1.5 二次函数的应用 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数的应用这一核心知识点，系统梳理从根据实际问题列函数关系式，到营销、最大面积、轨迹、拱桥、几何、行程等应用，再到含绝对值、组合函数及几何综合（存在型、最值型等）的递进知识脉络，搭建从基础到复杂的学习支架。 该资料以25类情境化题型为特色，通过典例与变式题结合，培养学生用数学眼光观察现实问题（如拱桥、运动轨迹），用数学思维分析解决问题（如推理最值、存在性），用数学语言表达模型（如函数关系式）。课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化应用意识与创新能力。

1.5 二次函数的应用 内 容 导 航 题型1 根据实际问题列二次函数关系式 题型2 二次函数的应用_营销问题 题型3 二次函数的应用_最大面积 题型4 二次函数的应用_轨迹问题 题型5 二次函数的应用_拱桥问题 题型6 二次函数的应用_几何问题 题型7 二次函数的应用_行程问题 题型8 二次函数的应用_其他问题 题型9 二次函数综合 题型10 二次函数的函数综合 题型11 二次函数_含绝对值 题型12 二次函数_组合函数 题型13 二次函数_复杂函数探究 题型14 二次函数几何综合_基本型 题型15 二次函数几何综合_基本型_三角形 题型16 二次函数几何综合_基本型_四边形 题型17 二次函数几何综合_存在型 题型18 二次函数几何综合_存在型_三角形 题型19 二次函数几何综合_存在型_四边形 题型20 二次函数几何综合_存在型_角 题型21 二次函数几何综合_最值型 题型22 二次函数几何综合_最值型_面积 题型23 二次函数几何综合_最值型_线段长 题型24 二次函数几何综合_运动型 题型25 二次函数几何综合_变换型 考 点 演 练 题型1 根据实际问题列二次函数关系式 解｜题｜知｜识 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【典例1】婺城某门店销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（10﹣x）（200+5x） B．y＝（15﹣x）（200+5x） C．y＝（10﹣x）（200﹣5x） D．y＝（15﹣x）（200﹣5x） 【变式1】深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x） C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x（12﹣2x） 题型2 二次函数的应用_营销问题 【典例1】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 【变式1】2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 题型3 二次函数的应用_最大面积 【典例1】甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场ABCD，已知木栏总长为50米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米． （1）如图1，当AD≤MN时， ①AD＝ 　 　 米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为138平方米，求AB的长． （2）如图2，当AD＞MN时，求养鸡场可达到的最大面积． 【变式1】如图，ABCD是一块边长为8m的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为xm． （1）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，求此时BE的长； （2）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大？并求出最大面积． 题型4 二次函数的应用_轨迹问题 【典例1】一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度h（米）与时间t（秒）之间的关系由二次函数h＝﹣5t2+20t描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（　　） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 【变式1】某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 题型5 二次函数的应用_拱桥问题 【典例1】今年夏天，桨板这一水上运动成为“夏日新宠”，这项小众的运动从竞技场走向了大众视野，丰富了人们的生活．如图1，人们可以坐在、跪在或者站在桨板上，通过划桨实现前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏宁波这座城市的夜景．若现在在这个划行的河道之上，有一座桥，其示意图如图2，正常水位时水面AB宽为24米，此时桥拱最高点C到水面的高度为5米，桥拱可以看成抛物线． （1）若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求此时的函数表达式． （2）已知小兰的身高是165cm，桨板厚度为15cm，在正常水位时，若小兰要笔直的站在桨板上通过这座桥，则其在河道中可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥拱至少20cm） 【变式1】某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）如图所示， （1）求抛物线的解析式； （2）若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少了多少？ 题型6 二次函数的应用_几何问题 【典例1】将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 【变式1】为进一步激发学生的劳动热情和创新创造活力，盐城市鹿鸣路初级中学李老师在“空翠圃”劳动实践基地开展劳动节田间管理专题实践活动．如图，正方形菜圃ABCD的边长为8米，现将它阴影部分的4个全等的直角三角形种植青菜，剩余的四边形EFGH种植南瓜．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y． （1）求y关于x的函数表达式； （2）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 题型7 二次函数的应用_行程问题 【典例1】如图是王阿姨阿晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　） A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快 C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50） D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20） 【变式1】【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 题型8 二次函数的应用_其他问题 【典例1】如图，△ABC中，点P从A点出发，沿着折线A﹣B﹣C的方向移动，直到与C点重合停止运动，D为AC中点，设P点运动的距离为x，DP的长度为y，y关于x的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，M为图象的最高点，点M的坐标为（5，4），则点P在运动过程中，x2+y2的最小值是（　　） A．9 B． C．7 D． 【变式1】如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为15cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是9cm C．若a＝3，则小球的最大速度为4cm/s D．当弹簧的长度为10cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 题型9 二次函数综合 【典例1】已知函数y＝x2+bx+3b（b为常数）． （1）若图象经过点（﹣2，4），判断图象经过点（2，4）吗？请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求m与n的关系式； （3）若该函数图象不经过第三象限，当﹣6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值． 【变式1】如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标； （3）若点P在抛物线第一象限的图象上，则△ACP面积的最大值为 　　 ． 题型10 二次函数的函数综合 【典例1】定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P（a，b）和抛物线y＝x2+ax+b，我们称P（a，b）是抛物线y＝x2+ax+b的相伴点，抛物线y＝x2+ax+b是点P（a，b）的相伴抛物线． 如图，已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）． （1）点A的相伴抛物线的解析式为　 ；过A，B两点的抛物线y＝x2+ax+b的相伴点坐标为　 　 ； （2）设点P（a，b）在直线AC上运动： ①点P（a，b）的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式； ②当点P（a，b）的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围． 【变式1】已知函数y1＝（x+m）（x﹣m﹣1），y2＝ax+m（a≠0）在同一平面直角坐标系中． （1）若y1经过点（1，﹣2），求y1的函数表达式． （2）若y2经过点（1，m+1），判断y1与y2图象交点的个数，说明理由． （3）若y1经过点（，0），且对任意x，都有y1＞y2，请利用图象求a的取值范围． 题型11 二次函数_含绝对值 【典例1】对于x的二次三项式ax2+bx+c（a＞0）． （1）当c＜0时，求函数y＝﹣2|ax2+bx+c|﹣1的最大值； （2）若不论k为任何实数，直线与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a，b，c的值． 【变式1】对关于x的一次函数和二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）． （1）当c＜0时，求函数s＝﹣2|ax2+bx+c|+2013的最大值； （2）若直线和抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点，k为任意实数，求a3+b3+c3的值． 题型12 二次函数_组合函数 【典例1】已知函数y（n为常数） （1）当n＝5， ①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值； ②求此函数的最大值． （2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围． 题型13 二次函数_复杂函数探究 【典例1】小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验： （1）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b＝　 　 ，顶点坐标为 　 　 ，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是 　 ． 抽象感悟： 我们定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”． （2）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围． 问题解决： （3）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣b（a≠0）． ①若抛物线y的衍生抛物线为y'＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An，…（n为正整数）．求AnAn﹣1的长（用含n的式子表示）． 【变式1】在暑假课后延时服务进行时，某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如表．请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 m ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 其中，m＝　 　 ． （2）根据表中数据．在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分．请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有 　　 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有　　 个实数根． ②方程x2﹣2|x|＝0有 　　 个实数根． ③关于x的方程x2﹣2|x|﹣3＝n有2个实数根时，n的取值范围是　　 ． 题型14 二次函数几何综合_基本型 【典例1】在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E． （1）求b、c的值和直线BC的表达式； （2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标； （3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比． 【变式1】如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数yx2在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，﹣1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连接AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R． （1）求证：H点为线段AQ的中点； （2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形； （3）除P点外，直线PH与抛物线yx2有无其它公共点并说明理由． 题型15 二次函数几何综合_基本型_三角形 【典例1】如图1，E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边△AEF，连接CF．已知△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（P为抛物线的顶点）． （1）当△ECF的面积最大时，∠FEC的大小为 　 　 ． （2）等边△ABC的边长为 　 　 ． 【变式1】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标． （3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标． 题型16 二次函数几何综合_基本型_四边形 【典例1】如图，已知直线y交坐标轴于A，B 两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E． （1）请直接写出点C，D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． 题型17 二次函数几何综合_存在型 【典例1】如图，抛物线C1：y1＝ax2+2ax（a＞0）与x轴交于点A，顶点为点P． （1）直接写出抛物线C1的对称轴是 　 ，用含a的代数式表示顶点P的坐标 　 　 ； （2）把抛物线C1绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线C2（其中m＞0），抛物线C2与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q． ①当m＝1时，求线段AB的长； ②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图已知：直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型18 二次函数几何综合_存在型_三角形 【典例1】如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为，求点D的坐标； （3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离． 【变式1】如图，已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的函数解析式； （2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标． 题型19 二次函数几何综合_存在型_四边形 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积最大时，求点P的坐标； （3）Q是x轴上一动点，M是第二象限内抛物线上一点，若以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q的坐标． 【变式1】已知二次函数C1：y＝mx2﹣2mx+3（m≠0）． （1）有关二次函数C1的图象与性质，下列结论中正确的有 　 　 .（填序号） ①二次函数C1的图象开口向上； ②二次函数C1的图象的对称轴是直线x＝1； ③二次函数C1的图象经过定点（0，3）和（2，3）； ④函数值y随着x的增大而减小． （2）当m＝1时，①抛物线C1的顶点坐标为 　 　 ； ②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的表达式为　 ； （3）设抛物线C1与y轴相交于点E，过点E作直线l∥x轴，与抛物线C1的另一交点为F，将抛物线C1沿直线l翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型20 二次函数几何综合_存在型_角 【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD． ①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值； ②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标． 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”． 如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B． （1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式； （2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值； （3）如果∠OAC＝135°，求m的值． 题型21 二次函数几何综合_最值型 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P的坐标； （3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3． （1）若二次函数的图象经过点（3，1）． ①求这个二次函数的表达式； ②若y1＝y2，求顶点到MN的距离； （2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 题型22 二次函数几何综合_最值型_面积 【典例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+6与直线y＝x+2相交于A（，）、B（4，6）两点，点P是线段AB上的动点（不与A、B两点重合），过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点C是抛物线的顶点时，求△BCE的面积； （3）是否存在点P，使得△BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为yx+2． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标； （3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型23 二次函数几何综合_最值型_线段长 【典例1】如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行． （1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标； （2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围； （3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标． 题型24 二次函数几何综合_运动型 【典例1】如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集； （3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围． 【变式1】二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E． （1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标； （2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； （3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标． 题型25 二次函数几何综合_变换型 【典例1】已知抛物线y＝a（x﹣3）2过点C（0，4）．顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D． （1）求抛物线解析式． （2）判断△CDM的形状，并证明你的猜想． （3）抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，使C点的对应点C′恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由． 【变式1】如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求3m+n的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 过 关 验 收 1．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了y次手，那么y与到会人数x之间的函数关系式是（　　） A． B． C．y＝x2﹣x D．y＝x2+x 2．“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表： 售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 … 需求量y1（吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 … ②该蔬菜供给量y2（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y2＝x﹣1，函数图象见图1． ③1～7月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为，，函数图象见图2． 请解答下列问题： （1）求a，c的值． （2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由． （3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 3．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．当AB＝5时，花圃面积为　　 m2，花圃ABCD面积的最大值为　 　 m2． 4．一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方12m的O处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为8m时，足球达到最高点，此时球离地面4m．已知球门高AB为2.44m，以O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）； （3）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球恰好经过点A正上方2.31m处？ 5．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　） A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题： （1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形； （2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式． 7．已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道AB的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道AB的长为x米，足球场ABCD的面积为S平方米． （1）求出S关于x的函数关系式（结果保留π），并写出定义域； （2）当直道AB为 　 　 米时，足球场ABCD的面积最大． 8“十一”假期，全国各地的游客慕名前来杭州旅游，某景点检票口从早上7：30开始检票，等待检票人数y（人）与时间x（分钟）的关系如图所示．（图象ABC段是抛物线，CD段在x轴上） （1）请观察图象，7：30时等待检票的游客有　 　 人； （2）当0≤x≤30时，求y与x的函数关系式； （3）何时开始，游客可以随到随检？ 9. 如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线l：与y轴交点为B． （1）写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式表示）； （2）证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数； （3）动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，是将抛物线y＝﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标； （3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数yx的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求∠ACD的正切值； （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当∠OCD＝∠CAP时，求点P的坐标． 12．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n． （1）求函数的解析式； （2）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA； （3）对于（1）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c； ①当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值； ②设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值． 答案解析 题型1 根据实际问题列二次函数关系式 【典例1】婺城某门店销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（10﹣x）（200+5x） B．y＝（15﹣x）（200+5x） C．y＝（10﹣x）（200﹣5x） D．y＝（15﹣x）（200﹣5x） 【答案】A 【解答】解：根据题意可得：y＝（10﹣x）（200+5x）． 故选：A． 【变式1】深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x） C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x（12﹣2x） 【答案】A 【解答】解：平行于墙的一边长为15+3﹣4x＝（18﹣4x）米． 根据题意得：y＝x（18﹣4x）． 故选：A． 题型2 二次函数的应用_营销问题 【典例1】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 【答案】（1）每件衬衫应降价20元 （2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是1250元 【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元， 根据题意得（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得x2﹣30x+200＝0， 解得x1＝20，x2＝10． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． （2）设商场平均每天盈利y元， 则y＝（20+2x）（40﹣x） ＝﹣2x2+60x+800 ＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∵a＝﹣2＜0， ∴当x＝15时，y取最大值，最大值为1250． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大利润为1250元． 【变式1】2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；（2）至少需要购进B款纪念品200个；（3）W＝﹣5（a﹣70）2+4500（60≤a≤100），W的最大值为4500． 【解答】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m）个， 由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000， 解得m≥200， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）] ＝（a﹣40）（200﹣5a+300） ＝（a﹣40）（500﹣5a） ＝500a﹣20000﹣5a2+200a ＝﹣5（a﹣70）2+4500， ∵﹣5＜0，60≤a≤100， ∴当a﹣70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4500． 题型3 二次函数的应用_最大面积 【典例1】甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场ABCD，已知木栏总长为50米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米． （1）如图1，当AD≤MN时， ①AD＝ 　 　 米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为138平方米，求AB的长． （2）如图2，当AD＞MN时，求养鸡场可达到的最大面积． 【答案】（1）①（52﹣2x）； ②AB的长为23米； （2）当AD＞MN时，求养鸡场可达到的最大面积为240.25平方米． 【解答】解：（1）①AD＝50+2﹣2x＝（52﹣2x）米， 故答案为：（52﹣2x）； ②x（52﹣2x）＝138， 52x﹣2x2＝138， x2﹣26x+69＝0， （x﹣23）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝23，x2＝3， 当x＝3时，52﹣2x＝46＞10，所以舍去； 答：AB的长为23米； （2）设养鸡场的面积为y，y＝xx（31﹣x）＝﹣x2+31x， ∵﹣1＜0， ∴抛物线的开口向下， ∴y最大240.25（平方米）． 答：当AD＞MN时，求养鸡场可达到的最大面积为240.25平方米． 【变式1】如图，ABCD是一块边长为8m的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为xm． （1）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，求此时BE的长； （2）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大？并求出最大面积． 【答案】（1）BE的长为4m； （2）当x为2m时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最大面积为72m2． 【解答】解：（1）根据题意得：（8﹣x）（8+2x）＝82， 解得x＝0（舍去）或x＝4， ∴此时BE的长为4m； （2）设改造后的矩形苗圃AEFG的面积为ym2， 根据题意可得：y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64＝﹣2（x﹣2）2+72， ∵﹣2＜0， ∴当x＝2时，y取最大值，最大值为72， 答：当x为2m时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最大面积为72m2． 题型4 二次函数的应用_轨迹问题 【典例1】一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度h（米）与时间t（秒）之间的关系由二次函数h＝﹣5t2+20t描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（　　） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 【答案】B 【解答】解：h＝﹣5t2+20t ＝﹣5（t2﹣4t） ＝﹣5（t2﹣4t+4﹣4） ＝﹣5（t﹣2）2+20， ∵a＝﹣5＜0， ∴当t＝2时，h最大＝20， ∴物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米； 当h＝0时，﹣5t2+20t＝0， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴在4秒时返回地面， 故选：B． 【变式1】某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意结合图形可得，球出手时的坐标为（0，），抛物线的顶点坐标为（4，4）， 设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+4， 将点（0，）代入y＝a（x﹣4）2+4可得： 16a+4， ∴a， 则抛物线的解析式为：y（x﹣4）2+4； （2）令x＝7，则y9+4＝3， 即点（7，3）在抛物线上， 所以此球能准确投中． 题型5 二次函数的应用_拱桥问题 【典例1】今年夏天，桨板这一水上运动成为“夏日新宠”，这项小众的运动从竞技场走向了大众视野，丰富了人们的生活．如图1，人们可以坐在、跪在或者站在桨板上，通过划桨实现前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏宁波这座城市的夜景．若现在在这个划行的河道之上，有一座桥，其示意图如图2，正常水位时水面AB宽为24米，此时桥拱最高点C到水面的高度为5米，桥拱可以看成抛物线． （1）若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求此时的函数表达式． （2）已知小兰的身高是165cm，桨板厚度为15cm，在正常水位时，若小兰要笔直的站在桨板上通过这座桥，则其在河道中可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥拱至少20cm） 【答案】（1）该抛物线的表达式为yx2+5； （2）在河道中可通行的安全范围是米． 【解答】解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系， 由题意得OA＝OBAB＝12米，点C的坐标为（0，5）， ∴点A的坐标为（﹣12，0）， 设抛物线的表达式为y＝ax2+5（a≠0）， 把A（﹣12，0）代入，得144a+5＝0， 解得：a， ∴该抛物线的表达式为yx2+5； （2）∵165+15+20＝200（cm）＝2（m）， ∴当y＝2时，x2+5＝2， 解得x1，x2， ∴在河道中可通行的安全范围是米． 【变式1】某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）如图所示， （1）求抛物线的解析式； （2）若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少了多少？ 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）最大水深减少了2.4米． 【解答】解：（1）由图可知，抛物线的顶点坐标为（0，﹣5）， ∴可设抛物线的解析式为y＝ax2﹣5， 把（15，0）代入，0＝a×152﹣5， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）原水面宽度为12﹣（﹣12）＝24米，减少为原来的一半后宽度为12米， 当x＝12时，， 当x＝6时，， ∴水面下降的高度为（﹣1.8）﹣（﹣4.2）＝2.4米，即最大水深减少了2.4米． 题型6 二次函数的应用_几何问题 【典例1】将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 【答案】y＝﹣x2+4x． 【解答】解：依题意，另一边的长度为8÷2﹣x＝4﹣x（米）， ∴y＝（4﹣x）x＝﹣x2+4x， 故答案为：y＝﹣x2+4x． 【变式1】为进一步激发学生的劳动热情和创新创造活力，盐城市鹿鸣路初级中学李老师在“空翠圃”劳动实践基地开展劳动节田间管理专题实践活动．如图，正方形菜圃ABCD的边长为8米，现将它阴影部分的4个全等的直角三角形种植青菜，剩余的四边形EFGH种植南瓜．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y． （1）求y关于x的函数表达式； （2）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝2x2﹣16x+64（0＜x＜8）； （2）四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为32． 【解答】解：（1）由题意，BE＝AB﹣AE＝（8﹣x）米， ∴； （2）四边形EFGH的面积否存在最小值， ∵y＝2x2﹣16x+64＝2（x﹣4）2+32， ∴抛物线的开口向上， ∴当x＝4时，y有最小值为32； ∴四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为32． 题型7 二次函数的应用_行程问题 【典例1】如图是王阿姨阿晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　） A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快 C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50） D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20） 【答案】B 【解答】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A正确，不符合题意； B、在A点的速度为105m/min，在A到B点的平均速度为45m/min，故B错误，符合题意； C、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b， 把（25，1200），（50，2000）代入得，， 解得：， ∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故C正确，不符合题意； D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，即抛物线顶点为（20，1200）， 将（5，525）代入s＝a（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得：525＝a（5﹣20）2+1200， 解得a＝﹣3， ∴曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20），故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1）y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t； （2）汽车刹车4s后，行驶了72米； （3）该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，理由见解析． 【解答】解：（1）设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c，将（0，0），（1，27），（2，48）代入得， ， 解得：， ∴y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t； （2）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t， 当t＝4时，y＝﹣3×42+30×4＝72， ∴汽车刹车4s后，行驶了72米； （3）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t， ∴y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75， ∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75米， ∵75＞70， ∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 题型8 二次函数的应用_其他问题 【典例1】如图，△ABC中，点P从A点出发，沿着折线A﹣B﹣C的方向移动，直到与C点重合停止运动，D为AC中点，设P点运动的距离为x，DP的长度为y，y关于x的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，M为图象的最高点，点M的坐标为（5，4），则点P在运动过程中，x2+y2的最小值是（　　） A．9 B． C．7 D． 【答案】D 【解答】解析：连接BD，作PH⊥AD于点H， 由题意可得：BA＝BC， ∵D为AC中点， ∴BD⊥AC， 由M点坐标可知，当P点运动到B点时，AB＝5，BD＝4， ∴，则，，， ∵PD2＝PH2+DH2， ∴， ∴当时，x2+y2有最小值． 故选：D． 【变式1】如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为15cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是9cm C．若a＝3，则小球的最大速度为4cm/s D．当弹簧的长度为10cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【解答】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为2cm时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为15﹣2＝13（cm），故不符合题意； C、由图象，抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴（6，0）的对称点为（﹣2，0）， 假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）（x+2）， 将（0，3）代入解析式得，3＝﹣12a， 解得， ∴抛物线解析式为， 当x＝2时，函数值最大，最大值为， ∴在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4cm/s，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为10cm时，被压缩了15﹣10＝5cm，即x＝5， 由图象可知，二次函数的对称轴是直线x＝2，则x＝0与x＝4对应的速度相等，所以x＝5时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 题型9 二次函数综合 【典例1】已知函数y＝x2+bx+3b（b为常数）． （1）若图象经过点（﹣2，4），判断图象经过点（2，4）吗？请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求m与n的关系式； （3）若该函数图象不经过第三象限，当﹣6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值． 【答案】（1）经过（2，4），理由见解答． （2）n＝﹣m2﹣6m． （3）b＝4或6． 【解答】解：（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得： 4﹣2b+3b＝4， 解得b＝0， ∴此函数表达式为：y＝x2， 当x＝2时，y＝4， ∴图象经过点（2，4）； （2）∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n）， ∴m，n， ∴b＝﹣2m， 把b＝﹣2m代入n得nm2﹣6m． 即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m． （3）把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b， ∵抛物线不经过第三象限， ∴3b≥0，即b≥0， ∵y＝x2+bx+3b＝（x）23b， ∴抛物线顶点（，3b）， ∵0， ∴当3b≥0时，抛物线不经过第三象限， 解得b≤12， ∴0≤b≤12，﹣60， ∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y3b， 把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b， 把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b， 当36﹣3b﹣（3b）＝16时， 解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4． 当1+4b﹣（3b）＝16时， 解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）． 综上所述，b＝4或6． 【变式1】如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标； （3）若点P在抛物线第一象限的图象上，则△ACP面积的最大值为 　　 ． 【答案】（1）y＝﹣x2+5x＝6；（2）M（，）；（3）27． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0）， ∴， 解得：． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6； （2）连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图， 则此时CM+BM最小． 令x＝0，则y＝6， ∴C（0，6）． ∵y＝﹣x2+5x＝6， ∴抛物线的对称轴为直线x． 设直线AC的解析式为y＝kx+n， ∴， 解得：． ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6． ∵当x时，y， ∴M（，）． （3）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC与点E，如图， ∵A（6，0）， ∴OA＝6． 设点P（m，﹣m2+5m+6），则E（m，﹣m+6）， ∵点P在抛物线第一象限的图象上， ∴PE＝﹣m2+5m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+6m． ∵S△ACP＝S△PCE+S△APE， ∴ PE•（OD+AD） 6×（﹣m2+6m） ＝﹣3（m﹣3）2+27． ∵﹣3＜0， ∴当m＝3时，△ACP面积的最大值为27． 故答案为：27． 题型10 二次函数的函数综合 【典例1】定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P（a，b）和抛物线y＝x2+ax+b，我们称P（a，b）是抛物线y＝x2+ax+b的相伴点，抛物线y＝x2+ax+b是点P（a，b）的相伴抛物线． 如图，已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）． （1）点A的相伴抛物线的解析式为　 ；过A，B两点的抛物线y＝x2+ax+b的相伴点坐标为　 　 ； （2）设点P（a，b）在直线AC上运动： ①点P（a，b）的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式； ②当点P（a，b）的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）a＝b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣2， 故答案为：y＝x2﹣2x﹣2； 将点A、B坐标代入y＝x2+ax+b并解得：a＝﹣2，b＝﹣10， 故答案为：（﹣2，﹣10）； （2）①由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+2， 设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y＝x2+mx+2m+2， 顶点为：（m，m2+2m+2）， 令xm，则m＝﹣2x， 则ym2+2m+2＝﹣x2﹣4x+2， 即抛物线Ω的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+2； ②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段， 抛物线与直线AC的交点为点E（0，2）； 当y＝﹣2时，即y＝﹣x2﹣4x+2＝﹣2，解得：x＝﹣2， 故点F（﹣2，﹣2）； 故0＜x＜﹣2+2，由①知：a＝m＝﹣2x， 故：4﹣4a＜0． 【变式1】已知函数y1＝（x+m）（x﹣m﹣1），y2＝ax+m（a≠0）在同一平面直角坐标系中． （1）若y1经过点（1，﹣2），求y1的函数表达式． （2）若y2经过点（1，m+1），判断y1与y2图象交点的个数，说明理由． （3）若y1经过点（，0），且对任意x，都有y1＞y2，请利用图象求a的取值范围． 【答案】（1）y1＝x2﹣x﹣2， （2）1或2， （3）0＜a1或1＜a＜0． 【解答】解：y1＝（x+m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣x﹣m2﹣m （1）将（1，﹣2）代入y1＝x2﹣x﹣m2﹣m得： ﹣2＝12﹣1﹣m2﹣m，解得m1＝﹣2，m2＝1， m1＝﹣2时，y1＝x2﹣x﹣2， m2＝1时，y1＝x2﹣x﹣2， ∴y1的函数表达式为：y1＝x2﹣x﹣2， 故答案为：y1＝x2﹣x﹣2； （2）将点（1，m+1）代入y2＝ax+m得： m+1＝a+m，解得a＝1， ∴y2＝x+m， 由得x2﹣2x﹣m2﹣2m＝0， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣m2﹣2m）＝4m2+8m+4＝4（m+1）2， ∵4（m+1）2≥0， ∴△≥0，当m＝﹣1时Δ＝0，当m≠﹣1时Δ＞0， ∴总有实数解，m＝﹣1时有一组解，当m≠﹣1时有两组解， ∴y1与y2图象总有交点，当m＝﹣1时有一个交点，当m≠﹣1时有两个交点， 故答案为：1或2； （3）将点（，0）代入y1＝x2﹣x﹣m2﹣m可得m1＝m2， ∴y1＝x2﹣x，y2＝ax， 由得x2﹣（a+1）x0， ∴Δ＝[﹣（a+1）]2﹣3＝（a+1）2﹣3， 若Δ＝0，则只有一组解，即y1、y2图象只有一个交点， 此时（a+1）2﹣3＝0，解得a1或a1， 如图，如果y1、y2图象没有交点，则对任意x，都有y1＞y2， 由图象可知此时0＜a1或1＜a＜0， 故答案为：0＜a1或1＜a＜0． 题型11 二次函数_含绝对值 【典例1】对于x的二次三项式ax2+bx+c（a＞0）． （1）当c＜0时，求函数y＝﹣2|ax2+bx+c|﹣1的最大值； （2）若不论k为任何实数，直线与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a，b，c的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设，y1＝ax2+bx+c， ∵a＞0，c＜0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴y1＝ax2+bx+c与x轴有两个交点， ∴|ax2+bx+c|的最小值为0， ∴y＝﹣2|ax2+bx+c|﹣1的最大值是﹣1． （2）∵直线y＝k（x﹣1）与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点， ∴方程组：只有一组解， ∴ax2+（b﹣k）xk+c＝0有相等的实数解， ∴Δ＝0， ∴（1﹣a）k2﹣2（2a+b）k+b2﹣4ac＝0 ∵对于k为任何实数，上式恒成立， ∴， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝1． 【变式1】对关于x的一次函数和二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）． （1）当c＜0时，求函数s＝﹣2|ax2+bx+c|+2013的最大值； （2）若直线和抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点，k为任意实数，求a3+b3+c3的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设y1＝ax2+bx+c， ∵a＞0，c＜0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴y1＝ax2+bx+c与x轴有两个交点， ∴|ax2+bx+c|的最小值为0， ∴y＝﹣2|ax2+bx+c|+2013的最大值是2013． （2）∵直线y＝kx﹣kk2与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点， ∴方程组只有一组解， ∴ax2+（b﹣k）xk2+k+c＝0有相等的实数解， ∴Δ＝0， ∴（1﹣a）k2﹣2（2a+b）k+b2﹣4ac＝0 ∵对于k为任何实数，上式恒成立， ∴， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝1， ∴a3+b3+c3＝1﹣8+1＝﹣6． 题型12 二次函数_组合函数 【典例1】已知函数y（n为常数） （1）当n＝5， ①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值； ②求此函数的最大值． （2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当n＝5时， y， ①将P（4，b）代入yx2x， ∴b； ②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5； 当x＜5时，当x时有最大值为； ∴函数的最大值为； （2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中， ∴n， ∴n＜4时，图象与线段AB只有一个交点； 将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中， ∴n＝2， 将点（2，2）代入yx2x中， ∴n， ∴2≤n时图象与线段AB只有一个交点； 综上所述：n＜4，2≤n时，图象与线段AB只有一个交点； （3）n＞0时，n，函数图象如图实线所示． ①如图1中，当点A的纵坐标为4时， 将点（4，2）代入yx2 x中，则有4时，解得n＝4或n＝﹣8（舍去）， 观察图象可知：n＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A，B，C，D． ②如图2中，观察图象可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D． n＜0时，n，函数图象如图中实线． ③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D． 则有：n＝4时， 解得n＝﹣2﹣2或n＝﹣2+2（舍弃） ④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D． 综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣2或n＝4或n≥8． 题型13 二次函数_复杂函数探究 【典例1】小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验： （1）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b＝　 　 ，顶点坐标为 　 　 ，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是 　 ． 抽象感悟： 我们定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”． （2）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围． 问题解决： （3）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣b（a≠0）． ①若抛物线y的衍生抛物线为y'＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An，…（n为正整数）．求AnAn﹣1的长（用含n的式子表示）． 【答案】（1）﹣4；（﹣2，1）；y＝x2﹣4x+5； （2）m≤5； （3）①；衍生中心的坐标为（0，6）；②4n﹣2． 【解答】解：求解体验：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0）， ∴﹣1﹣b﹣3＝0， ∴b＝﹣4， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，1）， ∴抛物线的顶点坐标（﹣2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1）， 即：新抛物线的顶点坐标为（2，1）， 令原抛物线的x＝0， ∴y＝﹣3， ∴（0，﹣3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5）， 设新抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1， ∵点（0，5）在新抛物线上， ∴5＝a（0﹣2）2+1， ∴a＝1， ∴新抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5， 故答案为：﹣4，（﹣2，1），y＝x2﹣4x+5； 抽象感悟：（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6①， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）， 设衍生抛物线为y′＝a（x﹣1）2+2m﹣6， ∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′， ∴a＝1， ∴衍生抛物线为y′＝（x﹣1）2+2m﹣6＝x2﹣2x+2m﹣5②， 联立①②得，x2﹣2x+2m﹣5＝﹣x2﹣2x+5， 整理得，2x2＝10﹣2m， ∵这两条抛物线有交点， ∴10﹣2m≥0， ∴m≤5； 问题解决： （3）①抛物线y＝ax2+2ax﹣b＝a（x+1）2﹣a﹣b， ∴此抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b）， ∵抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2﹣2bx+a2＝b（x﹣1）2+a2﹣b， ∴a+b＝0③， ∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点， ∴b+2b+a2＝﹣a﹣b④， 联立③④， ∴a＝0（舍）或a＝3， ∴b＝﹣3， ∴抛物线y的顶点坐标为（﹣1，0），抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为（1，12）， ∴衍生中心的坐标为（0，6）； ②抛物线y＝ax2+2ax﹣b的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b）， ∵点（﹣1，﹣a﹣b）关于点（0，k+n2）的对称点为（1，a+b+2k+2n2）， ∴抛物线yn的顶点坐标An为（1，a+b+2k+2n2）， 同理：An+1（1，a+b+2k+2（n+1）2） ∴AnAn+14n+2． 【变式1】在暑假课后延时服务进行时，某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如表．请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 m ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 其中，m＝　 　 ． （2）根据表中数据．在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分．请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有 　　 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有　　 个实数根． ②方程x2﹣2|x|＝0有 　　 个实数根． ③关于x的方程x2﹣2|x|﹣3＝n有2个实数根时，n的取值范围是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣2×|﹣2|﹣3＝﹣3， ∴m＝﹣3， 故答案为：﹣3． （2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示． （3）观察函数图象，可得出函数图象关于y轴对称，函数有最小值为﹣4． （4）①观察函数图象可知：当x＝﹣3、3时，y＝0， ∴该函数图象与x轴有2个交点， 即对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有2个实数根． 故答案为：2；2． ②观察函数图象可知：函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象与y＝﹣3只有3个交点． 故答案为：3． ③观察图象可知：当n＝﹣4时，直线y＝﹣4与函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有2个交点， 当n＞﹣3时，直线y＝n与函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有2个交点， 故答案为：n＝﹣4或n＞﹣3． 题型14 二次函数几何综合_基本型 【典例1】在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E． （1）求b、c的值和直线BC的表达式； （2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标； （3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比． 【答案】（1）b＝﹣2，c＝﹣6，直线BC解析式为y＝x﹣6； （2）点E（，）； （3）． 【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0）， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为yx2﹣2x﹣6， 当x＝0时，y＝﹣6， ∴点C（0，﹣6）， 设直线BC解析式为y＝mx+n， 则， 解得：， ∴直线BC解析式为y＝x﹣6； （2）如图1，过点E作EH⊥OC于H， ∵点C（0，﹣6），点B（6，0），点A（﹣2，0）， ∴OB＝OC＝6，OA＝2， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6，AC2， ∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB， ∴△ACE∽△BCA， ∴， ∴， ∴CE， ∵EH⊥CO，∠ECH＝45°， ∴EH＝HC， ∴OH， ∴点E（，）； （3）∵点D的横坐标为d， ∴点D（d，d2﹣2d﹣6），（0＜d＜6）， 如图2，过点D作DF∥AB交BC于点F， ∴△ABE∽△DFE， ∴， ∵， ∴． ∵点F在直线BC上， ∴点F（d2﹣2d，d2﹣2d﹣6）， ∴DF＝3dd2， ∴． 【变式1】如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数yx2在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，﹣1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连接AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R． （1）求证：H点为线段AQ的中点； （2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形； （3）除P点外，直线PH与抛物线yx2有无其它公共点并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵A（0，1），B（0，﹣1）， ∴OA＝OB．（1分） 又∵BQ∥x轴， ∴HA＝HQ；（2分） （2）证明：①由（1）可知AH＝QH，∠AHR＝∠QHP， ∵AR∥PQ， ∴∠RAH＝∠PQH， ∴△RAH≌△PQH．（3分） ∴AR＝PQ， 又∵AR∥PQ， ∴四边形APQR为平行四边形．（4分） ②设P（m，m2）， ∵PQ∥y轴，则Q（m，﹣1），则PQ＝1m2． 过P作PG⊥y轴，垂足为G． 在Rt△APG中，AP1＝PQ， ∴平行四边形APQR为菱形；（6分） （3）解：设直线PR为y＝kx+b， 由OH＝CH，得H（，0），P（m，m2）． 代入得：， ∴． ∴直线PR为．（7分） 设直线PR与抛物线的公共点为（x，x2），代入直线PR关系式得：x2xm2＝0，（x﹣m）2＝0， 解得x＝m．得公共点为（m，m2）． 所以直线PH与抛物线yx2只有一个公共点P．（8分） 题型15 二次函数几何综合_基本型_三角形 【典例1】如图1，E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边△AEF，连接CF．已知△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（P为抛物线的顶点）． （1）当△ECF的面积最大时，∠FEC的大小为 　 　 ． （2）等边△ABC的边长为 　 　 ． 【答案】30°；4 【解答】解：过F作FD⊥BC于D，如图： ∵等边△ABC，等边△AEF， ∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EAF＝∠AEF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF＝60°， 而BE＝x， ∴CF＝x，∠FCD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACF＝60°， ∴FD＝CF•cos60°x， 设等边△ABC边长是a，则CE＝BC﹣BE＝a﹣x， ∴S△ECFCE•FD（a﹣x）•xx2ax， 当xa时，S△ECF有最大值为a2， （1）△ECF的面积最大时，BEa，即E是BC的中点， ∴AE⊥BC，∠AEB＝90°， ∵∠AEF＝60°， ∴∠FEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝30°， 故答案为：30°； （2）当xa时，S△ECF有最大值为a2， 由图可知S△ECF的最大值是2， ∴a2＝2，解得a＝4或a＝﹣4（边长a＞0，舍去）， ∴等边△ABC的边长为a＝4， 故答案为：4． 【变式1】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标． （3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3． （2）如图1，设对称轴与x轴交于点H， ∵MN平分∠OMD， ∴∠OMN＝∠DMN， 又∵DM∥ON， ∴∠DMN＝∠MNO， ∴∠MNO＝∠OMN， ∴OM＝ON． 在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OH＝1． ∴， ∴M1（1，1）；M2（1，﹣1）． ①当M1（1，1）时，直线OM解析式为：y＝x， 依题意得：x＝x2﹣2x﹣3． 解得：，， ∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动， ∴Q点纵坐标y． ∴， ②当M2（1，﹣1）时，直线OM解析式为：y＝﹣x， 同理可求：， 综上所述：点Q的坐标为：，， （3）由题意可知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），D （1，﹣4）， ∴AC， AD， CD， ∵直线BC经过B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC解析式为y＝x﹣3， ∵抛物线对称轴为x＝1，而直线BC交对称轴于点E， ∴E坐标为（1，﹣2）； ∴CE， 设P点坐标为（x，y）， 则CP2＝（x﹣0）2+（y+3）2， 则EP2＝（x﹣1）2+（y+2）2， ∵CE＝CD，若△PCE与△ACD全等，有两种情况， Ⅰ．PC＝AC，PE＝AD，即△PCE≌△ACD（SSS）． ∴， 解得：，， 即P点坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6）． Ⅱ．PC＝AD，PE＝AC，即△PCE≌△ADC（SSS）． ∴， 解得：，， 即P点坐标为P3（2，1），P4（4，﹣1）． 故若△PCE与△ACD全等，P点有四个，坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6），P3（2，1），P4（4，﹣1）． 题型16 二次函数几何综合_基本型_四边形 【典例1】如图，已知直线y交坐标轴于A，B 两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E． （1）请直接写出点C，D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵直线y， ∴当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝2， ∴OA＝1，OB＝2， 过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠CZB＝90°， ∴∠ABO+∠CBZ＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠OAB＝∠CBZ， 在△AOB和△BZC中 ， ∴△AOB≌△BZC（AAS）， ∴OA＝BZ＝1，OB＝CZ＝2， ∴C（3，2）， 同理可求D的坐标是（1，3）； （2）设抛物线为y＝ax2+bx+c， ∵抛物线过A（0，1），D（1，3），C（3，2）， ∴， 解得：a，b，c＝1， ∴抛物线的解析式为yx2x+1； （3）∵OA＝1，OB＝2， ∴由勾股定理得：AB， ①当点A运动到x轴上点F时，t＝1， 当0＜t≤1时，如图1， ∵∠OFA＝∠GFB′，tan∠OFA， ∴tan∠GFB′， ∴GB′t， ∴S△FB′GFB′×GB′•t•t， ∴St2； ②当点C运动x轴上时，t＝2， 当1＜t≤2时，如图2， ∵AB＝A′B′， ∴A′Ft， ∴A′G， ∵B′Ht， ∴S四边形A′B′HG（A′G+B′H）•A′B′•（t）， ∴St； ③当点D运动到x轴上时，t＝3， 当2＜t≤3时，如图3， ∵A′G， ∴GD′， ∵S△AOF2×1＝1，OA＝1，∠AOF＝∠GD′H＝90°，∠AFO＝∠GFA′， ∴△AOF∽△GA′F， ∴（）2， ∴S△GA′F＝（）2， ∴S五边形GA′B′CH＝（）2﹣（）2， ∴St2t． 题型17 二次函数几何综合_存在型 【典例1】如图，抛物线C1：y1＝ax2+2ax（a＞0）与x轴交于点A，顶点为点P． （1）直接写出抛物线C1的对称轴是 　 ，用含a的代数式表示顶点P的坐标 　 　 ； （2）把抛物线C1绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线C2（其中m＞0），抛物线C2与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q． ①当m＝1时，求线段AB的长； ②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线x＝﹣1，（﹣1，﹣a）； （2）①6；②存在，a取或． 【解答】解：（1）∵抛物线C1：， ∴x＝﹣1，P（﹣1，﹣a）， 故答案为：直线x＝﹣1，（﹣1，﹣a）； （2）①由旋转知，MA＝MB， 当y1＝0时，x1＝﹣2，x2＝0， ∴A（﹣2，0）， ∴AO＝2， ∵M（1，0）， ∴AM＝3， ∴AB＝2MA＝2×3＝6； ②存在， ∵A（﹣2，0），AB＝6， ∴B（4，0） ∵A（﹣2，0），P（﹣1，﹣a）， ∴，BP2＝25+a2， 当AB＝AP时，1+a2＝62， 解得：，（舍去）； 当AB＝BP时，25+a2＝62， 解得：，（舍去）； 当AP＝BP时，1+a2＝25+a2，不成立， 即当a取或时，△ABP为等腰三角形． 【变式1】如图已知：直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3） ∵抛物线经过A、B、C三点， ∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y＝ax2+bx+c， 得方程组 解得： ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3 （2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示， 若△ABO∽△AP1D，则 ∴DP1＝AD＝4， ∴P1（﹣1，4） 若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD＝4， ∵△ABO为等腰三角形， ∴△ADP2是等腰三角形， 由三线合一可得：DM＝AM＝2＝P2M，即点M与点C重合， ∴P2（1，2） 综上所述，点P的坐标为P1（﹣1，4），P2（1，2）； （3）不存在． 理由：如答图2，设点E（x，y），则 S△ADE ①当P1（﹣1，4）时， S四边形AP1CE＝S△ACP1+S△ACE4+|y| ∴2|y|＝4+|y|， ∴|y|＝4 ∵点E在x轴下方， ∴y＝﹣4，代入得：x2﹣4x+3＝﹣4，即x2﹣4x+7＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×7＝﹣12＜0 ∴此方程无解 ②当P2（1，2）时， S四边形AP2CE＝S△ACP2+S△ACE2+|y|， ∴2|y|＝2+|y|， ∴|y|＝2 ∵点E在x轴下方， ∴y＝﹣2，代入得：x2﹣4x+3＝﹣2，即x2﹣4x+5＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0 ∴此方程无解 综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E． 题型18 二次函数几何综合_存在型_三角形 【典例1】如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为，求点D的坐标； （3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离． 【答案】（1）y＝x2﹣6x+5； （2）（2，﹣3）； （3）或或． 【解答】解：（1）在直线y＝﹣2x+10中， 令x＝0，则y＝10，令y＝0，则x＝5， ∴A（5，0），B（0，10）． ∵点C是OB中点， ∴C（0，5）， 将A（5，0）和C（0，5）代入抛物线y＝x2+bx+c中， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣6x+5； （2）联立， 解得或， ∴直线AB与抛物线交于点（﹣1，12）和（5，0）， ∵点D是直线AB下方抛物线上的一点， ∴设D（m，m2﹣6m+5），﹣1＜m＜5， 如图，过点D作DE⊥x轴，交直线AB于点E， ∴E（m，﹣2m+10）， ∴DE＝﹣2m+10﹣m2+6m﹣5＝﹣m2+4m+5， ∴， 解得m＝2， ∴点D的坐标为（2，﹣3）； （3）设点P（n，n2﹣6n+5）， ∵A（5，0），B（0，10）， ∴AP2＝（n﹣5）2+（n2﹣6n+5）2，BP2＝n2+（n2﹣6n+5﹣10）2，AB2＝OA2+OB2＝125， ∵△APB是以AB为直角边的直角三角形， ①如图，当点A为直角顶点时， BP2＝AB2+AP2，即n2+（n2﹣6n﹣5）2＝125+（n﹣5）2+（n2﹣6n+5）2， 解得或5（舍）； ②如图，当点B为直角顶点时， AP2＝AB2+BP2，即（n﹣5）2+（n2﹣6n+5）2＝125+n2+（n2﹣6n﹣5）2， 解得或， ∵抛物线对称轴为直线x＝3， 则，，， 综上所述，点P到抛物线对称轴的距离为或或． 【变式1】如图，已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的函数解析式； （2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）依题意知，抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+k． 把A（3，0），B（0，3）分别代入，得 ， 解得， 所以该抛物线解析式是y＝﹣（x﹣1）2+4或y＝﹣x2+2x+3． （2）由题意得：OA＝3，OB＝3； 由勾股定理得：AB2＝32+32， ∴AB＝3． 当△ABM为等腰三角形时， ①若AB为底， ∵OA＝OB， ∴此时点O即为所求的点M， 故点M的坐标为M（0，0）； ②若AB为腰， 以点B为圆心，以3长为半径画弧，交y轴于两点， 此时两点坐标为M（0，3﹣3）或M（0，3+3）， 以点A为圆心，以3长为半径画弧，交y轴于点（0，﹣3）； 综上所述，当△ABM为等腰三角形时，点M的坐标分别为 （0，0）、（0，3﹣3）、（0，33）、（0，﹣3）． 题型19 二次函数几何综合_存在型_四边形 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积最大时，求点P的坐标； （3）Q是x轴上一动点，M是第二象限内抛物线上一点，若以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）yx2x+2； （2）P（，）； （3）点Q的坐标为（﹣5，0）或（﹣1，0）． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为yx2x+2； （2）令x＝0，则y＝2， ∴点C（0，2）． 设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0）， 则， 解得， ∴直线AC的解析式为yx+2， 由三角形的面积可知，平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时，△ACP的面积最大， 此时设过点P的直线为yx+n， 联立， 消掉y得，x2x+2x+n， 整理得，2x2+6x﹣6+3n＝0， Δ＝62﹣4×2×（﹣6+3n）＝0， 解得n， 此时x1＝x2， y（）， ∴点P（，）时，△ACP的面积最大； （3）假设存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形． M在第二象限，则CM∥x轴，如图：有符合要求的两个点Q1、Q2，此时Q1A＝Q2A＝CM． ∵CM∥x轴， ∴M、C（0，2）关于对称轴为直线x＝﹣1对称， ∴M（﹣2，2）， ∴CM＝2． ∵A（﹣3，0），Q1A＝Q2A＝CM＝2， ∴Q1（﹣5，0），Q2（﹣1，0）． 综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣5，0）或（﹣1，0）． 【变式1】已知二次函数C1：y＝mx2﹣2mx+3（m≠0）． （1）有关二次函数C1的图象与性质，下列结论中正确的有 　 　 .（填序号） ①二次函数C1的图象开口向上； ②二次函数C1的图象的对称轴是直线x＝1； ③二次函数C1的图象经过定点（0，3）和（2，3）； ④函数值y随着x的增大而减小． （2）当m＝1时，①抛物线C1的顶点坐标为 　 　 ； ②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的表达式为　 ； （3）设抛物线C1与y轴相交于点E，过点E作直线l∥x轴，与抛物线C1的另一交点为F，将抛物线C1沿直线l翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当m＞0时，抛物线y＝mx2﹣2mx+3的开口向上，故①不一定正确； 抛物线y＝mx2﹣2mx+3的对称轴为直线x1，故②正确； 在y＝mx2﹣2mx+3中，x＝0时y＝3，x＝2时y＝3，即抛物线y＝mx2﹣2mx+3经过定点（0，3）和（2，3），故③正确； 二次函数y＝mx2﹣2mx+3的值在对称轴为直线x＝1两侧的增减性恰好相反，故④不正确； 故答案为：②③； （2）当m＝1时，y＝x2﹣2x+3， ①∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线C1的顶点坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）； ②∵将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2， ∴抛物线C2的顶点为（1，﹣2）， ∴抛物线C2的表达式为y＝﹣（x﹣1）2﹣2＝﹣x2+2x﹣3， 故答案为：y＝﹣x2+2x﹣3； （3）存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下： 如图： 在y＝mx2﹣2mx+3中，令x＝0得y＝3， ∴E（0，3）， ∵抛物线y＝mx2﹣2mx+3的对称轴为直线x＝1， ∴F（2，3）， 在y＝mx2﹣2mx+3中，令x＝1得y＝3﹣m， ∴P（1，3﹣m）， ∵P，Q关于直线y＝3对称， ∴Q（1，3+m）， 由对称性知EF，PQ互相平分，且EF⊥PQ， ∴以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，只需PQ＝EF， ∴|（3+m）﹣（3﹣m）|＝2， 解得m＝1或m＝﹣1， ∴m的值为1或﹣1． 题型20 二次函数几何综合_存在型_角 【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD． ①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值； ②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0）， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为yx2x+2； （2）①如图1， 由（1）知，抛物线的解析式为yx2x+2， 当x＝0时，y＝2， ∴C（0，2），当x＝2时，y42+2＝4， ∴D（2，4）， ∵B（6，0）， ∴CD2＝（2﹣0）2+（4﹣2）2＝8，BC2＝（6﹣0）2+（0﹣2）2＝40， DB2＝（6﹣2）2+（0﹣4）2＝32， ∴CD2+BC2＝DB2， ∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°， 在Rt△BDC中，CD＝2，BD＝4， ∴cot∠DCB； ②如图2， 过点C作CE∥x轴，则∠BCE＝∠CBO， ∵∠DCB＝2∠CBO， ∴∠DCE＝∠BCE，过点B作BE⊥CE，并延长交CD的延长线于F， ∵C（0，2），B（6，0）， ∴F（6，4），设直线CF的解析式为y＝kx+2， ∴6k+2＝4， ∴k， ∴直线CF的解析式为yx+2①， ∵抛物线的解析式为yx2x+2②， 联立①②，解得或， ∴D（4，）． 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”． 如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B． （1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式； （2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值； （3）如果∠OAC＝135°，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题得，A（m，m2）， 当m＝1时，A（1，1）， ∴这条“子抛物线”的解析式：； （2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB＝m，OB＝m2． ∴“子抛物线”的解析式为． 令x＝0，则， ∴点C的坐标（0，），， ∴． 在Rt△ABC中，． （3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F， ∵∠OAC＝135°， ∴∠OAD＝45°， 又∵OD⊥CA， ∴∠OAD＝∠AOD＝45°， ∴AD＝OD， ∴△AED≌△DFO（AAS）， ∴AE＝DF，DE＝OF， 设AE＝n，那么DF＝n，BE＝m+n＝OF＝ED． 又∵OB＝EF， ∴m2＝m+2n． 又∵∠BCA＝∠ADE， ∴， 解方程组，得m1＝2，（舍去）， ∴m的值为2． 题型21 二次函数几何综合_最值型 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P的坐标； （3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）P（2，3）； （3）点M的坐标为（0，）． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1， 如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t）， ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处， ∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t， ∴P（1+t，4﹣t）， 把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+3得： ﹣（1+t）2+2（1+t）+3＝4﹣t， 整理得t2﹣t＝0， 解得：t1＝0（舍去），t2＝1， ∴P（2，3）； （3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置， ∴E点坐标为（1，﹣1）， ∴点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1）， 连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小， 设直线PF的解析式为y＝kx+n， ∴， 解得：， ∴直线PF的解析式为yx， ∴点M的坐标为（0，）． 【变式1】如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3． （1）若二次函数的图象经过点（3，1）． ①求这个二次函数的表达式； ②若y1＝y2，求顶点到MN的距离； （2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 【答案】（1）①y＝2（x﹣2）2﹣1； ② （2）a． 【解答】解：（1）①∵二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）经过（3，1）， ∴1＝a﹣1， ∴a＝2， ∴二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣1； ②∵y1＝y2， ∴M，N关于抛物线的对称轴对称， ∵对称轴是直线x＝2，且x2﹣x1＝3， ∴x1，x2， 当x时，y1＝2×（2）2﹣1， ∴当y1＝y2时，顶点到MN的距离1； （2）若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2， ∴x1+3＞2， ∴x1＞﹣1， ∵x2﹣x1＝3， ∴x1， ∴﹣1＜x1， ∵函数的最大值为y1＝a（x1﹣2）2﹣1，最小值为﹣1， ∴y1﹣（﹣1）＝1， ∴a， ∴（x1﹣2）2＜9， ∴a． 若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1≤2， ∵x1， ∴x1≤2， ∵函数的最大值为y2＝a（x2﹣2）2﹣1，最小值为﹣1， ∴y2﹣（﹣1）＝1， ∴a， ∵x1≤2， ∴x1+1≤3， ∴（x1+1）2≤9， ∴a． 综上所述，a． 题型22 二次函数几何综合_最值型_面积 【典例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+6与直线y＝x+2相交于A（，）、B（4，6）两点，点P是线段AB上的动点（不与A、B两点重合），过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点C是抛物线的顶点时，求△BCE的面积； （3）是否存在点P，使得△BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6； （2）18； （3）当m时，△BCE的面积最大，这个最大值是． 【解答】解：（1）把A（，）、B（4，6）代入抛物线y＝ax2+bx+6中得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6； （2）如图1， ∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2， ∴顶点C（2，﹣2）， 当x＝2时，y＝2+2＝4， ∴PC＝4﹣（﹣2）＝6， 当y＝0时，x+2＝0， ∴x＝﹣2， ∴E（﹣2，0）， ∴△BCE的面积＝△PCE的面积+△PBC的面积 PC•EDPC•（xB﹣xD） PC•（xB﹣xE） 6×（4+2） ＝18； （3）存在， 设点P的坐标为（m，m+2），则C（m，2m2﹣8m+6）， ∴PC＝m+2﹣（2m2﹣8m+6）＝﹣2m2+9m﹣4， ∴△BCE的面积PC•（xB﹣xE） （﹣2m2+9m﹣4）×（4+2） ＝﹣6（m）2； ∵﹣6＜0， ∴当m时，△BCE的面积最大，这个最大值是． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为yx+2． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标； （3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）直线BC的解析式为yx+2，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝2， 故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，2）； 则y＝ax2+bx+2＝a（x）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣6）＝ax2﹣2ax﹣6a， 即﹣6a＝2，解得：a， 故抛物线的表达式为：yx2x+2①； （2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F， ∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y（x）②， 联立①②并解得：x＝4，故点D（4，）， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：yx+2， 当x＝3时，yCDx+2＝﹣2，即点H（3，﹣2）， 设点E（x，x2x+2），则点F（x，x+2）， 则四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCDEF×OB（xD﹣xC）×BH（x2x+2x﹣2）×342x2+3x+4， ∵0，故S有最大值，当x时，S的最大值为，此时点E（，）； （3）存在，理由： yx2x+2（x）2，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位， 则新抛物线的表达式为：yx2， 点A、E的坐标分别为（，0）、（，）；设点M（，m），点N（n，s），sn2； ①当AE是平行四边形的边时， 点A向右平移个单位向上平移个单位得到E，同样点M（N）向右平移个单位向上平移个单位得到N（M）， 即±n， 则sn2或， 故点N的坐标为（，）或（，）； ②当AE是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：n，解得：n， sn2， 故点N的坐标（，）； 综上点N的坐标为：（，）或（，）或（，）． 题型23 二次函数几何综合_最值型_线段长 【典例1】如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行． （1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标； （2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围； （3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标． 【答案】（1）P的坐标为（1，﹣2）； （2）t≤1； （3）点R的坐标是（﹣1±，）． 【解答】解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，﹣2a），代入y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2， 解得：a， 抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2， 当t＝1秒时，OP，设P的坐标为（x，y）， 则， 解得或（舍去）， ∴P的坐标为（1，﹣2）； （2）经过t秒后，OPt，OQ＝2t， 由（1）方法知，P的坐标为（t，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t）， 由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t）， 矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1， 然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2， 将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0， 解得：t，或t＝﹣1（舍）， 将N（t，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3， 解得：t＝1或t＝1（舍）． 所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时， 时间t的取值范围是：t≤1； （3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n）， 当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1）， 过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3， 则R'M， 又∵n＝﹣m2﹣2m+2得（m+1）2＝3﹣n， 消去m得：R'M ， 当n时，R'M长度的最小值为， 此时，n＝﹣m2﹣2m+2， 解得：m＝﹣1±， ∴点R的坐标是（﹣1±，）． 题型24 二次函数几何综合_运动型 【典例1】如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集； （3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围． 【答案】（1）m＝﹣2，b＝2； （2）x＜﹣1或x＞2； （3）﹣1≤xM＜2 或 xM＝3． 【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4+2m，解得：m＝﹣2， 将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣2+b，解得b＝2； 故m＝﹣2，b＝2； （2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y＝﹣x+2，y＝x2﹣2x， 联立上述两个函数表达式并解得或（不符合题意，舍去）， 即点B的坐标为（﹣1，3）， 从图象看，不等式 x2+mx＞﹣x+b 的解集为x＜﹣1或x＞2； （3）由题意，当xM＜﹣1时，线段MN与抛物线没有公共点； 又点A和点B的水平距离为2﹣（﹣1）＝3，OA＝2，MN＝3，则当﹣1＜xM＜2时，线段MN与抛物线只有1个公共点；抛物线的顶点为点（1，﹣1），过顶点且平行于x轴的直线交直线y＝﹣x+2于点（3，﹣1），则当2＜xM＜3时，线段MN与抛物线有2个公共点；当xM＝3时，线段MN与抛物线只有1个公共点；当xM＞3时，线段MN与抛物线没有公共点； 综上所述，﹣1≤xM＜2 或 xM＝3． 【变式1】二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E． （1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标； （2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； （3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标． 【答案】（1）二次函数的解析式为y2x+3．E（4，﹣1）． （2）点D的坐标为（4，3）或． （3）P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）． 【解答】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3， 得， 解得 ∴二次函数的解析式为y2x+3． ∵y1， ∴E（4，﹣1）． （2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD． 设D（4，m）， ∵C（0，3），由勾股定理可得： 42+（m﹣3）2＝62+32． 解得m＝3±． ∴满足条件的点D的坐标为（4，3）或． （3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M， 设P（n，2n+3），则Q（）， 设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则nk+3． 解得k，于是CQ：y＝（）x+3， 当x＝4时，y＝4（）+3＝n﹣5， ∴M（4，n﹣5），ME＝n﹣4． ∵S△CQE＝S△CEM+S△QEM． ∴n2﹣4n﹣60＝0， 解得n＝10或n＝﹣6， 当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）． 综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）． 题型25 二次函数几何综合_变换型 【典例1】已知抛物线y＝a（x﹣3）2过点C（0，4）．顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D． （1）求抛物线解析式． （2）判断△CDM的形状，并证明你的猜想． （3）抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，使C点的对应点C′恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由． 【答案】（1）yx2x+4； （2）△CDM是直角三角形，证明见解析； （3）在抛物线对称轴上存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，使C点的对应点C'恰好落在抛物线上，此时点P的坐标为（3，1）或（3，3）． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）2过点C（0，4）， ∴9a4， ∴a． ∴抛物线解析式为y（x﹣3）2x2x+4； （2）△CDM是直角三角形， 证明：yx2x+4令y＝0，则x2x+4＝0， 解得：x＝﹣2或8， ∴A（﹣2，0），B（8，0）， ∴OA＝2，OB＝8， ∴AB＝10． ∵AB为直径作圆，圆心为D， ∴DA＝DB＝5， ∴DO＝DA﹣OA＝5﹣2＝3， ∴D（3，0）， 连接DC，DM，MC，过点M作ME⊥y轴于点E，如图， ∵点M为抛物线的顶点， ∴M（3，）， ∴ME＝3，MD， ∵C（0，4）， ∴OC＝4， ∵MD⊥AB，EA⊥OB，EM⊥OE， ∴四边形MEOD为矩形， ∴OE＝MD， ∴EC＝OE﹣OC， ∴CM2＝CE2+EM2． ∵DC2＝OC2+OD2＝25， ∴CM2+CD225， ∵DM2＝（）2， ∴CM2+DC2＝DM2， ∴∠DCM＝90°， ∴△CDM是直角三角形； （3）在抛物线对称轴上存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，使C点的对应点C'恰好落在抛物线上，理由： ∵点P在抛物线的对称轴上，对称轴为直线x＝3， ∴设点P（3，m）， 则PD＝m， 过点C作CE⊥DM于点E，过点C′作C′F⊥DM于点F，如图， 由题意得：∠CPC′＝90°，CP＝C′P，CE＝3，DE＝OC＝4． ∴∠CPE+∠C′PF＝90°，PE＝DE﹣PD＝4﹣m． ∵CE⊥DM， ∴∠CPE+∠ECP＝90°， ∴∠ECP＝∠FPC′． 在△CEP和△PFC′中， ， ∴△CEP≌△PFC′（AAS）， ∴CE＝PF＝3，PE＝C′F＝4﹣m． ∴DF＝PF+PD＝3+m， ∴C′（7﹣m，3+m）， ∵点C′在抛物线y（x﹣3）2上， ∴（7﹣m﹣3）23+m， 解得：m＝1或3， ∴P（3，1）或P（3，3）． ∴在抛物线对称轴上存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，使C点的对应点C'恰好落在抛物线上，此时点P的坐标为（3，1）或（3，3）． 【变式1】如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求3m+n的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3， 故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3）， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为（1，0），顶点P的坐标为（2，1）， 3m+n＝12﹣3＝9； （2）①当CP＝CQ时，C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同， 故此时Q点坐标为（2，﹣7）； ②当CP＝PQ时， 可得：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）； ③当CQ＝PQ时， 可得：过该中点与CP垂直的直线方程为：yx， 当x＝2时，y，即点Q的坐标为（2，）； 故：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（2，）或（2，﹣7）； （3）图象翻折后的点P对应点P′的坐标为（2，﹣1）， ①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时直线BC和抛物线的交点有3个，b＝﹣3； ②当直线y＝x+b与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时， 此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 即：x2﹣4x+3＝x+b，Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0，解得：b． 即：b＝﹣3或． 过 关 验 收 1．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了y次手，那么y与到会人数x之间的函数关系式是（　　） A． B． C．y＝x2﹣x D．y＝x2+x 【答案】B 【解答】解：y与到会人数x之间的函数关系式． 故选：B． 2．“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表： 售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 … 需求量y1（吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 … ②该蔬菜供给量y2（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y2＝x﹣1，函数图象见图1． ③1～7月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为，，函数图象见图2． 请解答下列问题： （1）求a，c的值． （2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由． （3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 【答案】（1）； （2）在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，有， 化简，得， ∵在1≤t≤7的范围内， ∴当t＝4时，w有最大值； （3）该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元． 【解答】解：（1）由题意可得： ， ②﹣①，得7a＝﹣1.4， 解得， 把代入①，得c＝9， ∴． （2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意， 有， 化简，得， ∵在1≤t≤7的范围内， ∴当t＝4时，w有最大值． 答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大． （3）由y供给＝y需求，得， 化简，得x2+5x﹣50＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣10（舍去）， ∴售价为5元/千克． 此时，y供给＝y需求＝x﹣1＝4（吨）＝4000（千克）， 把x＝5代入，得t＝6， 把t＝6代入，得， ∴总利润＝w•y＝2×4000＝8000（元）． 答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元． 3．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．当AB＝5时，花圃面积为　　 m2，花圃ABCD面积的最大值为　 　 m2． 【答案】45，． 【解答】解：当AB＝5时，则：BC＝24﹣3×5＝9， ∴花圃面积为5×9＝45m2； 设AB＝x，花圃ABCD的面积为y，则：BC＝24﹣3x， ∵0＜24﹣3x≤10， ∴， ∵y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，y有最大值为； 故答案为：45，． 4．一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方12m的O处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为8m时，足球达到最高点，此时球离地面4m．已知球门高AB为2.44m，以O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）； （3）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球恰好经过点A正上方2.31m处？ 【答案】（1）； （2）不能射进球门； （3）向正后方移动1.2m． 【解答】解：（1）由题意得，当球飞行的水平距离为 8m时，球达到最高点，离地面4m， ∴抛物线的顶点坐标为（8，4）， 故设抛物线解析式为y＝a（x﹣8）2+4， 将（0，0）代入得y＝a（x﹣8）2+4， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）把x＝12代入得， ， ∴不能射进球门； （3）设他应该向后移动m米， 则移动后的解析式为， 把点（12，2.31）代入得： ， 解得：m1＝1.2，m2＝﹣9.2（舍）， 故向正后方移动1.2m． 5．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　） A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m 【答案】B 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0），则点E的坐标为（0，0.6）， 设解析式为y＝a（x+1）（x﹣1），由条件可得a（0+1）×（0﹣1）＝0.6， 解得a＝﹣0.6， ∴y＝﹣0.6（x+1）（x﹣1）． ∵点D的横坐标为2， ∴点D的纵坐标为﹣0.6×（2+1）×（2﹣1）＝﹣1.8， ∴点C到AD的距离为1.8m． 故选：B． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题： （1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形； （2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC＝10， ①当AP＝PO＝t，如图1， 过P作PM⊥AO， ∴AMAO， ∵∠PMA＝∠ADC＝90°，∠PAM＝∠CAD， ∴△APM∽△ACD， ∴， ∴AP＝t， ②当AP＝AO＝t＝5， ③显然AO＞OP，AO≠OP． ∴当t为 或5时，△AOP是等腰三角形； （2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OHCDAB＝3cm． 由矩形的性质可知∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，又得∠DOP＝∠BOE， ∴△DOP≌BOE， ∴BE＝PD＝8﹣t， 则S△BOEBE•OH3（8﹣t）＝12t． ∵FQ∥AC， ∴△DFQ∽△DOC，相似比为 ， ∴， ∵S△DOCS矩形ABCD6×8＝12cm2， ∴S△DFQ＝12， ∴S五边形OECQF＝S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ6×8﹣（12t）t2t+12； ∴S与t的函数关系式为St2t+12； 7．已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道AB的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道AB的长为x米，足球场ABCD的面积为S平方米． （1）求出S关于x的函数关系式（结果保留π），并写出定义域； （2）当直道AB为 　 　 米时，足球场ABCD的面积最大． 【答案】（1）；定义域为0＜x＜200； （2）当直道AB为100米时，足球场ABCD的面积最大． 【解答】解：（1）由题意得： ； ∵400﹣2x＞0， ∴0＜x＜200； ∴； （2）由（1）可得： ， ∵， ∴当直道AB为100米时，足球场ABCD的面积最大． 8“十一”假期，全国各地的游客慕名前来杭州旅游，某景点检票口从早上7：30开始检票，等待检票人数y（人）与时间x（分钟）的关系如图所示．（图象ABC段是抛物线，CD段在x轴上） （1）请观察图象，7：30时等待检票的游客有　 　 人； （2）当0≤x≤30时，求y与x的函数关系式； （3）何时开始，游客可以随到随检？ 【答案】（1）65； （2）； （3）从8：35时，游客可以随到随检． 【解答】解：（1）观察图象得，7：30时等待检票的居民有65人， 故答案为：65； （2）∵抛物线的顶点坐标为（30，245）， ∴设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣30）2+245， 把（0，65）代入得，a（0﹣30）2+245＝65， 解得：， ∴y与x的函数关系式为． （3）由（2）知，抛物线的解析式为； 当y＝0时，即， 解得：x1＝65，x2＝﹣5（不合题意舍去）， ∴7：30开始65分钟后，即从8：35时，游客可以随到随检． 10. 如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线l：与y轴交点为B． （1）写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式表示）； （2）证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数； （3）动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）对称轴：xm； 顶点：A（m，0）． （2）将xm代入函数yx﹣m， 得ym﹣m＝0 ∴点A（m，0）在直线l上． 当x＝0时，y＝﹣m， ∴B（0，﹣m） tan∠OAB， ∴∠OAB＝30度． （3）以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等共有以下四种情况： ①当∠AQP＝90°，PQ，AQ＝m时， 如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，﹣m）， 代入抛物线y＝﹣（xm）2 得﹣m＝﹣3m2， ∵m＞0， ∴m 这时有P1（0，） 其关于对称轴的对称点P2（，）也满足条件． ②当∠AQP＝90°，PQ＝m，AQ时 点P坐标为（m﹣m，m）， 代入抛物线y＝﹣（xm）2 得m＝m2， ∵m＞0， ∴m 这时有P3（3，﹣3） 还有关于对称轴的对称点P4（3，﹣3）． ③当∠APQ＝90°，AP，PQ＝m时 点P坐标为（），代入抛物线y＝﹣（xm）2 得mm2， ∵m＞0， ∴m＝2 这时有P5（，﹣3） 还有关于对称轴的对称点P6（3，﹣3）． ④当∠APQ＝90°，AP＝m，PQ时 点P坐标为（）， 代入抛物线y＝﹣（xm）2 得mm2， ∵m＞0， ∴m 这时有P7（，） 还有关于对称轴对称的点P8（，）． 所以当m时，有点P1（0，），P2（，）； 当m时，有点P3（3，﹣3），P4（3，﹣3）； 当m＝2时，有点P5（，﹣3），P6（3，﹣3）； 当m时，有点P7（，），P8（，）． 10．如图，是将抛物线y＝﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标； （3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数yx的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+k． 把（﹣1，0）代入得0＝﹣（﹣1﹣1）2+k， 解得k＝4， 则抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3； （2）在y＝﹣x2+2x+3中令x＝0，则y＝3，即C的坐标是（0，3），OC＝3． ∵B的坐标是（3，0）， ∴OB＝3， ∴OC＝OB，则△OBC是等腰直角三角形． ∴∠OCB＝45°， 过点N作NH⊥y轴，垂足是H． ∵∠NCB＝90°， ∴∠NCH＝45°， ∴NH＝CH， ∴HO＝OC+CH＝3+CH＝3+NH， 设点N坐标是（a，﹣a2+2a+3）． ∴a+3＝﹣a2+2a+3， 解得a＝0（舍去）或a＝1， ∴N的坐标是（1，4）； （3）存在点P，点Q使四边形OAPQ是平行四边形，理由如下： ∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ＝OA＝1，且PQ∥OA， 设P（t，﹣t2+2t+3），把Q（t+1，﹣t2+2t+3）代入yx，则﹣t2+2t+3（t+1）， 整理，得2t2﹣t＝0， 解得t＝0或． ∴﹣t2+2t+3的值为3或． ∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）． 综上所述，P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，），（，）． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求∠ACD的正切值； （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当∠OCD＝∠CAP时，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为，C（0，﹣4）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）将点A（﹣4，0）和点B（2，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣4， 可得， 解得： ∴抛物线的解析式为， 当x＝0时，y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）； （2）如图1，过D作DE⊥AC交CA延长线于E， ∵C（0，﹣4），点A（﹣4，0）， ∴OA＝OC＝4， ∴AC＝4， ∵∠EAD＝∠OAC，∠DEA＝∠COA， ∴△EAD∽△OAC， ∴， ∴， ∴，， ∴EC＝6， ∴； （3）如图2，过点P作PF⊥x轴于F，设， ∵∠OCD＝∠CAP， ∴∠OCA+∠ACD＝∠CAB+∠BAP， ∴45°+∠ACD＝45°+∠BAP， ∴∠ACD＝∠BAP， ∴， ∴tan∠BAP， ∴或t＝﹣4（舍去）， ∴． 12．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n． （1）求函数的解析式； （2）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA； （3）对于（1）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c； ①当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值； ②设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值． 【答案】（1）m＝﹣1，n＝3，y＝﹣x2+2x+3； （2）证明见解答； （3）①当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0； ②t＝﹣1或t＝2． 【解答】（1）解：∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n， ∴m＝﹣1，n＝3， ∴A（﹣1，0），B（0，3）， 把A（﹣1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得：， 解得：， ∴函数的解析式y＝﹣x2+2x+3； （2）证明：令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴C（3，0）， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）， ∵B（0，3）， ∴BC3，BD，CD2， ∵BC2+BD2＝（3）2+（）2＝20，CD2＝（2）2＝20， ∴BC2+BD2＝CD2， ∴∠CBD＝90°，3， ∵∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝3， ∴3， ∴，∠AOB＝∠CBD， ∴△BCD∽△OBA； （3）解：①∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，顶点为D（1，4）， ∴在0≤x≤3范围内，当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0； ②当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，即t＜0时，y随x的增大而增大， ∴当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，当x＝t+1最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3， 令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1． ②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去； ③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，即0＜t＜1时， 此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1（舍），t2＝1（舍）； 或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即t1（不合题意，舍去），t2（舍）； ④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去； ⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，即t＞1时， 当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3， 令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2． 综上，t＝﹣1或t＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $