第3章第6讲圆的有关概念及其轴对称性（3.1～3.3）专题训练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

数学 · 九年级上册 第3章 圆的基本性质　第6讲　圆的有关概念及其轴对称性（3.1~3.3） 　A组　 1. 已知 的直径为 ，若 ，则点 与 的位置关系是（　　） A. 点 在 外 B. 点 在 上 C. 点 在 内 D. 不能确定 2. 下列命题中，真命题的个数是 ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等.（　　） A. B. C. D. 3. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点 ，其中点 坐标为 ，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题中，正确的个数是 ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.（　　） A. B. C. D. 5. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为 ，瓶内液体的最大深度 ，则截面圆中弦 的长为（　　） A. B. C. D. 6. 如图， 是 的直径，弦 于点 ，则下列结论一定正确的是________. ①；②；③；④；⑤. 7. 如图，在 中，，，，将 绕点 顺时针旋转得到 ，其中点 与点 是对应点，点 与点 是对应点. 若点 恰好落在 边上，则点 到直线 的距离等于________. 8. 如图， 是 的直径，弦 交 于点 ，，，，则 的长为________. 9. 如图，在半径为 的圆 中， 是互相垂直的两条弦，垂足为 ，且 ，则 的长为________. 10. 如图，已知在平行四边形 中，，，， 是边 上一动点，连结 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，若点 恰好落在平行四边形 的边上，则 的值是________. 11. 如图所示，要把残破的圆片复制完整，已知弧上的三点 . (1) 用尺规作图法找出所在圆的圆心.（保留作图痕迹，不写作法） (2) 设 是等腰三角形，底边 ，腰 ，求圆片的半径 . 12. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图2是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 ，桥的跨度（弧所对的弦长），设 所在圆的圆心为点 ， 为半径，半径 ，垂足为 . 拱高（弧的中点到弦的距离）. (1) 直接写出 与 的数量关系. (2) 求这座石拱桥主桥拱的半径. 13. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图1）. 阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图2），其中 于点 ，求间径就是要求 的直径. 再次阅读后，发现 寸， 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题. 请帮助小智求出 的直径. 　B组　 14. 如图， 的半径为 ，若 ，则经过点 的弦长可能是（　　） A. B. C. D. 15. 如图， 中，，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 的对应点分别为 ，延长 交 于点 ，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 16. 如图，正方形 的边长为 ， 为 上的点， 为 上的点，且 的周长为 ，则 ________度. 17. 如图，在平行四边形 中，，，边 上的高 ， 是边 上的动点，以 为半径的 与边 交于点 （点 在点 的左侧）. (1) 当 经过点 时，求 的长. (2) 连结 ，当 时，求 的半径及弦 的长. 18. 如图，公路 和公路 在点 处交汇，且 . 点 处有一所中学，，一辆拖拉机从点 沿公路 前行，假设拖拉机行驶时周围 以内会受到噪声影响，那么该所中学是否会受到噪声影响，请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为 ，那么学校受影响的时间为多长？ 19. 如图，隧道的截面由圆弧 和矩形 构成，矩形的长 为 ，宽 为 ，隧道的顶端 （圆弧 的中点）高出道路 . (1) 求圆弧 所在圆的半径. (2) 如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高 ，宽 ，问这辆货运卡车能否通过该隧道. 　C组　 20. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 ，则球的半径为（　　） A. B. C. D. 21. 如图，在正方形 的边 上有一点 ，连结 ，把 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连结 并延长，与 的延长线交于点 ，则 的值为（　　） A. B. C. D. 22. 如图，抛物线 与 轴交于 两点， 是以点 为圆心， 为半径的圆上的动点， 是线段 的中点，连结 ，则线段 的最小值是________. 23. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆. 例如：线段 的最小覆盖圆是以线段 为直径的圆；不共线三点 的最小覆盖圆就是 的外接圆. 【操作探究】现有三个边长为 的正方形. (1) 小芳按图1方式摆放，则最小覆盖圆的直径为________cm； (2) 小玲按图2方式摆放，则最小覆盖圆的直径为________cm； (3) 小慧发现另一种摆放方式，其最小覆盖圆的直径比他俩都小，请你也设计一种比小芳和小玲都小的摆放方式，并求出最小覆盖圆的直径. 24. 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形. (1) 如图1， 是等边三角形，在 上任取一点 （点 除外），连结 ，我们把 绕点 逆时针旋转 ，则 与 重合，点 的对应点为 . 请根据给出的定义判断，四边形 ________（填“是”或“不是”）等补四边形. (2) 如图2，等补四边形 中，，，若 ，求 的长. (3) 如图3，四边形 中，，，，求四边形 面积的最大值. 参 考 答 案 1. A　解析： 的半径 ，因 ，即 ，所以点 在 外. 2. D　解析：①假，须为不共线的三点才能作圆；②假，一个圆有无数个内接三角形；③真，任意三角形有且只有一个外接圆；④假，外心到三顶点距离相等，到三边距离相等的是内心. 故真命题只有1个. 3. A　解析：由网格读出 . 圆心到三点距离相等，设圆心 ，由 得 ，由 得 ，圆心为 ，验证到三点距离均为 . 4. B　解析：①真（垂径定理推论）；②假，被平分的弦须不是直径；③假，垂直于弦的直线不一定平分弦、不一定过圆心；④真（垂径定理）. 正确的有①④，共2个. 5. C　解析：半径 ，，则 . 由垂径定理 ，故 . 6. ①③④⑤　解析：直径 于 ，由垂径定理得 （①）、（③）；等弧所对圆周角相等得 （④）； 垂直平分 ， 在其上故 （⑤）. ② 不一定成立. 7. 3　解析：在 中 ，得 ，. 由 且 在 上知 为等边三角形，旋转角 . 点 到直线 的距离 . 8. 　解析：，半径 ，. 过 作 ，在 中 ，半弦 ，故 . 9. 　解析：圆心到每条弦的距离均为 . 因两弦互相垂直，其到圆心的距离构成矩形，故 . 10. 或 　解析：设 ，，. 将 绕 逆时针旋转 得 . 当 落在 上时 ，得 ；当 落在边 （直线 ）上时，解得 . 故 或 . 11. (1) 分别作弦 的垂直平分线，交点即为圆心 . (2) 腰 ，底 ，则底边上的高 ，面积 . 由 . 12. (1) 由 及垂径定理， 为 中点，故 . (2) 设半径为 ，则 . 在 中 ，解得 ，. 13. 由 于 ， 得 . 设半径 ，则 . 在 中 ，解得 ，即 ，直径 寸. 14. C　解析：过 的弦最长为直径 ，最短为垂直 的弦 ，故弦长范围为 ，只有 符合. 15. D　解析：旋转角 ，且 ，故 为等边三角形，. 又 ，得 与 垂直，即 . 其余结论均不恒成立. 16. 45　解析：将 绕 旋转使 与 重合，可证 ，从而 . 故 度. 17. 建系 ，直线 ，，半径 . (1) 过 时 ，即 . (2) 圆与 交点 ，，. 由 得 ，结合 得 ，平方解得 ，，故 . 18. 过 作 于 ，在 中 ，，故会受影响. 设 上到 距离为 的两点间距离 . 速度 ，时间 . 19. (1) 弦 ，拱高（ 到 的距离）. 半径 . (2) 以 中点为原点，圆心在 下方 处. 双行道卡车靠中线行驶时，外侧距中线 ，该处圆弧高 ，故能通过. 20. C　解析：设半径 ，球与底面及两侧相切，盒宽 ，圆心距底 ，距顶边 为 . 弦 满足 ，即 ，解得 . 21. A　解析：设 . 将 绕 逆时针旋转 得 . 直线 斜率为 （），与 延长线 交于 . 计算 ，，故 . 22. 　解析：令 得 ， 为 中点. 在 中 为 中点，故 为中位线，. 当 最小时 最小，，故 . 23. (1) 图1为 矩形，最小覆盖圆直径即对角线 . (2) 图2为“凸”字形，由对称设圆心 ，令到 与 距离相等解得 ，半径 ，直径 . (3) 答案不唯一，如按答案图将三个正方形错开摆放，可求得最小覆盖圆直径为 ，比①②都小. 24. (1) 旋转得 （邻边相等），且 ，而 ，故 （一组对角互补），所以四边形 是等补四边形. (2) 将 绕 旋转 使 与 重合，，则 共线，，得 . (3) 同理旋转后 ，当 时取最大值 . 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $