专题4.2 由平行线截得的比例线段（7大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦“由平行线截得的比例线段”核心知识点，前承平行线性质与比例线段概念，后启相似三角形判定，通过基本事实、推论及A型/X型等图形题型构建学习支架，逐步深化理解。 特色在于以图形分析培养几何直观（数学眼光），通过证明推导发展推理能力（数学思维），结合实际问题转化提升模型意识（数学语言）。典例变式涵盖中考及期中题，课中助教师分层教学，课后供学生强化练习查漏补缺。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.2 由平行线截得的比例线段 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01平行线截线段成比例 2.知识清单 题型0IA型平行线分线段成比例 题型02X型平行线分线段成比例 由平行线截得的比例线 题型03A字三角形 段 题型04X字三角形 3.题型精讲 题型05类A字三角形 题型06类X字三角形 题型07由平行截线求相关线段的长或比值之解 答题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能够准确阐述其内容，清晰区分 定理与推论的适用条件。 2.借助图形分析，熟练运用该定理及推论进行线段长度的计算，如在三角形、梯形 教学目标 等几何图形中求解未知线段长。 3.通过对实际问题的探究，学会将实际情境转化为数学模型，运用平行线分线段成 比例知识解决生活中的几何问题，提升数学应用能力。 1.重点 (1)掌握平行线分线段成比例定理，即两条直线被一组平行线所截，所得对应线段 教学重难点 成比例，理解定理中对应线段的含义及比例关系。 (2)学会运用定理的推论，特别是平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延 长线)，所得对应线段成比例，并能在复杂几何图形中准确识别并应用。 1/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.难点 (1)理解平行线分线段成比例定理的证明过程，尤其是运用相似三角形等知识进行 逻辑推导，帮助学生建立严谨的证明思维。 (2)引导学生在复杂多变的几何图形中，准确判断哪些线段符合平行线分线段成比 例的条件，克服图形干扰，正确运用定理解决问题。 知识清单 知识点01平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线h、2、是一组等距离的平行线，4、5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一 AB DE AB DE BC EF BC EF 下相交于点A,B,C,D,B,P,则比例式BC=F·Ac=FAE=E'Ac=F'成立 要点：().对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 上上上上左上左全 下=下全全'右正右全等等 (2)有推论可以得出以下结论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 A型基本图形 X型基本图形和 【即学即练】1.如图，%，%MB=3,BC=4,DB=2,则BE的长为() 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.2 6 A.3 c.5 n 2.如图，两条直线被三条平行线所截，已知AB=3,DE=4,EF=8,则AC的长是 D A —3 3.如图，直线III凸，直线AC分别交4、、于点A、B、C,直线DF分别交4、、于点D、E、 F.若DE=3,EF=6,AB=4,求线段AC长. 题型精讲 题型01A型平行线分线段成比例 【典例1】(2025四川雅安中考真题)如图，直线4川马分别交直线4，于点A,B,C,D,E, F,已知AB=2,BC=4,DE=3,则EF的长是() A B E A.3 B.4 c.4.5 D.6 【变式1】(25-26八年级下-四川成都期中)如图，AD∥BE∥CF,若AB=3,BC=4,EF=5,则DE的 长度是() 3/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E F A.6 3 B. c. D号 【变式2】(25-26九年级上湖南株洲期末)如图，已知AB/CD//EF,BD:DF=1:2,AC=5,那么AE= 【变式3】(25-26九年级上江西南昌阶段检测)如图，直线α川b‖c,直线4，与这三条平行线分别交 于点A,B,C和点D,E,F,若AB:BC=1:2,DE=3,则EF的长为 题型02X型平行线分线段成比例 【典例2】(24-25九年级上辽宁锦州期中)如图，直线4，直线a、b与4、、分别交于点A、 B、C和点D、E、F,若AB:BC=l2,DF=12,则EF的长为( D A B A.4 B.6 C.8 D.10 【变式1】(2425九年级下浙江杭州阶段检测)如图，直线马，吗，直线AC分别交4，，4于点A, 4/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ B,C;直线DF分别交，，于点D,E,F.若DE=2,EF=4,AB=3,则AC的长为(). D A.9 B.7 C.5 D.6 【变式2】(2026福建漳州模拟预测)如图，若4I吗，AB=6,BC=4,DF=15,则EF的长为 E 【变式3】(25-26九年级上安徽淮北阶段检测)如图，直线AE,BF交于点O,AB∥CD∥EF若 OB 0A=1,AC=2,CE=3,则OF的值为 题型03A字三角形 【典例3】(25-26九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE∥BC, 则下列结论不成立的是() D B C AD AE AD AE AD DB A. AB AC B. DB EC 。把 D.AE EC 【变式1】(2425九年级上·上海虹口·期中)如图：在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，根据下 5/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 列给定的条件，不能判断DE与BC平行的是() E AD AE AD AE A.DB EC B.ABAC C.c D.hec 【变式2】(2425九年级上广西梧州阶段练习)如图，在△ABC中，DE∥BC,且DE分别交AB, AC于点D、E,若AD:DB=2:L,AE=4,则EC= E B 【变式3】(2425九年级下·广东深圳开学考试)如图，若DE∥BC,AB=7,AD=3,AE=25,则 EC= 一：若AD=3,DB=7,AC=8,则EC=一：若AD:DB=2:3,EC-AE=2,则 AE=,EC=」 题型04X字三角形 A0 1 【典例4】(2425九年级上福建泉州期末)如图，已知AC∥BD,AB交CD于O,AB3,OD=6, 则CD的长为一 6/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式1】(2025上海徐汇·一模)如图，在△ODC中，点A,B分别在边CO,DO延长线上，AB∥CD, 如果D0=6,A0:C0=2:3,那么B0的长是 B O D 【变式2】(2425九年级上上海阶段练习)如图，点E、F分别在线段AB、CD上，AD∥EF∥BC, AE=2,BE=4,CF=6,那么DF= A B 【变式3】(2425九年级上四川巴中阶段练习)如图，AD、BC相交于点O,点E、F分别在BC、 AD上，AB∥CD∥EF.若CE=4,EO=2,BO=3,AF=10,则AD=一. B E 题型05类A字三角形 【典例5】(24-25八年级下山东淄博期末)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上， 己知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是() 7/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D AE BF CE AE CF AE AD AB A.ECFC B. CF BF C.BC AC D. BF BC 【变式1】(2025黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，DE∥BC,DF∥AC,AB=3BD,DE=12,则BF的 长为() D B A.4 B.5 C.6 D.8 【变式2】(2025.上海松江一模)如图，△ABC中，∠C=90,正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边 AC、AB、BC上，如果AE=2BE,且S△MBc=36.那么正方形CDEF的面积为一. 4 【变式3】(23-24九年级上福建泉州阶段练习)如图，已知，AD是△ABC的中线，E是AD的中点， 则AF:FC= 题型06类X字三角形 【典例6】(2425八年级下江苏苏州阶段练习)等腰△ABC中，AB=AC,E、F分别是AB、AC上 8/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CP 3 AE 的点，且BE=AF,连接CE、BF交于点p,若PE4,则AF的值为 【变式1】(23-24九年级上·全国课后作业)如图，AB∥EF∥CD,BE=DF,若 BF=1.5,CE=2,DE=3,则AE的长为一· B E D 【变式2】(2024安徽宣城三模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=9,AC=6,点D为AC的 中点，AF⊥BD于点E D B F (1)AE的长为一： CF (2)1 F的值为 题型07由平行截线求相关线段的长或比值之解答题 【典例7】例题：(2425九年级上陕西榆林期中)如图，在△ABC中，DE∥AC,点F在BC上，且 AD HF 1 AF=CF=3,AF交DE于点H'且BD=AH=2, A D H B (1)CE= 9/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求BF的长， 【变式1】(2425九年级上·浙江绍兴期末)如图，在△ABC中，延长CB至点D,使BD=BC,在AC 上取一点F,连接DF交AB于点E,过F点作FH∥AB交CD于点H,已知AC=DE=3,EF=2. B (1)求DB:BH的值； (2)求AF的长 【变式2】(2425七年级下河北沧州阶段练习)如图，已知△ABC,点D在BC上，点E在AC上，连 接AD,BE,AD与BE相交于点F. BD (1问题1：若BE是A4BC的中线，BF=3FE,则DC- AF 1AE (2)问题2：若D是△4BC的中线，AD=4,则AC的值是_· (3)向题3：若AD是△ABC的中线，△ABF的面积与△DBF的面积之比是I:3,且AE=2,则EC=-· 4)问题4：若AD是△ABC的中线，且AE=FE,求证：AC=BF, 【变式3】(2425九年级上山西长治阶段练习)综合与探究 【问题呈现】 AD 1 (1)如图1，当AE=CE,BD2时，求证：BC=CF 【拓展延伸】 4D_2,BC=3时，求CE的值. AE (2)如图2，当BD3,CF 【深入探究】 AD 1 (3)如图3，在△ABC中，直线MN分别与AB,AC,BC的延长线交于点D,E,F，BDm, 10120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF 1 AE BCn,直接写出CE的值（用含m'n的式子表示）， A A M D E M D M D _FP F C C C 图1 图2 图3 .BC=CF, 强化训练 基础自测 一、单选题 BD 3 1.(25-26九年级上湖南郴州阶段检测)如图，AB∥CD∥EF,AC=30cm,DF=4,则CE长为 () B D E A.30cm B.40cm C.50cm D.60cm 2.(25-26九年级下江苏南京开学考试)如图，直线，直线a、b与4、1、分别交于点A、B、 C和D、E、F,若AB:BC=1:2,DF=6,则EF的长为() A入 A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2026内蒙古通辽二模)如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，以点B为圆心，以一定长度为 半径画弧，分别交AB,BC于点F,G;以点D为圆心，以相同的长为半径画弧，交AD于点M;以点 11/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE 3 AD M为圆心，以FG的长度为半径画弧，交m于点N,连接DN并延长交4C于点E·若EC5,则AB 的值为() D B G A.5 B.5 c.a D. 4.(25-26九年级上山西临汾期末)如图，AD∥BE∥CF,直线12与这三条平行线分别交于点 本B、C和点D、E、F,若AB=10,BC=6,DF=12,则DE的长为() E A.20 B.7.2 c.7.5 D.19.2 5.(2026浙江杭州一模)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC,点G在边 BC上（不与点B,C重合），连接AG交DE于点F,则下列比例式一定正确的是()· F E Q DF EF AD AF DF EF BD FG A. GCBG B. D. AF AE C.BGCG FG CE 二、填空题 CF 6.(25-26九年级上天津南开-阶段检测)如图，在。ABC中，DE∥BC,DF∥AC, CE3,则BF 12120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E F 7.(26-27九年级上吉林长春开学考试)如图，直线分别交直线4，于点A,B,C,D,E, F,已知AB=2,BC=4,DE=3,则EF的长是 D B E 一2 8.(26-27九年级上·全国课后作业)如图，已知‖，直线AD与直线BC相交于点O.如果CE=6, EB=18,DF=4,则AD= AA B/ D八3 9.(2026北京密云·一模)如图，在正方形ABCD中，AC和BD相交于点O,点P为线段OD的中点，连 接AP并延长交CD于点E.若BC=6,则CE的长为· E B 10.(25-26九年级上山东临沂·期末)如图，在ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E,CF的延 长线交BA的延长线于点G,EF=1,EC=4,则GF的长为一· 13120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E B 三、解答题 11. (25-26九年级上江西南昌期末)如图，AD∥BE∥CF,它们依次交直线m,n于点A,B,C和点 DE 2 D,E,B,且EF5AB=4,求AC的长. m A D B E 12.(25-26九年级上江苏徐州期末)如图，直线AD、BC交于点O,AB∥EF∥CD,若B0=2, AF OE=1'EC=2:求FD的值. A B D 13.(2026安徽安庆模拟预测)如图，直线a∥b∥℃，分别交直线m于点A,B,C,交直线n于点D, E.F. m n D a E b C -c (1)若AB=3,BC=5,DE=4,求EF的长； AB 2 ②若BC=3,DF=6?求DE的长 14.(23-24九年级上上海金山阶段检测)如图，己知DE∥BC,DF∥AC,且 DE=4cm,AD=3cm,BD=6cm.求：线段BF的长. 14120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B F 15.(24-25九年级上贵州铜仁期末)如图，1∥1∥1，AB=3,BC=5. D 2 DE EF (①)直接填空； EF的值为 一，FD的值为 (2)若DF=12,求DE和EF的长 能力提升 1.(25-26九年级上福建宁德阶段检测)如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=9,DB=3,CE=2,则 AE的长是() D E B B.4 C.6 D.8 BD 2.(26-27九年级上辽宁沈阳开学考试)如图，直线AB∥CD∥EF,若CB=4'4B=7,则DF的值 是() D E 15120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 A.4 B.7 c.3 3.(25-26九年级下·辽宁鞍山阶段检测)如图，AB与CD相交于点E,点F在线段BC上，且 BD AC∥EF∥DB,若BE=5,BF=3:AE=BC,则AC的值为() F D 2 A.3 B.3 c. D.5 4.(26-27九年级上全国单元复习)如图，直线aWb∥c,直线、n与这三条平行线分别交于点A、 B、C和点D、E、F.若AB=3,BC=5,DF=I2,则DE的值为() m B 9 5 A. B.4 c.2 D.2 5.(25-26八年级下吉林长春期末)如图，直线4吗，直线4、1、马对应刻度尺上的刻度读数分别 是5cm、8cm、14cm,若AB=4cm,则AC的长为() A A.8cm B.12cm C.18cm D.24cm 二、填空题 6.(26-27九年级上全国课后作业)如图，已知△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC. AD=2,AB=5,AE=4,则EC= 16120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 7.(25-26九年级上广东深圳期末)如图，若吗，AB=6,BC=4,DE=9,则EF长为 8.(24-25九年级上上海宝山阶段检测)如图，已知在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点， DE∥BC,EF∥AB,且AD:DB=3:4,则CF:BF= D 9.(2025江苏南通二模)如图，在口ABCD中，AB=AC=10,CE⊥AB,垂足为E,点B关于CE的对称 点为F,连接DF交AC于点H,若CE=8,则CH的长为 B 10.(24-25九年级上：浙江杭州期末)如图，点D在△ABC的边AB上，作DE∥BC交AC于点E. EF AB:交BC于点F,点G在线段EF上，连结CG并延长，交线段DF于点M,交线段DB于点N.若 AD FG 1 GM DBGE2,则M的值是 17120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M B 三、解答题 11.(25-26九年级上广东河源期末)如图，AB川CD‖EF,如果AC=2,4E=5,DF=3.6,求线段BD的 长 AI\B D E 12.(25-26九年级上安徽毫州期末)如图，直线，1，马分别交直线14于点A,B,C,交直线于点 D,E,F,且I4243」 (1)若AB=5,BC=2,DF=10.5,求EF的长； (2)点O是直线4与5的交点，若OB:BC=3:2,CF=15,求BE的长. 13.(25-26九年级上：江西吉安期中)如图，已知在△ABC中，EF∥CD,AF=6,AD=10,AE=9. B (1)求AC的长： (2)当DE∥BC时，求AB的长 14.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作 18120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PM∥AC交AB于点M,作PNI‖AB交AC于点N. M D (I)若点D是BC的中点，且AP:PD=2:l,求AM:AB的值： a法点巴呢C上年食点明，他+化8 15.(2026江西吉安·一模)如图，AB是O0的直径，点D是弧BC的中点，过点D作DE⊥AC交AC的 延长线于点E,延长ED交AB的延长线于点F,连接CD,BC. B (I)求证：EF是OO的切线. (2)若AC=2CE=2,求⊙0的半径， 16.(25-26九年级上山东滨州期末)【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点G为△ABC的重心，连接CG,AG并延长分 GF 1 别交AB,BC于点E,F,连接EF,通过观察他发现GA2,请你帮他证明一下.这个发现非常重要，由 以上的证明你得到的结论是： 【应用】如图2，在△ABC中，已知AD是BC边的中线，G是△ABC的重心，过点G的直线分别交AB,AC 十点E,图2，当grC时，瓷货- 【提升】如图3，AD是边BC的中线，G是△ABC的重心，当EF和BC不平行，且点E,F分别在线段 AB,AC上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。 19120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E G E G F B D B D 图1 图2 图3 20120 专题4.2 由平行线截得的比例线段 教学目标 1. 理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能够准确阐述其内容，清晰区分定理与推论的适用条件。 2. 借助图形分析，熟练运用该定理及推论进行线段长度的计算，如在三角形、梯形等几何图形中求解未知线段长。 3. 通过对实际问题的探究，学会将实际情境转化为数学模型，运用平行线分线段成比例知识解决生活中的几何问题，提升数学应用能力 。 教学重难点 1.重点 （1）掌握平行线分线段成比例定理，即两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例，理解定理中对应线段的含义及比例关系 。 （2）学会运用定理的推论，特别是平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例，并能在复杂几何图形中准确识别并应用。 2.难点 （1）理解平行线分线段成比例定理的证明过程，尤其是运用相似三角形等知识进行逻辑推导，帮助学生建立严谨的证明思维。 （2）引导学生在复杂多变的几何图形中，准确判断哪些线段符合平行线分线段成比例的条件，克服图形干扰，正确运用定理解决问题 。 知识点01 平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. （2）有推论可以得出以下结论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 【即学即练】1．如图，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵，，，即， ∴． 2．如图，两条直线被三条平行线所截，已知，则的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，关键是准确找出对应成比例的线段，利用比例式求出未知线段长度，再通过线段和求出的长．先根据平行线分线段成比例得到与的比例关系，结合已知数据计算出的长度，最后将与相加得到的长． 【详解】解：∵两条直线被三条平行线所截， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴； 故答案为：． 3．如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线DF分别交、、于点D、E、F．若，，，求线段长． 【答案】 【详解】解：∵，，，， ∴，即， 解得， ∴． 题型01 A型平行线分线段成比例 【典例1】（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，，若，则的长度是（） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，已知，那么________． 【答案】15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线分线段成比例解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：15 ． 【变式3】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，结合已知线段比例与长度，计算未知线段长度． 【详解】解：∵ 直线， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 题型02 X型平行线分线段成比例 【典例2】（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】∵， , , ∵, ∴． 【变式1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，．若，，，则的长为（   ）． A．9 B．7 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出，进而求出． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴． 【变式2】（2026·福建漳州·模拟预测）如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式3】（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，直线交于点.若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合已知数据即可求出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型03 A字三角形 【典例3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点分别在上，，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理对选项进行判断． 【详解】解：， ，，，. C选项结论不成立. 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解． 【详解】解：∵， ∴，故A不合题意； ∵， ∴，故B不合题意； ∵， ∴，故C不合题意； ∵， 不能判断与平行，故D符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）如图，在中，，且分别交，于点D、E，若，，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解；掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，若，，，，则 ；若，，，则 ；若，，则 ， ． 【答案】 / 4 6 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， 解得：； ∵，，，， ∴，即， 解得：； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； 故答案为：；；4，6． 题型04 X字三角形 【典例4】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知，交于，，，则的长为 ． 【答案】9 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，则代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：9． 【变式1】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是 ．    【答案】4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据可得，根据，求出即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：4． 【变式2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点E、F分别在线段、上，，，，，那么 ． 【答案】3 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；连接，延长交于点H，然后由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故答案为3． 【变式3】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 【答案】18 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值；由，得出，结合线段和差关系，即，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：18． 题型05 类A字三角形 【典例5】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，点D，E，F分别在边上，已知，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，根据平行线分线段成比例定理得，可判断A不符合题意；由变形得，可判断B不符合题意；可证明，由，假设成立，可推导出，与已知条件不符，可判断C符合题意；由，，证明四边形BDEF是平行四边形，则，再证明，得，推导出，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明，及四边形BDEF是平行四边形是解题的关键 【详解】解：A、， ， 故此选项不符合题意； B、， ， 故此选项不符合题意； C、∵， ， 假设成立，则， ，与已知条件不符， 不成立， 故此选项符合题意； D、，， 四边形BDEF是平行四边形， ， ∵， ， ， ， 故此选项不符合题意， 故选：C． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例． 根据平行四边形的判定和性质得到，再平行线分线段成比例解答即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C 【变式2】（2025·上海松江·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为 ． 【答案】16 【知识点】根据正方形的性质求线段长、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 设正方形的边长为，得到根据平行线分线段成比例定理得到，求得，，根据三角形的面积公式列方程得到，于是得到正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， 正方形的面积． 故答案为：16． 【变式3】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、根据三角形中线求长度 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 题型06 类X字三角形 【典例6】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）等腰中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟悉定理内容并应用是解题的关键．过点E作，交于点D，则由平行线分线段成比例得；设，则，易得；设，利用得，即可求得，然后计算即可． 【详解】解：如图，过点E作，交于点D， 则； 设，则， ∵， ∴； 设； ∵， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，，，若，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先根据建立等式求出，再根据建立等式，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，即，解得，或（舍去）． ∵， ∴，即，解得， 故答案为：． 【变式2】（2024·安徽宣城·三模）如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质． （1）根据线段的中点定义可得，在中，利用勾股定理可得，然后利用面积法进行计算即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行线分线段成比例定理进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）点为的中点，， ， ，， ， ， 的面积， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）过点作，交的延长线于点， ，， ， ∴， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， 故答案为：． 题型07 由平行截线求相关线段的长或比值之解答题 【典例7】例题：（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键． （1）根据，得到，结合，求出的长即可； （2）根据，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴． 【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． （1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题； （2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)见解析 【知识点】根据三角形中线求长度、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作交于点H．   ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H．   ∴  ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H．   ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，，，，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得出，根据，求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：． 3．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在中，点是边上的一点，以点为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长度为半径画弧，交于点，连接并延长交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图得，推出，然后利用平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：由作图得， ∴ ∴ ∴． 4．（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（   ） A．20 B．7.2 C．7.5 D．19.2 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容以及图形的结构特征是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行求解即可得答案． 【详解】， ， ， ∴， 即，解得． 故选：C． 5．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，点，分别在边，上，，点在边上（不与点，重合），连接交于点，则下列比例式一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质，分别在和中建立与、与的关系，通过中间比进行等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即选项C正确，符合题意． 二、填空题 6．（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 由，可得到，由，可得到，从而可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：． 7．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是_______． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵直线分别交直线，于点，，，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 9．（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理即可求解. 【详解】解：过点作交于点， ∵正方形中，， ∴ ∴， ∵点为线段的中点，， ∴ ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴. 10．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，设，则，，代入比例式中求解即可得解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ，， ， 设，则，， ，， ，解得， 即． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，再进一步计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 解得，， ∴． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，直线、交于点，，若，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 求出，再根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 13．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得到，然后代数求解； （2）由得到，然后结合得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ，即， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ． 14．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知，且．求：线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质与判定，可证明四边形是平行四边形求出的长，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴，即， ∴． 15．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 1．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在中，，，，，则的长是（     ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 2．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ． ，， ． ． 3．（25-26九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求出，再由，即可求出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 5．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可求解，再计算出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 7．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，若，，，，则长为___________．    【答案】 【分析】本题考查了线段成比例，熟练掌握比值方法是解题的关键． 根据线段成比例的比值关系列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知在中，点D、E分别是边、上的点，，，且，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题根据平行线分线段成比例定理的知识，进行解答，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·江苏南通·二模）如图，在中，，，垂足为E，点B关于的对称点为F，连接交于点H，若，则的长为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求得，从而可利用线段差求得，再利用点B关于的对称点为F，求出，然后可求出，再根据平行线分线段成比例求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵点B关于的对称点为F， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平行四边形的性质求解，根据成轴对称图形的特征进行求解，由平行截线求相关线段的长或比值，勾股定理，解题关键是根据平行截线求相关线段的长． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点在的边上，作交于点．交于点．点在线段上，连结并延长，交线段于点，交线段于点．若，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例和相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 设，则，先证明四边形为平行四边形得到，根据等线段成比例可得，则利用等线段成比例和相似三角形的性质得到，接着证明，利用相似比得到，所以，然后证明，从而利用相似三角形的性质得到的值． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，, ∴ ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，，如果，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段的书写顺序是解答的关键．根据平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：， ， ∵， ， ∵， ∴， ． 12．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，直线，，分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且． (1)若，，，求的长； (2)点O是直线与的交点，若，，求的长． 【答案】(1)3 (2)9 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）由，得到，将已知条件代入比例式即可解答． （2）先推导出，证明，则，由求出，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·江西吉安·期中）如图，已知在中，，，，． (1)求的长； (2)当时，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． （1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，求出即可． 【详解】（1）解：∵，    ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ， ∴ ， ∴， 解得： ． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． （2）略 15．（2026·江西吉安·一模）如图，是的直径，点是弧的中点，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，． (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，进而证明，根据垂径定理得到，可知，即可证明是的切线； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，可知，即，进而得到，根据三角函数求出，根据30度角的性质能求出，即可求出的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的直径， ． ， ． ， ． ∵点是弧的中点， ． ． ∵为半径， 是的切线； （2）解：， ． ， ，． ． ． ， ． ． ． ． ，即的半径为2． 16．（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】 证明：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用： 证明：点是的重心， ， 又， ， ； 提升：应用中结论成立．证明： 如图，过点作交的延长线于点与的延长线相交于点， 则， ， ， 又， 而是的中点，即， ， ， 又， ， 故结论成立． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形的中位线，平行线分线段成比例： 证明：利用三角形的中位线和三角形的相似即可证明结论； 应用：利用三角形的重心和平行线分线段成比例即可证明； 提升：过点作交的延长线于点与的延长线相交于点，则，得到，进而推出，，即可证明． 【详解】证明：点为的重心， 点分别为线段的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∴得到结论：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用：略 提升：略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $