第16课时 导数的概念与运算专项训练-2027届高三数学一轮复习

第16课时 导数的概念与运算 1．曲线y＝在点(3，2)处的切线的斜率是(　　) A．2　　　　　　　 B．－2 C． D．－ 2．函数f(x)的图象如图所示，则下列选项中正确的是(　　) A．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．0>f′(1)>f′(2)>f′(3) 3．曲线y＝＋sin在点(0，1)处的切线方程为(　　) A．y＝x－1 B．x＝1 C．y＝1 D．y＝x＋1 4．若直线y＝kx与曲线y＝x4－x3＋k相切于点(x0，y0)，其中k≠0，则x0＋y0＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 5.曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线如图所示，则f(1)＋f′(1)＝(　　) A．0 B． C． D．－ 6．已知曲线y＝(1－x)ex有且仅有1条过点A(a，0)的切线，则a＝(　　) A．－3 B．3 C．－3或1 D．3或1 7．已知函数f(x)＝x3－2x2＋(a－1)x的图象与x轴相切，则实数a的所有可能取值之积为(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 8．“以直代曲”是重要的数学思想．具体做法是：在函数图象某个切点附近用切线代替曲线来近似计算．比如要求sin 0.05的近似值，我们可以先构造函数y＝sin x，由于0.05与0比较接近，所以求出x＝0处的切线方程为y＝x，再把x＝0.05代入切线方程，故有sin 0.05≈0.05，类比上述方式，则e≈(　　) A．1.001 B．1.005 C．1.015 D．1.025 9.【多选题】某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝ H(H为常数)，其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(单位：m3/h)，t1，t2，t3，t4时刻的瞬时融化速度分别为v1，v2，v3，v4(单位：m3/h)，那么下列各式正确的是(　　) A．v1< B．v2> C．v3＋>0 D．v4＋<0 10．【多选题】已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ex＋1＋a，则(　　) A．曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线斜率为1 B．曲线y＝f(x)上的点到直线x－y＝0的距离的最小值为 C．当a<0时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)有且只有一条公切线 D．曲线y＝f(x)与y＝g(x)可能存在两条公切线 11．若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________． 12．已知函数g(x)为奇函数，其图象在点(a，g(a))处的切线方程为2x－y＋1＝0，记g(x)的导函数为g′(x)，则g′(－a)＝________． 13．已知函数f(x)＝，若点P是曲线y＝f(x)上的动点，则点P到直线y＝x＋2距离的最小值为________． 14．平面直角坐标系中，直线y＝a与y轴和曲线y＝2ln x的交点分别为A，B，若曲线y＝2ln x在B点处的切线交y轴于C点，则|AC|＝________． 15.牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法，其步骤为：方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r，如图．设函数f(x)＝x2＋bx，x0＝2，用牛顿迭代法得到x1＝，则实数b＝(　　) A．1 B． C． D． 16．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x，若直线 y＝－x＋a与f(x)，g(x)的图象分别交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．1 17．(1)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为________． (2)在(1)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为________． 参考答案 1．答案　D 解析　y′＝＝－，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k＝y′|x＝3＝－＝－，故选D. 2．答案　D 解析　作曲线在点(1，f(1))，(2，f(2))，(3，f(3))处的切线，记其斜率依次为k1，k2，k3，结合图象可得0>k1>k2>k3，由导数的几何意义可得k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f′(3)，所以0>f′(1)>f′(2)>f′(3)．故选D. 3．答案　D 解析　因为y＝＋sin(π－2x)＝＋sin 2x，所以y′＝－＋2cos 2x，所以曲线y＝＋sin(π－2x)在点(0，1)处的切线斜率为－＋2cos 0＝－1＋2＝1，所以切线方程为y－1＝1×(x－0)，即y＝x＋1. 4．答案　A 解析　设f(x)＝x4－x3＋k，则f′(x)＝4x3－3x2，则则x－x＋4x－3x＝x0(4x－3x)，整理得x(x0－1)2＝0，解得x0＝0或x0＝1.当x0＝0时，k＝0，不符合题意，所以x0＝1，k＝1，则y0＝1，x0＋y0＝2. 5.答案　A 解析　由题图可知曲线在点P处的切线过点(2，0)和(0，－1)，所以f′(1)＝＝，所以切线方程为y＝x－1， 令x＝1，则y＝－，所以f(1)＝－， 所以f(1)＋f′(1)＝－＋＝0.故选A. 6．答案　C 解析　设切点为(x0，(1－x0)e)， 由已知得y′＝－xex，则切线斜率k＝－x0e，切线方程为y－(1－x0)e＝－x0e(x－x0)． 又因为切线过点A(a，0)，则－(1－x0)e＝－x0e(a－x0)，化简得x－(a＋1)x0＋1＝0. 由于过点A的切线有且仅有1条，即Δ＝(a＋1)2－4＝0，解得a＝－3或1.故选C. 7．答案　B 解析　设切点为(x0，0)，由f(x)＝x3－2x2＋(a－1)x， 得f′(x)＝3x2－4x＋a－1， 由题意可得f′(x0)＝3x－4x0＋a－1＝0， ∴a－1＝－(3x－4x0)， 又f(x0)＝x－2x＋(a－1)x0＝0， ∴x－2x－(3x－4x0)x0＝0， 解得x0＝0或x0＝1， 当x0＝0时，a－1＝0，∴a＝1， 当x0＝1时，a－1＝1，∴a＝2， ∴实数a的所有可能取值之积为1×2＝2.故选B. 8．答案　A 解析　设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，f(0)＝1，f′(0)＝1，由于与0比较接近，所以求出曲线y＝ex在点x＝0处的切线为y＝g(x)＝x＋1，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，得e＝f≈g＝1＋＝1.001. 9.答案　AD 解析　平均融化速度为＝，反映的是V(t)的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知t1，t2处瞬时速度(即切线的斜率)小于平均速度，t3，t4处瞬时速度及都小于0. 10．答案　AC 解析　由题意得f′(x)＝ex，则f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线斜率为1，A正确； 由A易知曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与直线x－y＝0平行，所以曲线y＝f(x)上的点到直线x－y＝0的距离的最小值为＝，B错误； g′(x)＝ex＋1，设公切线与曲线y＝f(x)，曲线y＝g(x)的切点分别为(x1，e)，(x2，e＋a)，则＝e＝e，得a＝－e. 当a<0时，x1有唯一解，所以曲线y＝f(x)与y＝g(x)有且只有一条公切线，当a≥0时，x1无解，所以曲线y＝f(x)与y＝g(x)没有公切线，C正确，D错误．故选AC. 11．答案　4 解析　∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5. 又P(－2，6＋c)，∴＝－5，∴c＝4. 12．答案　2 解析　直线2x－y＋1＝0的斜率为2，由导数的几何意义得g′(a)＝2，由函数g(x)为奇函数，可得g(x)＝－g(－x)，两侧同时求导得g′(x)＝g′(－x)，故g′(－a)＝g′(a)＝2. 13．答案　 解析　当曲线y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的距离最小，设点P，则f′(x0)＝＝1，解得x0＝0，此时P(0，0)，点P到直线y＝x＋2的距离为＝. 14．答案　2 解析　由直线y＝a与y轴及曲线y＝2ln x的交点分别为A，B，可得A(0，a)，B(e，a)， 又由y＝2ln x，可得y′＝，则当x＝e时，y′＝， 所以曲线y＝2ln x在B点处的切线方程为y－a＝， 令x＝0，可得y＝a－2，即C(0，a－2)，所以|AC|＝|a－(a－2)|＝2. 15.答案　D 解析　f′(x)＝2x＋b，f′(2)＝4＋b，f(2)＝4＋2b，则曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(4＋2b)＝(4＋b)(x－2)，又切线过点，得－(4＋2b)＝(4＋b)，解得b＝. 16．答案　A 解析　因为f(x)＝ex，g(x)＝ln x， 所以f′(x)＝ex，g′(x)＝. 设A(x1，e)，B(x2，ln x2)， 曲线f(x)＝ex在点A(x1，e)处的切线斜率为f′(x1)＝e， 则切线方程为y－e＝e(x－x1)，即y＝ex＋e(1－x1)． 曲线g(x)＝ln x在点B(x2，ln x2)处的切线斜率为g′(x2)＝， 则切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x＋ln x2－1. 易知当两切线平行且均与直线y＝－x＋a垂直时，|AB|最小， 令e＝1，则x1＝0，令＝1，则x2＝1. 此时A(0，1)，B(1，0)，a＝1.所以|AB|＝＝.故选A. 17．(1)答案　 解析　由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax， 由y＝ex，得y′＝ex， 曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线， 设公共切线与曲线C1相切于点(x1，ax)，与曲线C2相切于点(x2，e)， 则易知x1＞0，x2＞0，且x1≠x2， 则2ax1＝e＝，可得2x2＝x1＋2， ∴a＝，记f(x)＝(x＞0)， 则f′(x)＝， 当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴当x＝2时，f(x)min＝. 又当x→＋∞时，f(x)→＋∞， ∴a的取值范围是. (2)答案　 解析　∵两曲线C1与C2存在两条公共切线， ∴由(1)知a＝有两个不同的解． ∵函数f(x)＝(x>0)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(2)＝， 又当x→0时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，∴a>. 学科网（北京）股份有限公司 $