2.1 等式性质与不等式性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

等式性质与不等式性质 第二章 一元二次函数、方程和不等式 · 2.1　人教A版必修一 口令：板书课题“等式性质与不等式性质”，写下“比大小，就看差”六个字。追问一句：两个式子里都含字母，谁大谁小凭什么下结论？不给答案，直接进学习目标。 本课知识框架 第 2 页 口令：这是本课的知识地图，四个分支从左到右就是今天的学习顺序，先整体看一眼，每学完一块回来打一个勾。本课只研究不等式的依据，基本不等式留到2.2，一元二次不等式的解法留到2.3。 核心图示　数轴上右边的点表示的数大 第 3 页 点A在点B右边，就有 a>b。 高亮线段的长度就是差 a-b，它是正数。 比较两数大小，可以改成看差的正负。 口令：指着高亮的一段问“这一段有多长”，学生答“a-b”，再问“它是正还是负”，学生答“正”。由此引出今天的第一把标尺：看差的正负定大小。 这节课要达成的五条目标 第 4 页 学习目标 1. 把实际问题中的不等关系写成不等式（组） 2. 用 a-b 的正负比较两个实数或代数式大小 3. 类比等式性质说出不等式性质1～7及条件 4. 用性质证明不等式，由已知范围求式子范围 5. 写证明时每一步注明所用的性质编号 关键词 • 不等关系 • 基本事实 • 作差法 • 性质1～7 • 整体代换 口令：五条目标齐读一遍。目标细节：①写不等式时设清字母、抓准“不超过/不少于”等关键词、补上量本身为正等隐含条件；②记住 a>b ⇔ a-b>0，会按作差、变形、定号、下结论四步比较大小；③能说出每条性质成立的条件，尤其是乘法要看符号、相加要同向、相乘要同向且同正；④会用性质写证明，会由已知范围求 a-2b、a/b 这类式子的范围。 第 5 页 情境导入 过渡：生活中“多与少、快与慢、不超过、不少于”都是不等关系。相等关系用等式表示，不等关系用不等式表示。先学会把它们写出来。 生活中的不等关系 第 6 页 场景 电梯额定载重1000 kg：总质量m满足 0<m≤1000 奶茶糖分s不超过30 g且温度t不低于60℃ 即 0≤s≤30，t≥60 写法 设字母，抓关键词：不超过→≤，不低于→≥ 补隐含条件：质量、长度、个数等量非负 口令：两个场景逐条读，每读一条追问“关键词是哪几个字”。第一个场景追问“为什么还要写 0<m”，学生答“有人乘梯时质量为正”。第二个场景强调“且”表示两个条件同时成立，要写成不等式组。 生活中的不等关系　图示 第 7 页 口令：两个场景逐条读，每读一条追问“关键词是哪几个字”。第一个场景追问“为什么还要写 0<m”，学生答“有人乘梯时质量为正”。第二个场景强调“且”表示两个条件同时成立，要写成不等式组。 例1　用不等式（组）表示不等关系 第 8 页 题目 （1）A店打印每页0.3元；B店先交10元办卡，每页0.2元。打印n页时B店总费用不超过A店；（2）甲书每本25元买x本，乙书每本18元买y本，总价不超过600元，甲书本数的2倍不少于乙书本数。 分析 先写出两边的量，再按关键词选不等号，最后补个数条件。 口令：两小题各给2分钟，要求先分别写出两边的代数式，再连不等号。巡视看两点：有没有把“不超过”写成＜，有没有漏掉 n∈N*。 解答：先写量，再选号，后补条件 第 9 页 规范解答 （1）A店费用0.3n元，B店费用(10+0.2n)元 “不超过”取≤：10+0.2n≤0.3n，n∈N* （2）总价 25x+18y≤600，本数 2x≥y 个数条件：x、y都是自然数 答：（1）10+0.2n≤0.3n（n∈N*）； （2）25x+18y≤600，2x≥y，x、y∈N。 个数、页数这类量要补上取值范围。 口令：核对后追问第（1）问“打印100页时哪家便宜”，学生代入算出A店30元、B店30元，两家一样，正好取等号，说明“不超过”包含相等。 第 10 页 探究一　基本事实 过渡：写出不等式之后要会判断、会变形，第一步需要一把标尺。数轴上点的左右位置规定了实数的大小，0是正数与负数的分界点。 基本事实：a>b ⇔ a-b>0 第 11 页 等价 a>b ⇔ a-b>0 a=b ⇔ a-b=0 a<b ⇔ a-b<0 四步 作差 → 变形 → 定号 → 下结论 变形目标：常数、平方和加正数、因式乘积 口令：三句等价关系齐读两遍。讲清来源：数轴上点与实数一一对应，点A在点B右边时 a>b，在左边时 a<b；a-b为正数时 a>b，为0时 a=b，为负数时 a<b，反过来也成立。所以比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。变形的目的只有一个：让差的正负一眼看出来。 基本事实：a>b ⇔ a-b>0　图示 第 12 页 口令：三句等价关系齐读两遍。讲清来源：数轴上点与实数一一对应，点A在点B右边时 a>b，在左边时 a<b；a-b为正数时 a>b，为0时 a=b，为负数时 a<b，反过来也成立。所以比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。变形的目的只有一个：让差的正负一眼看出来。 例2　作差法比较两个多项式 第 13 页 题目 （1）比较 (x-1)(x+6) 与 (x+1)(x+4) 的大小；（2）比较 x²+6 与 2(2x+1) 的大小。 分析 作差后（1）化成常数，（2）配成完全平方看正负。 口令：两小题各2分钟，先全班口答四步“作差、变形、定号、下结论”再动笔。巡视看第（1）问展开后一次项有没有抵消干净。 解答：化常数与配方两种变形 第 14 页 规范解答 （1）差＝(x²+5x-6)-(x²+5x+4)＝-10<0 故 (x-1)(x+6)<(x+1)(x+4) （2）差＝x²-4x+4＝(x-2)²≥0 故 x²+6≥2(2x+1) 答：（1）前者小； （2）x²+6≥2(2x+1)，x＝2时取等号。 差可能为0时，结论写≥并说明取等条件。 口令：核对时重点追问第（2）问“为什么结论是≥而不是＞”，学生答“x＝2时差为0”。强调定号时平方式只能说≥0。 例3　作差后因式分解定号 第 15 页 题目 已知 a>0，b>0，比较 a³+b³ 与 a²b+ab² 的大小。 分析 作差后分组提公因式，化成几个因式的积再定号。 口令：先请学生说作差后的四项怎么分组，给出“前两项一组、后两项一组”的提示后独立完成。巡视看 a²-b² 有没有继续分解。 解答：化成积，逐个因式看符号 第 16 页 规范解答 差＝a²(a-b)-b²(a-b)＝(a-b)(a²-b²) ＝(a-b)²(a+b) (a-b)²≥0，a+b>0，所以差≥0 a＝b时差为0，取等号 答：a³+b³≥a²b+ab²，当且仅当 a＝b 时等号成立。 积的符号由每个因式的符号决定。 口令：核对后追问“条件 a>0，b>0 用在哪里”，学生答“保证 a+b>0”。再问“去掉这个条件结论还成立吗”，取 a＝-1，b＝0 算一算：左边为-1，右边为0，结论不成立。 第 17 页 探究二　不等式性质 过渡：不等式与等式都是刻画大小关系的，可以从等式的性质和研究方法中获得启发。先梳理等式的五条基本性质，再逐条类比猜想，最后用基本事实证明。 等式性质与不等式猜想对照 第 18 页 性质1、2讲关系本身，性质3～5讲运算中的不变性。 序号 等式性质 不等式猜想 变化之处 1 a=b⇒b=a a>b⇔b<a 交换后方向反 2 a=b,b=c⇒a=c a>b,b>c⇒a>c 两式须同向 3 a=b⇒a±c=b±c a>b⇒a+c>b+c c任意实数 4 a=b⇒ac=bc c>0同向c<0反向 须看c的符号 5 c≠0时同除以c 除法化为乘法 归入乘法 类比时只要把“＝”换成“＞”，再检验运算后是否保持。 口令：先遮住右两列，请学生口述等式的五条性质；再逐行揭开不等式猜想，每行追问“和等式比哪里变了”。第4行是本课最重要的变化：乘数的符号决定不等号方向。 性质1～3：对称性、传递性、可加性 第 19 页 性质 性质1　a>b ⇔ b<a 性质2　a>b，b>c ⇒ a>c 性质3　a>b ⇒ a+c>b+c（c为任意实数） 推论：a+b>c ⇔ a>c-b，这就是移项 注意 传递性要求两式同向且中间量相同 口令：性质2的证明请学生口述：由 a>b 得 a-b>0，由 b>c 得 b-c>0，两个正数之和为正，(a-b)+(b-c)>0，即 a-c>0，所以 a>c。性质3看右图：数轴上两个点同时向同一方向移动相同距离，左右位置不变。由性质3，a+b>c 两边加上-b 得 a>c-b，说明不等式中任何一项改变符号后可以移到另一边。 性质1～3：对称性、传递性、可加性　图示 第 20 页 口令：性质2的证明请学生口述：由 a>b 得 a-b>0，由 b>c 得 b-c>0，两个正数之和为正，(a-b)+(b-c)>0，即 a-c>0，所以 a>c。性质3看右图：数轴上两个点同时向同一方向移动相同距离，左右位置不变。由性质3，a+b>c 两边加上-b 得 a>c-b，说明不等式中任何一项改变符号后可以移到另一边。 性质4～7：可乘性与两条推论 第 21 页 性质 性质4　a>b，c>0⇒ac>bc；c<0⇒ac<bc 性质5　a>b，c>d ⇒ a+c>b+d 性质6　a>b>0，c>d>0 ⇒ ac>bd 性质7　a>b>0 ⇒ aⁿ>bⁿ（n∈N，n≥2） 注意 乘负数反向；性质6、7要求各数为正 口令：性质4用两种颜色板书 c>0 与 c<0 两种情形。性质5的来历：由 a>b 与性质3得 a+c>b+c，由 c>d 与性质3得 b+c>b+d，再由性质2得 a+c>b+d。性质6由性质4与性质2推出，性质7是性质6中取 c＝a、d＝b 反复使用的结果。追问性质6为什么要“都为正”：取 a＝1，b＝-2，c＝1，d＝-3，则 ac＝1，bd＝6，结论不成立。 不等式性质一览表 第 22 页 每条性质先看条件，条件不满足，结论不能用。 性质 条件 结论 易错点 1 对称性 a>b b<a 交换后忘反向 2 传递性 a>b，b>c a>c 两式不同向 3 可加性 a>b，c∈R a+c>b+c 误讨论c符号 4 可乘性 a>b，c>0（c<0） ac>bc（ac<bc） 不看c的符号 5 同向可加 a>b，c>d a+c>b+d 两式相减 6 同向同正可乘 a>b>0，c>d>0 ac>bd 漏掉都为正 7 可乘方 a>b>0，n≥2 aⁿ>bⁿ a、b有负数 只有性质3对c没有符号要求。 口令：分两轮读，第一轮只读条件，第二轮只读结论。读完请三名学生合上课件默说性质4、6、7的条件，说不全的当堂补记。 例4　用不等式的性质证明 第 23 页 题目 已知 a>b，e>f，c>0，求证 f-ac<e-bc。 分析 先由性质4得 -ac<-bc，再与 f<e 同向相加。 口令：先问“结论左右两边各由哪几项组成”，学生答“左边 f 与 -ac，右边 e 与 -bc”。给3分钟动笔，巡视看两点：乘-1时不等号有没有反向，有没有写出所用性质编号。 证明：先定号相乘，再同向相加 第 24 页 规范解答 a>b，c>0，由性质4得 ac>bc 两边同乘-1，由性质4得 -ac<-bc 又 f<e，由性质5同向相加得 f-ac<e-bc 证明见上，每一步都注明所用性质。 出现减号，先乘-1把它变成同向相加。 口令：核对时追问“e>f 为什么要先写成 f<e”，学生答“要和 -ac<-bc 同向才能相加”。强调性质5只管同向相加，方向不一致先用性质1调过来。 第 25 页 探究三　求取值范围 过渡：性质最常见的用途是求范围。原则只有一条：把要求的式子拆成已知范围的量的和或正数的积，再用性质5、性质6。 例5　求 a-2b 与 ab 的范围 第 26 页 题目 已知 1<a<4，2<b<5，求 a-2b 与 ab 的取值范围。 分析 减法化成加 -2b 用性质5；a、b都为正数，用性质6。 口令：先让学生凭直觉写一个答案，再按性质算，对比两次结果。用 4<2b<10 直接端点相减，会得到 -3<a-2b<-6 这种自相矛盾的错误写法。 解答：减变加，同正才能乘 第 27 页 规范解答 由 2<b<5 得 -10<-2b<-4 与 1<a<4 同向相加：-9<a-2b<0 a、b均为正数，由性质6得 1×2<ab<4×5 即 2<ab<20 答：-9<a-2b<0，2<ab<20。 两个范围不能直接相减； 相乘要先确认都为正。 口令：核对时强调 ab 的下界是两个下界相乘 1×2＝2，上界是两个上界相乘 4×5＝20，能这样乘的前提是各数都为正。追问：若把条件改成 -1<a<4，还能直接相乘吗？学生答“不能，a可能为负”。 例6　整体代换求范围 第 28 页 题目 已知 1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求 4a-2b 的取值范围。 分析 设 4a-2b＝m(a+b)+n(a-b)，对比系数求 m、n。 口令：先请学生按“先求a、b再合成”的思路算：0≤a≤3，-0.5≤b≤2.5，得 -5≤4a-2b≤13。再追问“a＝0，b＝2.5 能同时取到吗”，代回发现 a+b＝2.5，a-b＝-2.5 超出已知，说明范围被放大了。 解答：用已知整体表示所求 第 29 页 规范解答 m+n＝4，m-n＝-2，得 m＝1，n＝3 3(a-b) 满足 -3≤3(a-b)≤6 与 1≤a+b≤4 同向相加得 -2≤4a-2b≤10 答：-2≤4a-2b≤10。 先分别求a、b范围再合成会使范围变大。 口令：核对时板书“所求＝m·已知1＋n·已知2”，这是整体代换的固定格式。两端点可以取到：a+b＝1、a-b＝-1 时取-2，a+b＝4、a-b＝2 时取10。 四处最常见的错误 第 30 页 错误示例 由 a>b 直接得 ac>bc 由 a>b 直接得 a²>b² 两个范围直接相减 先求a、b范围再合成 正确做法 先判断c的正负，c＝0时只能相等 要求 a>b>0 才能用性质7 减法化为加上相反数 用已知整体表示所求 口诀：乘看符号，加看同向，乘方看正。 口令：左栏逐条请学生举反例：第一条取 c＝-1；第二条取 a＝1，b＝-3，得 1<9；第三条对照例5的 a-2b；第四条对照例6。右栏全班齐读。 练一练（一）　表示与比较 第 31 页 比较题比较题写全四步 1. 包裹长l、宽w、高h（cm）之和不超过150，长l不超过60，用不等式组表示。 2. 比较 (x+2)² 与 (x+1)(x+3) 的大小。 3. 比较 a²+4b² 与 4ab-1 的大小。 4. 已知 x<1，比较 x³-1 与 2x²-2x 的大小。 口令：限时6分钟。第1题提醒长宽高都为正；第4题先分组：x³-1-2x²+2x，提示 x³-1＝(x-1)(x²+x+1)。 练一练（一）　表示与比较　图示 第 32 页 口令：限时6分钟。第1题提醒长宽高都为正；第4题先分组：x³-1-2x²+2x，提示 x³-1＝(x-1)(x²+x+1)。 练一练（一）　参考答案 第 33 页 参考答案 1. l+w+h≤150，0<l≤60，w>0，h>0 2. 差＝(x²+4x+4)-(x²+4x+3)＝1>0，前者大 3. 差＝(a-2b)²+1>0，a²+4b²>4ab-1 4. 差＝(x-1)(x²-x+1)，x-1<0，x²-x+1>0，前者小 口令：第4题讲清 x²-x+1 配方后是一个完全平方加正数，恒为正，所以差的符号只由 x-1 决定；x<1 这个条件必须用上。 练一练（二）　性质的条件 第 34 页 填空写依据，判断假命题要举反例 1. 若 a>b>0，则 a² ＿＿＿＿ ab，依据是性质＿＿＿＿。 2. 判断真假：若 a>b，则 a²>b²。 3. 判断真假：若 ac²>bc²，则 a>b。 4. 判断真假：若 a>b，c>d，则 ac>bd。 口令：限时5分钟。每题先圈出条件，再对照性质一览表找能用的那一条，找不到就去找反例。 练一练（二）　参考答案 第 35 页 参考答案 1. ＞；性质4（两边同乘正数a） 2. 假，反例 a＝1，b＝-3，a²＝1<b²＝9 3. 真，c²>0，两边同除以正数 c² 得 a>b 4. 假，反例 a＝1，b＝0，c＝-1，d＝-2，ac＝-1<bd＝0 口令：第3题是“ac²>bc²⇒a>b”，与“a>b⇒ac²>bc²”方向相反，后者因 c 可能为0是假命题，两题并排板书比较。 随堂检测（1） 第 36 页 限时8分钟 1. 下列命题为真命题的是（　　）。 　　A．若a>b，则ac²>bc²　　B．若a>b>0，c>d，则ac>bd 　　C．若a<b<0，则a²>b²　　D．若a>b，则a-c<b-c 2. 比较 (a+3)(a-5) 与 (a+2)(a-4) 的大小。 口令：8分钟独立完成，第1题每个错误选项都要在旁边写一个反例。第3题每一步注明所用性质。 随堂检测（2） 第 37 页 3. 已知 -3<a<1，2<b<4，求 a+2b 与 b-a 的取值范围。 4. 已知 x>y>0，求证 x²-y²>(x-y)²。 随堂检测　答案与订正 第 38 页 参考答案 1. C（由 -a>-b>0 用性质7）； A取c＝0； B取a＝3，b＝1，c＝-1，d＝-2 2. 差＝(a²-2a-15)-(a²-2a-8)＝-7<0，前者小 3. 4<2b<8，得 1<a+2b<9； -1<-a<3，得 1<b-a<7 4. 差＝x²-y²-(x²-2xy+y²)＝2y(x-y)，y>0，x-y>0，差>0 口令：同桌互批。第1题B项的反例算一遍：ac＝-3，bd＝-2，-3<-2。第4题提醒作差后提公因式 2y，再逐个因式定号。 课堂小结 第 39 页 这节课我们学会了 1. 列不等式：设字母、抓关键词、补隐含条件 2. a>b ⇔ a-b>0，作差、变形、定号、下结论 3. 性质1～7：乘看符号，加看同向，乘方看正 4. 求范围：减变加，除变乘，整体代换防放大 5. 证明题每一步写明依据，反例要写具体的数 记住：比大小看差　乘法看符号　相加要同向　求范围用整体 口令：五条由五名学生接龙说完，再全班齐读口诀。最后点一句：今天建立的是不等式的依据，下一节用这些依据研究基本不等式。 课后作业 第 40 页 作业 1. 教材第40页练习第1～3题：列不等式、作差比较 2. 教材第42页练习第1、2题：每空注明性质编号 3. 习题2.1第3、5、6题：作差、求范围、证传递性 4. 选做：习题2.1第8、10题，假命题写出反例 口令：前三项明天交，选做题下节课讲评。第40页练习是用不等式表示不等关系与作差比较大小；第42页练习是证明性质与用不等号填空，每空后写依据；习题2.1第3题作差比较、第5题求范围、第6题证明传递性；选做第8题判断命题真假要写反例，第10题把糖水变甜写成不等式并证明。 第 41 页 谢谢观看 口令：下课前回扣一句——比大小先作差，用性质先看条件，求范围只能同向相加、同正相乘。 $