第4章第10讲相似三角形及其判定（4.3～4.4）专题讲义 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第10讲　相似三角形及其判定(4.3~4.4)　　浙教版 · 数学九年级上册 数学 · 九年级上册 第 4 章　相似三角形 第 10 讲　相似三角形及其判定(4.3~4.4) (一)相似三角形 　例题精析 例1 已知:如图,△ABC∽△ADE,AE::,∠°,∠°. (1)求∠ADE的大小. (2)求DE的长. ▸思路点拨　(1)由△ABC∽△ADE,得∠ADE=∠ABC,即可求得∠ADE. (2)由△ABC∽△ADE,得,即可求得DE的长. ▸过程详解　解:(1)在△ABC中,∠°,∠°,∴∠°-40°-45°=95°.又∵△ABC∽△ADE,∴∠ADE=∠ABC(相似三角形的对应角相等),∴∠°. (2)∵AE::3,∴AE::8.又 ▸总结升华　相似三角形对应角相等,对应边成比例. 　变式训练 1. 如图,△ABC∽△,则BC=＿⁠＿⁠＿. (二)相似三角形的判定 　例题精析 例2 如图,已知求证:△ABC∽△DBE. ▸思路点拨　由得到△ABD∽△CBE,再由相似的性质得到∠ABD=∠CBE,进而得到∠ABC=∠DBE,由已知等式变形得,因此△ABC∽△DBE. ▸过程详解　证明,即∠ABC=∠DBE.又,即 ▸总结升华　三角形相似的判定定理:①有两个角对应相等的两个三角形相似;②三边对应成比例的两个三角形相似;③两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. 　变式训练 2. 如图,△ABC中,是BC边上一点,延长AD至点E,连结BE,∠CBE=∠ABC. (1)求证:△ADC∽△EDB. (2)若,求DE长. 3. 在△ABC中,分别是BC,AB边上的点,且∠ADE=∠C. (1)求证:△ACD∽△DBE. (2)求证 (三)相似三角形中的基本图形 　例题精析 例3 【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A′B′C′,其中∠C=∠C′=90°,∠°,∠A′=45°. (1)如图1,作线段CD,C′D′,分别交AB于点D,交A′B′于点D′,使得∠°,∠B′C′D′=30°,问△BCD与△B′C′D′,△ACD与△A′C′D′是否相似?并选择其中相似的一对三角形,说明理由. (2)如图2,作线段AD,B′D′,分别交BC于点D,交A′C′于点D′,若△ACD与△B′C′D′,△ABD与△A′B′D′均相似,求∠CAD,∠C′B′D′的度数. (3)【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形,能否分别作一条直线对其进行分割,使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似?如果可以,请直接画出一种分割示意图;如果不能,请说明理由. ▸思路点拨　(1)根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行解答. (2)当∠CAD=∠C′B′D′=15°时,可根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行判定. (3)设∠A=α,∠°-α,∠A′=β,∠B′=90°-β,作∠ACD=β交AB于点D,作∠A′C′D′=α交A′B′于点D′,可得角之间的关系,然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行判断. ▸过程详解　解:(1)如图1中,△BCD与△B′C′D′,△ACD与△A′C′D′相似.理由如下:∵∠A=∠A′C′D′=60°,∠ACD=∠A′=45°,∴△ACD∽△C′A′D′.∵∠B=∠B′C′D′,∠BCD=∠B′,∴△BCD∽△C′B′D′. (2)如图2中,当∠CAD=∠C′B′D′=15°时,△ACD与△B′C′D′,△ABD与△A′B′D′均相似.理由:∵∠C=∠C′=90°,∠CAD=∠C′B′D′=15°,∴△ACD∽△B′C′D′.∵∠B=∠A′B′D′=30°,∠DAB=∠A′=45°,∴△BAD∽△B′A′D′. (3)可以,如图,设∠A=α,∠°-α,∠A′=β,∠B′=90°-β,作∠ACD=β交AB于点D,作∠A′C′D′=α交A′B′于点D′.则△ACD∽△C′A′D′,△BCD∽△C′B′D′.理由:∵∠A=∠A′C′D′=α,∠ACD=∠A′=β,∴△ACD∽△C′A′D′.∵∠B=∠B′C′D′=90°-α,∠BCD=∠B′=90°-β,∴△BCD∽△C′B′D′. ▸总结升华　由基本图形画相似的三角形,再证三角形相似. 　变式训练 4. (1)如图1,在矩形ABCD中,若,则AE的长为＿⁠＿⁠＿. (2)如图2,在△ABC中,点D在AB上,∠ACD=∠,则AC=＿⁠＿⁠＿. (3)如图3,在△ABC中,D为AB边上一点,△CBD∽△ACD,若,则AD的长为＿⁠＿⁠＿. (4)如图4,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,DE∥BC,EF∥AB.如果DE::5,那么EF:AB的值是＿⁠＿⁠＿. (5)如图5,在正方形ABCD中,点E在BC上,连结AE,过点E作EF⊥AE交CD于点F,连结AF,∠FAE=∠BAE,若,则线段EF的长为＿⁠＿⁠＿. (6)如图6,在△ABC中,是BC边上的动点,连结AP,作∠APE=∠B交AC边于点E,若设,则y关于x的函数表达式是＿⁠＿⁠＿. (四)相似三角形中的多解性 　例题精析 例4 (1)如图1,正方形ABCD的边长为,线段MN的两端在CB,CD上滑动,当CM=＿⁠＿⁠＿时,△ADE与△CMN相似. (2)如图2,在第一象限内作与x轴的正半轴成60°的射线OC,在射线OC上截取,过点A作AB⊥x轴于点B,在坐标轴上取一点P(不与点B重合),使得以P,O,A为顶点的三角形与△AOB相似,则所有符合条件的点P的坐标为＿⁠＿⁠＿. ▸思路点拨　(1)利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系,然后利用勾股定理列式计算即可. (2)分两种情况:当点P在x轴上时;当点P在y轴上时. ▸过程详解　解:(1)∵AE=EB,∴AD=2AE.∵△AED与以M,N,C为顶点的三角形相似,∴分两种情况:①CM与AD是对应边时,即,解得(负值已舍去);②CM与AE是对应边时,即,解得(负值已舍去).综上所述,当CM为4或2时,△AED与△CMN相似.故答案为4或2. (2)∵∠°,∠°,∴当点P在x轴上,∠°,∠°时,△PAO∽△ABO,此时,则P(4,0);当点P在y轴上,若∠°,∠°时,△PAO∽△OBA,此时,则P();若∠°,∠°时,△APO∽△OBA,此时,则P();综上所述,点P的坐标为(4,0)或()或().故答案为(4,0)或()或(). ▸总结升华　两个三角形相似没有用“∽”符号连结,就需要分类讨论相似的多种情况. 　变式训练 5. 如图,四边形ABCD中,∠A=∠°,是AB上一点,若以P,A,D为顶点的三角形与△PBC相似,则PA=＿⁠＿⁠＿cm. 6. 已知△ABC与△DEF相似,,则DE的长不可能是（　　） A．3 B．4.5 C．9 D．9.6 (五)比例式或等积式的证明 　例题精析 例5 如图,在△ABC中,AD,BF分别是BC,AC边上的高,过点D作AB的垂线交AB于点E,交BF于点G,交AC的延长线于点H,求证 ▸思路点拨　要证,根据母子相似易证,故只需证EG· · BE,即△BEG∽△HEA即可. ▸过程详解　证明:∵AD,BF分别是BC,AC边上的高,EH是AB的垂线又∵∠°,∠BGE=∠HGF,∴∠EBG=∠H.又,即 ▸总结升华　证明等积式或等比式,就是要根据四条线段确定合适的三角形,证三角形相似. 　变式训练 7. 如图,在Rt△ABC中,∠°,AD⊥BC于点D,E是AC的中点,ED交AB的延长线于点F.求证: (1)△ABD∽△CAD. ​ 8. 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,⊥AE于点F,延长DF交BC于点G,连结DE. (1)求证:. (2)求证 (六)相似三角形与圆 　例题精析 例6 学习了“直径所对的圆周角是直角”这一性质后,圆中借助直角转化的等角较为灵活方便,比如说: (1)如图1,△ABC的顶点都在⊙ O上,AD是△ABC的高,AE是⊙ O的直径.△ABE与△ACD相似吗?为什么? (2)如图2,△ABC的顶点都在⊙ O上,⊙ O的半径为是△ABC的高,,求AB的长. ▸思路点拨　(1)如图1,根据圆周角定理得∠°,∠E=∠C,即可判断. (2)过点A作直径AE,连结CE,由(1)的结论可得到△ABD∽△AEC,然后利用相似比求AB的长. ▸过程详解　解:(1)△ABE与△ADC相似.理由:∵AE为直径,∴∠°.∵AD是△ABC的高,∴∠°.∵∠E=∠C,∴△ABE∽△ADC. (2)如图,过点A作直径AE,连结CE,由(1)的结论易得,即 ▸总结升华　圆中的相似通常需要用圆的相关性质找到相等的角,得到三角形相似. 　变式训练 9. 如图,在△ABC中,,以AB为直径的⊙ O分别交BC,AC于点D,E,连结EB,交OD于点F. (1)求证:OD⊥BE. (2)若,求AE的长. 例7 如图1,△ABC是⊙ O内接三角形,将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED,其中点D在圆上,点E在线段AC上. (1)求证:. (2)如图2,过点B作BF∥CD分别交AC,AD于点M,N,交⊙ O于点F,连结AF,求证:AN· · BM. (3)在(2)的条件下,若时,求的值. ▸思路点拨　(1)根据旋转的性质,弧,弦,圆心角的关系即可得证. (2)证明△BCM∽△AFM,进而得出,旋转得到,再根据BF∥CD推导出,等量代换得,即可得证. (3)方法一:△ABM∽△ACB和△AMN∽△ACD是相似三角形的基本图形,设,即可以表示出其他线段,进而求得的值. 方法二:过点E作EP⊥AB,EQ⊥AD,连结DF,由等量代换,通过角平分线的性质、旋转的性质,弧、弦、圆心角的关系等证△BAF∽△DAD′,得边之间的关系,再进行计算即可. ▸过程详解　解:(1)∵将△ABC绕点A逆时针旋转至 将△ABC绕点A逆时针旋转至,即AN· · BM. (3)方法一:易证,且设,则易证 方法二,由旋转可知∠ACB=∠ADE,∴延长DE经过点B,如图,过点E作EP⊥AB,EQ⊥AD. 连结将△ABD绕点A旋转至AB与AF重合得到△AFD′,则∠ABD=∠AFD′,D′,∠DAD′=∠BAF.∵∠ABD+∠°,∴∠AFD′+∠°,∴D,F,D′三点共线,设,则,即 ▸总结升华　圆中的相似通常需要用圆的相关性质找到相等的角,在复杂图形中发现相似三角形的基本图形,利用对应线段成比例求线段的长度或者比例关系. 　变式训练 10. 如图1,△ABC内接于⊙ ,过点C作CD∥AB,交⊙ O于点D,过点D作DE⊥AB于点E,交BC于点M,连结AD. (1)求证:①;② (2)如图2,若M是BC中点,求的值. 　链接好题 1. 如图,在圆内接四边形ABCD中,,∠ADC<∠BAD,延长AD至点E,使,延长BA至点F,连结EF,使∠AFE=∠ADC. (1)若∠°,CD为直径,求∠ABD的度数. (2)求证:①EF∥BC;②. 参考答案 【变式训练】 1. 2. (1)证明:,∴∠C=∠ABC.∵∠CBE=∠ABC,∴∠C=∠CBE.∵∠ADC=∠BDE,∴△ADC∽△EDB. (2)由(1)知 3. (1)证明:,∴∠B=∠C.∵∠BDA=∠DAC+∠C,∠ADE=∠C,∴∠BDE=∠DAC,∴△ACD∽△DBE. (2)方法,即,即方法,即BE· · CD,设,则,即 4. (1)∵四边形ABCD是矩形故答案为1. (2)∵∠A是公共角,∠B=∠ACD,∴△ABC∽△ACD,∴AB::AD,∴9::.故答案为6. (3)∵△CBD∽△ACD,∴∠ACD=∠B,又,即,解得.故答案为2. 故答案为3:5. (5)如图,过点E作EH⊥AF于点H,∵四边形ABCD是正方形故答案为 故答案为 5. 2或3【解析】设,则,以A,D,P为顶点的三角形与以B,C,P为顶点的三角形相似,①当AD::BC时,解得或3;②当AD::PB时,解得,∴当以A,D,P为顶点的三角形与以B,C,P为顶点的三角形相似,AP的值为2或3.故答案为2或3. 6. D【解析】已知,因此△DEF的三边与△ABC的三边4,6,8对应的情况可分为:①6(DF),9,12,此时DE可为9,12;②4,6(DF),8,此时DE可为4,8;③3,4.5,6(DF),此时DE可为3,4.5.综上,DE可为9,12,4,8,3,4.5.故DE不可能为9.6.故选D. 7. 证明:(1)∵∠°,AD⊥BC,∴∠BAC=∠ADC=∠°,∴∠ABD+∠°,∠BAD+∠°,∴∠BAD=∠C,∴△ABD∽△CAD. 是Rt△ADC斜边AC的中点 8. 证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠°,AD∥BC,∴∠ADE=∠,∴∠ADE=∠DEA,∴∠DEA=∠DEC.∵DF⊥AE,∴∠°=∠C.在△DFE和△DCE中 ​ 9. (1)如图,连结AD,∵AB是直径,∴∠AEB=∠°.,∴∠CAD=∠⊥BE. 四边形ABDE内接于,即 10. (1)①,即②如图,过点A作AH⊥CB于点,由①得,即 ,即 【链接好题】 1. (1)∵∠AFE=∠ADC,∠°,∴∠°.∵CD为直径 (2)证明:①∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ADC+∠°.∵∠AFE=∠ADC,∴∠AFE+∠°,∴EF∥BC.②如图,过点D作EF的平行线交AF于点G,∵DG∥EF,∴∠AFE=∠DGA,△ADG∽△AEF.∵∠AFE=∠ADC,∴∠DGA=∠ADC.由(1)知 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $