暑期预习讲义（第2讲）——根与系数关系与根的判别式（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年人教版九年级数学上册

暑期预习讲义（第2讲）——根与系数关系与根的判别式 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】根的判别式（基础必考） 1 【题型 1】直接利用根的判别式判断根的情况 2 【题型 2】利用根的判别式求参数取值范围 2 【题型 3】利用根的判别式进行进行综合求值证明 3 【知识点二】含参方程根的情况分类讨论（易错专攻） 3 【题型 3】利用根的判别式判断根的情况与分类讨论 3 【知识点三】韦达定理（根与系数的关系）核心必考 4 【题型 4】直接利用韦达定理求值 4 【知识点四】韦达定理常用变形公式（计算必考） 5 【题型 5】利用根与系数求对称值（整体思想） 5 【题型 6】方程的解与韦达定理综合求值（整体思想） 6 【题型 7】根的判别式与韦达定理综合 6 【知识点五】高频易错点总结（期末必考坑点） 7 【题型 8】根的判别式与韦达定理综合分类讨论（培优） 7 二.同步自测 7 （一） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三） 解答题（本大题共6小题，共58分） 9 学习方法：先读概念、定义→观察实例→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】根的判别式（基础必考） 1. 定义：对于一元二次方程 ，把 叫做根的判别式。 2. 判别式与根的关系（核心结论） ① ：方程有两个不相等的实数根； ②：方程有两个相等的实数根； ③ ：方程没有实数根。 3. 关键前提：以上结论只针对一元二次方程，必须保证 。 4. 判别式口诀：大于零两根异，等于零两相等，小于零无根存 【题型 1】直接利用根的判别式判断根的情况 【例题1】（2025·河北唐山·二模）已知整式．化简P，若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程不解方程，判别方程根的情况． 【题型 2】利用根的判别式求参数取值范围 【例题2】（23-24八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【变式1】（2026·广东清远·三模）若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江大庆·二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【变式3】（25-26九年级上·山东青岛·期末）（1）解方程； （2）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【题型 3】利用根的判别式进行进行综合求值证明 【例题3】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于 的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求 的值． 【变式1】（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为，求的值． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根． 【变式3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求m的取值范围． 【知识点二】含参方程根的情况分类讨论（易错专攻） 1. 题目含参数、未说明方程类型时，必须分两类讨论： ① 当 ：方程退化为一元一次方程，必有且只有一个实数根； ② 当 ：方程为一元二次方程，用 判断根的情况。 2. 常见题型条件对应： ① 方程有两个实数根： 且 ； ② 方程有实数根：分一次、二次讨论，无需默认两个根； ③ 方程无实数根： 且。 【题型 3】利用根的判别式判断根的情况与分类讨论 【例题3】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求的值； （3）若方程的两个根均为正整数，直接写出的值． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知a，b是关于x的一元二次方程的两根． （1）求n的取值范围； （2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，2，求n的值． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于的方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值和这个等腰三角形的周长． 【变式3】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的方程 （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根． （2）若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【知识点三】韦达定理（根与系数的关系）核心必考 1. 适用条件：一元二次方程 ，且方程有实数根（）。 2. 韦达定理公式（两根和、两根积） 若方程两根为 ，则：； 3. 核心口诀：和负a分之b，积为a分之c 【题型 4】直接利用韦达定理求值 【例题4】（25-26九年级上·四川泸州·期中），是方程的两个根，请计算下列式子的值． （1）与的值是多少？ （2）值是多少？ 【变式1】（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广东清远·三模）一元二次方程的两根为，，则______． 【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知：，且，求的值． 【知识点四】韦达定理常用变形公式（计算必考） 无需解方程，直接用两根和、两根积整体代入求值： 1. 2. 3. 4. 【题型 5】利用根与系数求对称值（整体思想） 【例题5】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）设，为方程的两根，试求下列各式的值； （1） （2） （3） 【变式1】（25-26八年级下·安徽六安·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 【变式2】（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）为方程的两个根，则代数式的值为______． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： （1）填空：________；________； （2）； （3）． 【题型 6】方程的解与韦达定理综合求值（整体思想） 【例题6】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）设是方程的两个根，则的值为___________． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）若m，n是方程两个根，则的值是（    ） A．2026 B． C．2025 D． 【变式3】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【题型 7】根的判别式与韦达定理综合 【例题7】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围． （2）若方程的一个根是另一个根的两倍，求a的值． 【变式1】（2026·河北唐山·模拟预测）若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）若关于的方程的两实数根互为相反数，则_______． 【变式3】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知关于的一元二次方程，其中为实数． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求另一个根； （3）若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 【知识点五】高频易错点总结（期末必考坑点） 1. 使用韦达定理必须先保证有实数根，即 ，否则公式不成立； 2. 求两根和时极易漏负号：； 3. 含参题目默认一元二次方程，一定要写 ； 4. “有两个实数根”和“有实数根”是完全不同的两个条件，不可混用。 【题型 8】根的判别式与韦达定理综合分类讨论（培优） 【例题8】（2025九年级·湖南怀化·竞赛）实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，求所有满足条件的数组． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数 【变式2】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个直角三角形的两条边的长度，第三条边为时，则的值为___________． 【变式3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知关于、的方程组恰有两组不同的实数解，求实数的取值范围． 二.同步自测 （1） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知三个实数，，满足，，，则关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．无实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 3．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南娄底·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数与一次函数交于A、B两点，连接、、，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北唐山·模拟预测）一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 6．（2023·云南·模拟预测）当时，关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．（2026·河南平顶山·三模）定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 8．（25-26九年级上·山西晋城·阶段检测）若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为（   ） A．0 B．2 C．2026 D．2028 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（  ） A． B． C． D． 10．（2025·江苏南通·一模）已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）一元二次方程根的判别式的值为___________． 12．（2025·吉林长春·模拟预测）若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 13．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 14．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 15．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是______． 16．（2026·黑龙江大庆·二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 17．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 18．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． （3） 解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）设，是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的一个根，求m的值与另一个根． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两根满足，求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； （3）若的值为负整数，求实数的整数值． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第2讲）——根与系数关系与根的判别式 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】根的判别式（基础必考） 1 【题型 1】直接利用根的判别式判断根的情况 2 【题型 2】利用根的判别式求参数取值范围 3 【题型 3】利用根的判别式进行进行综合求值证明 5 【知识点二】含参方程根的情况分类讨论（易错专攻） 8 【题型 3】利用根的判别式判断根的情况与分类讨论 8 【知识点三】韦达定理（根与系数的关系）核心必考 12 【题型 4】直接利用韦达定理求值 12 【知识点四】韦达定理常用变形公式（计算必考） 14 【题型 5】利用根与系数求对称值（整体思想） 14 【题型 6】方程的解与韦达定理综合求值（整体思想） 17 【题型 7】根的判别式与韦达定理综合 19 【知识点五】高频易错点总结（期末必考坑点） 23 【题型 8】根的判别式与韦达定理综合分类讨论（培优） 23 二.同步自测 26 （一） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 31 （三） 解答题（本大题共6小题，共58分） 34 学习方法：先读概念、定义→观察实例→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】根的判别式（基础必考） 1. 定义：对于一元二次方程 ，把 叫做根的判别式。 2. 判别式与根的关系（核心结论） ① ：方程有两个不相等的实数根； ②：方程有两个相等的实数根； ③ ：方程没有实数根。 3. 关键前提：以上结论只针对一元二次方程，必须保证 。 4. 判别式口诀：大于零两根异，等于零两相等，小于零无根存 【题型 1】直接利用根的判别式判断根的情况 【例题1】（2025·河北唐山·二模）已知整式．化简P，若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 【答案】，方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 先对整式化简，再将转化为一元二次方程，最后利用判别式判断方程实数根的情况即可． 解：； 当时，， ∵； ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可 解：对于一元二次方程， 其中，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此方程无实数根 【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程不解方程，判别方程根的情况． 【答案】此方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，正确掌握根的判别式与根的关系是解题的关键．根据，代入数值进行计算，即可作答． 解：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根． 【题型 2】利用根的判别式求参数取值范围 【例题2】（23-24八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 【变式1】（2026·广东清远·三模）若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需分类讨论方程的类型，结合一元一次方程，一元二次方程根的概念求解，注意一元二次方程中两个相等的实数根仍属于两个根。 解：∵ 题目未明确方程为一元二次方程，需对二次项系数分类讨论， 当时，原方程化简为，属于一元一次方程，有且只有一个实数根，符合题意， 当时，原方程是一元二次方程，即使判别式，方程也只有两个相等的实数根，并非一个实数根，不符合题意， ∴ 只有满足条件． 【变式2】（2026·黑龙江大庆·二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，分别根据方程有实数根求解，再综合得到的取值范围即可． 解：当时，原方程为， 解得：，方程有实数根，符合题意； 当时，方程是一元二次方程， ∵一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得且； 综上所述：的取值范围是． 【变式3】（25-26九年级上·山东青岛·期末）（1）解方程； （2）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤及方法；（2）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”． （1）利用配方法解一元二次方程，即可求出结论； （2）根据方程的系数结合根的判别式，解之即可得出结论． 解：（1）， ，即， ∴， ∴，． （2）∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是． 【题型 3】利用根的判别式进行进行综合求值证明 【例题3】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于 的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求 的值． 【答案】（1）证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． （2）或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 解：（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 【变式1】（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． （）根据根的判别式即可求出答案； （）把代入方程中即可求出答案． 【小问1】 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2】 解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根． 【答案】（1）见分析；（2），此时方程的根为 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程； （1）由根的判别式，可证出：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）由关于的方程有两个相等的实数根，可得出根的判别式，解之可得出的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程即可． 解：（1）证明： ， 不论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 将代入原方程得：， 即 解得：， 的值为，此时方程的根为． 【变式3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求m的取值范围． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于 0 证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 解：（1）证明：∵， ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ， 或， ∵方程有一个根为非负数， ， ． 【知识点二】含参方程根的情况分类讨论（易错专攻） 1. 题目含参数、未说明方程类型时，必须分两类讨论： ① 当 ：方程退化为一元一次方程，必有且只有一个实数根； ② 当 ：方程为一元二次方程，用 判断根的情况。 2. 常见题型条件对应： ① 方程有两个实数根： 且 ； ② 方程有实数根：分一次、二次讨论，无需默认两个根； ③ 方程无实数根： 且。 【题型 3】利用根的判别式判断根的情况与分类讨论 【例题3】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求的值； （3）若方程的两个根均为正整数，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）5或8或9 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可得； （2）先得出，再求出方程的解，代入方程求解即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再根据方程的两个根均为正整数分类讨论，代入计算即可得． 解：（1）解：∵关于的方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． （2）解：当取最大整数值时，则， ∴方程为， 解得， ∵方程与有一个相同的根， ∴， 解得． （3）解：设关于的方程的两个根为， ∴，， ∵这个方程的两个根均为正整数， ∴①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， ⑤当时，， 综上，的值为5或8或9． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知a，b是关于x的一元二次方程的两根． （1）求n的取值范围； （2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，2，求n的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式、以及等腰三角形的定义，注意要分类讨论． （1）根据根的判别式列出方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分①或，②两种情况讨论． 解：（1）由题意，得． ∵a，b是关于x的一元二次方程的两根， ∴， ∴． （2）∵三角形是等腰三角形， ∴有①或，②两种情况． ①当或时， ∵a，b是关于x的一元二次方程的两根， ∴是方程的一根． 把代入， 得， 解得． 当时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故不合题意，舍去； ②当时，方程有两个相等的实数根， ∴，解得． 综上所述，． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于的方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值和这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）详见分析；（2），周长： 【分析】（1）分情况讨论：，化为一元一次方程，求解；，化为一元二次方程，运用根的判别式处理； （2）对等腰三角形分情况讨论，分别求解，运用三角形三边关系定理判断取舍． 解：（1）解：当时，方程化为，解得：，方程有解； 当时，， ， ， 无论取任何实数，方程总有实数根； 综上，无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：解方程得，， ①当腰长为4，则 ∴，周长 ②当底边为4，则， ∴． ，，不符合题意． 故，周长为9 【点拨】本题一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求解；注意分情况讨论是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的方程 （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根． （2）若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）见分析；（2）10 【分析】（1）先计算判别式的值得到，根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，方程有两个相等的实数根，解得，然后解方程得到；当或时，方程有一个根，可解得k的值，则代入方程可解答． 解：（1）证明： ∵无论k取何值， ∴ ∴无论k取何值，此方程总有实数根； （2）解： 由（1）得， ①当时，即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴把代入， 得， 整理得 ∴ ∴ ∵， ∴不能构成三角形，舍去 ②当或时，即方程有一个根， ∴ 解得：， 方程化为， 解得， 即三边为4，4，2，能构成三角形， 则周长， ∴这个等腰三角形的周长是10． 【知识点三】韦达定理（根与系数的关系）核心必考 1. 适用条件：一元二次方程 ，且方程有实数根（）。 2. 韦达定理公式（两根和、两根积） 若方程两根为 ，则：； 3. 核心口诀：和负a分之b，积为a分之c 【题型 4】直接利用韦达定理求值 【例题4】（25-26九年级上·四川泸州·期中），是方程的两个根，请计算下列式子的值． （1）与的值是多少？ （2）值是多少？ 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系作答即可； （2）将化为，进而计算即可． 解：（1）解：对于，其中，， ， ； （2）解：． 【变式1】（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 【变式2】（2026·广东清远·三模）一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知：，且，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查根与系数的关系，分式的值等知识．由题意．推出，可得结论． 解：由可知． 两边除以得到，． 即， 又，且，即． ，是方程的两根， ， ． 【知识点四】韦达定理常用变形公式（计算必考） 无需解方程，直接用两根和、两根积整体代入求值： 1. 2. 3. 4. 【题型 5】利用根与系数求对称值（整体思想） 【例题5】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）设，为方程的两根，试求下列各式的值； （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分后代值计算即可． （2）将所求代数式通分后代值计算即可． （3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果． 解：（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴ ， ． 【变式1】（25-26八年级下·安徽六安·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将所求式子变形，代入计算即可得到结果． 解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴，， 又∵ ， ∴ 代入得． 【变式2】（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）为方程的两个根，则代数式的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为．根据根与系数的关系得到，将原式化简得，再整体代入求解即可． 解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： （1）填空：________；________； （2）； （3）． 【答案】（1）2，；（2）；（3）8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系（）代入求值即可； （2）运用乘法公式变形计算即可求解； （3）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 解：（1）解：关于的方程有两个实数根、， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴原式． 【题型 6】方程的解与韦达定理综合求值（整体思想） 【例题6】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分别求得和的值即可． 解：因为是一元二次方程的根，可得 ． 变形，得 ． 由一元二次方程根与系数的关系，得 ． 所以． 【变式1】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）设是方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后利用整体代入的方法计算． 解：是方程的根， ，即， 是方程的两个根， ， ． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）若m，n是方程两个根，则的值是（    ） A．2026 B． C．2025 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程方程解的定义、根与系数关系及代数式求值，由m是方程的解，得，代入所求式得，再通过根与系数关系求的值，进而求出结论． 解：∵ m是方程的解， ∴， ∴， ∴， 又∵是方程的两个根， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【分析】根据，是方程的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可． 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，且， 整理得，， 则 ． 【题型 7】根的判别式与韦达定理综合 【例题7】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围． （2）若方程的一个根是另一个根的两倍，求a的值． 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式，求解即可； （2）设方程的两个不相等的实数根为，，则，，可求出，，根据列出关于a的方程，求解即可． 解：（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 且． （2）解：设方程的两个不相等的实数根为，， ∵方程的一个根是另一个根的两倍， ∴不妨设， ， ∴， ， ∴， ， ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． 【变式1】（2026·河北唐山·模拟预测）若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】D 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出m的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断各选项即可． 解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数 ∴ 将代入方程得 方程中，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根，A错误； 将代入方程，左边 ∴不是原方程的根，B错误； 对于一元二次方程，两根之和为 ∴两根之和为 ，C错误； 对于一元二次方程，两根之积为 ∴ 两根之积为 ，D正确． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）若关于的方程的两实数根互为相反数，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及相反数的定义， 根据已知和根与系数的关系得出，根据相反数的定义得出，求出k值，然后分别计算，即可确定k的值． 解：设方程的两实数根为，，则， ∵关于的方程的两实数根互为相反数， ∴， 解得， 当时，原方程为， ∵， ∴方程无解， ∴不符合题意，舍去； 当时，原方程为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意 ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知关于的一元二次方程，其中为实数． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求另一个根； （3）若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】（1）由根的判别式计算即可证明； （2）将已知的方程根代入方程后可求得的值，再根据根与系数的关系得到的值，进而可得另一个根； （3）方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得到，，再根据两个根的取值范围得到，然后解不等式即可． 解：（1）证明：一元二次方程化为一般形式为， ， 该方程有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得，，解得， 此方程为， ， 另一根为； （3）解：设方程的两个实数根为，， ，， 方程的一个根大于，另一个根小于， ， ， ，解得． 【知识点五】高频易错点总结（期末必考坑点） 1. 使用韦达定理必须先保证有实数根，即 ，否则公式不成立； 2. 求两根和时极易漏负号：； 3. 含参题目默认一元二次方程，一定要写 ； 4. “有两个实数根”和“有实数根”是完全不同的两个条件，不可混用。 【题型 8】根的判别式与韦达定理综合分类讨论（培优） 【例题8】（2025九年级·湖南怀化·竞赛）实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，求所有满足条件的数组． 【答案】或（为任意实数） 【分析】先根据根与系数的关系列出关于a，b，c，d的方程组，再通过消元、分情况讨论求解即可． 解：由题意得，， ， 当时，则，， ， 满足条件的数组为； 当，则，即， 满足条件的数组为（为任意实数）， 经检验，所有满足条件的数组为或（为任意实数）． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的根的情况，逐项分析判断即可． 解：对于A：∵当时，代入方程得， ∴当，方程的一个根为，但1不一定是方程的根，故错误． 对于B：∵时，方程化为，∴有一个根为0，正确． 对于C：∵时，方程化为，解得，两根互为相反数，正确． 对于D：∵时，两根之积为，∴两根互为倒数，正确． 综上，不正确的是A． 故选A． 【变式2】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个直角三角形的两条边的长度，第三条边为时，则的值为___________． 【答案】或5 【分析】求出根的判别式判断该方程一定有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴该方程一定有两个不相等的实数根； 设方程的两个根为， 则：，， 当该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，且这个直角三角形的斜边长为， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， ∵， 当时，，不合题意，舍去． ∴． 当该方程的两根一个是直角三角形的边长记为，另一个斜边记为， 则：，， 由勾股定理得，即， ∴， ∴， 解得：或（舍去） 综上，的值为或5． 【变式3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知关于、的方程组恰有两组不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】将原方程组化为，然后分和讨论，当时，则该一元二次方程的根为一个正根、一个负根或两个相等的正实数根，才能使得方程组恰有两组不同的实数解，据此求解即可． 解： 由①得， 将代入②得，， 整理得，， 当时，，解得， 此时，符合题意； 当时，则该一元二次方程的根为一个正根、一个负根或两个相等的正实数根，才能使得方程组恰有两组不同的实数解， 当该一元二次方程的根为一个正根、一个负根时，由一元二次方程根与系数的关系得到，， 则或 ∴； 当该一元二次方程有两个相等的正实数根时，， 解得， ∴， 解得，符合题意； 综上，实数的取值范围为或． 二.同步自测 （1） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据根与系数的关系解题即可． 解：， ， ∴，， ∴点为，在第四象限． 2．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知三个实数，，满足，，，则关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．无实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】先由题意可得，，又，则，，然后通过根的判别式即可求解． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴方程无实数根． 3．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 解：，是一元二次方程的两根，，，， ，， ． 4．（2026·湖南娄底·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数与一次函数交于A、B两点，连接、、，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则和是方程的两个解，得到，．设一次函数与轴交于点，根据，得到，平方后解方程即可． 解：设，． 联立，整理得， ∴和是方程的两个解， ∴， ∴． 设一次函数与轴交于点， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 整理得，即 解得或（舍去）， ∴． 5．（2026·河北唐山·模拟预测）一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 6．（2023·云南·模拟预测）当时，关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题利用已知条件将用表示，再计算一元二次方程的根的判别式，通过配方判断判别式与的大小关系，即可得出方程根的情况． 解：∵，∴， 一元二次方程的根的判别式为： 把代入得： 配方得 ∵任意实数的平方为非负数，即， ∴， ∴原一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：A． 7．（2026·河南平顶山·三模）定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 8．（25-26九年级上·山西晋城·阶段检测）若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为（   ） A．0 B．2 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了一元二次方程的解． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，然后代入代数式化简计算即可． 解：∵ 方程 的两根为 , ， ∴ , ， ∵ ， 代入得：． ∴ 原式的值为 2． 故选：B． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．根据题意可得，再根据根与系数关系得，即，再代入求值即可． 解：∵点和在函数图象上， ∴，即， 同理， ∴和是方程的两个根， 由根与系数的关系，得， ∴． ， ． ∴． 故选：B． 10．（2025·江苏南通·一模）已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点，根据题意建立参数方程成为解题的关键． 由以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 解：∵， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：， 当，即时，方程可化为，解得或0，但无意义，仅有，不符合题意． 综上，的取值范围是或． 故选D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）一元二次方程根的判别式的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式，代入题中数值计算即可． 解：∵中，，， ∴， 故答案为：1． 12．（2023·吉林长春·模拟预测）若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】/0.25 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再求出解即可． 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 13．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程两根之和的关系，结合已知的一个根即可求出另一个根． 解：由题意可知，一元二次方程中，，， 根据根与系数的关系，可得， ∵， ∴，即方程的另一个根为． 14．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和． 解：由题意得，在一元二次方程中，． 15．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点在第四象限，得出，，从而可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解． 解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 16．（2026·黑龙江大庆·二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，分别根据方程有实数根求解，再综合得到的取值范围即可． 解：当时，原方程为， 解得：，方程有实数根，符合题意； 当时，方程是一元二次方程， ∵一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得且； 综上所述：的取值范围是． 17．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 【答案】 1 【分析】（1）设一元二次方程的另一个根为，利用根与系数的关系求得，； （2）由题意得，对原式化简，再利用整体代入求解即可． 解：（1）设一元二次方程的另一个根为， 则， ， ， ， ； （2）， ， ． 18．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． （3） 解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）设，是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系，得到，，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 解：（1）解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ； （2）∵， ∴ ． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的一个根，求m的值与另一个根． 【答案】（1）见分析；（2）m的值为，另一个根为2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）设方程的另一个根为a，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 解：（1）解：， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为a， ∵是方程的一个根， ∴，， 解得：，， 即m的值为，另一个根为2． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两根满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据根与系数的关系可得，则有，进而求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解决此题的关键． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入计算即可求解． 解：（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； （3）若的值为负整数，求实数的整数值． 【答案】（1）且；（2）不存在，理由见分析；（3）实数的整数值为或或或 【分析】（1）先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再由方程有两个实数根得出判别式大于等于，联立两个条件求出的取值范围； （2）利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，再对已知等式进行移项变形，将两根之和与两根之积代入求解，最后结合（1）的范围判断该是否符合题意，从而确定是否存在； （3）先将代数式展开并代入两根之和与两根之积化简得到关于的分式，再根据结果为负整数的条件，分析得出分母为的正约数，进而求出对应的整数． 解：（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）解：不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵且， ∴不符合题意，舍去， ∴不存在实数，使成立； （3）解：， ∵的值为负整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴实数的整数值为或或或． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定即可得证； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入已知等式解一元二次方程即可． 解：（1）解：略 （2）解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $