3.1 圆的有关概念 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 九年级上册

浙教版数学九年级上册　第3章　圆的基本性质　课时作业 浙教版九年级上册　第3章　圆的基本性质 3.1　圆的有关概念　课时作业 班级：__________　姓名：__________　学号：________　得分：________ 一、学习目标 1．理解圆的描述性定义和集合定义，认识圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等概念． 2．掌握点与圆的三种位置关系，能根据点到圆心的距离d与半径r的大小关系判断点与圆的位置． 3．理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，会作三角形的外接圆，了解三角形的外心． 二、知识点梳理 知识点1　圆的定义 （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”． （2）集合定义：圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形． （3）确定一个圆需要两个要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 知识点2　与圆有关的概念 （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径． （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作“⌒AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）优弧与劣弧：大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示，如⌒ACB），小于半圆的弧叫做劣弧． （4）等圆：半径相等的两个圆叫做等圆．等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧． 注意：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须在同圆或等圆中． 知识点3　点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： 点P在圆外⇔d＞r；　点P在圆上⇔d＝r；　点P在圆内⇔d＜r． “⇔”表示由左边可以推出右边，由右边也可以推出左边． 知识点4　确定圆的条件与三角形的外接圆 （1）经过一个已知点可以作无数个圆；经过两个已知点可以作无数个圆（圆心在这两点连线段的垂直平分线上）； （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆；在同一条直线上的三个点不能作圆． （3）经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形． （4）三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆半径等于斜边的一半；钝角三角形的外心在三角形外部． 三、典例精析 例1　如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．以点A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？ 例1图 分析：分别求出点B，C，D到圆心A的距离，再与半径4比较． 解：∵AB＝3＜4，∴点B在⊙A内；∵AD＝4，∴点D在⊙A上； 在Rt△ABC中，BC＝AD＝4，AC＝＝＝5＞4，∴点C在⊙A外． 点评：判断点与圆的位置关系，关键是求出点到圆心的距离，再与半径比较大小． 例2　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求△ABC外接圆的半径． 解：由勾股定理得AB＝＝10．∵直角三角形的外心是斜边的中点，∴外接圆半径R＝AB＝5． 例3　如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝70°，求∠A的度数． 例3图 分析：同圆的半径相等，因此△AOC是等腰三角形，再利用三角形外角的性质求解． 解：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∵∠BOC是△AOC的外角，∴∠BOC＝∠A＋∠ACO＝2∠A． ∴∠A＝∠BOC＝×70°＝35°． 点评：在圆中，连结圆心与圆上的点得到半径，“半径相等”常用来构造等腰三角形． 易错警示 易错点1：忽视“同圆或等圆”这一前提，误认为长度相等的弧就是等弧． 易错点2：已知点到圆上各点的最大距离与最小距离求半径时，只考虑点在圆外（或圆内）一种情况而漏解． 易错点3：误认为三角形的外心一定在三角形的内部；误认为经过任意三点都能作圆． 四、基础巩固 （一）选择题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．直径是弦 B．弦是直径 C．半圆是圆中最长的弧 D．长度相等的两条弧是等弧 2．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 3．经过平面内三个点作圆，能作出的圆的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．无数个 4．三角形的外心是（　　） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 5．已知⊙O中最长的弦长为10 cm，则⊙O的半径是（　　） A．10 cm B．5 cm C．20 cm D．2.5 cm 6．若直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则它的外接圆半径为（　　） A．5 B．6 C．6.5 D．13 7．已知点A在⊙O外，且OA＝6，则⊙O的半径r可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 8．钝角三角形的外心位于（　　） A．三角形内部 B．三角形外部 C．最长边的中点 D．位置不能确定 （二）填空题 9．以点O为圆心，3 cm为半径的圆上的点到点O的距离都等于________；到点O的距离等于3 cm的点都在________上． 10．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，图中的弦共有________条，它们是__________________． 第10题图 11．已知点P到⊙O上各点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为________． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．以点C为圆心，r为半径作圆，若点A在⊙C内，点B在⊙C外，则r的取值范围是________． 13．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（3，4）在⊙O________，点Q（2，－4）在⊙O________，点R（－4，4）在⊙O________．（填“内”“上”或“外”） 14．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝25°，则∠BOC＝________°． 第14题图 （三）解答题 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，M是AB的中点．以点C为圆心，5为半径作⊙C，试判断点A，B，M与⊙C的位置关系，并说明理由． 第15题图 16．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，连结AC，BD．求证：AC＝BD． 第16题图 17．如图，已知△ABC．请用直尺和圆规作出△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法），并说明外接圆的圆心应满足的条件． 第17题图 五、能力提升 18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABC外接圆的半径． 第18题图 19．如图，矩形ABCD的四个顶点都在⊙O上，AB＝6，BC＝8．（1）说明矩形的四个顶点在同一个圆上的理由；（2）求⊙O的半径． 第19题图 20．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，弦CD的延长线与AB的延长线相交于点E，且AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数． 第20题图 六、拓展探究 21．（1）平面内有4个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，经过其中每3个点作圆，最多能作出几个圆？ （2）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），B（6，0），C（0，8），求经过O，B，C三点的圆的圆心M的坐标和半径． 第21题图 22．在平面直角坐标系中，以点A（2，0）为圆心、r为半径作⊙A．若点B（－1，0）在⊙A内，点C（5，4）在⊙A外，求r的取值范围． 参考答案与解析 四、基础巩固 1．A　解析：直径是经过圆心的弦，所以直径是弦，A正确；弦不一定经过圆心，B错误；优弧比半圆长，C错误；等弧必须在同圆或等圆中能够重合，长度相等的弧不一定能重合，D错误． 2．A　解析：d＝4＜r＝5，所以点P在圆内． 3．C　解析：若三点在同一条直线上，不能作圆；若三点不在同一条直线上，可以作且只能作一个圆． 4．C　解析：外心到三角形三个顶点的距离相等，是三边垂直平分线的交点． 5．B　解析：圆中最长的弦是直径，直径为10 cm，所以半径为5 cm． 6．C　解析：斜边长为＝13，直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，即6.5． 7．A　解析：点A在⊙O外，则OA＞r，即r＜6，只有A符合． 8．B　解析：锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在外部． 9．3 cm；⊙O（或以O为圆心、3 cm为半径的圆）　解析：由圆的集合定义可得． 10．3；AB，AC，CD　解析：弦的两个端点都必须在圆上．OD的端点O是圆心，不在圆上，OD是半径，不是弦． 11．5或3　解析：分两种情况．①点P在圆内时，最大距离与最小距离之和为直径，直径为8＋2＝10，半径为5；②点P在圆外时，最大距离与最小距离之差为直径，直径为8－2＝6，半径为3． 12．3＜r＜4　解析：点A在⊙C内，则CA＜r，即r＞3；点B在⊙C外，则CB＞r，即r＜4． 13．上；内；外　解析：OP＝＝5＝r；OQ＝＝＜5；OR＝＝＞5． 14．50　解析：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝25°，∴∠BOC＝∠A＋∠ACO＝50°． 15．解：在Rt△ABC中，AB＝＝10． ∵CA＝6＞5，∴点A在⊙C外；∵CB＝8＞5，∴点B在⊙C外； ∵M是斜边AB的中点，∴CM＝AB＝5，∴点M在⊙C上． 16．证明：∵AB，CD是⊙O的直径，∴OA＝OB，OC＝OD． 又∵∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD． 17．解：作法提示：分别作边AB，BC的垂直平分线，两线相交于点O；以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O即为所求． 外接圆的圆心应满足：到△ABC三个顶点的距离相等，即是三边垂直平分线的交点． 五、能力提升 18．解：如图，作AD⊥BC于点D．∵AB＝AC，∴BD＝CD＝3，外心O在AD上． 在Rt△ABD中，AD＝＝4．设外接圆半径为R，则OA＝OB＝R，OD＝4－R． 在Rt△OBD中，OB²＝OD²＋BD²，即R²＝（4－R）²＋3²，解得R＝． ∴△ABC外接圆的半径为． 19．解：（1）连结AC，BD交于点O．∵矩形的对角线相等且互相平分，∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴点A，B，C，D到点O的距离相等，四个顶点在以O为圆心、OA为半径的圆上． （2）AC＝＝＝10，∴⊙O的半径为AC＝5． 20．解：连结OD．∵AB＝2DE，AB＝2OD，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E＝18°． ∴∠ODC＝∠DOE＋∠E＝36°．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝36°． ∵∠AOC是△OCE的外角，∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°． 六、拓展探究 21．解：（1）从4个点中任取3个点共有4种取法，每3个点确定一个圆，所以最多能作出4个圆． （2）∵∠BOC＝90°，∴BC是所求圆的直径，圆心M是BC的中点． ∴M的坐标为（，），即（3，4）．半径为BC＝＝5． 22．解：AB＝2－（－1）＝3，AC＝＝5． ∵点B在⊙A内，∴r＞AB＝3；∵点C在⊙A外，∴r＜AC＝5．∴r的取值范围是3＜r＜5． 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $