专题 3.7 弧长及扇形的面积（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“弧长及扇形的面积”核心知识点，系统梳理弧长公式（含推导原理及三量关系）、扇形面积双公式（角度式与弧长式）、扇环面积计算（大扇形减小扇形）及阴影面积解题方法（和差法、割补法、整体合并法），构建从基础公式到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计（基础入门到拔高拓展），结合中考真题变式，通过例题解析强化几何直观（如割补法转化不规则阴影）和推理意识（公式变形与角度转化），同步检测覆盖选择、填空、解答，课中辅助教学分层突破，课后助力学生查漏补缺。

专题 3.7 弧长及扇形的面积（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】弧长公式 1 【知识点二】扇形定义及扇形面积公式 1 【知识点三】扇环面积计算 2 【知识点四】扇形阴影面积常用解题方法 2 二.题型精析 2 【题型 1】弧长公式基础计算（基础·入门） 2 【题型 2】扇形、扇环面积基础计算（基础·进阶） 4 【题型 3】割补法求不规则阴影面积（中档·必考） 5 【题型 4】扇形几何综合压轴（拔高·拓展） 6 三.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 11 一.知识梳理与解读 【知识点一】弧长公式 在半径为的圆中，圆心角为所对的弧长计算公式： 【要点提示】 1. 公式中表示圆心角度数，无单位，为圆弧所在圆的半径； 2. 公式推导原理：整个圆周长对应圆心角，圆心角对应的弧长占圆周长的； 3. 已知弧长、圆心角、半径三个量中任意两个，可变形公式求解第三个量； 4. 半圆弧长：圆心角，弧长。 【知识点二】扇形定义及扇形面积公式 一条弧和经过这条弧两端点的两条半径所围成的图形，叫做扇形。扇形是圆的一部分。 1. 角度式面积公式（已知圆心角、半径）： 2. 弧长式面积公式（已知弧长、半径）： 【要点提示】 1. 两个公式等价，已知圆心角优先用角度式，已知弧长优先用弧长式，计算更简便； 2. 扇形周长易错点：扇形周长弧长，必须包含两条半径，不可只算弧长； 3. 公式可类比三角形面积记忆：将弧长看作底，半径看作高，简化记忆； 4. 半圆面积：。 【知识点三】扇环面积计算 同一圆心、不同半径的两个扇形形成的环形扇形叫做扇环。设大圆半径为，小圆半径为，圆心角为，则扇环面积： 【要点提示】 1. 扇环面积本质为：大扇形面积减去小扇形面积； 2. 适用于所有同心扇形阴影计算，利用平方差公式可简化运算。 【知识点四】扇形阴影面积常用解题方法 1. 和差法：将阴影面积转化为扇形、三角形、圆形等规则图形的面积和或差； 2. 割补法：通过平移、旋转、等积替换，将不规则零散阴影拼接为完整标准扇形； 3. 整体合并法：多个分散小扇形，可合并圆心角整体计算，无需单独求解。 【要点提示】 1. 常利用三角形内角和、平行线性质、圆周角定理转化角度，简化计算； 2. 同圆中相等的弧、相等的圆心角对应扇形面积相等，可等量替换解题。 二.题型精析 【题型 1】弧长公式基础计算（基础·入门） 核心考点：直接套用弧长公式，结合圆周角转化圆心角 【例题1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是的直径，切于点B，交于点D．已知的半径为1，． （1）求的度数． （2）求的长．（结果保留） 【变式1】（25-26九年级上·云南·阶段检测）如图，用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是________．（结果保留） 【变式3】（25-26九年级上·甘肃酒泉·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）直接写出点的坐标： （3）求点经过的路径的长结果保留 方法总结：题目给出圆周角时，先转化为对应圆心角，再代入弧长公式计算。 【题型 2】扇形、扇环面积基础计算（基础·进阶） 核心考点：灵活选用扇形双公式，掌握扇环面积差计算 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角度数为，另外两个扇形的圆心角度数的比为． （1）分别求另外两个扇形的圆心角的度数； （2）若圆的半径是，求圆心角度数为的扇形的面积（结果保留）． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·甘肃平凉·二模）中国是个重视孝道的国家，“孝”是我国传统的美德．如图①是一块弘扬“孝”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，点、分别在、上，与都是以为圆心，、长分别为半径，圆心角，若，，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【变式3】（24-25六年级下·上海·阶段检测）如图，扇形的圆心角是，弧的长度是厘米，的长度是15厘米．求阴影部分的面积（取） 方法总结：同心扇环面积直接用大扇形面积减小扇形面积，圆心角统一无需重复计算。 【题型 3】割补法求不规则阴影面积（中档·必考） 核心考点：等积变形，不规则图形转化为标准扇形 【例题3】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，四边形内接于，是的直径，且． （1）求的度数； （2）若，，求阴影部分的面积 【变式1】（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在正方形中，以点为圆心，长为半径画弧．连接，若，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【变式3】（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，已知是半圆的直径，是半圆上的一点，连接，并延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）若，求阴影部分的面积． 方法总结：利用平行线等积替换，将不规则阴影转化为规则扇形，简化运算。 【题型 4】扇形几何综合压轴（拔高·拓展） 核心考点：圆心角整体合并，扇形与三角形综合计算 【例题4】（25-26八年级下·四川巴中·期末）如下图，图中的网格均是边长为1的小正方形． （1）图1中的“赵爽弦图”是__________对称图形（填“轴”或“中心”）； （2）利用图2中的绕点C每次旋转___________度，共旋转__________次，得到图中的风车图案；每旋转1次，点A经过的路径长为__________； （3）请利用四个全等的直角三角形在图3中设计一个既是轴对称图形，又是中心对称图形的图案，三角形的顶点均在格点上，且四个三角形互不重叠． 【变式1】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，内有一点，垂足为，将绕点顺时针旋转后得到扇形与交于点． 结论Ⅰ：过点作的垂线与交于点，连接，过圆心作交于点，则是等腰直角三角形． 结论Ⅱ：若，则扇形的面积为． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．都对 D．都不对 【变式2】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【变式3】（2026·河北沧州·模拟预测）【项目背景】石家庄正定隆兴寺的转轮藏殿是宋代建筑的瑰宝，其殿内巨大的木制转轮藏顶部覆盖着精美的圆形藻井．某中学活动小组前往该地进行综合与实践活动． （1）【活动一】测量与建模 图-1是藻井截面示意图（截面为圆的一部分）．该小组测得藻井开口为，拱高（圆拱的最大高度）为．求及半径的长； （2）【活动二】光影效果模拟实验 如图-2，殿内灯光设计模拟“佛光普照”，光源点沿缓慢移动．经测量，结合（1）中的数据回答问题． ①当点在的三等分点处，且在点的右侧时，求劣弧的长（取3）； ②如图-3，当光源在最高点时，光束张角恰好照亮藻井开口．求此时的度数，并判断当光源沿（不含端点，）移动时，的度数是否发生变化． 方法总结：分散的多个扇形，可合并圆心角整体计算，无需单独求解单个扇形面积。 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知圆弧所在的圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧长为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（25-26九年级上·广西钦州·期末）制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料．中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（    ） A． B． C． D． 4．（2025九年级·全国·专题练习）已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）如图，将一个圆分割成三个扇形，若这个圆的半径为2，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级下·全国·课后作业）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 8．（2026·河南平顶山·二模）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2024·湖南长沙·模拟预测）若一个扇形的半径是，此扇形的圆心角是，则它的弧长等于______． 10．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个扇形的弧长为，若这个扇形的面积为，则这个扇形的半径为______． 11．（25-26六年级下·上海·期末）把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是，则该扇形与另一个扇形的弧长之比是______． 12．（2026·河南驻马店·二模）如图，正五边形的边长为2，经过点A，D，则阴影部分的面积为______． 13．（2025·河南周口·三模）如图，在矩形中，分别以和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为____． 14．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 15．（2026·湖南湘潭·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中的弧长为_____________（结果用表示）． 16．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）“莱洛三角形”是机械学家莱洛发现的一种曲边三角形，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图，等边的边长为6，那么此“莱洛三角形”的周长是____________． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出绕点A逆时针旋转所得的，并直接写出的长； （2）直接写出在（1）的旋转过程中线段扫过区域的面积． 18．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，圆弧经过格点A，B，C． （1）用无刻度的直尺在圆弧上找一点E使得（保留作图痕迹）； （2）圆弧与围成部分的面积为________（结果保留）． 19．（25-26九年级上·河南信阳·期末）小明同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形．如图，正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以点C为圆心，的长为半径作扇形交于点F；以为对角线作正方形，再以点C为圆心，的长为半径作扇形． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的长； （3）直接写出图中阴影部分面积之和． 20．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知正方形的四个顶点在上 （1）如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： （2）若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.7 弧长及扇形的面积（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】弧长公式 1 【知识点二】扇形定义及扇形面积公式 1 【知识点三】扇环面积计算 2 【知识点四】扇形阴影面积常用解题方法 2 二.题型精析 2 【题型 1】弧长公式基础计算（基础·入门） 2 【题型 2】扇形、扇环面积基础计算（基础·进阶） 6 【题型 3】割补法求不规则阴影面积（中档·必考） 9 【题型 4】扇形几何综合压轴（拔高·拓展） 13 三.同步检测 17 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 17 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 21 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 26 一.知识梳理与解读 【知识点一】弧长公式 在半径为的圆中，圆心角为所对的弧长计算公式： 【要点提示】 1. 公式中表示圆心角度数，无单位，为圆弧所在圆的半径； 2. 公式推导原理：整个圆周长对应圆心角，圆心角对应的弧长占圆周长的； 3. 已知弧长、圆心角、半径三个量中任意两个，可变形公式求解第三个量； 4. 半圆弧长：圆心角，弧长。 【知识点二】扇形定义及扇形面积公式 一条弧和经过这条弧两端点的两条半径所围成的图形，叫做扇形。扇形是圆的一部分。 1. 角度式面积公式（已知圆心角、半径）： 2. 弧长式面积公式（已知弧长、半径）： 【要点提示】 1. 两个公式等价，已知圆心角优先用角度式，已知弧长优先用弧长式，计算更简便； 2. 扇形周长易错点：扇形周长弧长，必须包含两条半径，不可只算弧长； 3. 公式可类比三角形面积记忆：将弧长看作底，半径看作高，简化记忆； 4. 半圆面积：。 【知识点三】扇环面积计算 同一圆心、不同半径的两个扇形形成的环形扇形叫做扇环。设大圆半径为，小圆半径为，圆心角为，则扇环面积： 【要点提示】 1. 扇环面积本质为：大扇形面积减去小扇形面积； 2. 适用于所有同心扇形阴影计算，利用平方差公式可简化运算。 【知识点四】扇形阴影面积常用解题方法 1. 和差法：将阴影面积转化为扇形、三角形、圆形等规则图形的面积和或差； 2. 割补法：通过平移、旋转、等积替换，将不规则零散阴影拼接为完整标准扇形； 3. 整体合并法：多个分散小扇形，可合并圆心角整体计算，无需单独求解。 【要点提示】 1. 常利用三角形内角和、平行线性质、圆周角定理转化角度，简化计算； 2. 同圆中相等的弧、相等的圆心角对应扇形面积相等，可等量替换解题。 二.题型精析 【题型 1】弧长公式基础计算（基础·入门） 核心考点：直接套用弧长公式，结合圆周角转化圆心角 【例题1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是的直径，切于点B，交于点D．已知的半径为1，． （1）求的度数． （2）求的长．（结果保留） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据切线的性质求出，根据三角形内角和定理即可求出； （2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式求解即可． 解：（1）解：∵是的直径，切于点B， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵的半径为1， ∴的长为：． 【点拨】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式和三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、弧长公式以及三角形内角和定理是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·云南·阶段检测）如图，用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算，根据题意，运用弧长公式（是扇形弧长，是扇形的圆心角的度数，是扇形半径），由此即可求解． 解：半径为，圆心角为的扇形纸板， ∴弧长为， ∴这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是， 故选：D ． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算及等边三角形的性质，熟知弧长的计算公式及等边三角形的性质是解题的关键．根据弧长公式求出的长，再乘以3即可解决问题 解：是等边三角形， ， 又等边三角形的边长为６， 的长， 莱洛三角形”的周长是. 故答案为：. 【变式3】（25-26九年级上·甘肃酒泉·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）直接写出点的坐标： （3）求点经过的路径的长结果保留 【答案】（1）见分析；（2）点的坐标为；（3）的长 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，坐标与图形，勾股定理，弧长公式，解题的关键是掌握勾股定理以及弧长公式． 对于，将点A，B绕点O顺时针旋转，再依次连接作图即可； 对于，由图即可判断； 对于，先计算出，再根据弧长公式计算即可求解． （1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可知，点的坐标为； （3）解：由图可知，， ， 答：的长． 方法总结：题目给出圆周角时，先转化为对应圆心角，再代入弧长公式计算。 【题型 2】扇形、扇环面积基础计算（基础·进阶） 核心考点：灵活选用扇形双公式，掌握扇环面积差计算 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角度数为，另外两个扇形的圆心角度数的比为． （1）分别求另外两个扇形的圆心角的度数； （2）若圆的半径是，求圆心角度数为的扇形的面积（结果保留）． 【答案】（1）另外两个扇形的圆心角的度数分别为和；（2）圆心角度数为的扇形的面积为 【分析】（1）由题意可得另外两个扇形的圆心角度数之和为，再根据圆心角度数之比分别求出即可； （2）利用扇形的面积公式计算即可． 解：（1）解：∵一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角度数为， ∴另外两个扇形的圆心角度数的和为． 又∵另外两个扇形的圆心角度数的比为， ∴， ∴另外两个扇形的圆心角的度数分别为和． （2）解：圆心角度数为的扇形的面积． 故圆心角度数为的扇形的面积为． 【点拨】本题考查了圆心角和扇形面积，求出扇形的圆心角是解题关键． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 解：． 【变式2】（2025·甘肃平凉·二模）中国是个重视孝道的国家，“孝”是我国传统的美德．如图①是一块弘扬“孝”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，点、分别在、上，与都是以为圆心，、长分别为半径，圆心角，若，，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 利用扇形的面积公式进行求解即可． 解：（）， 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海·阶段检测）如图，扇形的圆心角是，弧的长度是厘米，的长度是15厘米．求阴影部分的面积（取） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和扇形面积公式的综合应用，解题的关键是通过弧长求出扇形的半径，再利用两个扇形的面积差计算阴影部分的面积． 先根据弧的长度和圆心角求出扇形的半径再结合的长度求出扇形的半径最后分别计算扇形和扇形的面积，两者的差值即为阴影部分的面积． 解：设扇形的半径为r厘米（即则扇形的半径厘米． 已知扇形和扇形的圆心角均为（因点O、C、A共线，圆心角相同）． 根据弧长公式（其中l为弧长，n为圆心角，r为半径），弧的长度为厘米，代入得： 化简求解： 即 ∴ 即厘米． 厘米 阴影部分面积=扇形的面积-扇形的面积． 根据扇形面积公式，代入数据： 扇形的面积：平方厘米 扇形的面积：平方厘米 阴影部分面积：平方厘米 答：阴影部分的面积是平方厘米． 方法总结：同心扇环面积直接用大扇形面积减小扇形面积，圆心角统一无需重复计算。 【题型 3】割补法求不规则阴影面积（中档·必考） 核心考点：等积变形，不规则图形转化为标准扇形 【例题3】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，四边形内接于，是的直径，且． （1）求的度数； （2）若，，求阴影部分的面积 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理的应用以及扇形面积的计算，解题关键是作辅助线和熟记扇形的面积公式． （1）先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得； （2）连接、，作于点，先求得，根据圆周角定理得到，再根据计算即可． 解：（1）解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 作于点，则， ∴， ∴ ． 【变式1】（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和垂径定理，证明，从而推出这两个三角形的面积相等，即可知道三角形的面积即是扇形的面积，利用平行线的性质和圆周角定理推出，即可知道度数，最后利用扇形面积公式即可求出阴影部分的面积． 解：， ， ， ，， ， ． 阴影部分的面积为． ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 【变式2】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在正方形中，以点为圆心，长为半径画弧．连接，若，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积．熟练掌握正方形的性质，扇形面积公式，三角形面积公式，是解题的关键． 根据正方形边角性质，得，，根据扇形面积公式和三角形面积公式得，代入计算即可． 解：∵在正方形中，，， ∴图中阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，已知是半圆的直径，是半圆上的一点，连接，并延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（）连接，由圆周角定理可知，再由即可得出结论； （）连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，由圆周角定理求出，根据等边三角形的性质可得，由勾股定理，和直角三角形的性质求得，根据即可得出结论. 解：（1）证明：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴． ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点拨】本题考查的是不规则图形的面积计算，扇形面积，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键. 方法总结：利用平行线等积替换，将不规则阴影转化为规则扇形，简化运算。 【题型 4】扇形几何综合压轴（拔高·拓展） 核心考点：圆心角整体合并，扇形与三角形综合计算 【例题4】（25-26八年级下·四川巴中·期末）如下图，图中的网格均是边长为1的小正方形． （1）图1中的“赵爽弦图”是__________对称图形（填“轴”或“中心”）； （2）利用图2中的绕点C每次旋转___________度，共旋转__________次，得到图中的风车图案；每旋转1次，点A经过的路径长为__________； （3）请利用四个全等的直角三角形在图3中设计一个既是轴对称图形，又是中心对称图形的图案，三角形的顶点均在格点上，且四个三角形互不重叠． 【答案】（1）中心；（2）90，3，；（3）根据题干要求画出图案如图所示 【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义分析即可得出结果； （2）根据风车图案的特征，确定旋转角度和次数，再由弧长公式计算即可得出结果； （3）根据轴对称图形和中心对称图形的定义设计图案即可． 解：（1）解：该图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，不是轴对称图形， 故图1中的“赵爽弦图”是中心对称图形； （2）解：∵， ∴利用图2中的绕点C每次旋转度，共旋转次，得到图中的风车图案； 由网格可得，，故每旋转1次，点A经过的路径长为； （3）略． 【变式1】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，内有一点，垂足为，将绕点顺时针旋转后得到扇形与交于点． 结论Ⅰ：过点作的垂线与交于点，连接，过圆心作交于点，则是等腰直角三角形． 结论Ⅱ：若，则扇形的面积为． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．都对 D．都不对 【答案】C 【分析】先由旋转性质得，，结合、、的垂直条件，找角的等量关系，进而证得（），得到，结合即可判断三角形形状；再确定扇形的半径与圆心角，由旋转得，结合已知，计算扇形的圆心角度数，再代入扇形面积公式即可． 解：由旋转性质得：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∴（）， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，结论Ⅰ正确； 扇形半径，圆心角， ∵扇形面积为， ∴代入得：，结论Ⅱ正确． 【变式2】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和． 解：四边形是矩形， ， ， 图中阴影部分的面积为：． 【变式3】（2026·河北沧州·模拟预测）【项目背景】石家庄正定隆兴寺的转轮藏殿是宋代建筑的瑰宝，其殿内巨大的木制转轮藏顶部覆盖着精美的圆形藻井．某中学活动小组前往该地进行综合与实践活动． （1）【活动一】测量与建模 图-1是藻井截面示意图（截面为圆的一部分）．该小组测得藻井开口为，拱高（圆拱的最大高度）为．求及半径的长； （2）【活动二】光影效果模拟实验 如图-2，殿内灯光设计模拟“佛光普照”，光源点沿缓慢移动．经测量，结合（1）中的数据回答问题． ①当点在的三等分点处，且在点的右侧时，求劣弧的长（取3）； ②如图-3，当光源在最高点时，光束张角恰好照亮藻井开口．求此时的度数，并判断当光源沿（不含端点，）移动时，的度数是否发生变化． 【答案】（1）；；（2）①；②，不变． 【分析】（1）由垂径定理得，设根据勾股定理列方程求解即可； （2）①先根据弧长求出，再根据三等分点的性质求即可； ②根据圆周角等于所对弧圆心角的一半解答即可． 解：（1）解：由题意得，为圆拱的半径，， ∴，， 设则， 由勾股定理得， 即 解得， ∴； （2）①∵，， ∴ ∵当点在的三等分点处，且在点的右侧时， ∴； ②∵当光源在最高点时，光束张角恰好照亮藻井开口， ∴为优弧所对的圆周角， ∴； ∵光源沿（不含端点，）移动时，圆心角不变， ∴不变． 方法总结：分散的多个扇形，可合并圆心角整体计算，无需单独求解单个扇形面积。 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知圆弧所在的圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，解决本题的关键是熟练掌握弧长公式并正确计算． 直接应用弧长公式代值计算即可． 解：∵半径，圆心角，弧长公式， ∴ ． 故选 ：B． 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解半径．即． 解：设此扇形的半径为，圆心角，弧长， ∴， ∴两边约去，整理得 ， 解得． 3．（25-26九年级上·广西钦州·期末）制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料．中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式．根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）． 解：该中心线的展直长度为， 故选：B． 4．（2025九年级·全国·专题练习）已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆心角度数，掌握弧长公式是解题的关键． 设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 解：∵ 弧长 ，其中 ，， ∴ ， 简化得：， ∴ ， ∴ 。 故选：B． 5．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查扇形的面积公式 根据扇形面积公式，代入圆心角和面积值，求解半径． 解：根据题意，得， 简化得：， 解得或（舍去）， 因此，扇形的半径为． 故选：A． 6．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）如图，将一个圆分割成三个扇形，若这个圆的半径为2，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，解题的关键是掌握扇形面积公式． 先求出圆心角度数，再利用扇形面积公式求解即可． 解：， ∴扇形的面积为， 故选：C． 7．（23-24九年级下·全国·课后作业）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 8．（2026·河南平顶山·二模）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，．先求出，从而得到，再证得，，从而得到，即，最后求得阴影面积． 解：如图，连接，． 在中，． ∵是的直径， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2024·湖南长沙·模拟预测）若一个扇形的半径是，此扇形的圆心角是，则它的弧长等于______． 【答案】 【分析】将已知的半径和圆心角代入扇形弧长公式计算即可，其中为圆心角度数，为扇形半径． 解：∵扇形半径，圆心角，扇形弧长公式为， ∴将数值代入公式得． 10．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个扇形的弧长为，若这个扇形的面积为，则这个扇形的半径为______． 【答案】6 【分析】根据扇形的面积公式，将已知的弧长与面积代入公式，即可求解扇形的半径． 解：设扇形的半径为，已知扇形的弧长，面积． 由扇形面积公式，可得 化简得 两边同时除以，得． 11．（25-26六年级下·上海·期末）把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是，则该扇形与另一个扇形的弧长之比是______． 【答案】 【分析】同一个圆的半径相等，结合扇形弧长公式可知，弧长之比等于圆心角度数之比，先求出另一个扇形的圆心角，再化简比即可得到结果． 解：设原圆的半径为， ∵其中一个扇形的圆心角是， ∴另一个扇形的圆心角为：， ∵扇形弧长公式为，且两个扇形的半径相同， ∴弧长之比等于圆心角之比， ∴则该扇形与另一个扇形的弧长之比是． 12．（2026·河南驻马店·二模）如图，正五边形的边长为2，经过点A，D，则阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】先根据正多边形内角公式求得，然后根据扇形面积公式解答即可． 解：∵五边形是正五边形，边长为2， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 13．（2025·河南周口·三模）如图，在矩形中，分别以和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．将阴影部分的面积转化为矩形的面积减去半径为长的圆面积的一半即可． 解：连接， 四边形为矩形， ， ，分别以点和点为圆心，两弧有且仅有一个公共点． ， ， ， 又， ． 故答案为：． 14．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 【答案】 【分析】重物上升，则滑轮转过的弧长也是，再由，即可求出半径转过的面积． 解：由题意得，半径转过的弧长为， 则半径转过的面积． 15．（2026·湖南湘潭·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中的弧长为_____________（结果用表示）． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形是矩形，得出，则，垂径定理得出，圆周角定理求出，即可得，再根据弧长公式求解即可． 解：连接， ∵与相切于， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平分圆心角，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 16．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）“莱洛三角形”是机械学家莱洛发现的一种曲边三角形，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图，等边的边长为6，那么此“莱洛三角形”的周长是____________． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 这个“莱洛三角形”的周长就是三条圆心角为，半径为6的圆弧的和，然后代入弧长公式计算即可． 解：∵等边， ∴， ∴的长相等， ∴此“莱洛三角形”的周长是 故答案为：． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出绕点A逆时针旋转所得的，并直接写出的长； （2）直接写出在（1）的旋转过程中线段扫过区域的面积． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2） 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，两点间的距离公式，求图形扫过的面积，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，再顺次连接，利用两点间的距离公式求出的长，即可求出的长； （2）由题意得，线段扫过的区域即为扇形，据此结合扇形面积公式求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， 由旋转的性质可得； （2）解：由题意得，线段扫过的区域即为扇形， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴线段扫过区域的面积为． 18．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，圆弧经过格点A，B，C． （1）用无刻度的直尺在圆弧上找一点E使得（保留作图痕迹）； （2）圆弧与围成部分的面积为________（结果保留）． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）取格点D，连接，连接交圆弧于点E，证明出是等腰直角三角形，得到即可求解； （2）如图所示，取点O，连接， ，首先得到是圆弧的直径，得到是等腰直角三角形，，求出，然后利用圆弧与围成部分的面积代数求解即可． 解：（1）如图所示，点E即为所求； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴，即 ∴点E即为所求； （2）如图所示，取点O，连接， ， ∵ ∴是圆弧的直径， 由网格特点得，点O为的中点 ∴点O为圆弧的圆心 ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵，则， ∴ ∴圆弧与围成部分的面积． 【点拨】此题考查了圆周角定理，求不规则图形面积，勾股定理和逆定理，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 19．（25-26九年级上·河南信阳·期末）小明同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形．如图，正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以点C为圆心，的长为半径作扇形交于点F；以为对角线作正方形，再以点C为圆心，的长为半径作扇形． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的长； （3）直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题为反比例函数综合题，涉及到扇形面积和弧长的计算、正方形的性质等，确定阴影部分面积的计算方法是解题的关键． （1）将点的坐标代入函数表达式，即可求解； （2）由，即可求解； （3），同理可得：，即可求解． 解：（1）解：将点A的坐标代入函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：； （2）解：根据反比例函数的对称性可得， 四边形为正方形， ， ， ； （3）解：根据题意； 同理可得：， 则图中阴影部分面积之和． 20．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知正方形的四个顶点在上 （1）如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： （2）若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 【答案】（1）见分析；（2）或，理由见分析；（3） 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质和圆周角定理，利用证明两三角形全等即可； （2）当点E在弧上时，过点作于点，证明，即可得到四边形是正方形，然后根据线段的和差解答；当点E在弧上时，在上取点，使，连接，根据全等三角形的对应边相等得到，，，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论； （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，可以得到，即可得到点N在以为直径的圆F上，然后根据弧长公式计算解答即可． 解：（1）证明：在正方形中，， 与都对应弧， ， 在和中， ； （2）解：满足或，理由如下： 如图，当点在弧上,过点作于点， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即； 当点在弧上时，在上取点，使，连接， 由（1）， ，，， 在正方形中，， ， ， ， 是等腰直角三角形三角形， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴点N在以为直径的圆F上， ∵最大为， ∴最大为，即最大圆心角为， ∴点N的运动路径为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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