3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 专项训练 - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数核心概念与几何应用，构建从基础运算到跨模块综合的递进式训练，覆盖30种考法，典例精选近年模拟题，突出逻辑推理与数学应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数的概念与运算|5考法|物理意义、基本求导、抽象函数性质、新定义双曲函数|从具体到抽象，衔接函数奇偶性与周期性| |导数的几何意义与切线特征|7考法|切线斜率、存在性判断、方程求解、定点证明|以几何意义为核心，深化导数与直线性质的联系| |切线的综合几何模型与跨模块应用|6考法|距离面积最值、平行切线、绝对值函数、与三角函数/圆锥曲线综合|从单一切线到多模块融合，培养综合解题能力| |两曲线的公切线与公法线问题|4考法|公切线方程、参数求解、根的存在性、公法线模型|拓展切线应用，建立方程思想与导数工具的关联| |导数综合应用与新定义拓展|8考法|构造原函数、切线不等式、二阶导数、泰勒展开、中值定理|渗透高等数学思想，提升创新意识与探究能力|

2027届高三数学一轮复习专项训练 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 解析卷 答案速查表 1 考点一：导数的概念与运算 2 考法1：导数物理意义与瞬时变化率 2 考法2：基本初等函数求导法则与方程求解 2 考法3：赋值法与抽象函数导数性质 4 考法4：抽象函数对称性与导函数周期性 6 考法5：新定义双曲函数求导与恒等式证明 7 考点二：导数的几何意义与切线特征 8 考法6：曲线切线斜率求解与充要条件判定 8 考法7：导数几何意义与水平切线存在性判断 9 考法8：切线方程求解与切点坐标探究 10 考法9：过曲线外一点的切线方程与切点区间 12 考法10：切线垂直、平行及斜率范围探究 12 考法11：切线方程过定点与定直线证明 14 考法12：导数运算法则与切线性质综合判断 15 考点三：切线的综合几何模型与跨模块应用 15 考法13：切线与距离、坐标面积最值探究 15 考法14：平行切线法求曲线间最短距离 18 考法15：绝对值函数的可导性与切线特征 18 考法16：导数切线与三角函数图象变换综合 20 考法17：导数切线与圆锥曲线跨模块综合 20 考法18：切线参数与裂项相消求和综合 21 考点四：两曲线的公切线与公法线问题 22 考法19：公切线方程求解与截距计算 22 考法20：公切线求参数与同构转化 23 考法21：公切线转化为方程根的存在性 25 考法22：法线方程与公法线模型 25 考点五：导数综合应用与新定义拓展 26 考法23：构造导数原函数解不等式与性质探究 26 考法24：切线重构与切线不等式证明 29 考法25：二阶导数判定图象对称中心与求和 30 考法26：泰勒多项式与高阶导数运算 30 考法27：帕德逼近模型求函数参数与近似值 31 考法28：罗尔定理与方程根的分布探究 31 考法29：构造辅助函数证明拉格朗日中值定理 32 考法30：利普希茨条件与导数极值综合 32 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 方法总结 33 答案速查表 1 2 3 4 5 A C C 0 6 7 8 9 10 ACD ACD -1 ABD 见解析 11 12 13 14 15 D B A A D 16 17 18 19 20 -2 B 21 22 23 24 25 C D D 2 见解析 26 27 28 29 30 见解析， AC B A A 31 32 33 34 35 A 36 37 38 39 40 ACD （1）；（2） ； 41 42 43 44 45 或 A ACD 46 47 48 49 50 B B D 51 52 53 54 55 B ABD （1）； （2）证明见解析 56 57 58 59 60 ACD ， 见解析 证明见解析 考点一：导数的概念与运算 考法1：导数物理意义与瞬时变化率 1.（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（　　）cm/s. A. B. C. D. 【答案】A 【思路】瞬时速度即为位移函数对时间的导数，先求导得出速度函数，再由位移值求出对应时刻的三角函数值，代入导函数求解速度大小. 【解析】由题意知，瞬时速度函数为. 当时，，解得. ∵ ， ∴ . ∴ 弹簧振子的瞬时速度大小为. 故选A. 考法2：基本初等函数求导法则与方程求解 2.（2026·浙江北斗星盟·联考）已知函数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】利用正弦函数的导数公式直接求导，再将自变量的值代入求得导数值. 【解析】∵ ， ∴ . ∴ . 故选C. 3.（2026·河南新乡·模拟）已知函数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】把视为常数，利用基本初等函数的求导公式求导，然后令建立关于的方程并求解. 【解析】∵ ， ∴ . 令，得， 解得. 故选C. 4.（2025·河南青桐鸣·联考）记函数的导函数为，若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】先求导得出导函数，结合正弦二倍角公式将乘积化简求值. 【解析】因为，所以，所以. 5.（2026·贵州毕节·一模）已知函数且均不相等），设曲线在点处的切线的斜率为，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】0 【思路】利用乘积求导法则求出导函数表达式，分别代入各零点得到各切线斜率，再进行通分化简求和. 【解析】由已知可得， 当时，， 故； 当时，， 故； 当时，， 故， 则所求式子通分整理得. 考法3：赋值法与抽象函数导数性质 6.（2026·四川广安·二模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【思路】由偶函数的导数是奇函数分析性质，对已知对称性式子求导获得导函数的对称与周期特征，进而逐项判断. 【解析】由题得，所以即，所以是奇函数，故. 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即. 由求导得即， 所以. 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即，， 所以， 所以， ， 所以，故D正确. 故选ACD. 7.（2024·广东深圳外校·模拟）（多选）已知定义在上的奇函数满足，且，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 是周期为的函数 D. 【答案】ACD 【思路】运用赋值法，通过特殊值联立方程求出特定导数值，再推导函数的递推关系与周期性，最后计算数列和. 【解析】对于A：令，得，因为，所以，所以A正确； 对于B：令，得①，所以. 因为是奇函数，所以是偶函数，所以②. 由①②，得，即， 所以， 所以是周期为3的函数，所以，所以B错误，C正确； 对于D：因为，在①中令得，所以， ，所以D正确. 故选ACD. 8.（2026·四川成都七中·模拟）已知函数，若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】-1 【思路】先利用对数运算法则和函数定义域分析奇偶性，再由奇函数性质直接求出对称点处的函数值. 【解析】由，， 则， 即函数为奇函数， 所以. 考法4：抽象函数对称性与导函数周期性 9.（2024·广东新南方联盟·联考）（多选）已知函数的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为 D. 若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一 【答案】ABD 【思路】由偶函数的导函数为奇函数求出特殊点导数值；联立消去导函数得到函数的周期性，进而分析求和与极值点. 【解析】∵ 为偶函数，∴ 为奇函数，. 由得，故A正确； 由为奇函数可得， 代入得. 又由得， 代入得，即， ∴ 是周期为4的周期函数，同理也是周期为4的周期函数. ∵ 是奇函数且周期为4， ∴ ，， ∴ . ∴ . ∴ ，故B正确； 对于C，若在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，由极值判定知不是极小值点，故C错误； 对于D，若为偶函数，由为奇函数得， 即，满足题意的唯一； 此时（常数），满足题意的不唯一，故D正确. 故选ABD. 考法5：新定义双曲函数求导与恒等式证明 10.（2026·江苏南京鼓楼·二模）悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为． （1）求的值； （2）证明： （i）； （ii）； （iii）． （3）写出的最简表达式（结果用含的式子表达）． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）. 【思路】按定义写出导函数表达式，直接展开代数式进行恒等式推导；第（3）问借助差角公式将通项裂项求和. 【解析】（1），， . （2）（i）因为左边， 右边 ， 所以，命题得证. （ii）因为， ， 所以，命题成立； （iii） ， 命题得证. （3）因为，故， 故， 而，， ，， 故. 考点二：导数的几何意义与切线特征 考法6：曲线切线斜率求解与充要条件判定 11.（2026·河北沧州八校·二模）已知函数，则曲线在点处的切线在轴上的截距为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先求出导函数并求出切线斜率，再由点斜式写出切线方程，令求出在轴上的截距. 【解析】由，得， 所以，又， 曲线在处的切线方程为， 令得轴上的截距为. 故选D. 12.（2026·河北邯郸·一模）“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【思路】根据切线斜率等于倾斜角的正切值建立关于参数的方程，解出的值后再判断逻辑条件关系. 【解析】由，得.由曲线在处的切线的倾斜角为，可得，解得或.故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件. 故选B. 13.（2026·山西运城·模拟）已知函数，则曲线在处的切线斜率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先对函数求导，代入求出常数，进而确定导函数解析式，再计算处的导数值. 【解析】由题意可得，则，解得，故曲线在处的切线斜率为. 故选A. 考法7：导数几何意义与水平切线存在性判断 14.（2026·浙江强基联盟·模拟）下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】切线与轴平行等价于导数在定义域内有零点，逐一求导判断方程是否有实数解. 【解析】题意转化为在其定义域内有解.对选项A，由，可得无数个解，如，正确；对选项B，由，无解，错误；对选项C，由，得，错误；对选项D，由，无解，错误.综上，选A. 考法8：切线方程求解与切点坐标探究 15.（2026·重庆万州一中·模拟）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】设出切点坐标，写出切线方程并代入点，分离参数转化为新函数与水平直线的交点个数问题，通过导数求最值. 【解析】设切点为，，切线斜率. 切线方程：，即. 切线过，代入得：，整理得：. 由分离参数，得. 令，原题等价于与图象有两个交点. 求导：，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故， 当时，，当时，， 由此可知要使得与的图象有两个交点，需满足. 综上所述，时，原方程有两个零点. 故选D. 16.（2026·四川泸县五中·模拟）已知曲线在处的切线与曲线相切，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】-2 【思路】先求出对数曲线在已知点处的切线方程，再设指数曲线上的切点并联立导数与切线方程求解参数. 【解析】由，则，则，又当时， 所以曲线在处的切线为； 对于，可得，设切点为， 则，解得. 故答案为：-2. 17.（2024·全国二卷·检测）已知函数. 当时，求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【思路】将代入解析式，求出切点坐标与切线斜率，利用点斜式写出切线方程并化为一般式. 【解析】当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 18.（2026·安徽A10联盟·联考）已知函数. 当时，过点作直线与曲线相切，求切点坐标. 【答案】 【思路】设切点横坐标为，写出切线方程并代入已知曲线外点，构造函数利用单调性求出唯一实根. 【解析】当时，，， 设切点坐标为， 则直线的方程为， 将代入，得， 即. 令，易知在上单调递增， 又，所以方程有唯一解， 故切点坐标为. 19.（2026·重庆巴蜀中学·模拟）已知函数. 当时，求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【思路】代入参数，分别求出与，通过点斜式整理得出切线方程. 【解析】当时，，， 则，，则所求切线方程为，即. 所以曲线在点处的切线方程为. 考法9：过曲线外一点的切线方程与切点区间 20.（2025·江西上进·联考）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据过原点的切线斜率等于列出关于的方程，构造函数并利用零点存在性定理判断根所在区间. 【解析】因为，所以.因为的图象在处的切线过原点，则，即，即.设，则在上单调递增，且，，所以. 故选B. 考法10：切线垂直、平行及斜率范围探究 21.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】根据函数的对称轴关系求出时的解析式，再求导计算出处的导数值. 【解析】由可知关于直线对称，所以， 当时，，所以， 所以时，，，所以. 故选C. 22.（2026·吉林吉林·模拟）已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【思路】两曲线切线重合意味着在公共切点处函数值相等且导数值相等，联立方程组求出切点横坐标与参数. 【解析】设两函数图象公共切点的横坐标为. 对求导得；对求导得. ∵ 在公共点处的切线重合， ∴ . 由得，解得或. 当时，代入得，此时切点为，切线均为，符合题意； 当时，代入得，解得，此时切点为，切线斜率，切线均为，符合题意. 综上，或. 故选D. 23.（2025·福建宁德·模拟）曲线在点处切线斜率的取值范围为，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】求导得到斜率表达式，建立不等式后构造新函数，结合单调性与特殊点函数值求解自变量范围. 【解析】， 所以，即， 令，， 当时，，单调增， 当时，，单调减， 又，，当时，， 故的解集为. 故选D. 24.（2026·山东德州·模拟）曲线在点处的切线与直线垂直，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】2 【思路】求导求出切线斜率，利用两直线垂直时斜率乘积为建立方程求出参数. 【解析】由求导得. 当时，切线斜率. 直线的斜率为. ∵ 切线与该直线垂直， ∴ ，解得. 故答案为：2. 考法11：切线方程过定点与定直线证明 25.（2026·广西八市·二模）已知椭圆，曲线（是正实数）与椭圆交于两个不同的点，点是线段的中点，曲线与轴交于点，直线为曲线在点处的切线. 证明：直线过定点. 【答案】见解析 【思路】求出点坐标并求导得到切线斜率，写出点斜式切线方程，通过分离参数证明直线过定点. 【解析】曲线与轴交于点，因为，所以， 所以直线的方程为：，即， 当时，，所以直线过定点. 26.（2026·安徽合肥·二模）设函数. 证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】见解析， 【思路】求导得到切线斜率与切点坐标，整理切线方程为含参数的直线系形式，令参数系数为0得出定点. 【解析】因为， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即，即， 所以曲线在点处的切线过定点. 考法12：导数运算法则与切线性质综合判断 27.（2026·河北石家庄·一模）（多选）已知函数，则（　　） A. B. 函数的零点为 C. 曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D. 若，且，则 【答案】AC 【思路】先由导数值求出参数，确定解析式后逐项验证零点、切线斜率最值与单调性. 【解析】由，求导得. ∵ ， ∴ ，解得，故A正确； 此时，令得， ∵ ， ∴ 方程无实数解，函数无零点，故B错误； 对于C，切线斜率，结合导数几何意义与斜率范围分析，其倾斜角不小于，故C正确； 对于D，函数在和上分别单调，但在整个定义域上不单调，如取，，不满足，故D错误. 故选AC. 考点三：切线的综合几何模型与跨模块应用 考法13：切线与距离、坐标面积最值探究 28.（2026·云南昆明·二模）若函数 在 处的切线也是圆 的切线，则半径 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】先对函数求导获得切点处的斜率与切线方程，再根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径列方程求解. 【解析】对函数 求导得 ，从而 ，又当 时，，故函数 在 处的切线方程为：，即 .由题意直线 与圆 相切，从而 ，即 .故选 B. 29.（2026·江苏前黄中学·检测）直线 与函数 的图象交于 两点，过点 分别作 轴的垂线，垂足为 ，则当矩形 的面积为 时， 的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】设出交点坐标，利用矩形面积公式结合函数方程得到两点横坐标的比值，进而解出切点横坐标与参数值. 【解析】由题意可得 ，设函数与直线的交点为 ，则 ，则 ，同理 ，则 .又因为 ，，解得 ，设 ，则 ，故 ，代入 点坐标得 ，化简得 ，解得 ，故 .故选 A. 30.（2026·辽宁大连·一模）已知 ，（其中 是自然对数的底数），则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】将代数式转化为曲线上的点到直线的距离的平方，利用平行切线法求出切点与最短距离即可. 【解析】由 ，进而 .又 在 上，故 的最小值可以看成是 图像上的点离直线 最近距离的平方.，所以 图像上离直线 最近的点为斜率为 的切线的切点.令 ，即得 ，令 ， 单调递增且 ，所以 ，即切点横坐标为 ，切点为 ，所以 的最小值为 .故选 A. 31.（2026·辽宁东北育才·模拟）若直线 为曲线 的一条切线，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】设切点坐标，由切线斜率与点在切线上建立方程，将乘积 表示为关于参数 的单变量函数，求导求最值. 【解析】设切点为 ，对曲线 求导得：.因为切线 斜率为 ，因此： 且 ，所以 ，即 ，得 .再将 代入 得：，即 ，两边取对数整理得：.所以 ，令 ，求导：，令 ，得 ，即 .因为 在 上单调递减，所以当 时，；当 时，.因此函数 在 上单调递增，在 单调递减，所以 是函数 的极大值点也是最大值点，因此 .故 的最大值为 . 32.（2026·湖北襄阳·二模）设点 为曲线 上一点，则曲线在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】设切点坐标并求出切线方程，表达出切线在两坐标轴上的截距，进而构建面积函数求导研究极值与最值. 【解析】设点 ，曲线在点 处的切线斜率 ，切线方程为 ，即 .令 ，得 ；令 ，得 .切线与两坐标轴围成的三角形面积 .设 ，求导得 .令 ，得 或 .当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.比较极大值点与区间端点值：在极大值点 处，.故三角形面积的最大值为 . 33.（2026·安徽合肥·一模）已知直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 在曲线 上，点 在 上，点 满足 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】由向量定比分点确定点 的几何轨迹，通过求曲线平行切线切点确定距离最小值，再转化为数量积最值. 【解析】由题意知，，线段 的中点为 ，.由 得 为线段 上靠近 的四等分点.设曲线 上与直线 平行的切线切点为 ，由 ，得 ，解得 ，切点为 .此时点 到直线 的垂线与 的交点使 达到最小值，由定比分点坐标公式可得点 的轨迹方程为平行于 的直线，进而由向量数量积公式 计算可得最小值为 . 考法14：平行切线法求曲线间最短距离 34.（2026·湖北襄阳四中·检测）已知曲线 ，，，，当 轴时，＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】设出具有相同纵坐标的两点坐标，构造两点横坐标差的函数，利用导数求极值与最小值. 【解析】当 轴时，设 ，则 ，则 .记 ，则 .故当 时，，则 在区间 上单调递减；当 时，，则 在区间 上单调递增.故有 ，故 . 考法15：绝对值函数的可导性与切线特征 35.（2025·河南郑州外国语·检测）已知函数 图象的两条切线相互垂直，并分别交 轴于 两点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】按绝对值分段求导，结合两切线垂直得到切点横坐标之积为 1，再表达出两切线的纵截距作差求模长. 【解析】设函数 在点 和 处的两条切线互相垂直. 当 时，，；当 时，，.则 .因为直线 与 互相垂直，所以 ，即 .由图象可知，，则 ，所以直线 方程为 ，当 时，，故点 .同理，直线 方程为 ，当 时，，故点 .所以，.故选 A. 36.（2026·四川仁寿一中·二模）（多选）曲线 是优美的封闭曲线，其围成的面积记为 ， 是 与 轴正半轴的交点，过原点 的直线交 于点 ，则（　　） A. B. C. 当 时， 的最大值是 D. 当 时， 【答案】ACD 【思路】按参数 的取值去绝对值写出函数解析式，结合图象位置关系判定面积大小，利用坐标表示数量积并求导研究最值. 【解析】当 时，曲线 ，即 .当 时，，即 .当 时，曲线 .当 时，，即 ，这是一个顶点为 和 的直线段.在区间 内，由于 ，，故 时的图象比 时更靠近坐标轴，，故 A 正确；当 时，曲线 ，即 ，其面积为 ；当 时，曲线 ，当 时，，即 ，在区间 内，由于 ，，进而有 ，故 时其图像在单位圆的外部，故 ，故 B 错误；当 时，曲线 ，易知 ，由对称性可设 ，则 ，.当 时，，即 ，代入上式得 ，对称轴为 ，故 的最大值为 ，故 C 正确；当 时，当 时，曲线 ，即 ，即 .令 ，则 ，.设 ，则 .易知 ，令 ，解得 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减.故当 时，，，所以 D 正确.故选 ACD. 考法16：导数切线与三角函数图象变换综合 37.（2026·湖北孝感·一模）已知函数 ，且 ． （1）求 在点 处的切线方程； （2）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，求函数 在 上的值域． 【答案】（1）；（2）． 【思路】第（1）问代入初值确定相位，求导求切线斜率与方程；第（2）问按平移变换得到解析式，再利用整体换元确定闭区间上的值域. 【解析】（1）因为 且 ，所以 ，所以 .所以 ，所以 .所以切线方程为 ，即为 .（2）由条件可知，.因为 ，令 .因为 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，所以 .所以函数 在 上的值域为 . 考法17：导数切线与圆锥曲线跨模块综合 38.（2026·福建双十中学·模拟）在平面直角坐标系 中，曲线 与 交于点 ．若直线 与 相切于点 ，则 的值为＿＿＿＿＿＿；若直线 与 交于另一点 ，且 ，则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 【答案】； 【思路】第（1）空由切线斜率与割线斜率相等建立方程求值；第（2）空设出割线参数，换元后构造导数单调性函数求取值范围. 【解析】（1）设 ，由 求导得 ，则 ，则直线 的方程为 ，又因点 为 与 的交点，则 ，由前两式消元可得 ，则得 ，再由 得 ，则得 ，故 .（2）设 ，则 ，由 可得 ，故 .记 的斜率为 ，则由 可得 ，即 .记 ，则 ，，则 .设 ，求导得 ，设 ，则 ，故 在 上单调递减，则 ，所以 ，即 在 上单调递减，故 .当 无限趋近于 时， 趋近于零，所以 ，则 .又 ，所以 .设 ，则 ，故 在 上单调递增，则 ，故 . 考法18：切线参数与裂项相消求和综合 39.（2026·安徽A10联盟·联考）已知函数 ，在点 处作曲线 的切线 ，其纵截距记为 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】求出点处的切线方程并表达出截距，化简项差式后利用裂项相消法求和，再通过分离参数求解不等式恒成立问题. 【解析】由题意得，.因为 ，故切线方程为 ，则 ，所以 ，则 .所以 ，由数列的单调性，当 时取得最大值 ，则 . 考点四：两曲线的公切线与公法线问题 考法19：公切线方程求解与截距计算 40.（2026·河南华大联盟·联考）已知直线 与曲线 和 都相切，则直线 的方程为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】设切线方程为斜截式，分别与二次函数和反比例函数联立令判别式为零，解方程组确定直线参数. 【解析】设 ，与曲线 联立，得 ，由 ，得 .直线 与曲线 联立，得 ，显然 ，由 ，得 .所以 ，即 ，又 ，所以 ，从而 ，所以直线 的方程为 ，即 . 41.（2026·辽宁抚顺六校·一模）若曲线 与曲线 在它们的公共点处有相同的切线，则 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】 或 【思路】设公共切点坐标，利用在切点处的导数值相等以及函数值相等建立方程组求解参数. 【解析】因为 ，所以 .因为 ，所以 .设曲线 与曲线 的公共点为 ，因为它们在公共点处有相同的切线，所以 ，解得 或 .若 ，解得 .若 ，解得 . 42.（2026·河南周口一中·一模）已知曲线 与 的公切线为 ，则 在 轴上的截距为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】分别设出两曲线上的切点坐标并写出切线方程，根据公切线斜率与截距分别相等列方程组消元求解. 【解析】设曲线 上的切点为 ，又因为 ，所以直线 ，即 .设曲线 上的切点为 ，又因为 ，所以直线 ，即 .因为 是公切线，所以 ，解得 ，所以 ，所以 在 轴上的截距为 . 考法20：公切线求参数与同构转化 43.（2026·湖南炎德英才·模拟）已知 ，函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，若 与 恰好有 2 条公切线，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】设公切线分别切于两曲线，利用切线方程重合建立参数等式，消元后构造关于切点横坐标的函数，通过零点个数确定参数范围. 【解析】设公切线方程为 ，分别与 的图象切于点 ，与 的图象切于点 ，则有 ，即 ，由 ，得 ，消去 得到关于 的方程 ，等式两边取对数得 .令 ，定义函数 ，其定义域为 当 或 当 ，则 .当 时， 在 单调递减，在 上单调递增，此时 在 处取极小值；当 时，同理可得 在 处取极小值，故 有唯一极小值点 ，极小值为 的解的个数对应公切线的条数：若 ，则 有两个解，即有两条公切线；若 ，则有一个解，即一条公切线；若 ，则无解，即无公切线.分析 ：当 时，分母 ，分子 （因 恒成立），故 ；当 时，分母 ，需分子 ，即 ，解得 .此外， 时无公切线， 时 仅一条，因此，恰好有两条公切线时 的取值范围是 .故选 A. 44.（2026·四川威远中学·一模）（多选）函数 的图象如图所示，若 的图象与 的图象在 处有公切线，其中 ，则（　　） A. B. 为奇函数 C. D. 的图象与 的图象在 处的公切线为 【答案】ACD 【思路】由三角函数图象确定其解析式，再根据两曲线在同一切点处函数值与导数值均相等建立方程组求解公切线方程与参数. 【解析】由图可知，，所以 ，A 正确；因为 的图象不关于原点对称，不是奇函数，B 错误；因为 ，所以 ，解得 ，C 正确；所以 的图象与 的图象在 处的公切线方程为 ，D 正确.故选 ACD. 45.（2026·河北沧州十二校·一模）已知函数 ，，．若曲线 在点 的切线也是曲线 的切线，求 的值． 【答案】 【思路】先求出正弦曲线在原点处的切线方程，再设出指数曲线的切点，由切线方程重合列出方程组求解参数. 【解析】由已知得 ，， 在点 处的切线方程为 .设与 切于 ，，，则 过该点的切线方程为：，整理得 ，由于该切线与 重合，则 .故 的值为 . 46.（2026·湖南邵阳·联考）已知函数 和 ．若函数 与 的图象有三条公切线，求实数 的取值范围． 【答案】 【思路】设公切线与两曲线各切于一点，列出切线方程并利用系数对应相等消元，转化为新构造函数零点个数问题求解. 【解析】设公切线 与 相切于点 ，与 相切于点 .由 得公切线 的方程为 ，整理得 ①.由 得公切线 的方程为 ，整理得 ②.由①②得：，整理得 .设 ，则 ，所以 ，得 或 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.又 时， 时，，故要使得 有三个不同的根，需 ，综上可得， 的取值范围为 . 考法21：公切线转化为方程根的存在性 47.（2025·河南南阳一中·模拟）已知函数 与 存在公切线，则实数 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】分别设出两切点并列出切线方程，通过对应系数相等消去其中一个切点横坐标，转化为新函数的最值问题. 【解析】设公切线与函数 及函数 的切点分别为 ，且 ，故两切线方程为 ，即 与 存在公切线，所以 有解，消去 得：.令 ，，易得 在 上单调递增，且 时，； 时，，故 在区间 上递减，在 上递增，所以 ， 的最小值为 ，即 的最小值为 ，即实数 的最小值为 .故选 B. 考法22：法线方程与公法线模型 48.（2026·安徽合肥六校·检测）过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数 与函数 的“公法线”方程为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】根据法线斜率等于切线斜率的负倒数写出两曲线的法线方程，由斜率与截距对应相等联立求出唯一切点坐标. 【解析】对于函数 ，有 ，可得 ，解得 ，故函数 的定义域为 .由 求得，，则法线斜率为 ，则 在点 处的法线方程为 ，即 .由 求导得 ，则法线斜率为 ，则 在 处的法线方程为 ，即 .由“公法线”得，，这两个等式相加得 ，即 .令 ，则 ，故函数 在 上为增函数，又因为 ，所以函数 有且只有唯一的零点 .解方程组可得 或 .又因为 ，故 ，故 要舍去，即 ，所以“公法线”方程为 . 考点五：导数综合应用与新定义拓展 考法23：构造导数原函数解不等式与性质探究 49.（2026·黑龙江大庆·模拟）已知函数 及其导函数 的定义域都是 ，若函数 是偶函数，函数 也是偶函数，则不等式 的解集是 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】由原函数为偶函数得导函数为奇函数，结合 为偶函数解出导函数表达式，判定单调性后去函数符号解绝对值不等式. 【解析】由题意知 ，两边同时求导 ，即 是奇函数.因为 是偶函数，所以 ，可得 .当 时，，所以 在 上单调递减.因为函数 是偶函数，所以 ，可知不等式 等价于 ，所以 ，即 ，可得 ，解得 .故选 B. 50.（2026·福建泉州·一模）已知定义在 上的函数 的图象是一条连续不断的曲线，且 ，若当 时，，则（　　） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 【答案】D 【思路】观察已知导数不等式结构，构造函数 ，通过求导分析其单调性与奇偶性，进而判断原函数符号与零点. 【解析】，即 ，故函数 为奇函数.设 ，则 .由题意，当 时，， 在 上单调递增.又 为偶函数，故 为奇函数， 在 上单调递增， 图象连续不断且 ， 在 上单调递增. 当 时，；同理当 时，.对于 A，，，故 A 错误；对于 B，当 时，，则 ，故 B 错误；对于 C，由于函数 的单调性未知，故该选项不确定，故 C 错误；对于 D，当 时，，当 时，，且 ， 有且只有一个零点，故 D 正确.故选 D. 51.（2026·安徽A10联盟·模拟）已知正实数 满足 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用切线不等式 构造函数，由等号成立的唯一性解出 的具体取值. 【解析】由题意得，，，则 等价于 .设 ，则 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立.由 得 ，则 ，又 ，所以 即 ，则 .故选 B. 52.（2025·新疆乌鲁木齐·模拟）（多选）设函数 的定义域为 ， 的导函数 满足 ，且 ，则下列结论一定成立的是（　　） A. 的最大值为 1 B. 在点 处的切线为 C. 若方程 有两个不同的解 ，则 D. 若 ，则 【答案】ABD 【思路】还原原函数得 ，求导研究极值与切线方程，对极值点构造函数，代数转化求二次函数最值. 【解析】已知 ，可知 ，可得 （ 为常数）.因为 ，将 代入 ，可得 ，即 ，解得 .所以 ，则 .对 求导，可得：.对于选项 A，令 ，即 ，解得 .当 时，，则 单调递增；当 时，，则 单调递减.所以 在 处取得极大值，也是最大值，，但当 时，，所以 没有最小值，A 选项正确；对于选项 B，当 时，，根据点斜式方程可得 ，即 ，所以 在点 处的切线为 ，B 选项正确；对于选项 C，由前面分析可知 在 上单调递增，在 上单调递减.不妨设 ，若 ，则 ，因为 ，且 在 上单调递减，所以只需证明 ，又因为 ，所以只需证明 .令 ，则 .当 时，，所以 在 上单调递增，则 ，即 ，所以 ，与 矛盾，C 选项错误；对于选项 D，因为 ，所以 .令 ，则 ，所以 .对于二次函数 ，其对称轴为 ，开口向下，所以当 时， 取得最大值，，则 ，D 选项正确.故选 ABD. 考法24：切线重构与切线不等式证明 53.（2025·江西稳派上进·检测）已知函数 的图象上有三点 ，且这三点互不重合．记曲线 在点 处的切线为 ，若点 关于 对称，且点 在直线 上，则称 具有重构性．若 时，若 具有重构性，则直线 的一般式方程为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】明确对称中心 的坐标及切线斜率，利用垂直关系求出法线方程即为直线 的方程. 【解析】此时 .由题意可知直线 是过点 且与 垂直的直线，而 ，于是 ，故直线 的斜率 ，于是 ，即 .经检验，直线符合题意. 54.（2025·江西上进·联考）已知函数 ．若曲线 与 相切． （1）求 ； （2）当 时，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【思路】第（1）问设切点建立关于切线斜率与切点坐标的方程求 ；第（2）问作差因式分解，利用经典不等式证明差式恒非负. 【解析】（1）不妨记切点为 ，则 ，故切线方程为 ，即 ，令其与 重合，故 ，则 .若 ，则显然有 ，这与题设条件矛盾；若 ，则由 可知二者不在 处相切，矛盾，故 ，于是 .经验证， 符合题意.综上，.（2）设 ，则 .由 可知 .设 .当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.故 ，于是 . 考法25：二阶导数判定图象对称中心与求和 55.（2026·江西宜春十校·联考）已知函数 ．设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若函数 的零点为 ，则点 恰好就是该函数 的对称中心．试求 的值． 【答案】 【思路】求出二阶导数的零点确定函数的中心对称点，进而利用对称性倒序相加或两两配对求和. 【解析】因为 ，所以 .令 可得 ，所以函数 的对称中心为 ，所以当 时，有 ，故 ，所以 . 考法26：泰勒多项式与高阶导数运算 56.（2025·河北沧州五县·一模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式： 由此可以判断下列各式正确的是（　　） A. （ 是虚数单位） B. （ 是虚数单位） C. D. 【答案】ACD 【思路】利用欧拉公式展开比对实虚部判断 A、B；将 转化为自然底数展开截断判断 C；对正弦展开式求导得到余弦展开式，两两分组放缩判断 D. 【解析】对于 A、B，由 ，两边求导得 ，，，又 ，故 A 正确，B 错误；对于 C，已知 ，则 .因为 ，则 ，即 成立，故 C 正确；对于 D，，当 时，，所以 ，所以 成立，故 D 正确.故选 ACD. 考法27：帕德逼近模型求函数参数与近似值 57.（2025·河南驻马店·检测）已知函数 在 处的 阶帕德近似为 ．求实数 的值，利用 的 阶帕德近似估计 的近似值（结果保留 3 位有效数字）． 【答案】， 【思路】分别对函数求一阶、二阶导数，利用零点处各阶导数值相等的定义建立方程组求解参数，再代入计算近似值. 【解析】，因为 ，所以 ，解得 . 考法28：罗尔定理与方程根的分布探究 58.（2025·河北衡水中学·检测）设 ，记 的导数为 ，试用罗尔定理，说明方程 根的个数，并指出它们所在的区间． 【答案】见解析 【思路】直接寻找原函数的零点，在相邻两个零点构成的开区间上应用罗尔定理说明导函数零点的存在性. 【解析】注意到 ，则由罗尔定理，在 内存在 ，使 ；在 内存在 ，使 ；在 内存在 ，使 .综上， 的根有 3 个，且分别位于 这三个区间内. 考法29：构造辅助函数证明拉格朗日中值定理 59.（2025·河北衡水中学·检测）如果 在闭区间 上的图象是连续不断的曲线，且在开区间 内每一点存在导数，记 的导数为 ，试用罗尔定理证明：在开区间 内至少存在一点 ，使得 ． 【答案】证明见解析 【思路】构造割线偏差函数作为辅助函数，验证端点函数值相等后应用罗尔定理即证. 【解析】构造函数 ，则 .注意到 ，由罗尔定理，则在 上至少存在一点 ，使 ，即在开区间 内至少存在一点 ，使得 . 考法30：利普希茨条件与导数极值综合 60.（2025·河北衡水中学·检测）已知函数 是区间 上的“3-利普希兹条件函数”，求实数 的取值范围． 【答案】 【思路】将新定义绝对值不等式转化为差商有界性或单调性，构造辅助函数求导确定参数范围. 【解析】依题意，，均有 ，不妨设 ，则 ，即 .设 ，则 单调递减，故 恒成立，即 ，因此 . 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 方法总结 1. 导数的物理意义与瞬时变化率：导数本质是瞬时变化率.在运动学模型中，位移函数的导数是速度函数，速度函数的导数是加速度函数.求特定状态下的瞬时速度时，先求出对应时刻的三角函数值或参数值，再代入导函数.（第1题） 2. 基本初等函数求导与方程思想：求导公式是微分学的基础.当函数中含有常数导数值（如）时，应将该导数值视为常数参与求导运算，再对自变量代入对应常数建立方程，解方程即可求出未知导数值.（第2、3、4、5、13题） 3. 赋值法与抽象函数导数性质：处理多元抽象函数恒等式求导时，先通过对变量赋特殊值（如）确定特定点的函数值与导数值；对恒等式关于某一变量求导后，可推导出函数的对称性、奇偶性与周期性规律.（第6、7、8、9题） 4. 导数的几何意义与切线方程：曲线在点处的切线斜率，切线方程为.审题时必须严格区分“在点处的切线”（必为切点）与“过点的切线”（不一定是切点，需设切点坐标求解）.（第11、12、15、16、17、18、19、20题） 5. 公共切线与两曲线相切问题：若两曲线在公共点处切线重合，则该点处两函数的函数值相等且导数值相等，由此联立方程组求解参数.（第22题） 6. 切线过定点问题的通法：求出含参数的切线方程后，将其整理为以参数为变量的直线系方程或，令参数的系数为0即可得到与参数无关的定点坐标.（第25、26题） 7. 涉及切线与几何图形（三角形面积、两点距离、矩形面积等）的最值探究时，基本思路是设出切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，进而将目标几何量表示为切点横坐标的单变量函数，最后利用导数或基本不等式求极值与最值.（第28、29、30、31、32、33题） 8. 求解曲线间平行方向距离的最值时，设出同一截面上的参数坐标，利用横/纵坐标差构建目标差值函数，求导判定单调区间即可获得最短距离.（第34题） 9. 处理含绝对值的函数切线问题时，需先依据绝对值分界点对函数进行分段求导，明确在不同分段区间上的导数几何意义及切线斜率关系，再结合解析几何法求距离或截距.（第35、36题） 10. 两曲线公切线问题的核心策略是“双切点法”：分别在两曲线上设切点 和 ，求导写出各自在切点处的切线方程，根据两切线重合（斜率相等、截距相等）联立方程组，消去一个变量后构造新函数，利用单调性与零点存在性定理求解参数或切线方程.（第40、41、42、43、44、45、46、47题） 11. 法线与公法线问题中，切线与法线斜率满足乘积为 ，依此写出法线方程并建立对应参数的代数方程，利用构造函数的单调性确定唯一交点与公法线.（第48题） 12. 构造导数原函数解不等式时，观察已知条件中的导数与原函数线性和形式（如 、、 等），通过乘以积分因子（如 ）还原出复合函数的导数，判定构造函数的单调性与奇偶性，从而脱去函数符号解不等式.（第49、50、51、52题） 13. 导数新定义与高等数学拓展背景题（如泰勒展开式逼近、帕德逼近、罗尔定理、拉格朗日中值定理、利普希茨条件）的关键在于紧扣定义核心结构，将新概念翻译为高阶导数匹配、割线斜率构造、构造辅助函数判定单调性与零点等基本导数运算.（第55、56、57、58、59、60题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习专项训练 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 练习卷 考点一：导数的概念与运算 1 考法1：导数物理意义与瞬时变化率 1 考法2：基本初等函数求导法则与方程求解 1 考法3：赋值法与抽象函数导数性质 2 考法4：抽象函数对称性与导函数周期性 2 考法5：新定义双曲函数求导与恒等式证明 2 考点二：导数的几何意义与切线特征 3 考法6：曲线切线斜率求解与充要条件判定 3 考法7：导数几何意义与水平切线存在性判断 4 考法8：切线方程求解与切点坐标探究 4 考法9：过曲线外一点的切线方程与切点区间 5 考法10：切线垂直、平行及斜率范围探究 5 考法11：切线方程过定点与定直线证明 5 考法12：导数运算法则与切线性质综合判断 6 考点三：切线的综合几何模型与跨模块应用 6 考法13：切线与距离、坐标面积最值探究 6 考法14：平行切线法求曲线间最短距离 7 考法15：绝对值函数的可导性与切线特征 7 考法16：导数切线与三角函数图象变换综合 8 考法17：导数切线与圆锥曲线跨模块综合 8 考法18：切线参数与裂项相消求和综合 8 考点四：两曲线的公切线与公法线问题 8 考法19：公切线方程求解与截距计算 8 考法20：公切线求参数与同构转化 9 考法21：公切线转化为方程根的存在性 10 考法22：法线方程与公法线模型 10 考点五：导数综合应用与新定义拓展 10 考法23：构造导数原函数解不等式与性质探究 10 考法24：切线重构与切线不等式证明 11 考法25：二阶导数判定图象对称中心与求和 11 考法26：泰勒多项式与高阶导数运算 12 考法27：帕德逼近模型求函数参数与近似值 12 考法28：罗尔定理与方程根的分布探究 12 考法29：构造辅助函数证明拉格朗日中值定理 13 考法30：利普希茨条件与导数极值综合 13 考点一：导数的概念与运算 考法1：导数物理意义与瞬时变化率 1.（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（　　）cm/s. A. B. C. D. 考法2：基本初等函数求导法则与方程求解 2.（2026·浙江北斗星盟·联考）已知函数，则（　　） A. B. C. D. 3.（2026·河南新乡·模拟）已知函数，则（　　） A. B. C. D. 4.（2025·河南青桐鸣·联考）记函数的导函数为，若，则＿＿＿＿＿＿. 5.（2026·贵州毕节·一模）已知函数且均不相等），设曲线在点处的切线的斜率为，则＿＿＿＿＿＿. 考法3：赋值法与抽象函数导数性质 6.（2026·四川广安·二模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（　　） A. B. C. D. 7.（2024·广东深圳外校·模拟）（多选）已知定义在上的奇函数满足，且，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 是周期为的函数 D. 8.（2026·四川成都七中·模拟）已知函数，若，则＿＿＿＿＿＿. 考法4：抽象函数对称性与导函数周期性 9.（2024·广东新南方联盟·联考）（多选）已知函数的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为 D. 若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一 考法5：新定义双曲函数求导与恒等式证明 10.（2026·江苏南京鼓楼·二模）悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为． （1）求的值； （2）证明： （i）； （ii）； （iii）． （3）写出的最简表达式（结果用含的式子表达）． 考点二：导数的几何意义与切线特征 考法6：曲线切线斜率求解与充要条件判定 11.（2026·河北沧州八校·二模）已知函数，则曲线在点处的切线在轴上的截距为（　　） A. B. C. D. 12.（2026·河北邯郸·一模）“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13.（2026·山西运城·模拟）已知函数，则曲线在处的切线斜率为（　　） A. B. C. D. 考法7：导数几何意义与水平切线存在性判断 14.（2026·浙江强基联盟·模拟）下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（　　） A. B. C. D. 考法8：切线方程求解与切点坐标探究 15.（2026·重庆万州一中·模拟）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 16.（2026·四川泸县五中·模拟）已知曲线在处的切线与曲线相切，则＿＿＿＿＿＿. 17.（2024·全国二卷·检测）已知函数. 当时，求曲线在点处的切线方程. 18.（2026·安徽A10联盟·联考）已知函数. 当时，过点作直线与曲线相切，求切点坐标. 19.（2026·重庆巴蜀中学·模拟）已知函数. 当时，求曲线在点处的切线方程. 考法9：过曲线外一点的切线方程与切点区间 20.（2025·江西上进·联考）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是（　　） A. B. C. D. 考法10：切线垂直、平行及斜率范围探究 21.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（　　） A. B. C. D. 22.（2026·吉林吉林·模拟）已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则（　　） A. B. C. 或 D. 或 23.（2025·福建宁德·模拟）曲线在点处切线斜率的取值范围为，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 24.（2026·山东德州·模拟）曲线在点处的切线与直线垂直，则＿＿＿＿＿＿. 考法11：切线方程过定点与定直线证明 25.（2026·广西八市·二模）已知椭圆，曲线（是正实数）与椭圆交于两个不同的点，点是线段的中点，曲线与轴交于点，直线为曲线在点处的切线. 证明：直线过定点. 26.（2026·安徽合肥·二模）设函数. 证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标. 考法12：导数运算法则与切线性质综合判断 27.（2026·河北石家庄·一模）（多选）已知函数，则（　　） A. B. 函数的零点为 C. 曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D. 若，且，则 考点三：切线的综合几何模型与跨模块应用 考法13：切线与距离、坐标面积最值探究 28.（2026·云南昆明·二模）若函数 在 处的切线也是圆 的切线，则半径 （　　） A. B. C. D. 29.（2026·江苏前黄中学·检测）直线 与函数 的图象交于 两点，过点 分别作 轴的垂线，垂足为 ，则当矩形 的面积为 时， 的值为（　　） A. B. C. D. 30.（2026·辽宁大连·一模）已知 ，（其中 是自然对数的底数），则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 31.（2026·辽宁东北育才·模拟）若直线 为曲线 的一条切线，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿． 32.（2026·湖北襄阳·二模）设点 为曲线 上一点，则曲线在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为＿＿＿＿＿＿． 33.（2026·安徽合肥·一模）已知直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 在曲线 上，点 在 上，点 满足 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 考法14：平行切线法求曲线间最短距离 34.（2026·湖北襄阳四中·检测）已知曲线 ，，，，当 轴时，＿＿＿＿＿＿． 考法15：绝对值函数的可导性与切线特征 35.（2025·河南郑州外国语·检测）已知函数 图象的两条切线相互垂直，并分别交 轴于 两点，则 （　　） A. B. C. D. 36.（2026·四川仁寿一中·二模）（多选）曲线 是优美的封闭曲线，其围成的面积记为 ， 是 与 轴正半轴的交点，过原点 的直线交 于点 ，则（　　） A. B. C. 当 时， 的最大值是 D. 当 时， 考法16：导数切线与三角函数图象变换综合 37.（2026·湖北孝感·一模）已知函数 ，且 ． （1）求 在点 处的切线方程； （2）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，求函数 在 上的值域． 考法17：导数切线与圆锥曲线跨模块综合 38.（2026·福建双十中学·模拟）在平面直角坐标系 中，曲线 与 交于点 ．若直线 与 相切于点 ，则 的值为＿＿＿＿＿＿；若直线 与 交于另一截点 ，且 ，则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 考法18：切线参数与裂项相消求和综合 39.（2026·安徽A10联盟·联考）已知函数 ，在点 处作曲线 的切线 ，其纵截距记为 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 考点四：两曲线的公切线与公法线问题 考法19：公切线方程求解与截距计算 40.（2026·河南华大联盟·联考）已知直线 与曲线 和 都相切，则直线 的方程为＿＿＿＿＿＿． 41.（2026·辽宁抚顺六校·一模）若曲线 与曲线 在它们的公共点处有相同的切线，则 ＿＿＿＿＿＿． 42.（2026·河南周口一中·一模）已知曲线 与 的公切线为 ，则 在 轴上的截距为＿＿＿＿＿＿． 考法20：公切线求参数与同构转化 43.（2026·湖南炎德英才·模拟）已知 ，函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，若 与 恰好有 2 条公切线，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 44.（2026·四川威远中学·一模）（多选）函数 的图象如图所示，若 的图象与 的图象在 处有公切线，其中 ，则（　　） A. B. 为奇函数 C. D. 的图象与 的图象在 处的公切线为 45.（2026·河北沧州十二校·一模）已知函数 ，，．若曲线 在点 的切线也是曲线 的切线，求 的值． 46.（2026·湖南邵阳·联考）已知函数 和 ．若函数 与 的图象有三条公切线，求实数 的取值范围． 考法21：公切线转化为方程根的存在性 47.（2025·河南南阳一中·模拟）已知函数 与 存在公切线，则实数 的最小值为（　　） A. B. C. D. 考法22：法线方程与公法线模型 48.（2026·安徽合肥六校·检测）过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数 与函数 的“公法线”方程为＿＿＿＿＿＿． 考点五：导数综合应用与新定义拓展 考法23：构造导数原函数解不等式与性质探究 49.（2026·黑龙江大庆·模拟）已知函数 及其导函数 的定义域都是 ，若函数 是偶函数，函数 也是偶函数，则不等式 的解集是（　　） A. B. C. D. 50.（2026·福建泉州·一模）已知定义在 上的函数 的图象是一条连续不断的曲线，且 ，若当 时，，则（　　） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 51.（2026·安徽A10联盟·模拟）已知正实数 满足 ，则 （　　） A. B. C. D. 52.（2025·新疆乌鲁木齐·模拟）（多选）设函数 的定义域为 ， 的导函数 满足 ，且 ，则下列结论一定成立的是（　　） A. 的最大值为 1 B. 在点 处的切线为 C. 若方程 有两个不同的解 ，则 D. 若 ，则 考法24：切线重构与切线不等式证明 53.（2025·江西稳派上进·检测）已知函数 的图象上有三点 ，且这三点互不重合．记曲线 在点 处的切线为 ，若点 关于 对称，且点 在直线 上，则称 具有重构性．若 时，若 具有重构性，则直线 的一般式方程为＿＿＿＿＿＿． 54.（2025·江西上进·联考）已知函数 ．若曲线 与 相切． （1）求 ； （2）当 时，证明：． 考法25：二阶导数判定图象对称中心与求和 55.（2026·江西宜春十校·联考）已知函数 ．设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若函数 的零点为 ，则点 恰好就是该函数 的对称中心．试求 的值． 考法26：泰勒多项式与高阶导数运算 56.（2025·河北沧州五县·一模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式： 由此可以判断下列各式正确的是（　　） A. （ 是虚数单位） B. （ 是虚数单位） C. D. 考法27：帕德逼近模型求函数参数与近似值 57.（2025·河南驻马店·检测）已知函数 在 处的 阶帕德近似为 ． （1）求实数 的值，利用 的 阶帕德近似估计 的近似值（结果保留 3 位有效数字）； 考法28：罗尔定理与方程根的分布探究 58.（2025·河北衡水中学·检测）定理：如果函数 在闭区间 上的图象是连续不断的曲线，在开区间 内每一点存在导数，且 ，那么在区间 内至少存在一点 ，使得 ，这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用． （1）设 ，记 的导数为 ，试用上述定理，说明方程 根的个数，并指出它们所在的区间； 考法29：构造辅助函数证明拉格朗日中值定理 59.（2025·河北衡水中学·检测）如果 在闭区间 上的图象是连续不断的曲线，且在开区间 内每一点存在导数，记 的导数为 ，试用上述定理证明：在开区间 内至少存在一点 ，使得 ． 考法30：利普希茨条件与导数极值综合 60.（2025·河北衡水中学·检测）若存在常数 ，使得对定义域 内的任意 ，都有 成立，则称函数 在其定义域 上是“-利普希兹条件函数”．已知函数 是区间 上的“3-利普希兹条件函数”，求实数 的取值范围． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $