第1章第1讲二次函数及其图象（1.1～1.2）专题训练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

数学 · 九年级上册 第1章 二次函数　第1讲　二次函数及其图象（1.1~1.2） 　A组　 1. 下列函数不属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线 如何平移可得到抛物线 （　　） A. 向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移4个单位，再向下平移1个单位 3. 对于二次函数 ，下列结论中正确结论的个数为 ①二次函数的开口向下； ②对称轴是直线 ； ③图象不经过第一象限； ④函数最大值为3.（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 的图象过点 ……求证：这个二次函数的图象关于直线 对称。根据现有信息，题中的二次函数不一定具有的性质是（　　） A. 过点 B. 顶点是 C. 在 轴上截得的线段的长度是2 D. 5. 已知二次函数 ，且 ，，则一定有（　　） A. B. C. D. 6. 二次函数 ，经过配方化成 的形式是________。 7. (1) 已知一个二次函数的图象形状和开口方向与抛物线 相同，且顶点坐标为 ，则这个二次函数的表达式为________。 (2) 已知抛物线过 ，， 三点，则这条抛物线的表达式为________。 8. 若二次函数 的图象不经过第三象限，则 的取值范围是________。 9. 规定：两个函数 的图象关于 轴对称，则称这两个函数互为“Y 函数”。例如：函数 与 的图象关于 轴对称，则这两个函数互为“Y 函数”。若函数 （ 为常数）的“Y 函数”图象与 轴只有一个交点，则其“Y 函数”的表达式为________。 10. 若二次函数 的图象上有且只有三个点到 轴的距离等于 ，则 的值为________。 11. 把二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 的图象。 (1) 试确定 的值。 (2) ①当 ，求 的取值范围；②当 时，求 的取值范围。 12. 在关于 的二元一次方程组 中，若 ， (1) 求 的最小值。 (2) 当 时，求 的取值范围。 13. 如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点 作 轴的垂线，交抛物线于另一点 ，点 在线段 上，分别过点 作 轴的垂线交抛物线于 两点。 (1) 求 的值。 (2) 当四边形 为正方形时，求正方形 的周长。 　B组　 14. 若二次函数 的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 15. 若二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的大致图象为（　　） 16. 如图，矩形四个顶点的坐标依次为 。若抛物线 与矩形有公共点，则实数 的取值范围为________。 17. 已知二次函数 的顶点为 。 (1) 求点 的坐标（用含 的代数式表示）。 (2) 若 ，求 时 的取值范围（用含 的代数式表示）。 (3) 若函数 的图象在直线 的上方，求 的取值范围。 　C组　 18. 已知抛物线 经过点 。 (1) 求抛物线的函数表达式。 (2) 点 在抛物线上且在第一象限。设点 到 的距离为 ，若 ，求 的取值范围。 19. 已知二次函数 ，其中 ，； (1) 若 时，①二次函数图象经过点 ，求该二次函数表达式；②二次函数图象的顶点为 ，求 的值。 (2) 当 ，二次函数图象经过点 ，求证：。 20. 小嘉说：将二次函数 的图象平移或翻折后经过点 ，有4种方法： ①向右平移2个单位长度； ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ③向下平移4个单位长度； ④沿 轴翻折，再向上平移4个单位长度。 你认为小嘉说的方法中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 21. 四位同学在研究函数 （ 是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值是3；丁发现当 时，。已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 22. 如图所示，二次函数 的图象经过点 ，且与 轴交点的横坐标为 ，其中 ，，下列结论：①；②；③；④，正确的结论是________。 23. 已知点 和 在二次函数 （ 是常数，）的图象上。 (1) 当 时，求 和 的值。 (2) 若二次函数的图象经过点 且点 不在坐标轴上，当 时，求 的取值范围。 (3) 求证：。 24. 已知抛物线 （ 为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1。 (1) 求 的值。 (2) 点 在抛物线 上，点 在抛物线 上。①若 ，且 ，，求 的值；②若 ，求 的最大值。 参 考 答 案 1. D　解析：D中 ，二次项抵消后为一次函数，不是二次函数；A、B、C展开后二次项系数均不为0。 2. D　解析：由 到 ， 减4表示向右平移4个单位，整体减1表示向下平移1个单位。 3. A　解析： 开口向下①对；对称轴 ②对；最大值为3④对。当 时 ，图象不经过第一象限③对。四个均正确。 4. B　解析：过 且关于 对称，则必过 ，A对；两交点间距为2，C对；由对称轴 得 ，代入 得 ，D对。顶点纵坐标无法确定，B不一定成立。 5. A　解析： 即 时的函数值 ，而 开口向下，图象存在高于 轴的点，故与 轴有两个交点，。 6. 　解析：。 7. (1) ；(2) 　解析：(1) 形状、开口与 相同则 ，顶点 ，故 。(2) 设 ，代入 得 ，，故 。 8. 　解析：，对称轴 。当 时 。要不经过第三象限，需 时 ，即 ，。 9. 或 　解析：“Y函数”为 。若 ，为 的Y函数 ，与 轴一个交点，成立。若 ，令 得 ，此时 。 10. 4　解析：， 即 或 。当 时 只有顶点1个点， 有2个点，共3个点。 11. (1) 左移2、上移4得 ，故 ， 得 ， 得 ，即 。(2)① 在 上， 时取最小值 ， 时 （取不到），故 。② 得 ，即 或 。 12. 两式相加得 ，故 。(1) 最小值为 。(2) 即 ，得 或 。 13. (1) 代入 ：，，即 。(2) 直线 为 。设 、（），则 、。正方形需 ，即 ，，。边长 ，周长 。 14. A　解析：顶点 在第四象限，故原点在顶点的左上方。图中只有点 位于顶点左上方，且两零点 均在 轴右侧，与图相符。 15. C　解析：由图 （开口向上），对称轴在 轴左侧得 ，与 轴交于负半轴得 。故 递增且 轴截距为正； 中 ，双曲线在一、三象限。符合的是 C。 16. 　解析： 时 上 。与 有公共点需 且 ，即 。 17. 。(1) 顶点 。(2) 即 ，因 得 。(3) 图象恒在 上方，即 恒成立，，得 。 18. (1) 代入 得 ；代入 得 ，，故 。(2) 为 ，，第一象限要求 。由 ，当 解得 ；当 无解。故 。 19. (1)① ，代入 ：，解得 ，。② 对称轴 得 ，， 时 。(2) 时 ，，，，当且仅当 取等，故 成立。 20. D　解析：①、②、③、④ 在 时取值均为0，四种方法都过 ，全部正确。 21. B　解析：若甲、丙、丁正确：由甲 ，由丁 ，检验丙最小值 成立。此时乙：，乙错误。逐一验证其他情形均矛盾，故只有乙错。 22. ①②④　解析：由图 、、对称轴 得 。① 对；② 时 ，即 对；③由 得 ，结合 得 ，③错；④由 代入 ，④对。 23. 由两根 得 ，。(1) 时 。(2) 得 或 ， 不在坐标轴上故 ，由 得 。(3) ，证毕。 24. (1) 顶点横坐标1， 顶点横坐标 ，。(2) ，，得 。① 代入化简得 ，因 故 ，。② 代入得 ，当 时 。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $