第4章第9讲比例线段（4.1～4.2）专题训练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

数学 · 九年级上册 第4章 相似三角形　第9讲　比例线段（4.1~4.2） 　A组　 1. 若 ，则 的值为（　　） A. B. C. D. 2. 若四条线段 成比例，且 ，则线段 的长是（　　） A. B. C. D. 3. 若 ，则下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，若 ，则 的长度是（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品. 实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子. 如图， 大致是 的黄金分割点 ，如果 的长为 ，那么 的长约为（　　） A. B. C. D. 6. 已知线段 ，若线段 是线段 与 的比例中项，则 ________. 7. 图纸上某零件长 ，比例尺为 ，则此零件的实际长度是 ________ . 8. 若 ，且 ，则 的值为 ________. 9. 如图，已知线段 ， 是线段 的黄金分割点 ，则线段 的长为 ________. 10. 如图，在 中， 为 边上一点，且 平分 ，若 ，则 与 的面积比为 ________. 11. 如图，，直线 交于点 ，且分别与直线 交于点 和点 ，已知 ，求 的长度. 12. 已知三条线段 满足 ，且 . (1) 求 的值. (2) 若线段 是线段 和 的比例中项，求 的值. 13. 中， 是 上一点，若 ，则称 为 的黄金分割线. (1) 求证：若 为 的黄金分割线，则 是 的黄金分割点. (2) 在(1)的条件下，若 ，求 的面积.（结果保留根号） 　B组　 14. 在学习画线段 的黄金分割点时，小明过点 作 的垂线 ，取 的中点 ，以点 为圆心， 为半径画弧交射线 于点 ，连结 ，再以点 为圆心， 为半径画弧，前后所画的两弧分别与 交于 两点，最后，以点 为圆心，“■■”的长度为半径画弧交 于点 ， 即为 的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（　　） A. B. C. D. 15. 已知 ，而且 ，那么直线 一定通过（　　） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 16. 如图，已知 是 的中线， 是 的中点，则 ________. 17. 如图，用长为 的细铁丝围成一个矩形 . (1) 若这个矩形的面积等于 ，求 的长度. (2) 这个矩形的面积可能等于 吗？若能，求出 的长度；若不能，说明理由. (3) 若这个矩形为黄金矩形 ，求该矩形的面积.（结果保留根号） 18. 如图，，且它们之间的距离为定值 . 点 分别在直线 上，点 在线段 上，点 在以 为直径的圆上，且 . 当 时，. (1) 定值 ________. (2) 当 与 不垂直， 时，求 的值. 19. 如图，点 将线段 分成两部分，若 ，则称 为线段 的黄金分割点. 某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线 ，满足 ，则称此抛物线为黄金抛物线. (1) 若某黄金抛物线的对称轴是直线 ，且与 轴交于点 ，求 的最小值. (2) 若黄金抛物线 的顶点 为 ，把它向下平移后与 轴交于点 ，求 的值，判断原点是否为线段 的黄金分割点，并说明理由. 　C组　 20. 已知 ，且 ，则 的值为（　　） A. 3 B. 2 C. 4 D. 0.5 21. 如图， 是 的中线 上一点， 的延长线交 于点 ，若 ，则 ________. 22. 如图，，则 ________. 23. 如图所示，在 中， 为 的中点， 为 边上一点，且 ，求 的长. 24. 根据以下素材，探索完成任务. 素材1 定义：如图1，点 将线段 分成两部分，如果 ，那么 称为线段 的黄金分割点. 素材2 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线 将一个面积为 的图形分成面积分别为 的两部分，如果 ，那么直线 称为该图形的黄金分割线. 素材3 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转 ，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图2中的 绕 的中点旋转 后与原三角形组成一个平行四边形 （如图3）. 任务1 问题1：如图3， 边上黄金分割点 旋转后的对应点 是否也是 边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由. 问题2：直线 是不是四边形 的黄金分割线？请写出你的判断结论：________. 任务2 请在图3探索： 边上是否存在点 ，使得直线 是四边形 的黄金分割线？如果存在，请说明点 的位置；如果不存在，请说明理由. 任务3 兴趣小组探索图2时猜想：在 中，若 为 边上的黄金分割点，连结 ，则直线 是 的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ 任务4 兴趣小组探索图2时还发现：若 是 的边 的黄金分割点，过点 任意作一条直线交 于点 ，再过点 作 交 于点 ，则直线 是 的黄金分割线，请你给出证明. 参 考 答 案 1. D　解析：设 ，则 . 2. C　解析：由 得 . 3. B　解析：由合比性质，，故 B 成立；A 应为 ，C、D 不能由已知推出. 4. C　解析：由平行线分线段成比例，，得 ，故 . 5. A　解析： 为较长段，，故 . 6. 　解析：由比例中项 ，取正值 . 7. 　解析：实际长度 . 8. 　解析：设 ，则 . 由 得 ，故 . 9. 　解析： 为较长段，，故 . 10. 　解析： 平分 ，由角平分线定理 . 两三角形同高，面积比等于底之比，故 . 11. . 由 得 ，即 ，故 . 12. (1) 设 ，则 . 由 得 ，故 . (2) 为 的比例中项，，取正值 . 13. (1) 因 同高，，. 由条件得 ，即 ，故 是 与 的比例中项， 是 的黄金分割点. (2) 由 得 ，故 ，. 14. C　解析：设 ，则 ，. 以 为圆心、 为半径交 于 ，则 . 由 知 即为黄金分割长度，故“■■”指线段 . 15. B　解析：当 时三式相加得 ，直线 过一、二、三象限；当 时 ，直线 过二、三、四象限. 两种情形公共象限为第二、三象限，故一定通过第二、三象限. 16. 　解析：在 中， 为 中点，直线 截 ，由中位线/梅涅劳斯可得 为 与 交点且 （取坐标 验证 ）. 17. 设 ，则 （周长 ，），且 即 . (1) 或 ，取 ，故 . (2) ，判别式 ，无实数解，故不能. (3) ，由 解得 ，面积 . 18. (1) 时 ， 为 中点即圆心，半径 ， 水平且 ， 到 距离 ，故 ，. (2) 取 ，，则 ，圆心 ，半径 . 水平在 ，. 将 代入圆方程解得 ，故 . 19. (1) 与 轴交于 得 ；对称轴 . 由 得 . ，在 处取最小值 . (2) 顶点式 ，则 ，由 得 . 原抛物线 ，下移 后过 ，解得 ，另一根 ，即 . 于是 . 因 ，，即 ，且 ，故原点是线段 的黄金分割点. 20. B　解析：由 ，分子 ，故原式 . 21. 　解析：在 中，直线 为截线，由梅涅劳斯定理 . 因 为 中点，；又 即 ，故 . 由 得 ，. 22. 　解析：设 为 与 交点且 ， 在 上满足 . 以 为原点，， 在直线 上. 由 ，，且 在 上解得 ，故 . 23. 以 为原点、 为 轴正方向，则 ，，，设 即 . 由 沿 方向， 即 与 轴夹角，. 利用半角公式化简得 ，与 无关. 故 . 24. 任务1：平行四边形 关于中心 成中心对称， 旋转使 ， 上的 对应 上的 且保持比值，故 ， 是 的黄金分割点. 因 关于 对称，直线 过中心 ，把平行四边形分成面积相等的两部分 ，此时 ，故 不是黄金分割线. 任务2：存在. 设直线 分得两部分 ，令 得 ；当 由 沿 移动到 时， 一侧面积连续变化，必存在唯一位置使该侧面积等于 ，故存在这样的 . 任务3：对. 将 分成 ，两者同高，，；由 为 黄金分割点 ，故 ， 是黄金分割线. 任务4：因 ， 与 同底 等高，故 . 于是直线 分 所得面积与直线 分 所得面积相等，由任务3 为黄金分割线知 ，故 也是 的黄金分割线. 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $