2.10 函数的零点与方程的解 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数零点与方程的解，以概念体系为基础，通过五大题型系统覆盖零点判定、参数求解等核心考法，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识梳理|5个核心概念|系统梳理零点定义、判定定理、二分法等|从概念生成到原理推导，构建"定义-判定-应用"逻辑链| |题型一：二分法求零点|17题|考查二分法适用条件与操作步骤|对应二分法知识点，强化算法思维| |题型二：判定零点区间|16题|运用零点存在定理判断区间|基于零点存在定理，培养推理能力| |题型三：零点个数求参数|19题|结合函数单调性与图像分析参数范围|关联二次函数零点及相关结论，发展模型观念| |题型四：零点区间求参数|24题|根据区间零点存在性确定参数|深化零点存在定理应用，提升数学表达| |题型五：多个零点计算|18题|求解零点之和及取值范围|综合函数性质，培养综合分析能力|

2.10 函数的零点与方程的解 基础知识梳理 1.函数零点的概念 （1）定义:对于函数把使的实数叫做函数的零点. （2）意义:方程有实数解函数的图象与轴有公共点函数有零点. （3）函数的零点不是函数的图象与轴的交点,而是函数的图象与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数. 2.函数零点的判定（函数零点存在定理） 一般地,如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线,且有,那么函数在区间  内至少有一个零点,即存在使得,这个也就是方程的解.我们把这一结论称为函数零点存在定理. 3.二分法 对于在区间上图象连续不断且的函数通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 4.二次函数 零点个数的判断 （1）函数有个零点. （2）函数有个零点. （3）函数没有零点. 5.与函数零点有关的结论 （1）若图象连续不断的函数在某区间上是单调函数,则在该区间内至多有一个零点. （2）图象连续不断的函数的相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. （3）图象连续不断且有零点的函数的图象经过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. （4）周期函数如果存在零点,那么必有无穷个零点. （5）由函数（图象是连续不断的）在闭区间上有零点不一定能推出如图所示,所以是在闭区间上有零点的充分不必要条件. 题型一 利用二分法求函数的零点 1．下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义判断. 【详解】二分法要求函数在某个区间上有定义且区间两端点处函数值异号， A，定义域是，，，满足二分法的要求； B，定义域是R，但，不存在区间，使得，不可用二分法求根； C，定义域是，，，满足二分法的要求； D，定义域是R，，，满足二分法的要求. 2．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】计算区间两端点处函数值，根据二分法定义判断. 【详解】，， 取区间，，计算， 取区间，计算， 取区间，，计算， 取区间，，因此零点在区间上，因此二分区间至少4次. 3．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二分法求零点的前提：函数在零点附近连续，且零点左右两侧函数值异号． 选项B，函数图象与轴相切，函数零点两侧函数值均大于，不满足， 不能用二分法求零点. 选项A、C、D中的函数零点两侧函数值异号，满足，可采用二分法求零点. 4．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点的两侧函数值异号能用二分法判断. 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 5．下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 6．用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 7．已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】通过二分法的精确度公式求解. 【详解】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 8．已知函数的零点为，则与最接近的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二分法，结合选项确定所在区间即可. 【详解】函数在上单调递增，，则， 又，则，而，则， 又，因此，， 而，所以与最接近的数为. 故选：B 9．已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 【答案】 【分析】根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. 【详解】每进行一次函数值计算，区间长度变为原来的，进行次计算后，区间长度为， 则， 得，得， 得， 则要进行二分操作的次数为． 10．在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 【答案】 【分析】结合二分法即可得到，解不等式即可求出结果. 【详解】如图，工人师傅首先从中点检测，用随身带的话机向两端测试， 不妨设发现段正常，可见故障在段； 再从线段的中点检测，假设发现段正常，可见故障在段； 再从段的中点检测；， 由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过次检测，所剩线路的长度为 m， 则有，即，由于，， 故至多检测次就能找到故障地点所在区域． 11．已知函数的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________，________. 【答案】 【分析】通过观察图象即可判断出函数零点的个数以及能够用二分法求解的零点个数. 【详解】由图可知，函数图象与轴有个交点，所以零点的个数为； 左右函数值异号的零点有个，所以用二分法求解的个数为． 12．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【分析】先得到零点位于，由精确到，得到近似值. 【详解】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为： 13．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是哪一个？ 【答案】①③ 【解析】同号零点不能利用二分法 14．用二分法求方程在区间内的实根，由计算器可算得，，，求下一个有根区间． 【答案】 【详解】因为，，， 所以下一个有根区间为. 15．已知函数，， . (1)证明：； (2)利用二分法证明方程在上有两个实根. 【分析】（1）根据已知条件列出不等式，进而证明即可. （2）根据零点存在定理证明即可. 【详解】(1)，， 即.又， ，则，. 又，，. (2)由题意得在内选取二等分点，则. ，∴在区间和内至少各有一个零点. 又最多有两个零点，∴方程在上有两个实根. 16．判断方程是否有解？如果有解，有几个解，且全部解的和为多少(精确度为，解保留两位小数)? 【答案】有3个实数解，近似解分别为，全部解的和为． 【分析】先通过观察函数在几个特殊点的取值，利用零点存在定理判断零点所在的区间，确定方程有三个实数解，然后用二分法逐步缩小零点所在区间，达到精度要求后取近似值，最后将三个近似解相加得到和，整个过程的关键是先确定解的个数，再用二分法逐点逼近． 【详解】解：(1)设函数， ，，，，，且函数的图象是一条连续的曲线， ∴函数在区间上分别有一个零点， ∴方程有3个实数解． ∵， ∴函数在区间内有一个零点． 取区间的中点，用计算器计算得． ∵，∴． 再取的中点，用计算器计算得 ∵，∴， 同理可得，，，， ，， 由于， 因此方程的解在区间内． 由于结果要保留两位小数，我们多计算一步得到：， ∴方程在区间内的近似解为－0.64. 同理，可求得方程在区间和内的近似解分别为0.83，2.81. ∴方程的3个解的和为． 17．一块电路板的AB段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测几次？ 【答案】六次 【详解】第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法； 第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法； 第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法； 第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法； 第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法； 第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次. 题型二 判定零点所在区间 1．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 2．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域是， 因为和在上都是单调递增的， 所以在上单调递增，最多只有一个零点， ， ， ，所以函数的零点在区间内. 3．已知函数则下列区间中存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段讨论，通过零点存在定理和解方程的方法，求出函数零点所在区间. 【详解】当时，， 令，解得， 所以函数在上没有零点，故排除A，B； 当时，，易知函数单调递减， 对于C，只需考虑区间， ，， 所以函数在区间上没有零点，即在区间上没有零点，排除C； 对于D，，，， 所以函数的零点在区间内. 4．函数的零点所在的区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数定义域，函数单调性以及函数零点存在性定理分析即可. 【详解】由函数的定义域为， 又，故函数在上单调递增， 所以函数在上至多有1个零点， 由， 所以，所以函数的零点所在的区间是. 5．已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 6．方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 7．已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理即可判断. 【详解】由题意，根据幂函数的单调性，可知在内为增函数， 根据指数函数的单调性，可知在内为减函数， 所以函数在内为增函数， 因为，， ，，， 又指数函数为减函数，所以，，， 根据函数的零点存在定理，可得函数的零点在内. 8．函数的零点所在区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，在定义域内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 所以函数至多有一个零点， 又因为，， 所以函数有且仅有一个零点，且零点所在区间是. 9．设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数单调性以及零点存在定理即可得解. 【详解】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 所以由零点存在定理可知函数的零点. 10．已知函数，在下列区间中，包含零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，当时，易得单调递增， 因为，， 所以根据函数零点存在定理可知，内包含的零点.. 11．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 12．函数的零点所在的大致区间为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理逐个选项代入计算验证即可. 【详解】因为零点存在定理：若函数在区间上连续，且，则在内存在零点. 因为函数的定义域是.函数在上单调递增. 对于选项A，，所以函数在上恒成立，故选项A不正确. 对于选项B，，所以. 故在区间存在零点. 对于选项C，，所以. 故选项C不正确. 对于选项D，，所以 故选项D不正确. 13．已知函数的定义域为，图象连续不断，且在上单调，计算得，则可以确定零点所在区间为________. 【答案】 【分析】先利用单调性确定至多有一个零点，然后利用零点存在性定理，找到唯一零点所在的区间即可. 【详解】因为在上单调，所以在上至多有一个零点. 又由零点存在性定理，在上连续，， 所以在有零点，且该零点是唯一的. 所以可以确定零点所在区间为. 14．设是方程的解，且，则整数______________． 【答案】2 【分析】结合函数的单调性和零点存在性定理，即可求解. 【详解】令，单调递增，，， 所以零点，即. 15．已知函数在区间（）内存在零点，则______． 【答案】 【分析】首先根据题意得到函数在定义域上为增函数，且，，即可得到答案. 【详解】在定义域上为增函数， 且，， 所以函数唯一的零点在内，即． 16．若函数的零点所在区间为，求的值．2.71828） 【答案】 【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得函数的零点所在区间，从而得到的值． 【详解】因为函数与函数均为增函数，所以函数为增函数． 因为，， 所以函数的零点所在区间为． 所以． 题型三 根据零点个数求参数范围 1．已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定方程在上有一个解，从而得在上必有两个不同解，即必有两个非正数解，由二次函数根的分布情况列出不等式组求解即可. 【详解】当时，,单调递增且值域为， 所以此时直线与函数的图象始终有一个交点， 即方程在上有一个解； 由题意可得在上必有两个不同解， 即在上必有两个非正数解， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 2．已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 【答案】B 【分析】分段处理函数，把方程转化为直线与图像交点问题，分别统计与两段的交点数量，相加等于，得到． 【详解】作出的图象如图所示， 根据上图可知和的图象有个交点，即满足条件． 3．已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和求出范围，由题中条件得到，由得到，由题中条件得到，通过解这个不等式组得到的取值范围. 【详解】因为，且， ， 因为函数（）在区间上单调递增， 所以， 解第一个不等式， 即，即，即， 解第二个不等式， 解得，即，即， 又，则， 因为，在区间内恰有两个零点， 所以， 则，解得，即， 又，则， 则的取值范围是. 4．设，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数和导数的几何意义得出的范围． 【详解】令得， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 作出与的函数图象如图所示： 设直线与的图象相切，切点为， 则，解得或， 有两个不同的零点， 与的函数图象有两个交点， 或，即． 5．设．若方程恰有3个不同的实数解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由的图象与直线有三个交点，作出图象，数形结合讨论求解即可. 【详解】令，则，作出函数的图象， 由题意可知的图象与直线有三个交点， 由图可知，当时，的图象与直线一定有一个交点， 当时，的图象与直线一定有一个交点， 所以的图象与直线在区间上有且仅有一个交点， 即在区间上有两相等实数根， 所以，得. 6．已知关于的方程有实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过换元并构造二次函数，再将原方程有实根的问题转化为与有交点问题，结合函数图象可得. 【详解】令，由指数函数性质得， 原方程变形为关于的二次方程：，即. 令，则， 所以二次函数是开口向上，对称轴为，因此函数在上单调递增，且. 所以函数在上的值域为，因此原方程要有实根，则， 由对数函数的性质，解得，即的取值范围是. 7．函数恰有1个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用零点的定义，对进行分类讨论，利用零点的性质，判断函数在定义域内的零点情况. 【详解】当时，，定义域为. 令，得.满足题意. 当时，. 所以必有零点. 因为函数恰有1个零点，则不能再出现其他异于的零点. 当时，由得，即的定义域为. 则，. 由得，即 两边平方化简得，又，解得或，且. 所以有两零点，不满足题意. 当时，由得或，即的定义域为. 由得. 当时，，则即. 化简得. 当时，解得，则在没有零点； 当时，解得或. 当时，，则有异于的零点，不满足题意. 当时，，则，函数在区间没有零点. 当时，，由得. 两边平方化简得. 当时，解得，所以在区间没有零点； 当时，解得或. 当时，，即. 所以有异于的零点，不满足题意. 综上所述，可得a的取值范围为. 8．已知函数 有 个零点，则实数 的取值范围为______. 【答案】 【分析】应用零点列方程，再结合二次函数特征求解. 【详解】令 得 . 设 ，其图象为 在 轴下方部分翻折到轴上方所得， 在 、 处为 ，在 处取得最大值 .要使方程有 4 个不同实根，需 ， 故实数的取值范围是. 9．已知函数，若函数存在个零点，则整数的值为______. 【答案】 【分析】将零点问题转化为与两条水平线的交点计数问题，结合分段函数的图像与取值特征列不等式即可求解. 【详解】已知函数，且函数存在个零点， 令，整理得或， 原问题等价于与水平线、的交点总个数为， 当时，，对任意，方程恒有个不等实根； 当时，： 当时，方程有个实根；当时，方程无实根； 要使总交点数为，需满足一条水平线对应个交点（当时，有个根、有个根）， 另一条水平线对应个交点（当时，有个根、有个根），如图所示， 所以且，即，解得，因此整数的值为. 10．已知函数（），若有两个零点，则a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用分离常数法，构造函数法，结合导数求得a的取值范围，进而求得正确答案. 【详解】由题意得，的定义域为； 有两个零点可转化为有两个不同的实数根； 令，则； ，即，解得； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，； 当时，；当时，； 因为有两个零点可转化为有两个不同的实数根； 即转化为直线与的图象有两个不同的交点； 所以，，即的取值范围为. 11．已知关于的不等式解集恰好含有个不同的整数解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】令，因为为不等式的解，则也是不等式的解，所以原不等式等价于关于的不等式恰好有个不同的正整数解，先由韦达定理及根与系数关系可得，进而再根据范围分三类：①，②，③，结合函数值的正负号可得不等式的正整数解，从而可得所求值的范围. 【详解】因为函数是偶函数，图象关于轴对称. 令，原不等式可转化为：， 因为原不等式有个不同整数解，由于的对称性，的整数解必然是正负成对出现， 因此关于的不等式必须有个不同的正整数解. 设方程的两根为， 则，解得. 所以当时，方程有个不同的正数解. 设，二次函数开口向上， 且，. ①当时，显然， 所以不等式只有个正整数解，舍去； ②当时，显然， 所以不等式只有个正整数解或，对应及，符合题意； ③当时，显然， 所以均为不等式的正整数解，因此原不等式整数解多于个，舍去； 综上①②③可知，不等式有个不同的正整数解时， 即不等式解集含有个不同的整数解，则. 因此的取值范围为. 12．已知函数，若，则的单调增区间是______；若有两个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】第一问代入，先求定义域，求导，解即可求出单调增区间；第二问先求定义域，求导找到唯一极大值点，函数有两个零点等价于极大值大于0，构造新函数研究单调性，解不等式即可求出参数的取值范围 【详解】第一空：当时，，， 则，令，解得， 因此，的单调增区间为； 第二空：由题意得，即，显然， 若，则，此时由复合函数单调性满足同增异减可知， 在定义域内单调递减，不可能有两个零点，所以不合要求； 则，则，令，则，即， 所以， 令，则，再令， 因为，则，所以在上单调递增， 其中，故时，，时，， 所以在处取最小值， 当时，，当时，， 所以当时，与有两个交点，所以的取值范围为. 13．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的一个取值为_______________． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】先根据三角函数图象平移规则得到的解析式，再结合两函数的值域特征推导方程有实根时，的取值规律，任选符合条件的取值即可． 【详解】将的图象向左平移个单位长度，得到， 再向上平移2个单位长度得， 的值域为，的值域为， 要使得，需使得， 由，得， 由，得， 所以，即， 所以， 化简得， 取，得． 14．已知偶函数有两个零点，则_________；的取值范围为_________. 【答案】 / 【分析】根据是偶函数，得 ，；由=是偶函数，有两个零点等价于在上有一个零点，根据单调性，及 ，时，得. 【详解】因为是偶函数， 所以===， 因为， 所以；此时==， 因为是偶函数，要使有两个零点，只需在上有一个零点， 因为在上单调递增， ，时， 所以. 15．函数,若函数有6个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】先分析函数的图像，再把函数有6个零点转化为二次函数根的分布问题，最后列不等式求解即可. 【详解】函数有6个零点,即有6个解，令，原方程化简为， 草图如下 要想有6个解需满足有2个解， 且，令，是开口向上的二次函数，对称轴为， 如下图： 所以，即， 解得：，即. 16．已知函数（其中为自然对数的底数），若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过画出的图象，和二次方程有4个不相等的实根可建立关于参数满足的不等关系，从而可得参数的取值范围． 【详解】根据可得的图象如图所示， 且；要使恰好有4个不相等的实根， 则需满足； 故关于的二次方程需满足 ，可解得；故m的取值范围是 17．已知函数总存在，使得关于的方程有四个实数解，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】换元分层，先看外层方程得到两个中间变量，再要求每个中间变量代入内层都能产生两个x解，转化为存在参数满足不等式，求出a的范围. 【详解】令 ，原方程化为 ,要使原方程有 4 个实数解，需同时满足： 方程 有2 个不同实根 ； 每个根 对应的方程 都有2 个不同实根,总解数为 . 时， 单调递增，值域 ； 时， 单调递减，值域 . 因此方程 的解的个数：，2 个解（两段各 1 个）；，1 个解（仅 段）；，无解. 同理， 有 2 个不同实根，当且仅当 ,此时两个根为：（）；（）, 要使每个根 对应的方程 都有2 个不同实根，需要满足(), 即，所以，则， 因为，，，所以， 所以，因为，的值域为， 所以，所以实数的取值范围是. 18．已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为, 求； (2)若有三个零点，求的取值范围； (3)若只有一个极值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）考查导数的几何意义，即利用导数求曲线在某点处的切线方程.关键点在于计算函数在该点的导数值(切线斜率)和函数值，联立方程求解参数； （2）考查函数零点问题，需将原方程转化为三次方程，通过分析三次函数的极值点与x轴的相对位置，确定参数范围.核心思路是三次函数的极值异号时存在三个零点； （3）考查极值点的存在条件，需分析导数方程的实根数目.关键点在于导数方程的实根数目与原函数极值点的关系，通过三次方程的极值分析确定参数范围. 【详解】（1）∵，∴ ∴曲线在点处的斜率为：； 由切线方程为得，斜率，解得. 由，代入切线方程 得， 解得 所以. （2）函数的定义域为 令，即， 设 ∴， 令解得或，令解得， ∴在上单调递增；在上单调递减； ∴的极大值为,的极小值为. 要使有三个根，需且, 即,解得 ∴的取值范围为. （3）只有一个极值即有且仅有一个根或者虽有多个根但是仅有一个为极值点. 即等价于. 设，则 令解得或； ∴在上单调递增，在上单调递减； ∴的极大值为，的极小值为. ∴当或时仅有一个实数根； 当或时，有两个实数根（其中一个为重根且非极值点），故仅有一个极值点. 综上， 或. ∴的取值范围为 19．已知，其中，，，的部分图象如下图所示： (1)求的解析式和单调增区间； (2)当时，若函数恰有两个不同的零点和，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，单调增区间为，； (2)或。 【分析】（1）根据周期求得，再根据最值得到，代入最低点坐标求得，从而得到，再利用整体法求得其单调增区间； （2）转化为直线与有两个交点即可. 【详解】（1）记函数的最小正周期为，由图知， 所以， 因为最低点为，所以， 因为，所以，， 又因为，所以， 所以， 由， 解得， 所以单调增区间为， （2）令，即， 则直线需要与，的图象有两个交点， 因为， ， ， ， 则由图知：或． 题型四 根据零点所在区间求参数范围 1．已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 2．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 3．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 4．若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，进而可得结果. 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 5．若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在定理可得，解不等式求的取值范围． 【详解】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 6．已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，由条件结合零点的性质列不等式求的范围. 【详解】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. 7．若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数零点的判定定理及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】当时，，在上没有零点，不符合题意； 当时，为一次函数， 函数在区间上存在零点的充要条件为， 即， 即．解得或． 故选： 8．若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知在区间上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数与在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得. 所以常数的取值范围为 故选：C 9．若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，由函数的零点所在区间为， 得，则，解得， 所以a 的取值范围为. 故选：A 10．函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解，构造函数，分析单调性求得的值域，即可得实数的取值范围. 【详解】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解. 令函数，则直线与函数的图象有交点. 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，所以函数是减函数. 因为. 所以函数的值域为，所以实数的取值范围为. 故选：D. 11．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数在上单调递增，由求解. 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 12．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得. 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 13．已知函数在内有零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】先通过导数判断函数在区间上的单调性，再结合零点存在定理列不等式求解的取值范围. 【详解】对求导得：. 当时，且，故，因此在上单调递减. 因为在内有零点，结合单调函数的零点存在性质，可得： ， 计算端点函数值： ，， 代入不等式得： ，解得，即. 14．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 15．函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 16．若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 【答案】1 【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得函数的零点所在区间，从而得到的值. 【详解】因为函数与函数均为增函数， 所以函数为增函数. 因为， ， 所以函数的零点所在区间为. 所以. 故答案为：. 17．若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与性质，函数在区间上存在零点等价于，解此不等式即可求得实数的取值范围 【详解】当时，，在区间上不存在零点，不合题意. 当时，函数是一次函数，若在区间上存在零点， 则. 因为，， 所以， 解得， 因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 18．已知函数的所有零点都在区间上.若，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合零点存在性定理求解. 【详解】依题意，函数的定义域为， ， 所以为偶函数， 当时， ，此时单调递增， 且，， 故在只有一个零点，且零点在区间上， 因为为偶函数，根据对称性，可知有2个零点，其中， 则，故实数的取值范围为． 故答案为：． 19．设为实数，函数在区间上有零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】对函数求导，在已知区间内判断导数正负，得到函数单调性，由零点存在性定理列出不等式组，然后解得实数的取值范围. 【详解】， 当时，，， ∴，即函数在上单调递减. ∴，即，解得. 故答案为：. 20．若函数在区间内有零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】因为在上单调递增，所以可由零点存在定理得，即，解关于的不等式可得的取值范围. 【详解】因为在上单调递增，所以在区间内单调递增，则由零点存在定理可得， 即，解得，故的取值范围是． 故答案为： 21．若方程有且只有一个根在区间上，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用三个二次的关系，得到函数有且只有一个零点在区间上，借助于根的判别式，零点存在定理，结合区间端点的函数值，列出不等式求解即得. 【详解】设， 依题意，函数有且只有一个零点在区间上，可以分成三类情况： ①由解得或. 当时，， 此时函数恰有一个二重根在区间上，符合题意； 当时，， 此时函数的实根不在区间上，不合题意. ②由可得，解得； ③令，得， 此时方程的另一根为，不合题意； 令，得， 此时方程的另一根为，符合题意． 综上，可得实数的取值范围为． 故答案为： 22．若函数的零点，则整数的取值为_____． 【答案】或2 【分析】先将零点问题化为交点问题，再结合图象确定其中一个零点范围，再利用零点存在性定理确定另一个零点范围，最后求解参数即可. 【详解】由题意得的定义域为， 令，则， 可得函数的零点为函数的图象与的图象交点的横坐标， 如答图15-18，可知交点有两个，其中一个交点的横坐标满足．    而函数的零点，解得， 而，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 因为该零点满足，且为整数，所以， 综上，或2. 故答案为：或2 23．已知函数． (1)求函数的单调性； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在上单调递增； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据对数函数的定义结合复合函数单调性求解； （2）利用零点存在定理列式结合对数运算及一元二次不等式求解； （3）利用基本不等式和函数的单调性分类求函数的最小值，确定结论. 【详解】（1）因为，所以解得，所以函数的定义域为； 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以函数在上单调递增； （2）由已知，是增函数， 因为函数在上有且仅有一个零点， 所以，解得， 所以的范围是； （3）假设存在正实数满足题意， ，则，， 设，则， ， 由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 若，则，此时满足题意， 若，即， 设，， ， 因为，所以，， 所以时，，，是增函数， 时，，，不合题意； 当时，，，是减函数， 时，，，不合题意； 综上，存在正实数，使得函数在内的最小值为6，满足条件时. 24．若函数在上有零点，则参数的取值范围是什么？如果没有零点，那么的取值范围又如何？ 【答案】若函数在上有零点，参数的取值范围是； 若函数在上没有零点，参数的取值范围是. 【分析】对函数解析式中的绝对值内式子的正负进行分类讨论，再结合函数零点的定义来确定参数的取值范围即可. 【详解】当时，，则， 的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，且， 若函数在上有零点，则，即，解得， ，； 当时，， ①当，即时， 若，此时，， 函数在上没有零点； 若，此时，令，则，， 函数在上也没有零点； ②当，即时， 若，则在上有零点时， 有，即，解得，； 若，则函数在上有零点时， 有，； 综上，若函数在上有零点，则参数的取值范围是； 若函数在上没有零点，则参数的取值范围是. 题型五 函数多个零点的计算 1．已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出分段函数图象，由四个根确定参数，分别利用抛物线的对称性和对数函数的对称性，求出和，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求出比值的取值范围． 【详解】画出函数图象如图所示， 由有四个根，结合图象可知，直线与函数图象有四个交点， 所以，，且 令得： 所以，因此 所以，令，因为，所以， 所以，令， 根据对勾函数单调性，在上单调递增，所以， 所以 2．已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、、三种情况，在前两种情况下，直接验证不符合题意；在时，根据题意求出三个零点的表达式，并求出的取值范围，结合对数的运算性质以及对数函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】当或时，，有唯一解，不满足方程有三个不等实根； 当时，大致图象如图所示，    若有三个不等实根，则，可得， 设，令，解得，即， 令，解得：，， 因为， 所以，故. 3．已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断含糊的对称性以及函数的单调性，数形结合，可判断出函数的零点，即可求解.. 【详解】由， 可得， 故，即的图象关于点对称； 由于单调递增，故在R上单调递增，且增加的趋势较平缓， 当时，，当时，， 为增函数，其图象也关于点对称， 作出函数的图象如图： 由此可知的图象有唯一的交点， 所以1是的唯一零点， 所以函数的所有零点之和是1. 4．函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，的零点转化为与的交点，结合图像及对称性求解即可． 【详解】由，得， 则所有零点的和等价于函数与的图象所有交点的横坐标之和． 易得与的图象均关于点对称． ，，，结合与的图象， 可知与的图象在内共有2个交点， 则与的图象共有5个交点，且关于点对称， 则这5个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为． 5．已知函数（），则的所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则， 所以的所有零点之和为. 6．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称性求出周期，再数形结合后可求所有根之和. 【详解】由，得函数关于点对称， 又，得函数关于直线对称且， 故，故，所以， 所以，从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，， 又方程的根即与的交点横坐标， 而直线的斜率为，， 故的图像与直线在有且只有一个交点， 又，， 结合的周期性和对称性，在同一坐标系中画出的图像和直线， 如图： 两函数共有个交点，并且关于点对称，故所有根之和为. 7．函数的所有零点之和为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】应用指对数转化，再换元得出，最后应用指数运算律及指对数转化求解. 【详解】  令，可得． 设，则， 解得，， 则． 故的所有零点之和为． 故选：A. 8．如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，结合同底的对数函数和指数函数互为反函数，根据反函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为是实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为是正实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为函数和互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称，且直线与直线互相垂直， 所以点关于直线对称， 所以，所以. 故选：C 9．（多选）已知函数若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BC 【分析】作出函数的图象，结合函数的图象，对数的运算性质、二次函数的对称性、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】如图，作出函数的大致图象． 设．因为， 所以由图象可知，当时，直线与函数的图象有4个交点． 已知4个交点的横坐标分别为，且， 所以． 由关于直线对称，得，故A错误． 由，得，即，即， 所以，解得，故B正确． 由图象知，，则 ，故C正确． 由图象知，，即，得， 则， 因为函数在时，单调递减， 所以， 因此，故D错误． 故选：BC． 10．已知函数与函数的零点分别为，，则______． 【答案】 【分析】先根据零点的定义得到，，从而得到，，再构造函数，进而结合该函数的单调性即可求出的值． 【详解】依题意可得，， 则，， 令，则，且， 又在上单调递增，则有唯一解， 所以，得， 所以． 11．若函数恰好有4个不同的零点，则其所有零点之和的取值范围为______． 【答案】 【分析】把函数零点问题转化成方程根的问题，利用韦达定理和判别式讨论的取值范围，进而求解4个零点之和的取值范围． 【详解】函数的零点即的解，，且时， ，所以方程的解必定为整数解，， 当时，方程为，即①； 当时，方程为，即②； 要使有4个不同零点，需两个二次方程各有2个不同的正实根，且满足符号条件， 方程，判别式，解得或； 两根之和，故， ，满足，符合的条件； 方程，判别式，解得或； 两根之和，故， ，满足，符合的条件； 综上可得，当时，两个二次方程各有2个不同的正实根，且无公共根， 有4个不同的零点， 方程①的两根之和为，方程②的两根之和为， 所有零点之和为， ， ，故所有零点之和的取值范围为． 12．已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可. 【详解】如图所示： 由方程即有四个不同解， 即的图象与有四个不同的交点，由图可知， 不妨假设，由图可知， 又由图可知， 故，解得：， 又，结合图象可知，所以， 所以， 设， 任取，且， 则 ， 因为且， 所以且， 所以， 所以在上单调递减， 所以即，即， 所以. 13．设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，因为函数是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 因为是的唯一零点， 所以， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标. 当时，因为是的零点， 所以， 设， 当时，因为函数是正实数集上的增函数， 所以是正实数集上的增函数， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标， 显然函数与函数的图象关于直线对称，如下图所示： 显然，由数形结合思想可知：， 的中点在上， 所以， ，设 ， 由对勾函数的单调性可知该函数在时，单调递减， 即， 所以的取值范围是. 14．已知函数，令，当时，的所有零点之和为___________，有3个零点则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，作出图像，利用方程与函数的关系，进行计算，可得答案. 【详解】由题意可得：当时，即. 当时，，解方程： 得，取. 当时，. 所以当，的两个零点:和. 所以零点之和为：. 要使函数有三个零点，图象有三个交，根据图像可得： 时，图象有三个交点，即函数有三个零点， 15．函数的所有零点的和为__________． 【答案】 【分析】构造函数，再判断其在，，，单调性，最后结合图象和对称性即可求解. 判断其对称性，再通过解析式、求导和对称性确定其单调性，即可求解. 【详解】令， 则 ， 所以，即的图象关于直线对称， 当时，在上单调递增， 当时，，则， 所以在上单调递减， 结合的图象关于直线对称可得： 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又， 且当时，，当时，， 所以与有4个交点，且关于对称， 故有4个零点，且关于对称， 则所有零点的和为． 16．设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为__________；若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________. 【答案】 6 【分析】先作出函数 的大致图象，结合图形，当 时， 与函数 有三个不同的交点，由对称性可知这三个根的和，若方程 有四个不相等的实根，则这四个根关于直线 对称，不妨令 ，则有 ， ， ，故有 ， ，换元 ，求其范围即可. 【详解】作出图象如下： 可知当 时， 与函数 有三个不同的交点，其中一根为2，另两根关于对称 ，故这三个根之和为 ； 时， ， 在 与 上的图象关于 对称， 不妨令 ， 可得 ， ， . ， ， ， ， ， 令 ， 则原式化为： ， ， 其对称轴 ，开口向上，故 在 递增， ， 的取值范围是 . 故答案为：6； . 17．已知函数有个零点，则__________. 【答案】或 【分析】根据绝对值，先因式分解，得到，分类讨论含绝对值的方程即可通过分析方程根的个数来确定，进而求出结果. 【详解】有4个不同的零点即为有4个不同的实数根. 不妨设， 由①， 可得或， 当时，为， 可得或， 当时，为， 则， 若，即，方程为，得， 此时方程①共有4个不同的零点，故. 若，即， 若，则时的两根不符合，舍去， 又对于时，，最多有两根，加上，不符合题意； 若，对于时，，解得或， 加上，方程①共有三个根，不符合题意； 若，满足时的根， 对于时，有两根，一正一负，其中负根为， 因为，故， 故负根舍去，此时加上，此时方程①最多3根，故不符合题意； 若，时只有一根， 对于时，，或， 加上，此时方程①有4个不同零点，符合题意， 故， 若，时有两根或， 加上，已有三个根， 所以时，有两根，且两根相等， 所以又两根之和为，故其根为，所以，这与矛盾，舍； 综上，或. 故答案为：或 18．已知函数最小值为． (1)求在上的减区间； (2)求在上的所有零点之和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再利用换元法结合正弦函数的性质可求单调区间； （2）由可求零点的一般形式，利用等差数列的前项和公式可求在上的所有零点之和. 【详解】（1），所以，所以，     解得， 所以的单调递减区间为， 又当时，， 所以在上的减区间为． （2），得， 所以或， 即或， 令，则， 令，则， 所以，在上的所有零点之和为： . 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.10 函数的零点与方程的解 基础知识梳理 1.函数零点的概念 （1）定义:对于函数把使的实数叫做函数的零点. （2）意义:方程有实数解函数的图象与轴有公共点函数有零点. （3）函数的零点不是函数的图象与轴的交点,而是函数的图象与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数. 2.函数零点的判定（函数零点存在定理） 一般地,如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线,且有,那么函数在区间  内至少有一个零点,即存在使得,这个也就是方程的解.我们把这一结论称为函数零点存在定理. 3.二分法 对于在区间上图象连续不断且的函数通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 4.二次函数 零点个数的判断 （1）函数有个零点. （2）函数有个零点. （3）函数没有零点. 5.与函数零点有关的结论 （1）若图象连续不断的函数在某区间上是单调函数,则在该区间内至多有一个零点. （2）图象连续不断的函数的相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. （3）图象连续不断且有零点的函数的图象经过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. （4）周期函数如果存在零点,那么必有无穷个零点. （5）由函数（图象是连续不断的）在闭区间上有零点不一定能推出如图所示,所以是在闭区间上有零点的充分不必要条件. 题型一 利用二分法求函数的零点 1．下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 2．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 4．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 6．用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知函数的零点为，则与最接近的数为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 10．在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 11．已知函数的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________，________. 12．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 13．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是哪一个？ 14．用二分法求方程在区间内的实根，由计算器可算得，，，求下一个有根区间． 15．已知函数，， . (1)证明：； (2)利用二分法证明方程在上有两个实根. 16．判断方程是否有解？如果有解，有几个解，且全部解的和为多少(精确度为，解保留两位小数)? 17．一块电路板的AB段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测几次？ 题型二 判定零点所在区间 1．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数则下列区间中存在零点的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的零点所在的区间是（     ） A． B． C． D． 5．已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A． B． C． D． 6．方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 8．函数的零点所在区间是（     ） A． B． C． D． 9．设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，在下列区间中，包含零点的是（　　） A． B． C． D． 11．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 12．函数的零点所在的大致区间为（     ） A． B． C． D． 13．已知函数的定义域为，图象连续不断，且在上单调，计算得，则可以确定零点所在区间为________. 14．设是方程的解，且，则整数______________． 15．已知函数在区间（）内存在零点，则______． 16．若函数的零点所在区间为，求的值．2.71828） 题型三 根据零点个数求参数范围 1．已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 3．已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设．若方程恰有3个不同的实数解，则（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的方程有实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．函数恰有1个零点，则的取值范围为______． 8．已知函数 有 个零点，则实数 的取值范围为______. 9．已知函数，若函数存在个零点，则整数的值为______. 10．已知函数（），若有两个零点，则a的取值范围为__________． 11．已知关于的不等式解集恰好含有个不同的整数解，则的取值范围为______． 12．已知函数，若，则的单调增区间是______；若有两个零点，则的取值范围是______． 13．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的一个取值为_______________． 14．已知偶函数有两个零点，则_________；的取值范围为_________. 15．函数,若函数有6个零点，则实数的取值范围为______. 16．已知函数（其中为自然对数的底数），若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是______． 17．已知函数总存在，使得关于的方程有四个实数解，则实数的取值范围是_________． 18．已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为, 求； (2)若有三个零点，求的取值范围； (3)若只有一个极值，求的取值范围. 19．已知，其中，，，的部分图象如下图所示： (1)求的解析式和单调增区间； (2)当时，若函数恰有两个不同的零点和，直接写出的取值范围． 题型四 根据零点所在区间求参数范围 1．已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 8．若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知函数在内有零点，则实数的取值范围是________． 14．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 15．函数的零点在区间内，则_________． 16．若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 17．若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是__________. 18．已知函数的所有零点都在区间上.若，则实数的取值范围为________. 19．设为实数，函数在区间上有零点，则实数的取值范围是________. 20．若函数在区间内有零点，则的取值范围是_______． 21．若方程有且只有一个根在区间上，则实数的取值范围为______． 22．若函数的零点，则整数的取值为_____． 23．已知函数． (1)求函数的单调性； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．若函数在上有零点，则参数的取值范围是什么？如果没有零点，那么的取值范围又如何？ 题型五 函数多个零点的计算 1．已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 4．函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 5．已知函数（），则的所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 7．函数的所有零点之和为（   ） A． B．1 C． D．2 8．如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 9．（多选）已知函数若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 10．已知函数与函数的零点分别为，，则______． 11．若函数恰好有4个不同的零点，则其所有零点之和的取值范围为______． 12．已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 13．设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 14．已知函数，令，当时，的所有零点之和为___________，有3个零点则的取值范围为___________. 15．函数的所有零点的和为__________． 16．设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为__________；若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________. 17．已知函数有个零点，则__________. 18．已知函数最小值为． (1)求在上的减区间； (2)求在上的所有零点之和． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $