； 故答案为：①②③。 （填空题）3.结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________。 【答案】或或或 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。根据为与的公共角，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹的两组对应边成比例。 【详解】解：∵为与的公共角， 当或时，； 当时，， 故答案为：或或或。 （填空题）4.如图所示，能判定的有__________。 ①；②；③；④。 【答案】①②③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，已知有公共角，①②可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定，④对应边成比例但无法得到其夹角相等，即无法判断两个三角形相似。 熟练掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键。 【详解】解：由图可得：， ， ， ①∵， ∴， ∴， 故①能判定； ②∵， ∴， ∴， 故②能判定； ③∵， ∴， 即两组对应边的比相等且相应的夹角相等， ∴， 故③能判定； ④， 对应边成比例但无法得到其夹角相等， 故④不能判定； 故答案为：①②③。 考点四：利用相似三角形的判定定理结合全等的性质（SAS）解题 例题： （解答题）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接。 （1）求证：； （2）若与相交于点，求证：。 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键。 （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论。 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 同步练： （解答题）如图，已知：在与中，，。求证：。 【答案】证明：不妨假设，在上截取，在上截取，连接，如图所示， ，，， ， ，，， ， ， ， ， 过点E作，交于点F， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ∴。 【分析】在上截取，在上截取，证明，，,，解答即可。 【详解】略 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版数学九年级上册4.4两个相似三角形的判定 核心考点同步练（浙江地区适用） 考点一：根据三角形相似的判定定理解题 例题： （选择题）已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　 　）。 A． B． C． D． 同步练： （选择题）1.如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（     ）。 A． B． C． D． （选择题）2.如图，是的边的延长线上的一点，连结交于，则图中共有相似三角形（     ）。 A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 （选择题）3.如图，、分别在△ABC的边和上，下列不能说明和相似的是（     ）。 A． B． C． D． （选择题）4.下列说法不正确的是（    ）。 A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 （解答题）5.如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△PAC∽△BPD。 考点二：利用相似三角形的判定定理结合勾股定理解题 例题： （选择题）如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（     ）。 A． B． C． D． 同步练： （选择题）1.下列说法中，不正确的是（     ）。 A．底角为的两个等腰三角形相似 B．一个两边长分别是6和4，另一个两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 C．一个锐角为的两个直角三角形相似 D．有个角为的两个等腰三角形相似 （填空题）2.如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③。其中能与相似的是______（只填写序号）。 （解答题）3.如图，点均在边长为1的小正方形网格的格点上，连接， 求证：。 （解答题）4.如图，在正方形中，是的中点，点在上，且。求证：。 考点三：补充条件使两个三角形相似的题型 例题： （填空题）如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是_______（只需增加一个条件即可）。 同步练： （填空题）1.如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使△ABC∽△ADE，则这个条件可以是________（填一个即可）。 （填空题）2.如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个；能得出和相似的是：________（填序号）。 （填空题）3.结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________。 （填空题）4.如图所示，能判定的有__________。 ①；②；③；④。 考点四：利用相似三角形的判定定理结合全等的性质（SAS）解题 例题： （解答题）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接。 （1）求证：； （2）若与相交于点，求证：。 同步练： （解答题）如图，已知：在与中，，。求证：。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $