第3章第6讲圆的有关概念及其轴对称性（3.1～3.3）专题讲义 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第6讲　圆的有关概念及其轴对称性(3.1~3.3)　　浙教版 · 数学九年级上册 数学 · 九年级上册 第 3 章　圆的基本性质 第 6 讲　圆的有关概念及其轴对称性(3.1~3.3) (一)圆的有关概念 　例题精析 例1 下列说法，其中正确的有＿⁠＿⁠＿. ①长度相等的弧是等弧；②直径是弦，半圆不是弧；③⊙ O 的半径是 3cm，则 ⊙ O 中最长的弦长是 6cm；④A,B 是半径为 5cm 的 ⊙ O 上两个不同的点，则弦 AB 的取值范围是 . ▸思路点拨　从弦、直径和等弧的定义分析. ▸过程详解　解：①等弧不仅长度相等，度数也要相等.故①错误；②半圆也是弧，故②错误；③圆中最长的弦是直径，所以 ⊙ O 中最长的弦长是 6cm.故③正确；圆中最长的弦是直径，所以弦 AB 的取值范围是 .故④正确.故答案为③④. ▸总结升华　(1)能够重合的圆弧称为等弧.等弧不仅长度相等，度数也要相等.(2)经过圆心的弦叫直径，因此直径是最长的弦.在同圆或等圆中，直径是半径的 2 倍. 　变式训练 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠°，，，以点 B 为圆心，BC 为半径画弧，交边 AB 于点 P，则 AP 的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 (二)点与圆的位置关系 　例题精析 例2 (1)如图，矩形 ABCD 中，，，以点 A 为圆心，r 为半径作 ⊙ A，使得点 D 在圆内，点 C 在圆外，则半径 r 的取值范围是＿⁠＿⁠＿. (2)若 ⊙ O 所在平面内一点 P 到 ⊙ O 上的点的最远距离为 5，最近距离为 3，则此圆的半径为＿⁠＿⁠＿. ▸思路点拨　(1)由题意可知 ，即可得出 r 的取值范围. (2)由于点 P 与 ⊙ O 的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论. ▸过程详解　解：(1)如图，连结 AC，∵矩形 ABCD 中，，，.∵以点 A 为圆心，r 为半径作 ⊙ A，使得点 D 在圆内，点 C 在圆外，∴半径 r 的取值范围是 .故答案为 . (2)设 ⊙ O 的半径为 r，当点 P 在圆外时，；当点 P 在 ⊙ O 内时，综上可知此圆的半径为 4 或 1.故答案为 4 或 1. ▸总结升华　一般地，如果用 r 表示圆的半径，d 表示同一平面内点到圆心的距离，则有 ↔点在圆外；↔点在圆上；↔点在圆内. 　变式训练 2. 如图，已知 △ABC 中，∠°，，，以点 C 为圆心作 ⊙ C，半径为 r. (1)当 r 取什么值时，点 A,B 在 ⊙ C 外？ (2)当 r 取什么值时，点 A 在 ⊙ C 内，点 B 在 ⊙ C 外. (三)三角形的外接圆 　例题精析 例3 如图，在平面直角坐标系中，点 A,B,C 的坐标分别为 (1,4)，(5,4)，(1,-2)，则以 A,B,C 为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（　　） A．(2,3) B．(3,2) C．(3,1) D．(1,3) ▸思路点拨　点 P 的坐标是弦 AB,AC 的垂直平分线的交点. ▸过程详解　解：∵弦 AB 的垂直平分线是直线 ，弦 AC 的垂直平分线是直线 ，∴三角形的外接圆圆心点 P 的位置如图所示，点 P 的坐标为 (3,1).故选 C. ▸总结升华　三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点. 　变式训练 3. 如图，在平面直角坐标系中，A(0,-3)，B(2,-1)，C(2,3)，则 △ABC 的外心坐标为＿⁠＿⁠＿. (四)图形的旋转 　例题精析 例4 (1)如图 1，在 △ABC 与 △ADE 中，，，∠BAC=∠DAE，易得 .请你写出证明过程. 【解题反思】 以上我们可以把图形的旋转与图形全等联系起来，并可以把特殊角度一般化. 【类比探究】 (2)如图 2，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，E,F 分别是 CD,BC 上的点，且 .连结 AE,AF,EF，若 ∠°，请直接写出 BF 的长. 【深入探究】 (3)如图 3，D,P 是等边三角形 ABC 外两点，连结 BD 并取 BD 的中点 M，且 ∠°，∠°.试猜想 PA 与 PD 的数量关系，并证明你的结论. 【拓展应用】 (4)如图 4，在四边形 ABCD 中，∠°，∠°，，，，请直接写出 BC 的长. ▸思路点拨　(1)先得出 ∠BAD=∠CAE，再证明 △BAD≅△CAE 即可得到结论. (2)把 △ABF 绕点 A 逆时针旋转 90° 至 △ADG，问题即可解决. (3)延长 PM 至点 F，使 ，连结 BF,CF，证明 △ACP≅△BCF，再证明 △PMD≅△FMB，从而可得结论. (4)过点 D 作 DG⊥DB，且令 ，连结 BG,GA，延长 GA 交 BC 于点 K，可得 ，证明 △BDC≅△GDA，得 ，证明 ∠°，可得 ，，可得 ，从而可得结论. ▸过程详解　(1)证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠，，∴△BAD≅△CAE(SAS)，. (2)解：∵四边形 ABCD 是正方形，，∴把 △ABF 绕点 A 逆时针旋转 90° 至 △ADG，可使 AB 与 AD 重合，如图 1，∴∠BAF=∠DAG.∵∠°，∠°，∴∠BAF+∠°，∴∠EAF=∠EAG.∵∠ADG=∠ADC=∠°，∴∠°，点 E,D,G 共线.在 △AFE 和 △AGE 中，，，即 ，正方形 ABCD 边长为 3，，，∠°.设 ，则 ，.在 Rt△CFE 中，由勾股定理得 ，，解得 ，即 . (3)解：，证明如下：如图 2，延长 PM 至点 F，使 ，连结 BF,CF，∵△ABC 为等边三角形，，∠ACB=∠ABC=∠°.∵∠°，∴△PFC 为等边三角形，∴∠PFC=∠°，，∴∠ACP=∠FCP-∠°-∠ACF，∠BCF=∠ACB-∠°-∠ACF，∴∠ACP=∠BCF，∴△ACP≅△BCF(SAS)，∴∠APC=∠BFC，，而 ∠APF=∠APC-∠FPC=∠APC-60°，∴∠°-∠APD-∠°-120°-(∠APC-60°)=300°-∠APC，∠°-∠PFC-∠°-∠BFC，∴∠MPD=∠MFB.∵M 为 BD 的中点，.∵∠PMD=∠FMB，∴△PMD≅△FMB(AAS)，，而 ，. (4)解：如图 3，过点 D 作 DG⊥DB，且令 ，连结 BG,GA，延长 GA 交 BC 于点 K，，∠ADC=∠°，∴∠GDA=∠BDC，∴△BDC≅△GDA(SAS)，∴∠BCD=∠GAD，.∵∠°，∠°，∴∠BAD+∠°=∠BAD+∠GAD，∴∠°-210°=150°，∴∠°，∴∠°，，，，，. ▸总结升华　图形的旋转可以让图形变得更加丰富，可以结合全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理的应用等知识，有时通过图形旋转可以解决一些复杂的几何问题. 　变式训练 4. 阅读下面材料，并解决问题： (1)如图 1，等边三角形 ABC 内有一点 P，若点 P 到顶点 A,B,C 的距离分别为 3,4,5，求 ∠APB 的度数. 为了解决本题，我们可以将 △ABP 绕顶点 A 旋转到 △ACP' 处，此时 △ACP'≅△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段 PA,PB,PC 转化到一个三角形中，从而求出 ∠APB=＿⁠＿⁠＿. (2)基本运用 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：如图 2，△ABC 中，∠°，，E,F 为 BC 上的点且 ∠°，求证： (3)能力提升 如图 3，在 Rt△ABC 中，∠°，，∠°，O 为 Rt△ABC 内一点，连结 AO,BO,CO，且 ∠AOC=∠COB=∠°，求 OA+OB+OC 的值. (五)圆的轴对称性(垂径定理及其逆定理) 　例题精析 例5 如图，⊙ O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，，. (1)求 ⊙ O 的半径长. (2)连结 BC，作 OF⊥BC 于点 F，求 OF 的长. ▸思路点拨　(1)连结 OD，设 ⊙ O 的半径长为 r，由垂径定理可得 ，然后利用勾股定理计算即可. (2)利用勾股定理可得 BC 的值，由垂径定理可得 ，∠°，再在 Rt△OBF 中，利用勾股定理计算即可. ▸过程详解　解：(1)如图，连结 OD，设 ⊙ O 的半径长为 r，∵AB⊥CD，∴∠°，在 Rt△ODE 中，，，，，解得 ，即 ⊙ O 的半径长为 5. (2)在 Rt△BCE 中，，，，，∠°，在 Rt△OBF 中，，即 OF 的长为 ▸总结升华　垂径定理及其逆定理反映了圆的轴对称性，通常需要连半径构造直角三角形，把圆的问题转化为直角三角形来解决. 　变式训练 5. 如图，△ABC 中，，以 AB 为直径作 ⊙ O，分别交 AC,BC 于点 D,E，过点 E 作 EF⊥AB，交 ⊙ O 于点 F，垂足为 G，连结 BF. (1)若 ∠°，求 ∠BFE 的度数. (2)若 ，，求弦 EF 的长. 例6 如图，⊙ O 的半径 OF⊥弦 AB 于点 E，C 是 ⊙ O 上一点，，CE 的最大值为 18，则 EF 的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 ▸思路点拨　连结 OA，根据垂径定理可得 ，设半径为 r，结合“CE 的最大值为 18”可知当 C,O,E 在同一条直线上时 ，进而可得 ，再运用勾股定理可得 ，代入计算即可求解. ▸过程详解　解：如图，连结 OA，∵⊙ O 的半径 OF⊥弦 AB 于点 E，，设半径为 r，可知当 C,O,E 在同一条直线上时 CE 最长，即 ，，.在 Rt△AOE 中，由勾股定理得，，即 ，解得 ，.故选 D. ▸总结升华　经过圆心且垂直 AB 的直径与圆交于点 C,F，此时 CE 最长. 　变式训练 6. 如图，在 ⊙ O 中，弦 ，点 C 在 AB 上移动，连结 OC，过点 C 作 CD⊥OC 交 ⊙ O 于点 D，则 CD 长的最大值为＿⁠＿⁠＿. (六)圆的轴对称性应用(垂径定理及其逆定理的应用) 　例题精析 例7 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如图，CD 为 ⊙ O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E， 寸， 尺，其中 1 尺=10 寸，求出直径 CD 的长.解题过程如下：连结 OA，设 寸，则 寸.∵AB⊥CD， 尺， 寸.在 Rt△OAE 中，，即 ，解得 ， 寸. 任务：(1)上述解题过程运用了＿⁠＿⁠＿定理和＿⁠＿⁠＿定理. (2)若原题改为已知 寸， 尺，请根据上述解题思路，求直径 CD 的长. ▸思路点拨　(1)根据垂径定理和勾股定理求解即可. (2)设 寸，则 寸，利用勾股定理可得 ，即 ，再求出 r 的值即可. ▸过程详解　解：(1)根据题意知，上述解题过程运用了垂径定理和勾股定理.故答案为垂径；勾股. (2)连结 OA，设 寸，则 寸.∵AB⊥CD， 尺， 寸.在 Rt△OAE 中，，即 ，解得 ， 寸. ▸总结升华　垂径定理的实际应用，通常需要连半径构造直角三角形，把圆的问题转化为直角三角形来解决，用勾股定理来建立方程解决. 　变式训练 7. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 O 为圆心的圆，已知圆心 O 始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦 AB 为 6 米时，水面下盛水筒的最大深度为 1 米(即水面下方部分的圆上一点距离水面的最大距离). (1)求该圆的半径. (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦 AB 从原来的 6 米变为 8 米，则此时水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 例8 如图，已知 ⊙ O 的圆心为 O，半径为 3，M 为 ⊙ O 内的一个定点，，AB,CD 是 ⊙ O 的两条相互垂直的弦，垂足为 M. (1)当 时，求四边形 ADBC 的面积. (2)当 AB 变化时，求四边形 ADBC 的面积的最大值. ▸思路点拨　(1)先作弦心矩，由垂径定理和勾股定理求解即可. (2)先作 AB,CD 的弦心距 OF,OE 假设 ，可知 ，根据第(1)题的经验面积 ，然后将 AB,CD 用 x,y 表示出来，最后得到关于面积的函数表达式. ▸过程详解　解：(1)如图，作 OE⊥CD 于点 E，OF⊥AB 于点 F，连结 OB,OC，那么 ，，易证 ，，， (2)设 ，则 ，，，，∴当 时，四边形 ADBC 的最大面积是 13. ▸总结升华　(1)对角线相互垂直时，四边形的面积为对角线乘积的一半.(2)由垂径定理和勾股定理可知弦长 l、半径 r、弦心距 d 满足关系： 　变式训练 8. 【问题探究】 (1)在如图 1 的半径为 R 的半圆 O 内(含弧)，画出一边落在直径 MN 上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积. (2)在图 2 的半径为 R 的半圆 O 内(含弧)，画出一边落在直径 MN 上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积. 【问题解决】 (3)如图 3，现有一块半径 的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在 MN 上的面积最大的矩形？若可以，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不可以，请说明理由. 　链接好题 1. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 A,B，连结 AB，作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 D，交 于点 C，测出 ，，则圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm 参考答案 【变式训练】 1. D 2. (1)若点 A,B 在 ⊙ C 外，则 ，，. (2)若点 A 在 ⊙ C 内，点 B 在 ⊙ C 外，则 ，，，. 3. (-2,1) 4. (1)150° (2)如图 1，把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到 △ACE'，由旋转的性质得，AE'=AE，CE'=BE，∠CAE'=∠BAE，∠ACE'=∠B，∠EAE'=90°，∵∠°，∠E'AF=∠CAE'+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠°-45°=45°，∴∠EAF=∠E'AF.在 △EAF 和 △E'AF 中，，∴E'.∵∠°，，∴∠B=∠°，∴∠E'°+45°=90°.由勾股定理得，，即 (3)如图 2，将 △AOB 绕点 B 顺时针旋转 60° 至 △A'O'B 处，连结 OO'.∵在 Rt△ABC 中，∠°，，∠°，， 绕点 B 顺时针旋转 60°，∴∠A'BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，A'，'，A'O'=AO，∴△BOO' 是等边三角形，'，∠BOO'=∠BO'°.∵∠AOC=∠COB=∠°，∴∠COB+∠BOO'=∠BO'A'+∠BO'°+60°=180°，∴C,O,A',O' 四点共线，在 Rt△A'BC 中，即 5. (1)∵EF⊥AB，∴∠°，，，∴∠BEF=∠，∴∠C=∠ABC.∵∠°，∴∠°，∴∠°，∴∠BFE=∠°. (2)如图，连结 OE，，，，，⊥AB，，∠°.在 Rt△OEG 中，，，即弦 EF 的长为 24. 6. 2 【解析】如图，连结 OD，∵CD⊥OC，∴∠°，，当 OC 的值最小时，CD 的值最大，OC⊥AB 时，OC 最小，此时 D,B 两点重合，，即 CD 长的最大值为 2.故答案为 2. 7. (1)如图，作 OD⊥AB 于点 E，交圆于点 D，则 米， 米，设圆的半径为 r 米，在 Rt△AOE 中，，，解得 ，∴该圆的半径为 5 米. (2)如图，当 米时，，在 Rt△AOE 中，，， 米，(米).答：此时水面下盛水筒的最大深度为 2 米. 8. (1)如图 1，当 OC 为高时，△ACB 为满足条件的面积最大的正三角形.，∠°，∴∠°，，，， (2)如图 2，当 O 为 BC 中点时，正方形 ABCD 为满足条件的面积最大的正方形.连结 OA.令 ，则 .在 Rt△ABO 中，，即 ， (3)存在.如图 3，先作一边落在直径 MN 上的矩形 ABCD，使点 A,D 在弧 MN 上，再作半圆 O 及矩形 ABCD 关于直径 MN 所在直线的对称图形，点 A,D 的对称点分别是点 A',D'.连结 A'D,AD'，则 A'D 为 ⊙ O 的直径在 Rt△AA'D 中，当 OA⊥A'D 时， 的面积最大 【链接好题】 1. C 【解析】设圆心为 O，连结 OB，如图，∵CD 垂直平分 AB，，，，.∵∠°，，，解得 ，即圆形工件的半径为 25cm.故选 C. 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $