广东省惠州市惠州中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

惠州中学2026-2027学年高三年级第一学期九月月考 数学答案 1-8:BBACB DDC; 9.BCD 10.BCD 11.ACD .10 1.B【详解】B=x0 >3={x 10-3x 10<x<10 则AnB=0<r<1 2.B【详解1因为i,所以移顶化简得：0-)=1-1，所以：=-1出+1+142i-1 z-1 1-ii-1(i-1)(i+1) -2 3.A【详解】园=3，同=1，==32=9,2==1P=1, 5-0=a+a5+5=+65o120+90,+=9+6x3( +9×1=9-9+9=9, 因为向量的模长为非负数，所以a+3汤=√5-3. 4.C【详解】令t=Vx+121.则x=(t-1)2f)=(t-1)2+2=t2-2t+3, ∴f(x)=x2-2x+3(x≥1). 51m0-m任0m29小1-21 6.D【详解】：函数f(x)在R上单调，且y=-x2+4ax-3开口向下，在区间(-o,1]上不可能单调递减， ∴.函数∫(x)在R上不可能单调递减，故y=f(x)在R上单调递增， 2a≥1 3a-1>0 解得时a4,a的取维范哭} -1+4a-3≤(3a-1）+1 7.D【详解】由题意得：S,S4-S,S6-S4成等比数列，所以(S4-S2)=S(S。-S4), 所以(4-S,)=S,(13S2-4),化简整理得：3S号+S2-4=0,所以(3S+4)(S2-1)=0, 所以8-1或S=手又8=8+分)>0，所以S>0,所以S=1,所以=13s-13 8.C【详解】f(x)为定义在R上的奇函数，故f(0)=0,此时2f(0)=3×0=0,不合要求， 当x≠0时，设F(时=f四，F()=-f国四-F, -x 所以P付)国为偏函数，P因-x因， x2 xe(0+可)时，了)-可(<0，F)=国f位，0，放F()=四在x∈(0+m)上单调递增。 x2 当e0时，2e=四号又-号故P四==子所以F(>P0,数1， P)为偶画数，故Fa)-/在e(-0上单链流，一0时，2可>让)/号> 又P-1)=F0)=所以F()<F(-),故-1<x<0,所以不等式2f(s)>3x的解集为(1,0)U1+) 9.BCD【详解】对于A:因为X~N(2,o2),所以E(X)=2,故A错误； 对于B:当σ=0.2时D(X)=022=0.04,所以D(2X+1)=22×D(X)=22×0.04=0.16,故B正确： 对于C:因为X~N(2,o2),所以P(X<1.8)=P(X>2.2), 所以P(X<1.8)+P(X<2.2)=P(X>2.2)+P(X<2.2)=1,故C正确：对于D:因为X~N(2,o2) 由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量X落在(1.9,2.2)与(1.8,2.1)的概率相等，故D正确.故选：BCD. 10.BCD【详解】己知4+3a+…+3m-1a=n-3H-①，当n=1时，4=1×32=9. 当n≥2时，a+3++3a1=(n-1)3”②.①-②得3m-1a.=n-3m1-(01-1)-3=3(2n+1), 化简得a,=3(2n+1)=6n+3,验证n=1时6×1+3=9=4，符合条件，因此通项公式为a,=61+3(n∈N) 选项A:4=6×2+3=15,错误.选项B:通项a4,=61+3,正确 选项C:,}是首项a=9、公差d=6的等差数列前n项和8=十a）=9+6+》=3r+6m,正确 2 2 选项D:|a.-30l=6n-27,当n≤4时6n-27<0,n≥5时6m-27>0, 前10项和T0=(21+15+9+3)+(3+9+15+21+27+33)=156,正确 11.ACD【详解】对于选项A,因为f'(x)=(x+1),由f'(x)=0，,得到x=-1,当x<-1时，f'(x)<0,当x>-1时， f'(x)>0,即f(x)=xe在区间(-o,)上单调递减，在区间(-1，+∞)上单调递增，所以选项A正确， 对于选项B,若y=f(x)-a有两个不同的零点，即直线y=a与y=∫(x)有两个交点， 因为x=-1是f(的极小值点，f(-)=。因为f(0)=0,且x<0时f()<0,所以，当-<a<0时直线y=a与 y=f(x)有两个交点，选项B错误；对于选项C,由f(x)≤e,得到xe≤e,当x≤0时，xe≤0<e恒成立，当x>0时， 由xe≤e,得到lnx+x≤l,令h(x)=nr+x,在区间(0，+oo)上单调递增，所以h(x)≤h(),则0<x≤l, 综上，不等式f(x)≤e的解集为(-oo,1],C选项正确：对于选项D,由f(x)=xlnx2=4,得到xe=xlnx2=ln,e=4>0, 则x>0,x2>1,由选项A知，f(x)=xe*在区间(-1，+o)上单调递增，所以x=x2,则xx2=xx2=4,故选项D正确， 12.x-y+1=0【详解】因为f'(x)=e(cosx-sinx),所以f"(0)=1,又f(0)=1, 2 所以切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0 13.√2+1【详解】由双曲线定义可知lP耳|-|PE=2a>0,所以∠PF=90°或∠PE耳=90°， 当∠PE耳=90°时，则有PR日RR=2c,所以PRREP+|PEP-2V2C, 又因为P5-P%卡2a,即2c-2c=2a,所以c=√2- a=W2+1a, 所以e=C=√2+1；同理可得当∠PRB=90°时，e=√2+1. a 14.400【详解】分以下几种情况讨论： ①6次移动中，有3次向左移动一步，3次向右移动一步，此时不同的移动方法种数为C6=20种： ②6次移动中，有3次向上移动一步，3次向下移动一步，此时不同的移动方法种数为C=20种： ③6次移动中，有2次向左移动一步，2次向右移动一步，1次向上移动一步，1次向下移动一步， 此时不同的移动方法种数为CCA?=15×6×2=180种： ④6次移动中，有2次向上移动一步，2次向下移动一步，1次向右移动一步，1次向左移动一步， 此时不同的移动方法种数为C%C4A?=15×6×2=180种.综上所述，不同的移动方法种数为20+20+180+180=400种. 15.【详解】(1)由已知得，asin C+√3 acosC=√3b,由正弦定理，得sinAsinC+√5 sin AcosC=√3sinB, 由于sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsin C,化简得sin Asin C=√3 cos Asin C, 由于Ce(0,D),则sinC≠0，于是sinA=√3cosA, 由于AE0,则smA0,于是cosA0,别mA=5,故4-号 2）由①D及条件知，Se-cn45c=10w5,有c=0, 4 由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bc cosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 即7=(b+c}-3×40,即b+c=13,故△ABC的周长为a+b+c=20 16.【详解】(1)由题意知曲线C是椭圆，设椭圆的焦半距为c,则由题设，得α=2，c=√3， 所以b=-c2=431,故所求椭圆C的方程为r+生=1： (2)若以A8为直径的圆经过原点，设点46，)，B6,),将直线1的方程y=x+代入二+x=1,并整理，得 4 52m-4=0,则=0世与4 5 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O,所以OA.OB=0,即，x+3=0. 3 又为=+m(+)+m,于是2m4+m 5+m、 21m 5 +m=0,解得m=士20 5 :△=(2m-4x56r-4)=165-m）,当m=±2时，△>0，符合条件， 所以以AB为直径的圆经过原点，m=±20 5 17.【详解】(1)证明：设ADOBC=E,因为AB=BC=AC,所以∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°. 因为D为劣弧BC的中点，所以BD=DC,则∠BAD=∠CAD=30,即∠AEB=90°，所以BC⊥AD 连接PE,则PB=PC,BE=EC,所以PE⊥BC 又PE∩AD=E,AD,PEC平面PAD,所以BC⊥平面PAD. 因为PDC平面PAD,所以PD⊥BC (2)以O为坐标原点，过点O作平行于BC的直线为x轴，OD,OP所在直线 分别为y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系O-z =o-),历-5}函=a0设平而8C的个谈向量为m=6,g). 1 Z PB.m=0, 由 CB.m=0 宁+为5=0取n-25,则m-(023, 得 √3x=0, 设平面PBD的一个法向量为i=(6,,52),由 （p丽i=0,得 PD.=0, 5+号5=0取5-1，则n=15.到， 1 2 y2-V352=0, 设=而角c-8-D为0.则s水an列所西5S m77√65 in9=cos0=4,故二面角C-PB-D的正弦值为4W6丽 65 18.【详解】(1)由题意可知：h(x)=f(x)-xlnx+=ae+2x的定义域为(0，+o),且h(x)=ae+2, 当a≥0时，h(x)>0,则h(x)在定义域(0，+o)上单调递增， 当2<a0时，令>0，解得0<<》令<0：解得h(司) 4 可知在〔Q 上单调递增，在 上单调递减： 当a≤-2时，h(x)=ae+2≤-a+2≤0在(0，+o)上恒成立，所以h(x)在定义域(0，+o)上单调递减： 综上所述：当a≥0时，h(x)在定义域(0，+o)上单调递增： 当2a0时.在0n( 上单调递减： 当a≤-2时，h(x)在定义域(0，+o)上单调递减. (2)若a=0,则f(x)=2x+xlnx-x2=x(2+lnx-x)的定义域为(0，+o), 令g(x)=2+1nr-,x>0,则g()=-1=1-,令g(四>0，解得0<x<1:令g(9<0,解得x>1: 可知g()在(0,1)上单调递增，在(1，+0)内单调递减，则g(y)=8()=1>0, 且司)吉<0,8(e)=4-e<0,可知g(在(01).L+)上各有-个零点， 又因为x>0,所以f(x)=g(x)有两个零点 (3)由f(四)≥0分离参数可得a≥Y-2X-x血x,即a≥-2x-x血x在x∈(0,1]上恒成立， er 令Fx)=-2-nx,x∈(01，则r'(y=4=3-nx:2+血---hx-3》, e 令Gx)=x-lnx-3,x∈(0,1，则G(x)=1-1-X-1,因为x∈(0,1]，则G(y)≤0，可知G(y)在(0,1上单调递减， 则02c02.月6)日>0，可细2<0：满足cc)0.即无30， 可得ln=-3,eo=e3,当x∈(0，)时，G(x)>0,即F'(x)>0;当x∈[，1]时，G(x)<0,即F'(x)<0: 可知（在(0，）上单调递增，在[6，上单调递减，则()=P,)5-2血-日-2=七-3》1 e 可得a≥行，所以实数a的取值范国为 19.【详解】(1)己知第1天一定晨跑，故￡=1，第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故B=3 1 第3天辰跑的情况分两种：①第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天辰跑，概率为1 x1=3 1-1 @第1天是跑。第2天是跑，第3天是跑，概奉为1时古故马子号号 2.17 (2)由题意得，川≥3时，第n天展跑的事件可分为两种互斥情况：其一是第m-1天展瑰且第”天展跑，其概率为P1:其 二是第1-1天不晨跑且第n天晨跑（这意味若第n-2天必须晨跑），其概率为？2， 所以2-+号，0a≥3)，即32=P+22:≥)：则32-3-2P+2m≥). 0-2-22加e认会女a 所以化。一2；是以尽-R}1=音为首项，一专为公比的等比数列 所以--：则-=()号，2-=)· 加.8 1- (3)记小明前n天中，第i天晨跑的次数为X, 由题意得，X,服从两点分布，且P(X,=1)=卫，因为X=X+X2++X,且对于离散型随机变量X,Y,都有 E(X+)=E(X)+E(Y), 所以E(X)=E(X)+E(X)++E(Xn)=+++P 号( 1≤s30,EN) 6惠州中学2026-2027学年高三年级第一学期九月月考 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。) 1.若集合A={x-1≤x<,B={3} 则A∩B=() A.[0,1) B.(0,1) c.[0,2) D.(0,2) 2.若+i(1为虚数单位)，则2=（) z-1 A.i B.-i c.1+i D.1-i 3.已知平面向量a,6的夹角为120°，日-=3，-1，则a+36=() A.3 B.25 C.6 D.9 4.已知f(x+=x+2,则函数f(x)的解析式为() A.f(x)=x2 B.f(x)=x2-2x+3 C.f(x)=x2-2x+3(x≥1) D.f(x)=x2-2x+2(x≥1) 5.已知c0 则sin26=() 7 24 A.25 B.-25 c D.- 25 6.若函数f(x)= -x2+4ax-3,x≤1 (3a-1)x+1,x>1 是R上的单调函数，则a的取值范围是() A.[5+ B. c. D. 7.记Sn为等比数列{a}的前n项和，若S4=4,S6=13S2,则S的值为() A.1 B.3 C.9 D.13 8.定义在R上的奇函数f(x)可导，其导函数为∫'(x),且满足x∈(0，+o)时， f寸倒<0f0 则不等式2f(x)>3x的解集为() A.(-1,1) B.(-1,0)(0,1) C.(-1,0)U(1,+o) D.（-0,-1)U(1,+0) 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ)，则下列说法正确的是() A.B(X)= B.当σ=0.2时，D(2X+1)=0.16 C.P(X<1.8)+P(X<2.2)=1 D.随机变量X落在(1.9,2.2)与落在(1.8,2.1)的概率相等 10.己知数列{a}满足a4+3a2+.+3”-1g,=n.3”,则() A.2=16 B.4.=61+3 C.{a}的前n项和为3n2+6n D.{14.-30外的前10项和为156 11.己知函数f(x)=xe,则下列结论正确的是() A.f(x)在(-l,+o)上单调递增 B.若函数y=f(x)-a有两个零点，则a>-1 c.不等式f(x)≤e的解集为(-o,] D.若f(x)=xlnx2=4,则xx2=4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知函数f(x)=e*cos.x,则曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 13.已知点耳，乃分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△P耳乃为等腰直角三 角形，则该双曲线的离心率为 2 14.平常我们用的方格纸，都画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离总是相等的.方 格纸上两条直线的交点称为格点.下图每个小正方形的边长为1，假设方格纸足够大，已知 一只蚂蚁从格点O出发，沿格子四个方向移动，每次移动距离为1，则蚂蚁移动6次回到出 发点O的不同方法总数为 (用数字作答). 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 已知a,b,c分别为△ABC的内角A,，B,C的对边，且2asim(C+)=V5b. (1)求A: (2)若a=7,△ABC的面积为10W5,求△ABC的周长. 16.(15分) 已知曲线C上动点M到两点F(0,-√3)，F0,√3)的距离之和为4，直线1：y=x+m和曲线C 相交于A,B两点，O为坐标原点， (1)写出曲线C的方程； (2)若以AB为直径的圆经过原点，求实数m的值. 3 17.(15分) 如图，A,B,C是圆锥PO的底面圆O的圆周上三点，且AB=BC=AC,D为劣弧BC的中点. 二D 3 (1)证明：PD⊥BC; (2)若PA=AD,求二面角C-PB-D的正弦值. 18.(17分) 已知函数f(x)=ae+2x+xhnx-x2」 (1)讨论h(x)=∫(x)-xnx+x的单调性： (2)a=0时，求f(x)零点的个数： (3)若x∈(0,1]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 19.(17分) 小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练规则如下：从第1 天开始民监。若第：天晨路，则他篇+1)天晨跑的概幸为}，且他不能连续两天没有是路。 设他第n天晨跑的概率为Pn(1≤n≤30，n∈N): (1)求，乃，的值： (2)求数列{D}的通项公式： (3)若X,Y都是离散型随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y),记小明前天晨跑的天数为 X,求E(X) 4