2.1 等式性质与不等式性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式性质与不等式性质，从初中等式性质出发，结合天平称量、高速限速等现实不等关系实例引出问题，通过回顾等式对称性、传递性等性质搭建学习支架，逐步过渡到不等式表示、作差法比较大小及不等式七条性质的探究。 其亮点在于以类比思维为核心，通过作差法（如例2配方判号）培养数学思维，用交通标志、酸奶质量等实例体现数学语言表达现实世界。课堂总结“一个类比、七条性质、一种方法”系统梳理知识，帮助学生形成逻辑推理能力，教师可借助实例和分层练习提升教学效率。

2.1 等式性质与不等式性质 新课导入 在初中，我们已熟悉等式及其性质。在现实生活中，除相等关系外，不等关系同样普遍存在. 实例 1　用天平称量物体：天平平衡表示两端质量相等，倾斜表示两端质量不等 实例 2　高速公路限速：最高 120 km/h，最低 60 km/h。设行驶速度为 v km/h 实例 3　某班 48 人参赛，成绩不低于 90 分记为「优秀」，人数为 x 思考　等式具有对称性、传递性、可加性、可乘性等性质. 不等式是否也具有类似的性质？如果有，它们成立的条件与等式是否完全相同？ 追问　如何比较两个实数（或两个代数式）的大小？ 新知探究 一、回顾：等式的基本性质 1 对称性 a = b ⟹ b = a 2 传递性 a = b，b = c ⟹ a = c 3 可加性 a = b ⟹ a + c = b + c 4 可乘性 a = b ⟹ ac = bc 5 可除性 a = b，c ≠ 0 ⟹ 对称性与传递性反映了相等关系自身的特性，可加性、可乘性和可除性则从运算角度出发，反映等式在运算中保持的不变性. 新知探究 二、用不等式（组）表示不等关系 用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接而成的式子叫做不等式。把文字语言翻译成不等式，关键要抓住关键词： 超过、大于、高于 > 不足、小于、低于 < 不低于、不小于、至少 ≥ 不超过、不大于、至多 ≤ 注意　① 用不等式表示不等关系时，必须写清字母的实际取值范围。 　　　　② 若同时满足几个不等关系，应写成不等式组。 　　　　③「≠」也表示不等关系，但它不反映大小。 例题讲解 例1　用数学研究相等和不等关系 1.用相等与不等关系描述下列交通限制标志信息： v≤40 km/h m≤10 t h≤3.5 m 8:00≤t≤20:00 例题讲解 例1　用数学研究相等和不等关系 2.用数学研究相等和不等关系 (1)品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5％ ，蛋白质的含 量p应不少于2.3％，写成不等式组为　　　　 .　 （2）购买一批“六一”儿童节礼品，买笔记本每本18元，买钢笔每支25元，现有礼品预算300元，设笔记本买x本，钢笔买y支， 则礼品数满足的关系式是 . 18x＋25y≤300 f ≥2.5% p ≥2.3% 例题讲解 例1　用数学研究相等和不等关系 2.用数学研究相等和不等关系 (3)某杂志以每本2.5元的价格发行时，发行量为8万册．经过调查，若价格每提高0.1元，发行量就减少2000册． 如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 设杂志的定价为x元，则销售总收入为(8-×0.2)x万元． 于是，不等关系 “销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为: (8-×0.2)x≥20 新知探究 三、比较大小的依据 —— 作差法 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此，比较两个实数 a、b 的大小，可以转化为判断它们的差 a − b 的符号。 a − b > 0 ⟺ a > b a − b = 0 ⟺ a = b a − b < 0 ⟺ a < b ①　作差 求出 a − b ②　变形 因式分解、配方、通分 ③　判号 判断 a − b 的正负 ④　结论 得出大小关系 方法归纳：作差法的关键是变形到能判断符号的形式 例题讲解 例2　比较下列各组代数式的大小： （1） 与 ； （2）与 。 解：（1） − = = −1 < 0， 　　所以 　　（2） − () = 　　= + ≥ 0，故 ≥ ， 　　当且仅当 a = 2 且 b = −1 时取等号. 方法归纳：作差后用因式分解或配方，化到能判号的形式。 知识应用 练习1 已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1. 变式：“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1＞0，当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1. 新知探究 四、不等式的基本性质 1.对称性：a > b ⟺ b < a 2.传递性：a > b，b > c ⟹ a > c 3.可加性：a > b ⟹ a + c > b + c 推论　由性质 3 得 a + b > c ⟺ a > c − b，即解不等式时的「移项」。 说明　性质 1、2、3 与等式对应性质条件相同，不等号方向均不改变。 4.可乘性： 5.同向可加性：a > b，c > d ⟹ a + c > b + d 6.同向同正可乘性：a > b > 0，c > d > 0 ⟹ ac > bd 7.可乘方性：a > b > 0 ⟹ an > bn（n ∈ N*，n ≥ 2） 常用推论：若 a > b > 0，则 （两边同乘正数 即得）。 知识应用 D 例题讲解 针对训练 练习 2．已知－1＜x＜4,2＜y＜3，则x－y的取值范围为________，3x＋2y的取值范围为________． 解析：因为－1＜x＜4,2＜y＜3， 所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2. 由－1＜x＜4,2＜y＜3，得－3＜3x＜12,4＜2y＜6， 所以1＜3x＋2y＜18. 答案：－4＜x－y＜2　1＜3x＋2y＜18 课堂总结 1 一个类比 由等式性质类比得出 乘除负数时不等号反向 条件需逐条检验 类比结论仍须证明或举反例 2 七条性质 对称、传递、可加性 可乘、同向可加性 同向同正可乘、可乘方 乘数与乘方的「正数」条件不可少 3 一种方法 作差比较法 变形到能判号的形式 结论与取等条件 作差后能判号才算做完 例3(1)　已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是(　　) A．如果a＞b，那么＞ B．如果ac＜bc，那么a＜b C．如果a＞b，那么＜ D．如果a＞b，那么＞ [解析]　利用不等式的性质或者举反例进行判断．取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A、B、C中的前提条件．对于选项A，有＜，故A是假命题；对于选项B，有a＞b，故B是假命题；对于选项C，有＞，故C是假命题；对于选项D，∵c≠0，∴＞0，由不等式的性质4知，D是真命题． 例3(2)　已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围． [解]　因为1＜a＜4,2＜b＜8， 所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2， 即－7＜a－b＜2. 又因为＜＜，所以＜＜＝2，即＜＜2. $