第1讲二次函数及其图象（1.1～1.2）专题讲义 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第1讲　二次函数及其图象(1.1~1.2)　　浙教版 · 数学九年级上册 数学 · 九年级上册 第 1 章　二次函数 第 1 讲　二次函数及其图象(1.1~1.2) (一)二次函数的概念 　例题精析 例1 已知函数 ， (1)当 m 为何值时，此函数是一次函数. (2)当 m 为何值时，此函数是二次函数. ▸思路点拨　(1)一次函数 ，关键系数 . (2)二次函数 ，关键系数 . ▸过程详解　解： 为一次函数，，，. 为二次函数，， 且 . ▸总结升华　从定义出发，回归函数的一般形式. 　变式训练 1. 对于 有以下四种说法，其中正确的是（　　） A．当 时，二次函数是 B．当 时，二次函数是 C．当 时，一次函数是 D．以上说法都错 (二)二次函数的表达式 　例题精析 例2 根据下列条件，求二次函数的表达式. (1)其函数图象经过点 (-3,0),(0,-3),(2,5). (2)其图象顶点为 (1,4)，且经过点 (-2,-5). (3)其图象经过点 (3,0) 和 (4,0)，且二次项系数为 1. ▸思路点拨　二次函数的表达式主要有三种基本形式：①一般式 (a,b,c 是常数，a≠ 0)；②顶点式 ；③交点式 ()()(a≠ 0). 关键在于根据题意，选择合适的表达式用待定系数法求解. ▸过程详解　解：(1)设二次函数 ，把点 (-3,0),(0,-3),(2,5) 代入二次函数 中，得 解得 二次函数的表达式为 (2)∵顶点为 (1,4)，∴设 ，又 ∵过点 (-2,-5)，，，∴二次函数的表达式为 ，即 (3)设二次函数的表达式为 ，而 ，所以二次函数的表达式为 ▸总结升华　根据题目中所给的条件特点，选择合适的二次函数表达式形式. 　变式训练 2. 根据下列条件，求二次函数的表达式. (1)已知二次函数图象的顶点为 (-1,-2)，且图象经过点 (1,10). (2)已知二次函数的图象与 x 轴的交点为 (-5,0),(2,0)，且过点 (3,-4). (3)已知二次函数图象的顶点为 (-1,-8)，与 x 轴的两个交点间的距离为 4. (三)二次函数的图象平移与对称变换 　例题精析 例3 把二次函数 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 的图象. 试确定 a,h,k 的值. ▸思路点拨　二次函数图象平移，不改变 a 的值，只改变顶点所在的位置. 因为平移前顶点为 (h,k)，平移后顶点为 (-1,-1)，故可求得 h 和 k 的值. ▸过程详解　解：方法一：平移图象 把 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到的函数为 ，与 进行对比，得 解得 方法二：平移顶点 ∵二次函数图象平移，不改变 a 的值，. 把顶点 (h,k) 先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位后新顶点为 (-1,-1)，得 解得 方法三：逆向平移 ∵二次函数图象平移，不改变 a 的值，. 把顶点 (-1,-1) 先向右平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位平移后，得到原顶点为 (1,-5)，因此 . ▸总结升华　把图象的平移聚焦在顶点的平移，思考更简单有效；有时用逆向平移，遵循由已知推未知的方式，较容易得出结果. 　变式训练 3. (1)二次函数 关于 x 轴对称的二次函数的表达式是＿⁠＿⁠＿. (2)二次函数 关于 y 轴对称的二次函数的表达式是＿⁠＿⁠＿. (3)二次函数 关于原点成中心对称的二次函数的表达式是＿⁠＿⁠＿. 4. 将二次函数 的图象向右平移 m 个单位，向上平移 h 个单位，使得图象经过坐标原点，试求 m,h 所满足的关系式. (四)二次函数与坐标轴的交点 　例题精析 例4 为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（　　） A. 先关于 x 轴对称，再向左平移 1 个单位，最后向上平移 2 个单位 B. 先关于 x 轴对称，再向左平移 1 个单位，最后向下平移 2 个单位 C. 先关于 y 轴对称，再向右平移 1 个单位，最后向上平移 2 个单位 D. 先关于 y 轴对称，再向右平移 1 个单位，最后向下平移 2 个单位 ▸思路点拨　 函数图象可以通过 平移得到，因此应先考虑将 关于 x 轴对称以后得到 的图象，再进行即可. ▸过程详解　解：因为二次项系数的符号改变了，所以把 关于 x 轴对称以后得到 ，然后再向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位即可得到 故选 A. ▸总结升华　平移和轴对称的问题用顶点式来分析. 二次函数 平移或关于 y 轴对称会改变顶点的位置，不改变图象的开口方向和开口大小，但是关于 x 轴对称可以改变图象的开口方向. 　变式训练 5. 在直角坐标系中，设函数 (a,b 是常数，a≠ 0). (1)若该函数的图象经过 (1,0) 和 (2,1) 两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标. (2)写出一组 a,b 的值，使函数 的图象与 x 轴有两个不同的交点，并说明理由. (3)已知 ，当 x=p,q(p,q 是实数，p≠ q) 时，该函数对应的函数值分别为 P,Q. 若 ，求证：. (五)二次函数系数 a,b,c 与图象的关系 　例题精析 例5 在平面直角坐标系中，已知函数 ，，，其中 a,b,c 是正实数，且满足 设函数 的图象与 x 轴的交点个数分别为 ，下面满足条件的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 ▸思路点拨　二次函数的图象与 x 轴的交点个数，当 时对应的一元二次方程的根的判别式 来判断：①当 Δ>0 时，图象与 x 轴有两个交点；②当 Δ=0 时，图象与 x 轴有一个交点，即为顶点；③当 Δ<0 时，图象与 x 轴无交点. ▸过程详解　解：三个函数的判别式分别为 ，，，因为 ，所以 项，若 ，则 ，，则 ，所以 与 4 无法比较大小，所以 无法确定，故 A 项错误；B 项，若 ，则 ，，则 ，所以 ，所以 ，所以 ，故 B 项正确；C 项，若 ，则 ，，则 ，所以 ，所以 ，所以 ，故 C 项错误；D 项，若 ，则 ，，则 ，所以 与 4 无法比较大小，所以 无法确定，故 D 项错误. 故选 B. ▸总结升华　二次函数和一元二次方程之间有紧密的联系，要善于用二次函数的观点看一元二次方程，用一次二次方程的解的情况来判断二次函数与 x 轴的交点问题. 例6 已知二次函数 的图象如图，其对称轴为直线 ，给出下列结果：①；②；③；④；⑤. 其中正确的结论是（　　） A. ①②③④ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ①④⑤ ▸思路点拨　从 a,b,c 对图象的作用来分析思考. ▸过程详解　解：∵抛物线与 x 轴有两个交点，，即 ，故①正确；∵抛物线对称轴为直线 ，与 y 轴交于负半轴，，故②错误；∵抛物线对称轴为直线 ，，故③错误；∵当 时，，，故④正确；∵当 时，，，故⑤正确. 故选 D. ▸总结升华　 中的 a,b,c 对图象的作用归纳如下：①a 的作用：决定开口方向：，开口向上；，开口向下；决定开口的大小：|a| 越大，抛物线的开口越小；②b 的作用：b 和 a 与抛物线图象的对称轴、顶点横坐标有关. b 与 a 同号，说明 ，则对称轴在 y 轴的左边；b 与 a 异号，说明 ，则对称轴在 y 轴的右边；特别的，，对称轴为 y 轴；③c 的作用：c 决定了抛物线与 y 轴的交点纵坐标. 抛物线与 y 轴的交点坐标为 (0,c)；④a,b,c 共同决定判别式 的符号，进而决定图象与 x 轴的交点；⑤几种特殊情况： 时，； 时，. 当 时，Ⅰ. 若 ，则 ；Ⅱ. 若 ，则 . 当 时，Ⅰ. 若 ，则 ；Ⅱ. 若 ，则 . 另外， 时，； 时，； 时，； 时，. 　变式训练 6. 已知二次函数 的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别为 (-1,0),(3,0). 对于下列命题：①；②；③；④对于任意实数 m， 其中正确的是＿⁠＿⁠＿ 　链接好题 1. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)当 时，求抛物线的顶点坐标. (2)已知 M() 和 N() 是抛物线上的两点，若对于 ，，都有 ，求 a 的取值范围. 参考答案 【变式训练】 1. D 2. (1)设顶点式：，把 (1,10) 代入，得 ，解得 ，∴二次函数的表达式为 (2)设交点式：，把 (3,-4) 代入，得 ，解得 ，∴二次函数的表达式为 (3)∵顶点为 (-1,-8)，∴对称轴为直线 . ∵图象与 x 轴的两个交点间的距离为 4，∴图象与 x 轴的两个交点为 (-3,0) 和 (1,0). 设交点式为 ，把 (-1,-8) 代入，得 ，解得 ，∴二次函数的表达式为 . 3. ​ 4. 将 的图象向右平移 m 个单位，向上平移 h 个单位，得到 图象经过原点，∴把 (0,0) 代入得 ，即 5. (1)由题意得 解得 该函数的表达式为 ，∴该函数图象的顶点坐标为 (1,0). (2)(答案不唯一) 例如 ，此时 理由如下：，∴函数 的图象与 x 轴有两个不同的交点. (3)证明：由题意得 ，，又 ， 由条件 ， 知 ，. 6. ③④ 【链接好题】 1. (1)将 代入 中得 ，∴抛物线的顶点坐标为 (1,-1). (2)方法一：当 时，，而 且 ，，①当 时，()()>0， 或 解得 或 ， 或 ， 或 ，；②当 时，()()<0， 或 解得 ， 综上所述， 或 . 方法二：，∴对称轴是直线 ，且图象过原点. ∵M()，，∴M() 关于直线 的对称点是 (). ①当 时，如图 1，此时 ，，；②当 时，如图 2，此时 ，，综上所述， 或 . 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $