第8讲 正多边形、弧长及扇形（3.7～3.8）专题讲义 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第8讲　正多边形、弧长及扇形(3.7~3.8)　　浙教版 · 数学九年级上册 数学 · 九年级上册 第 3 章　圆的基本性质 第 8 讲　正多边形、弧长及扇形(3.7~3.8) (一)正多边形的外接圆 　例题精析 例1 已知,正方形ABCD内接于⊙ O,P是上一点. (1)如图1,若P是的中点,求证:. (2)如图2,若图中,求∠ABP的度数. ▸思路点拨　(1)连结DE,由等弧所对的圆周角相等得到,可知,即可证. (2)由圆和正方形的轴对称性可得∠1=∠2,由角平分线性质定理逆定理得∠PDE=∠2,则易求∠ABP的度数. ▸过程详解　(1)证明:如图1,连结DE,∵四边形ABCD是正方形是的中点 (2)解:如图2,连结DE,DP,∵四边形ABCD是正方形 由(1)知 ▸总结升华　利用正方形的性质得到的直角三角形,另外看到直径,通常构造圆周角,由圆周角定理得到的直角三角形,用勾股定理和等腰三角形的判定解决问题. 　变式训练 1. 如图,正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙ O的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M,N分别从点B,C开始,以相同的速度在⊙ O上逆时针运动. (1)求图1中∠APB的度数. (2)图2中,∠APB的度数是＿⁠＿⁠＿,图3中∠APB的度数是＿⁠＿⁠＿. (3)根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形情况?若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由. (二)与正多边形有关的计算 　例题精析 例2 (1)如图,有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(结果保留根号). (2)亭子地基如果是正八边形,其他条件不变. ①(尺规作图)在如图所示的圆中画出正八边形; ②求出地基的面积.(结果保留根号) ▸思路点拨　(1)连结OA,OB,把六边形问题变为三角形问题. (2)①通过作角平分线或者垂直平分线把圆八等分,再顺次连结各个点,即可得到正八边形;②仍然构造三角形,把八边形问题转化为三角形问题. ▸过程详解　解:(1)如图1,连结OA,OB,过点O作为等边三角形 (2)①如图2,a.画直径AE,作AE的垂直平分线CG;b.连结AG,GE,并作AG和GE的垂直平分线,分别交⊙ O于点H,D,F,B;c.顺次连结A,B,C,D,E,F,G,H各点,得正八边形(也可以作角平分线). 以上就是使用尺规作图绘制圆内接正八边形的基本步骤. 需要注意的是,在作图过程中要尽量保证精度,这样才能得到较为规则的正八边形. ②如图3,连结AO,BO,CO,AC. ∵正八边形ABCDEFGH的外接圆⊙ O半径为,此时AC与BO垂直正八边形面积为 ▸总结升华　(1)画正多边形就可以考虑如何把圆n等分. (2)正多边形的面积等问题转化为三角形的问题来解决. (3)正多边形的中心角为 　变式训练 2. 如图,正六边形与正方形有重合的中心O,连结OB,OC,则∠BOC的度数是＿⁠＿⁠＿. (三)求扇形的弧长 　例题精析 例3 如图,在等腰三角形ABC中,以AB为直径作半圆,与AC,BC分别相交于点D,E,则的长度为 ▸思路点拨　连结OD,OE,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠A的度数,证明OE∥AC,再由以及等腰三角形的性质和平行线的性质求得∠DOE的度数,利用弧长公式即可求解. ▸过程详解　解:如图,连结 在△ABC中 又的长度为 故选C. ▸总结升华　根据弧长公式,要求弧长就是要求扇形的圆心角和半径. 　变式训练 3. 如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆上两点,且满足,则的长为（　　） A． B． C． D． (四)扇形的面积 　例题精析 例4 如图,AB是⊙ O直径,弦CD垂直于AB,交AB于点E,连结 (1)∠CAB=＿⁠＿⁠＿. (2)求半径OC. 的弧长. (4)求阴影部分的面积. ▸思路点拨　(1)根据圆周角定理得即可. (2)根据垂径定理得,即可求出半径OC. (3)根据弧长公式求的长度即可. (4)阴影部分的面积等于扇形BOC的面积. ▸过程详解　解 (2)∵AB是⊙ O直径,弦CD垂直于半径OC为4. 的长度为 (4)扇形BOC的面积为,根据题意可知,阴影部分的面积等于扇形BOC的面积,∴阴影部分的面积为 ▸总结升华　根据弧长公式,扇形面积公式,要求弧长和扇形面积就是要求扇形的圆心角和半径. 　变式训练 4. 如图,⊙ O的半径为3,边长为2的正六边形ABCDEF的中心与点O重合,M,N分别是AB,FA的延长线与⊙ O的交点,则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 5. 如图,在⊙ O中,直径为AB上方圆上的一点于点E,P是OE上一点,连结DP,AP,得出下列结论: Ⅰ:阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变,其最小值为 Ⅱ:阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变,其最小值为 下列判断正确的是（　　） A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确 (五)运动路径问题 　例题精析 例5 已知矩形,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(),得到矩形AEFG. (1)当点E在BD上时,求证:AF∥BD. (2)当时,求α的值. (3)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转的过程中,求CD扫过的面积. ▸思路点拨　(1)欲证AF∥BD,只需证∠AEB=∠EAF,进而想到证△AEF≌△BAD. (2)GB=GC,可知点G在BC的垂直平分线上,故可知点G所在的位置是AD的左侧或右侧. (3)画出草图,标出CD扫过的面积,可知CD扫过的面积是两个扇形的面积差. ▸过程详解　解:(1)如图1,连结AF. 由旋转可得,,∴∠AEB=∠ABE,∵四边形ABCD是矩形 (2)当时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论:①如图2,当点G在AD右侧时,取BC的中点H,连结GH交AD于点M,连结⊥BC,∴四边形ABHM是矩形垂直平分,∴△ADG是等边三角形旋转角;②如图3,当点G在AD左侧时,同理可得△ADG是等边三角形旋转角 综上,α的值为或 (3)如图 ▸总结升华　路径问题跟图形的旋转紧密联系,画出图形旋转前后的位置,从而找到路径. 　变式训练 6. 如图,Rt△ABC中分别为边AB,AC的中点,将△ABC绕点B顺时针旋转到的位置,求: (1)整个旋转过程中点H运动的路径长. (2)整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积. (六)不规则图形的面积问题 　例题精析 例6 求下列图形阴影部分的面积. (1)如图1,半径为6的圆弧和两条半径OA,OB围成一个扇形,分别以扇形的两条半径OA,OB为直径在扇形的内部作半圆,求阴影部分的面积.(结果保留π) (2)如图2所示,求图中阴影部分的面积.(结果保留π) ▸思路点拨　(1)连结AB交两部分阴影交界处于点H,阴影部分的面积为 (2)先由求出扇形AOB中空白部分面积,再由-扇形AOB中空白部分面积,即可求. ▸过程详解　解:(1)如图1,连结AB交两部分阴影交界处于点H,易知AB右侧空白处的面积和OH之间阴影的面积相等,故空白部分的面积,则阴影部分的面积为 (2)如图2,设扇形AOB中空白部分面积为x,则阴影部分的面积为 ▸总结升华　用割补法把不规则图形转化为规则图形,再计算图形的面积. 　变式训练 7. 如图,以△ABC的边AB为直径作半圆,分别交边AC,BC于点D,E,点O为圆心,连结AE,OE. 已知E是的中点 (1)求∠EOB的度数. (2)若直径,求阴影部分的面积. (七)美妙的镶嵌 　例题精析 例7 【问题背景】 生活中,我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面. 在这些地面上,相邻的地砖平整地贴合在一起,整个地面没有一点空隙. 从数学角度来看,当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时,就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案,我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题. 如图1是由正方形镶嵌而成的图案,图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案. 【探究发现】 (1)填写表中空格: (2)如果只用一种正多边形镶嵌,那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有＿⁠＿⁠＿. ①正三角形 ②正五边形 ③正六边形 ④正七边形 ⑤正八边形 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌,镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形,求x和y的值. ▸思路点拨　(1)根据正多边形的内角的计算方法进行计算即可. (2)求出正三角形、正五边形,正六边形,正七边形,正八边形的内角度数,再根据“密铺”的性质进行计算即可. (3)求出的正整数解即可. ▸过程详解　解:(1)正三角形的每一个内角的度数为,正方形的每一个内角的度数为,正五边形的每一个内角的度数为,同理可得后两空. 故答案为 (2)由(1)的方法可求出,①正三角形的每一个内角的度数是;②正五边形的每一个内角的度数是;③正六边形的每一个内角的度数是;④正七边形的每一个内角的度数是;⑤正八边形的每一个内角的度数是 由于,所以只用一种正多边形镶嵌,那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形,正六边形. 故答案为①③. (3)由题意得,x,y满足的正整数解,二元一次方程的正整数解为或 答:x和y的值为或 ▸总结升华　密铺性质:几个正多边形拼在一起时,在公共顶点处的几个角,正好拼成一个的周角. 　变式训练 8. 下列边长为a的正多边形组合起来,不能进行平面镶嵌的是 ①正三角形;②正方形;正六边形;④正八边形;⑤正十二边形.（　　） A．①② B．①⑤ C．②③ D．②④ 　链接好题 1. 如图,⊙ O是边长为的等边三角形ABC的外接圆,D是的中点,连结BD,CD. 以点D为圆心,BD的长为半径在⊙ O内画弧,则阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．16π 参考答案 【变式训练】 1. (1)∵点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙ O上逆时针运动,∴∠BAM=∠CBN. 又 ​ (3)由(1)(2)可知,∠APB等于所在多边形的外角度数,故在正n边形中 2. 3. B 4. B 【解析】如图,延长BC,CD,DE,EF分别交⊙ O于点I,J,K,H,过点O作OQ⊥CD,连结OC,OD. ∵正六边形ABCDEF的中心与点O重合是等边三角形阴影部分的面积为 故选B. 5. B 【解析】如图,连结AD,OD,BP. ∵AB是⊙ O的直径为定值,即阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变,为定值,Ⅰ错误. 阴影部分的周长,又∵点O为圆心,∴OE垂直平分线段,∴当点A,P,B共线时,AP+DP的值最小,∴AP+DP的值最小为8,∴阴影部分的周长最小值阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变,其最小值为,Ⅱ正确. 故选B. 6. (1)如图,连结为AC的中点,在Rt△BCH中将△ABC绕点B顺时针旋转到的位置弧的长度,即整个旋转过程中点H运动的路径长为 (2)如图,设BH交弧于点交弧于点为AB的中点,,易知线段OH所扫过部分的面积 7. (1)∵E是的中点,∴∠DAE=∠EAB. ∵AB是直径 (2)如图,连结OD,过点O作OT⊥AD于点T,过点E作EJ⊥OB于点J,易得经过圆心O,易得,易得 8. C 【链接好题】 1. C 【解析】如图,过点D作DE⊥BC于点E. ∵⊙ O是边长为的等边三角形ABC的外接圆,点D在⊙ O上是的中点 故选C. 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $