4.7 函数零点问题·专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数零点四大核心题型，以递进式题组构建从基础判断到复杂参数讨论的完整训练体系，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数零点个数的判断与证明|多题|结合单调性、极值讨论零点存在性与个数|从函数性质到零点判定，构建“求导-分析单调-极值判断”逻辑链| |由零点个数求参数取值范围|多题|含参数函数零点个数与参数范围互化|深化参数分类讨论，建立“零点个数-极值符号-参数范围”关联| |隐零点问题|多题|含超越函数零点的设而不求与代换|渗透转化思想，强化抽象能力与符号意识| |max/min函数零点|多题|复合函数零点的分段讨论与图像分析|综合函数性质与图像直观，提升数学眼光与应用意识|

§4.7 函数零点问题 目录 题型1：函数零点个数的判断与证明 2 题型2：由零点个数求参数取值范围 10 题型3：隐零点问题 17 题型4：max/min函数零点 24 题型1：函数零点个数的判断与证明 【例1.1.】 （多选）已知函数有两个极值点．则（　　） A．的图象关于点对称 B．的极值之和为 C．，使得有三个零点 D．当时，只有一个零点 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】利用奇偶函数性质和平移法 判断A，利用极值和导数关系即可判断B，根据零点个数与导数、函数的关系即可判断D. 【详解】对A，设，定义域为，关于原点对称， 且，则为奇函数， 的图象可由奇函数的图象向上平移2个单位长度得到， 故的图象关于点对称，选项A正确． 对B，设的极值点分别为，令，则为方程两不等实数根， 根据韦达定理知，故， 即的极值之和为4，选项B错误． 对C，依题意，方程有两异根，则，，， 令，解得或，令，解得， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间单调递增． 则时，的图象与轴有3个交点， 即有3个零点，此时，即，解得，故选项C正确． 对D，当时，， ， 此时只有一个零点，选项D正确． 故选：ACD. 【例1.2.】 已知函数，且. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，试判断函数的零点个数. 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质 【详解】试题分析： （1）求出导函数，根据导函数的符号的到函数的单调性；（2）将问题转化为求方程根的个数的问题处理，分离参数后转化为判断和函数的图象的公共点的个数的问题．通过分析函数的单调性得到图象的大致形状即可． 试题解析： （1）函数的定义域为, ∵, ∴ ①当时，恒成立， 所以函数在上单调递增； ②当时， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （2）由题意知，函数的零点个数即方程的根的个数． 令， 则 由（1）知当时， 在递减，在上递增， ∴. ∴在上恒成立. ∴， ∴在上单调递增. ∴，. 所以当或时，函数没有零点； 当时函数有一个零点. 【例1.3.】 设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 【答案】(1)当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． (2)有2个零点． 【难度】0.51 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出导数零点，分类讨论零点在不同区间时的取值范围，由此求出单调区间； （2）根据导数求出的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出零点的个数. 【详解】（1），令，解得， 因为，所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则，所以， 因为，且，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点． 【例1.4.】 已知函数． (1)若，求的极值 (2)当时，证明：函数有且仅有一个零点 【答案】(1)极大值，极小值 (2)当时，恒成立，在R上单调递增， ，由，，则函数有且仅有一个零点； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而．当时，，因此函数有且仅有一个零点； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又 ，，当时，，因此函数有且仅有一个零点， 所以当时，函数有且仅有一个零点. 【难度】0.44 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）把代入，求出导数确定单调区间，进而求出极值. （2）按分类确定函数的单调性，借助零点存在性定理求出零点个数. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，，， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值. （2）略 【例1.5.】 已知函数（且，，）． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)若或，零点的个数为；若且，零点的个数为 【难度】0.28 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）恒成立等价于恒成立，求导后，分及讨论函数单调性，结合计算即可得解； （2）结合（1）中所得，分、与且讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理可判断零点的个数，即可得零点的个数. 【详解】（1）由恒成立，即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，恒成立，则恒成立， 故在上单调递减，又， 故当时，，不符合题意，故舍去； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 故要使得恒成立，则有，即； （2）函数零点的个数等价于函数零点的个数， 由（1）知，当时，在上单调递减， 且，故零点的个数为； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 若，有且仅有，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 综上所述：若或，零点的个数为； 若且，零点的个数为. 【例1.6.】 已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)①当时，试证明函数恰有三个零点； ②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明. 【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间 (2) ①由定义域为， 所以， 令，因为，， 设方程的两根分别为，，且，则，， 所以有两个零点，，且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以在处取得极小值，在处取得极大值， 又，故，则， 又因为，，且， 故有，由零点存在性定理可知， 在恰有一个零点，在也恰有一个零点， 易知是的零点，所以恰有三个零点； ②由①知，，则， 因为，所以， 所以要证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证． 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，故式成立， 所以． 【难度】0.15 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用函数的导数，结合函数的定义域，判断导函数的符号，得到函数的单调区间． （2）①当时，求解函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后证明函数恰有三个零点； ②记①中的三个零点分别为，，，判断零点所在区间，利用分析法结合函数的导数转化证明即可． 【详解】（1）当时，定义域为， 所以， 所以在定义域上单调递减，其单调递减区间为，无单调递增区间． （2）略 题型2：由零点个数求参数取值范围 【例2.1.】 已知函数．若恰有一个零点，求的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】首先求函数的导数，并化简为，讨论，，和四种情况，讨论函数的单调性，以及函数的最值，并结合零点存在性定理，结合函数的零点个数，求参数的取值范围. 【详解】， 则， 当时，，所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，单调递减． 又，当趋近正无穷大时，趋近于正无穷大， 所以仅在上有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增． 又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，单调递增； 在上，单调递减， 此时． 又，当趋近正无穷大时，趋近负无穷， 所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意． 综上，的取值范围为． 【例2.2.】 已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.56 【知识点】利用导数研究方程的根 【分析】利用函数的奇偶性将问题转化为与函数图象有2个不同的交点，利用导函数研究其单调性即可. 【详解】由可知，为偶函数， 又也为偶函数， 故与的图象恰好有4个不同的交点 等价于方程恰好有2个不同的正根，显然， 所以与函数图象有2个不同的交点， ， 当时，单调递增；当时，单调递减； 所以， 当时；当时， 所以，所以，故实数a的取值范围为 【例2.3.】 已知且，函数，若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究方程的根 【分析】由题意得方程有两个不同的解，方程变形得，两边取对数整理得，令，分析的单调性和值域可得的取值范围. 【详解】曲线与直线有且仅有两个交点， 可转化为方程有两个不同的解， 方程，化为，两边取对数得，即， 即方程有两个不同的解. 令，则， 令，解得， 当时，,此时单调递增； 当时，，此时单调递减. 故，且当时，， 又，所以，解得或， 故的取值范围是. 故答案为：. 【例2.4.】 已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究方程的根 【分析】首先将方程转化为，再由的单调性及零点可得，进而转化为函数与的交点问题，用导数判断函数的单调性及极值，再用数形结合判断可得. 【详解】由，得，即. 由函数在上单调递增，且，得，即. 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故. 且当时，，当时，，当时，，如图： 若方程有且仅有两个交点，则，即. 因此，实数的取值范围为. 【例2.5.】 已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】构造新函数，求导，判断单调性，作出图象，即可根据零点个数求得结果. 【详解】函数在上有三个零点，即方程有三个根， 不妨设．设，则函数的图象与直线有三个交点． 函数 当时， 在上单调递增，且； 当时，，当时，，当时， 在上单调递减，在上单调递增． 又，当时，，当时，，当时，，作出函数的大致图象，如图所示． 由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，即实数的取值范围是． 【例2.6.】 已知函数有三个零点. (1)求的取值范围； (2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：. 【答案】(1) (2) 等价于，即， 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由（1）可得，则， 所以，所以， 则满足，， 要证，等价于证， 易知，令，则， 令得，令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 下面证明，由，即证， 即证， 即证， 即证， 令，， 令，则，所以， 所以，则，所以， 所以，所以， 所以，所以原命题得证. 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，根据分类讨论研究函数的单调性，确定零点个数，构造函数，研究函数值的符号即可得到导函数的符号，即可求出原函数的单调区间，从而确定零点个数； （2）把原函数有三个零点转化为有三个根，构造，求导研究函数单调性，结合根的分布得，要证，等价于证， 等价于，构造函数从而证明，即证，构造函数，利用导数单调性即可证明. 【详解】（1）因为定义域为，又， （ⅰ）当单调递减； （ⅱ）当，记，则， 当；当， 所以在单调递增，在上单调递减，， 又，所以， ①当，则单调递减，至多一个零点，与题设矛盾； ②当，由（ⅱ）知，有两个零点， 记两零点为，且， 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为，令，则， 所以， 所以，且趋近0，趋近于正无穷大，趋近正无穷大，趋近负无穷大， 所以函数有三零点， 综上所述，； （2）略 题型3：隐零点问题 【例3.1.】 设是定义在R上的奇函数，当时，，则的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】根据奇函数性质可得,利用导数研究在上的单调性，结合零点存在定理可判断当时，有两个零点，利用奇函数性质可得当时，也有两个零点即可求解. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以, 当时，，则, 令，则，所以在上单调递减， 令，解得：, 由于，， 则 所以令，解得：，令，解得：, 所以在上单调递增，在上单调递减， 且, 由于,,, 所以在上存在唯一零点,且在上存在唯一零点,且 所以的单调减区间为，增区间为 由于，所以在上无零点， 由于，所以在上有唯一零点， 由于,,所以在上有唯一零点， 所以当时，有两个零点， 根据奇函数的性质，可得当时，也有两个零点， 综上，的零点个数为. 【例3.2.】 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】通过求导确定函数的单调区间与唯一最小值点，将最小值用最小值点表示后，分析最小值的符号条件，结合最小值点的范围推导得实数的取值范围. 【详解】函数定义域为，求导得. 与均在上单调递增，故在上单调递增. 当时，；当时，， 故存在唯一零点，即，两边取对数得， 即. 在上单调递减，在上单调递增， 其最小值为. 令（），求导得， 故在上单调递减，且. 因为当时，；当时，， 所以恰有两个零点的充要条件是，即， 结合的单调性，得. 由，且在上单调递增，得. 故选：D 【例3.3.】 已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，证明：函数有且仅有两个零点，两个零点互为倒数． 【答案】(1)若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减. (2)证明：，所以，， 因为在上递增，在递减，所以在上递增， 又， 故存在唯一使得，所以在上递减，在上递增， 又，所以在内存在唯一根， 由得，又， 故是在上的唯一零点． 综上，函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数. 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，分和两种情况进行讨论，结合导数的符号从而可确定函数的单调性； （2）求出，由额单调性可判断存在唯一使得，进而可求得的单调性，从而可证明函数的零点问题. 【详解】（1）的定义域为且， 若，则当时，，故在上单调递增； 若，则当，当， 故在上单调递增，在上单调递减. （2）略 【例3.4.】 已知函数，，在上有且仅有一个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：若，则在上有且仅有一个零点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）分，和三种情况讨论，根据零点存在性定理判断即可. （2）构造，利用导数判断单调性可知，存在唯一，使得，且，从而可得. 【详解】（1），设， ， ①当时，若，则， 在上无零点，不符合题意； ②当时，若，则， ∴在上单调递增， ∴，∴在上无零点，不符合题意； ③当时，若，则，∴在上单调递增， ∵，， ∴存在唯一，使得. 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， ∵，， 故在上有且仅有一个零点，符合题意； 综上，的取值范围为. （2）记， ， 由（1）知：若，当时，，， 当时，，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故存在唯一，使得，且. 注意到，可知在上有且仅有一个零点， 且，即. 【例3.5.】 已知函数， ，其中且． (1)当时，讨论函数的单调性和极值； (2)证明：函数存在零点的充要条件是函数存在零点； (3)当时，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)在 单调递减，在 单调递增；极小值为 1 ，无极大值； (2)证明见解析 (3)零点个数为1 【难度】0.48 【知识点】零点存在性定理的应用、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据导数研究函数的单调性和极值即可； （2）通过必要性和充分性讨论，结合函数存在零点进行化简证明即可； （3）对进行求导，根据零点存在定理，以及函数取极限的思想即可求出函数的零点个数. 【详解】（1）当 时， ，定义域为， ，令 ，解得 ， 当 时， ，即 ，因此 在 上单调递减， 当 时， ，即 ，因此 在 上单调递增； 所以 在 处取得极小值，极小值为：，无极大值. （2）必要性：若存在零点，则存在 ，使得 ，即 ， 等式两边取以为底的对数，得 ，又，故，整理得： 0 ， 即 ，因此 存在零点 . 充分性：若 存在零点，则存在 ，使得 ，即 ， 等式两边取为底的指数，得 ，令 ，则 ， 即： 因此 ，即 存在零点. 综上，函数 存在零点的充要条件是函数 存在零点，得证. （3） ，其定义域为 ，其中且，， 因为 ，所以 ，则 在 上单调递增， 当 时，， ，所以 ；当 时，0 ，所以 ； 因此，存在 ，使得 ，即 ，整理得 ； 当 时，单调递减；当 时， 单调递增， 所以在 处取得最小值 ，， 因为 ，且当 0 时， ， 所以 ；当 时， ，所以 ； 根据零点存在定理，因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 在 0 和 时分别趋近于和， 所以有且仅有一个零点. 题型4：max/min函数零点 【例4.1.】 已知函数. (1)若过点可作的两条切线，求的值. (2)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 【答案】(1)或 (2)当有0个零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】(1)利用函数的导数求切线方程，构造函数，再求导； (2)利用导数讨论函数的单调性，再讨论确定零点的个数. 【详解】（1）设切点为 则切线方程为 在直线上，则， 令，则，令，解得，所以或 要想让切线有两条，只需满足或 （2）当时， ，单调递减，在取得最大值，，所以只需考虑在的零点个数. （i）若或，则 当时，在无零点. 当时，在单调递减，而在有一个零点； （ii）若，则在单调递减，在单调递增，故当时，取得最小值，最小值为 ①若，即在无零点. ②若，即，则在有唯一零点； ③若，即，由于 所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点 综上，当有0个零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 【例4.2.】 已知函数，. （1）证明恒成立； （2）用表示m，n中的最大值.已知函数，记函数，若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）在上恒成立等价于在上恒成立，记，利用导数可得. （2），①时无零点；②当时，分、 判断零点；③当时 考虑在上的零点情况，由分、、、时判断在上零点可得答案. 【详解】（1）由题得的定义域为， 则在上恒成立等价于在上恒成立，记，则，. 当时，；时，， 故在上单调递减，上单调递增， 所以，即恒成立. （2）由题得， ①当时，，此时无零点. ②当时，， a.当，即时，是的一个零点； b.当，即时，不是的一个零点；. ③当时，恒成立，因此只需考虑在上的零点情况. 由， a.当时，，在上单调递增，且， 当时，，则在上无零点，故在上无零点； 当时，，则在上无零点，故在上有1个零点； 当时，由，，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点； 所以，. b.当时，由得， 由时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 由，，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点； 所以，. 综上所述，时，在上恰有两个零点. 【例4.3.】 已知函数. （1）判断的单调性，并求的最值； （2）用表示的最大值.记函数，讨论的零点个数. 【答案】（1）当单调递减；当单调递增，最小值；（2）答案见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）对求导，由导函数的正负与原函数的关系得到的单调性及最值； （2）结合（1）可得当时，，则函数无零点；当时，，只需研究零点情况，对a分类讨论分别得到函数的单调性及函数的零点个数． 【详解】（1）. 当单调递减；当单调递增. 当时，取最小值 函数定义域为，其中 当时， 则函数无零点 当时，. 下面讨论零点情况. .(当时，取等号)， 当时， 此时，在上无零点 的零点为，即一个零点. 当时，， 在上一个零点，的有两个零点. 当时， . 在单调递减， 又，上成立，上成立在取极大值，此时. 又时，， 在上有一个零点， 又 当，即：时，在上有一个零点，有两个零点 当，即时，在上有两个零点，有两个零点 当，即时，有两个零点，有三个零点 综上，时或时，有一个零点. 当时或时，有两个零点 当时，有三个零点 【例4.4.】 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）记表示中的最小值，设，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出，由得，，讨论两根大小，得出的正负，从而确定单调区间； （2）只有唯一零点2，因此在上至少有两个零点才能满足题意，根据（1）中得出的单调性，分类讨论的极值与零点可得． 【详解】（1）的定义域为， ∴，令，得. ①当，即时，； ②当，即时，； ③当，即时，， 综上，当时，的单减区间为和，单增区间为；当时，的单减区间为，无增区间；当时，的单减区间为和，单增区间为. （2）的唯一一个零点是，∴，由（1）可得: (i)当时，，此时至多有两个零点，不符合题意；（ii）当时，在定义域上单减递减，此时至多有两个零点，不符合题意； (ⅲ)当时，若，即，此时至多有两个零点，不符合题意；若，即，此时，即，此时恰好有三个零点，符合题意；若，即，此时，      ，记，所以，所以在上单调递增，所以，此时恰好有四个零点，符合题意，综上，. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.7 函数零点问题 目录 题型1：函数零点个数的判断与证明 2 题型2：由零点个数求参数取值范围 3 题型3：隐零点问题 3 题型4：max/min函数零点 4 题型1：函数零点个数的判断与证明 【例1.1.】 （多选）已知函数有两个极值点．则（　　） A．的图象关于点对称 B．的极值之和为 C．，使得有三个零点 D．当时，只有一个零点 【例1.2.】 已知函数，且. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，试判断函数的零点个数. 【例1.3.】 设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 【例1.4.】 已知函数． (1)若，求的极值 (2)当时，证明：函数有且仅有一个零点 【例1.5.】 已知函数（且，，）． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 【例1.6.】 已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)①当时，试证明函数恰有三个零点； ②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明. 题型2：由零点个数求参数取值范围 【例2.1.】 已知函数．若恰有一个零点，求的取值范围． 【例2.2.】 已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知且，函数，若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【例2.4.】 已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 【例2.5.】 已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 已知函数有三个零点. (1)求的取值范围； (2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：. 题型3：隐零点问题 【例3.1.】 设是定义在R上的奇函数，当时，，则的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3.2.】 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，证明：函数有且仅有两个零点，两个零点互为倒数． 【例3.4.】 已知函数，，在上有且仅有一个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：若，则在上有且仅有一个零点，且. 【例3.5.】 已知函数， ，其中且． (1)当时，讨论函数的单调性和极值； (2)证明：函数存在零点的充要条件是函数存在零点； (3)当时，讨论函数的零点个数． 题型4：max/min函数零点 【例4.1.】 已知函数. (1)若过点可作的两条切线，求的值. (2)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 【例4.2.】 已知函数，. （1）证明恒成立； （2）用表示m，n中的最大值.已知函数，记函数，若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 【例4.3.】 已知函数. （1）判断的单调性，并求的最值； （2）用表示的最大值.记函数，讨论的零点个数. 【例4.4.】 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）记表示中的最小值，设，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $