第四章 相似三角形【素养培优卷】2026-2027 学年浙教版数学九年级上册（温州地区）

**基本信息** 聚焦相似三角形全章核心，融合生活实践（如池塘测距）、文化传承（黄金比与巴台农神庙）及动态探究，梯度设计培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、相似判定|第8题以测量情境考查平行线分线段成比例| |填空题|6/18|位似性质、动态几何|第11题结合黄金比计算液面高度，体现数学审美| |解答题|8/72|相似性质应用、探究推理|第23题黄金矩形探究，融合文化与几何推理；第24题格点作图，发展空间观念|

2026—2027学年度第一学期 九年级数学（上册） 第四章 相似三角形【素养培优卷】 （浙教版·温州地区适用 考试时间：90分钟 满分：120分） 考试范围：浙教版九年级上册第四章《相似三角形》（4.1 比例线段｜4.2 由平行线截得的比例线段｜4.3 相似三角形｜4.4 两个三角形相似的判定｜4.5 相似三角形的性质及应用｜4.6 相似多边形｜4.7 图形的位似） 学校：__________ 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 题 号 一 二 三 总分 等级 得 分 注意事项：1．答题前请将学校、班级、姓名、学号填写清楚；2．选择题须用2B铅笔填涂，其余题目用黑色签字笔作答；3．解答题应写出必要的文字说明或演算步骤，只写答案不给过程分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果线段x、y满足，那么下列四个选项中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 3．如图，在中，则下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D．    4．如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 5．数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（    ） A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似 6．如图，中，点D，E分别是边的靠近A的三等分点，若，则的周长为（　　） A．6 B．12 C．9 D．8 7．如图，在正方形网格中，、的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，为了测量A、B之间的距离，小天想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A﹑B两点，连接AC、BC，在AC上取一点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于点N，测得MN=38m，则A、B两点间的距离为（　　） A．76m B．95m C．114m D．152m 9．西安市大雁塔广场占地面积约为667000m，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（        ） A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《华商报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 10．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个    二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上） 11．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为　　　　　　　　． 12．如图，在矩形中，若分别是边上的动点，且，与交于点，连接．则的最小值为　　　　　　　　．    13．如图，、、、都是格点（小正方形的顶点），动点在线段上，若点的坐标是，则当与相似时，动点的坐标是　　　　　．    14．如图，在平面直角坐标中，矩形的边 ，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置， 线段恰好经过点 B，点 C落在y轴的点位置，点 E 的坐标是　　　　　　　　　　　　． 15．在比例尺是的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行　　　　　　千米． 16．如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为　　　　　　　　． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）已知线段，点是线段的黄金分割点（）， (1)求线段的长； (2)以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长．    18．（6分）如图：，分别交，于点E、F、G，已知，．求，的长． 19．（8分）数学老师在一堂数学实践课上，老师布置了下列问题： 探究规律： （1）①在如图1中，C是线段A、B上一点E、F在同侧，且．若，则________； ②如图2，当_______时，则． 应用规律： （2）如图3，A、D、C、B点在同一条直线上，求证：； 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，．求． 20．（8分）在中，点D是射线上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得线段，连接，点F是线段的中点，连接． (1)如图1，若点D在线段延长线上，连接，若，求的长； (2)如图2，若点D在线段上，连接，求证：； (3)如图3，点P是的中点，连接，若，当为等腰三角形时，求的长．（直接写出答案即可）    21．（10分）在6×6的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，面积比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2中画一条线段，使点D在上，点E在上，且． 22．（10分）在矩形中，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．                 图1                                  图2 (1)如图1，若点恰好在边上，连接，求的值； (2)如图2，若是的中点，的延长线交于点，求的长． 23．（12分）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 24．（12分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． (1)在图①中确定格点，使以为顶点的四边形是轴对称图形，并画出这个四边形． (2)在图②中确定格点，使以为顶点的四边形是中心对称图形，并画出这个四边形． (3)在图③中的边上分别确定点，使得与位似，位似中心为点，位似比为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期 九年级数学（上册） 第四章 相似三角形【素养培优卷】 参考答案与详细解析 （浙教版·温州地区适用 满分：120分） 一、答案速查 1．选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A A C D D C C 2．填空题（每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 2 或 或 900 4 3．解答题（共72分）各题答案与分步评分标准见"二、详细解析"． 二、选择题详细解析 1． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，由条件得，代入四个选项中左边的式子里计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，而， 故选项A、B、D都正确，选项C不一定正确； 故选：C． 2． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 3． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可． 【详解】解：A．由，得，故A选项错误； B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确； C．由，得，故C选项错误； 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 4． 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠ACB＝∠APC＝65°，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解析】解：∵△ABC∽△ACP， ∴∠ACB＝∠APC＝65°， ∵∠A＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣65°＝45°． 故选：A． 5． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定．图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得各自的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知数据即可证得，又有对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似． 【详解】解：图（1）由和得另一个角为，由和得另一个角为，则两三角形全等； 图（2）∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键． 根据点D，E分别是边的靠近A的三等分点证明即可得解． 【详解】解：∵点D，E分别是边的靠近A的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 7． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，可得，所以，再根据三角形外角的性质，即可求得答案． 【详解】解：是正方形的对角线 ， ， ， ， ． 故选：D． 8． 【答案】D 9． 【答案】C 【分析】利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，列比例式进行求解，再根据现实生活中的物体的面积，即可得出答案． 【详解】设其缩小后的面积为xm ， 则x:667000=(1:2000) ， x=0.16675m， 其面积相当于报纸的一个版面的面积. 故选C. 【点评】此题考查相似多边形的性质，正确估计图形的面积，和生活中的物体联系起来是本题的关键. 知识点2：比例的性质 10． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形； 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 三、填空题详细解析 11． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故答案为： 12． 【答案】2 【思路点拨】通过证明相似得出，再确定点是在以为直径的上，进而确定当在同一直线上时， 最小，再用直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【规范解答】解：取的中点，连结，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在中， ∵， ∴点在以为直径的上， ∴， ∴当在同一直线上时， 最小， 的最小值为：， 故答案为：2.    13． 【答案】或 【分析】首先根据图，可得，然后分别从若与若去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的值． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴若时， 即：， 解得： ， ∵点的坐标是， ∴； 若时， 即： ， 解得：， ∴， ∴当与相似时，动点的坐标是或， 故答案为：或． 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． 14． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的判定与性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解答的关键．先证明求得，设，分别由勾股定理求解、x值即可． 【详解】解：∵矩形的边 ， ∴， 轴， ∴， ∴， 由折叠性质得， ∴，则    （负值舍去）， ∴， 如图， ∴， 设，则， 由得， 解得， 综上，点E坐标为， 故答案为 15． 【答案】900 【分析】由题意可知：上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达共飞了2小时，根据“比例尺是1：90000000”，又因为甲乙两地的图上距离是2厘米，求实际距离，进而求出答案． 【详解】解：甲乙两地的实际距离： ， （千米）， （千米）； 答：这架飞机每小时行900千米． 故答案为：900． 【点评】本题考查比例线段，正确根据比例进行计算是解题关键． 16． 【答案】4 【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积． 【详解】延长EG交CD于点H，如图， ∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG， ∴AD∥EG， ∴四边形AEHD是平行四边形， ∴． ∵位似图形与原图形的位似比为， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点评】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键． 四、解答题详细解析 17． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据黄金分割点的定义得出； （2）根据角平分线的性质得出P到、的距离相等，可得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点（）， ∴； （2）解：∵平分， ∴P到、的距离相等， ∴， 又由（1）， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题考查黄金分割点的定义，角平分线的性质等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用． 18． 【答案】， 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定：平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例.在中根据得到，利用对应边成比例求出，在中根据得到，利用对应边成比例求出，从而求出. 【详解】解：∵中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：，. 19． 【答案】（1）①；②60．（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，平行线的性质，三角形的外角和性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是添加适当的辅助线，利用已知条件证明相似即可． （1）①根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ②根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）做辅助线构造平行线，可得∴，再根据三角形外角和性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 故答案为：； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． 故答案为：． （2）过点C作交于点H，如图， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （3）连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中， 在中， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， 由（1）的结论可知， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，． 20． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或或或 【分析】（1）证，得到，求出，再根据直角三角形斜边中线的性质得到； （2）连接，证，得到，根据直角三角形斜边中线的性质得到，即可得到结论； （3）由（2）可得，求出，再分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形解答即可． 【详解】（1）解：， 是等腰直角三角形， ， ， 由旋转得：， ∴， ∴， ， ， 点是线段的中点，且， ∴； （2）证明：连接， ， 是等腰直角三角形， ， 由旋转得：， ∴， ∴， ， ， 点是的中点， ， ， ， ； （3）解：由（2）可得， ∵P是的中点， ∴， 当时，如图： ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴； 当时，过点A作，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，即， 在中， ∴， 解得， ∴； 当时， ∵，          21． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图—相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可； （2）取格点，连接，交于点D，取格点H，K，连接，交于点E，即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 考点14：相似三角形——动点问题 【典例精讲】综合与探究 如图，在中，点是边上一点，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)的长为__________cm． (2)如图1，当为何值时，？ (3)如图2，连接，当为何值时，？ 【答案】(1)5 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）由推出，进而解题； （3）过点作于点，证明∽，进而解题． 【规范解答】（1）解：由勾股定理知； 故答案为：5； （2）解：由题意知， ， ， ，即，解得， ； （3）解：如图，过点作于点，则， 由题意，得，则， 根据（2）可知， ， ， ． ， ． ， 又， ∽， ，即，解得． 22． 【答案】(1) (2)的长为 【分析】（1）先得出，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点作交于点，先得出，设，则，根据勾股定理得出，再证明，即可得出答案． 【详解】（1）在矩形中， ， 由折叠性质得：， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作交于点， ∵， ， 由折叠性质得， ， ， 设，则， 点是的中点， ， ， ， 解得：，即， ． ∵， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得， 的长为． 【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 23． 【答案】(1) (2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析 (3)点D到线段AE的距离为 【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）先求出，再求出的值，即可得出结论； （3）连接，过D作于点G，根据，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：矩形为黄金矩形，理由是： 由（1）知， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形； （3）解：连接，过D作于点G ∵， ∴， 在中， 即， 则， 解得， ∴点D到线段的距离为． 24． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意，以为对称轴，画关于对称的，则四边形是轴对称图形； （2）根据网格的特点作平行四边形即可求解； （3）找到使得即可． 【详解】（1）如图所示，以为对称轴，画关于对称的，四边形即为所求； （2）如图所示，四边形即为所求； （3）如图所示，即为所求， 找到格点，连接，交于点，则， ∵ ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴与位似，位似中心为点，位似比为． 【点评】本题考查了画轴对称图形，中心对称图形，位似图形，掌握以上知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $