第2讲二次函数的性质（1.3）专题讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第2讲　二次函数的性质(1.3)　　浙教版 · 数学九年级上册 数学 · 九年级上册 第 1 章　二次函数 第 2 讲　二次函数的性质(1.3) (一)二次函数的轴对称性 　例题精析 例1 (1)已知二次函数 经过点 A(-2,7),B(6,7),C(3,-8), 则该二次函数图象上纵坐标为 -8 的另一点的坐标是＿⁠＿⁠＿. (2)二次函数 , 其中 a,b,c 满足 和 , 则该二次函数图象的对称轴是直线＿⁠＿⁠＿. ▸思路点拨　(1)观察 A(-2,7),B(6,7) 的特点, 纵坐标相同, 易找出对称轴, 再由对称性找到另一个纵坐标为 -8 的点. (2)方法一: 利用消元法解方程组, 得到 ; 方法二: 由 和 知, 图象经过(1,0)和(-3,0)两点, 进而求对称轴. ▸过程详解　解:(1)由点 A(-2,7),B(6,7) 的纵坐标相同, 得二次函数图象的对称轴为直线 设该抛物线上纵坐标为 -8 的另一点的坐标为 (), 根据 C(3,-8), 得 , 解得 , 所以所求点为(1,-8). 故答案为(1,-8). (2)方法一: 由题意得 利用消元法解方程, 得 , 可得该二次函数图象的对称轴为直线 方法二: 由 和 知, 图象经过(1,0)和(-3,0)两点, 因此该二次函数图象的对称轴为直线 ▸总结升华　识别已知条件的特点, 灵活运用二次函数的轴对称性求解. 　变式训练 1. 抛物线 的一部分如图所示, 那么该抛物线在 y 轴右侧与 x 轴交点的坐标是＿⁠＿⁠＿. (二)二次函数的增减性 　例题精析 例2 关于 x 的二次函数同时满足如下三个条件: ①x 为任何实数, 函数值 都能成立; ②当 时, 函数值 y 随 x 的增大而增大; ③当 时, 函数值 y 随 x 的增大而减小; 符合条件的函数的表达式可以是＿⁠＿⁠＿。 ▸思路点拨　由 判断出开口方向和顶点纵坐标, 由增减性判断出对称轴. ▸过程详解　解: 由②③可以推出对称轴为直线 ; 由①可以推出开口朝下, 即 , 因为函数的最大值为 2, 所以顶点的纵坐标为 2, 即顶点为(1,2). 由于 a 的大小不确定, 本题答案不唯一, 不防设 , 因此函数表达式为 故答案为 (答案不唯一). ▸总结升华　本题属于开放题, 只要把握对称轴、开口方向、顶点坐标即可. 　变式训练 2. 已知关于 x 的二次函数 (1)当 随 x 的增大而增大; 当 随 x 的增大而减少, 求 b 的值. (2)当 随 x 的增大而增大, 求 b 的取值范围. (三)二次函数的最值 　例题精析 例3 已知关于 x 的二次函数 过点(1,0),(5,0),(0,5). (1)若 时, 函数的最小值为 -4, 求 m 的取值范围. (2)若 时, 函数的最小值为 5, 求 m 的值. (3)若 时, 函数的最大值与最小值的和为 2, 求 m 的值. ▸思路点拨　由已知三点的特点利用交点式先求解函数表达式, 再利用图象分析最值在哪里取得. ▸过程详解　解: 由函数过(1,0),(5,0)两点, 可设交点式为 , 把(0,5)代入得 , 解得 , 二次函数表达式为 (1)如图1, ∵若 时, 函数的最小值为 -4, ∴函数在顶点取最小值, , 即 . (2)∵若 时, 函数的最小值为 5, 此时 3 不在 x 的这个范围内, 因此最小值在端点取得, 分两类: ①如图2, 当 在对称轴左侧时, 即 , 解得 随 x 的增大而减小, 最小值在 处取得. 把 代入, 得 , 解得 (舍去); ②如图3, 当 在对称轴右侧时, 即 随 x 的增大而增大, 最小值在 处取得. 把 代入, 得 , 解得 (舍去). 综上, 或 6. (3)①如图4, 当 时, 当 时, y 取最小值 ; 当 时, y 取最大值 最大值与最小值的和为 , 解得 (舍去); ②如图5, 当 时, 当 时, y 取最小值 -4. ∵最大值与最小值的和为 2, ∴最大值为 6. ∵当 时当 时, y 取最大值 6, 即 , 解得 (舍去). 综上, 或 ▸总结升华　画图, 读图, 用图, 确定最值所在的位置. 若不能唯一确定, 则需分类讨论. 　变式训练 3. 已知关于 x 的二次函数 的顶点坐标为(3,4), 且过点(0,-5). (1)若 时, 函数的最大值为 4, 求 m 的取值范围. (2)若 时, 函数的最大值为 -5, 求 m 的值. (3)若 时, 函数的最大值与最小值的和为 -2, 求 m 的值. 4. 已知二次函数 (1)若 , 函数的最小值为 -3, 求 b 的值. (2)当 时, 函数的最小值为 -3, 当 时, 函数的最小值为 -2, 求 b,c 的值. (3)若 时, 函数的最小值为 -3, 求 b 的值. (四)二次函数的性质综合 　例题精析 例4 设二次函数 y=a(x-m)(x-m-k)(a>0,m,k 是实数), 则（　　） A．当 时, 函数 y 的最小值为 -a B．当 时, 函数 y 的最小值为 -2a C．当 时, 函数 y 的最小值为 -a D．当 时, 函数 y 的最小值为 -2a ▸思路点拨　令 , 则 , 解得 , 从而求得抛物线对称轴为直线 , 再分别求出当 或 时函数 y 的最小值即可求解. ▸过程详解　解: 方法一: 令 , 则 , 解得 抛物线对称轴为直线 当 时, 抛物线对称轴为直线 , 把 代入 , 得 , ∴当 时, y 有最小值, 最小值为 -a. 故 A 正确, B 错误; 当 时, 抛物线对称轴为直线 , 把 代入 , 得 , ∴当 时, y 有最小值, 最小值为 -4a, 故 C,D 错误. 故选 A. 方法二: 与 两者之间的图象是左右平移得到, 它们的对称轴不同但顶点纵坐标是相同的, 即最小值是相同的. 故可令 , 二次函数 , 对称轴为直线 , 将 代入表达式 即可求得最小值为 , 当 时, 即可得到最小值为 -a; 当 时, 即可得到最小值为 -4a, 所以 A 正确. 故选 A. ▸总结升华　对于二次函数交点式 ()(), 可知对称轴是直线 , 顶点纵坐标为 , 而本题中 与 m 无关. 　变式训练 5. 设二次函数 ( 是实数). 已知函数值 y 和自变量 x 的部分对应取值如下表所示: (1)①若 , 求二次函数的表达式; ②写出一个符合条件的 x 的取值范围, 使得 y 随 x 的增大而减小. (2)若在 m,n,p 这三个实数中, 只有一个是正数, 求 a 的取值范围. 例5 在平面直角坐标系中, 一个图形上的点都在一边平行于 x 轴的矩形内部(包括边界), 这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形. 例如: 如图, 函数 的图象(抛物线中的实线部分), 它的关联矩形为矩形 OABC. 若二次函数 图象的关联矩形恰好也是矩形 OABC, 则 b=＿⁠＿⁠＿. ▸思路点拨　通过已知函数的图象以及关联矩形的定义, 可以发现函数 的关联矩形也是矩形 OABC, 所表达的意思就是函数 最大值是 4, 最小值是 0. 这就是变式训练 4 的第(3)问的拓展和提升. ▸过程详解　解: 易知 C(0,4),B(3,4), 函数 的最大值为 4, 最小值为 0. 对称轴为直线 如图1, 当 , 即 时如图2, 当 , 即 时当 , 即 时, 则有 ①(不符合, 舍去); ② 或 (不符合, 舍去). 综上 或 故答案为 或 ▸总结升华　读懂新定义的本质, 转化成功能在给定范围内的最值问题. 　变式训练 6. 在二次函数 中, (1)若它的图象过点(2,1), 则 t 的值为多少? (2)当 时, y 的最小值为 -2, 求出 t 的值. (3)如果点 A(m-2,a),B(4,b),C(m,a) 都在这个二次函数的图象上, 且 , 求 m 的取值范围. 　链接好题 1. 已知二次函数 (b,c 为常数) 的图象经过点 A(-2,5), 对称轴为直线 (1)求二次函数的表达式. (2)若点 B(1,7) 向上平移 2 个单位长度, 向左平移 个单位长度后, 恰好落在 的图象上, 求 m 的值. (3)当 时, 二次函数 的最大值与最小值的差为 , 求 n 的取值范围. 参考答案 【变式训练】 1. (1,0) 2. (1)∵当 随 x 的增大而增大; 当 随 x 的增大而减少, ∴对称轴为直线 , 即 , 解得 . (2)∵当 随 x 的增大而增大, 解得 . 3. 设表达式为 , 把点(0,-5)代入得 , 解得 , 二次函数的表达式为 (1)∵若 时, 函数的最大值为 4, ∴函数在顶点取最大值, , 即 . (2)∵若 时, 函数的最大值为 -5, 此时 3 不在 x 的这个范围内, 因此最大值在端点取得, 分两类: ①当 在对称轴左侧时, 即 , 解得 随 x 的增大而增大, 最大值在 处取得. 把 代入, 得 , 解得 (舍去); ②当 在对称轴右侧时, 即 随 x 的增大而减小, 最大值在 处取得. 把 代入, 得 , 解得 (舍去). 综上, 或 6. (3)①当 时, 当 时, y 取最大值 ; 当 时, y 取最小值 最大值与最小值的和为 , 解得 (舍去); ②当 时, 当 时, y 取最大值 4. ∵最大值与最小值的和为 -2, ∴最小值为 -6. ∵当 时当 时, y 取最小值 -6, 即 , 解得 (舍去). 综上, 或 4. (1)把 代入得 最小值为, 解得 (2)∵当 时, 函数的最小值为 -3, 当 时, 函数的最小值为 -2, ∴函数的最小值为 -3, 并且经过点(0,-2). 如图所示 解得 但由于对称轴在 y 轴左侧, 因此 , 即 . (3)把 代入得 对称轴为直线 . ①当 时, 在 范围内, 当 函数取最小值为 -3, 即 , 解得 ; ②当 时, 在 范围内, 在顶点取得最小值, 即 , 解得 (舍去); ③当 时, 在 范围内, 当 函数取最小值为 -3, 即 , 解得 故 b 的值为 或 5. (1)①把 (-1,4),(2,1) 代入二次函数 得 解得 二次函数的表达式是 ; ②抛物线开口向上, 对称轴为直线 , ∴当 时, y 随 x 的增大而减小. (答案不唯一) (2)∵x=0 和 时的函数值都是 1, ∴抛物线的对称轴为直线 是顶点, (-1,m) 和(3,p) 关于对称轴对称. 若在 m,n,p 这三个实数中, 只有一个是正数, 则抛物线必须开口向下, 且 二次函数为 6. (1)将(2,1) 代入 , 得 , 解得 (2)抛物线 对称轴为直线 . 若 , 当 时函数取最小值, 解得 ; 若 , 当 时函数取最小值, , 解得 (不符合题意, 舍去); 综上所述, t 的值为 (3)∵点 A(m-2,a),C(m,a) 都在这个二次函数的图象上, ∴二次函数 的对称轴直线 即为直线 , 解得 , ∴点 A 在对称轴左侧, 点 C 在对称轴右侧, 在 中, 令 得 , ∴抛物线 与 y 轴交点为(0,3), ∴点(0,3) 关于对称轴直线 的对称点为(2m-2,3). ∵b<3, ∴4<2m-2, 解得 ; ①当点 A(m-2,a),B(4,b) 都在对称轴左侧时, ∵y 随 x 的增大而减小, 且 , 解得 , 此时 m 满足的条件为 ; ②当点 A(m-2,a) 在对称轴左侧, 点 B(4,b) 在对称轴右侧时, 到对称轴直线 距离大于 A(m-2,a) 到对称轴直线 的距离, , 解得 , 此时 m 满足的条件是 . 综上所述, 或 . 【链接好题】 1. (1)∵二次函数为 抛物线的对称轴为直线 又∵点 A(-2,5) 在图象上, ∴代入得 , 解得 , ∴二次函数表达式为 (2)点 B 平移后的点的坐标为(1-m,9), 则 , 解得 或 (不合题意, 舍去), ∴m 的值为 4. 当 时, y 的最小值为 ①当 时, 此时 y 随着 x 的增大而减小, ∴当 时, y 的最大值为 5; 当 时, y 的最小值为 , 则最大值与最小值的差为 , 解得 , 不符合题意; ②当 时, y 的最小值为 , 当 或 时, y 的最大值为 5, 则最大值与最小值的差为 , 符合题意; ③当 时, y 的最小值为 , 当 时, y 的最大值为 , 则最大值与最小值的差为 , 解得 或 , 不符合题意. 综上所述, n 的取值范围为 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $