广东省中山市某校2025-2026学年高三上学期第四次模拟考试数学试题

中山市华侨中学2026届高三年级第四次模拟考试数学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数z满足（为虚数单位），则（ ） A. －2 B. －1 C. 2 D. 1 2． 已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－5x－6≤0}，B＝{x|－3<x<3}，则如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为（ ） A. (－3，－1] B. (－1，3] C. (1，3] D. [3，6] 3.若为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4.已知，，均为单位向量，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5． 已知数列中，其前项和为，且，，成等差数列(，则（ ）． A. B. C. D. 6．已知函数的部分图象如图所示，点,，在图象上，若， ，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 7．设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，点M满足，且，则椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．若平面向量，，其中,则下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 10．斗笠是遮阳挡雨的帽子，有很宽的边沿，用竹篾、箭竹叶为原料编织而成，以竹青细篾加藤片扎顶滚边，竹叶夹一层油纸或者荷叶，笠面再涂上桐油．某旅游景点的老手艺人手工编制竹篾尖顶斗笠（斗笠近似看作圆锥），并在笠面涂上桐油（只涂外表面）.已知的笠面需涂桐油约为kg，且斗笠所在圆锥的底面周长为160cm，斗笠所在圆锥的高为cm，则（ ） A．斗笠所在圆锥的底面面积为 B．斗笠所在圆锥的体积为 C．斗笠所在圆锥的母线长为 D．1kg的桐油，大约可涂刷50个斗笠 11．已知函数，则（ ） A. 函数有最大值 B. 至少有个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 存在，使得为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与圆相切，则的值为__________． 13. 在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则的最小值为__________． 14．已知函数有两个极值点与，若，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15（13分）．已知等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，且平分， 为的中点，，，， (1).证明平面； (2).证明平面； (3)求四棱锥的体积. 17.（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）若，求C； （2）求的取值范围 18.（17分）已知函数 ( 1 ) 当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若不等式恒成立，求整数的最大值. 19．（17分）已知抛物线，是抛物线上的三点，且满足，过作于点． (1)若，求证直线过定点； (2)设，记点轨迹围成的图形的面积为，记的面积为，当直线的倾斜角不是钝角时，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 中山市华侨中学2026届高三年级第四次模拟考试数学科答案 1.C【解】因为，所以，，所以.故选：C. 2. D【解】x2－5x－6≤0，解得：-1≤x≤6，所以A＝{x|-1≤x≤6}， 阴影部分表示的集合为B在U中的补集与A求交集，为 [3，6].故选：D 3. 【解】对于，若，，则与平行或异面，故A错误； 对于，若，则，故B错误； 对于，若，则，故C正确； 对于，若，则与平行或相交，故D错误．故选：． 4.C解】，，则，即，则故选：C 5.D【解】∵，，成等差数列，∴，当时，，， 当时，，∴，即， ∴，∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴，∴，∴，故选：D. 6．A【解】：由条件知函数的周期满足，即，得 由五点法得，即，得，则， 则，得，即， 在内的对称轴为，若， ，且，则关于对称，则， 则.故选：A. 7. A 【解】由题意可得，即，所以， 又，所以在上单调递增，即，所以， 且，令，，则，其中，令，则，当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减，所以当时，有极大值，即最大值， 所以，，所以.故选：A 8.B【解】由椭圆定义可知，由，故，， 点满足，即，则，又，，即，又，故，则，即，即平分，又，故， 则，则， ， ，由， 故，即，即，即，故.故选：B. 9.BCD【解】对于A，，则，解得， 则，，显然不存在，使，即，不共线，A错误； 对于B，，则，解得，即，， ，则与同向的单位向量为，B正确； 对于C，当时，，又与的夹角为锐角， 则，解得，且，即，C正确； 对于D，由，得，即， 则， 当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BCD 10.BCD 【解析】设斗笠所在圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则，所以斗笠所在圆锥的底面面积，故A错误； 斗笠所在圆锥的体积，故B正确； 因为，所以，故C正确； 斗笠所在圆锥的侧面积.因为1kg的桐油大约可涂笠面面积为，所以1kg的桐油，大约可涂刷斗笠的个数为，故D正确. 11.BC【解】，当时，，则， 在上单调递增；令，则， 假设存在，，使得， 则当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减； 又，，，，； ，， ，即； 在上的值域为； 对于A，， ，以此类推，则，无最大值，A错误； 对于B，且在上单调递增，在上有一个零点； 且在上单调递减，在上有一个零点； 又，在上有三个不同零点；至少有个零点，B正确； 对于C， ，的图象关于点对称，C正确； 对于D，假设存在，使得为奇函数， 令，则， ， 整理可得：； 若方程恒成立，则，即，方程组无解， 不存在实数，使得奇函数，D错误.故选：BC. 12．－18或8【详解】，即，圆心为，半径， 直线与圆相切，故，解得， 故答案为：－18或8 13.如图所示，建立空间直角坐标系，棱长为3，， 所以，，，，， 设直线与平面的交点为，由正方体性质可知， ，，平面，平面， 所以平面，所以在平面的投影为，且， 则关于平面的对称点即点关于的对称点，设为G，则为，所以的最小值为，为.故答案为：. 14． 【详解】由题意的两个根为与， 即，所以，同理，即， 令，则为方程的两个不相等实根， ，则，所以判别式，解得. 又 ， 所以，综上，实数的取值范围.故答案为： 15．解：（1）设的公比为，由，得，由， 得，解得所以. （2）由，得， 所以. 16【详解】（Ⅰ）证明：设，连结，在中，因为， 且平分 ，所以为的中点，又为的中点，从而， 因为平面，平面，所以平面； （Ⅱ）证明：因为平面，平面，所以， 由(I)知，，平面，平面， 从而平面； （Ⅲ）解：在中，，，得 在中， 从而， 故四棱锥的体积 . 17.解：（1）由，可得，则整理得，解之得或 又，则，则，则 （2）A ，B为的内角，则 则由，可得，则均为锐角 又，则， 则，则因为, 则 令，则 又在单调递增，，可得，则的取值范围为， 则的取值范围为 18. （17分）解：（1） 函数 的 定 义 域 为 R ,当时，,所以 又因为.则所以曲线在点处的切线为,即. （2）因为， 当 时，令 ，得，令 ，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，恒成立，所以在上单调递增. 综上所述， 当 时， 的单调递增区间为，单调递减区间为; 当时，在上单调递增.- （3）依题知， 恒成立，即恒成立， 设，则 当 时， 恒成立 ，所以在上单调递增. 而，这与恒成立矛盾.故不符合题意 当时，令，即，即 令，即，即. 所以在上单调递增；在上单调递减.---------14分 设，.则， 因为恒成立，所以 在上单调递增. 又因为且，,所以的最大值为 19．（17分）解：（1）设，，则的斜率， 所以直线的方程为，化简得， 因为是抛物线上的三点，满足，且， 可得，可得 整理得， 可得，代入上式， 可得，即， 由方程组，解得，所以直线恒过定点 （2）解：由（1）知，直线的方程为， 又由，得，化简得， 可得，代入上式，可得， 由方程组，解得，所以恒过点， 又因为，所以点的轨迹是以为直径的圆， 且圆的半径，所以，------------10分 设直线的方程为， 联立方程组，整理得（其中，） 所以 ， 所以，令，则， 令，可得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 这时，即当时取得． 四模数学答案第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $