3.3 一元一次方程的应用（第4课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

第3章 一元一次方程 3.3 一元一次方程的应用 （第4课时）相遇、追及与环形跑道 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 用速度、时间表示路程 基本关系 路程＝速度×时间。速度为 km/h，行驶 h，路程为 km。 两人的路程 甲、乙同时行驶 h，分别用各自速度乘。 本课问题 相遇、追上或环形跑道第一次相遇时，两段路程有什么关系？ 复习引入 复习　用路程关系求时间 两人从相距 km的两地同时相向步行，速度分别为 km/h、 km/h。多久后相遇？ 答： h后相遇。 解 设 h后相遇：。 ，得；。 方法：相向而行时，两人所走路程之和等于初始距离。 注意：相遇时位置相同，所走路程未必相同。 新知讲授 列式前先确定时间与单位 时间起点 题目问谁出发后多久，就先明确计时从谁出发开始。 先行与休息 先行者多走一段；休息的时间不能算进行驶时间。 单位统一 速度用km/h时，时间用h；速度用m/min时，时间用min。 例题讲解 例 9 沪宁高速公路全长约 km，一辆轿车和一辆客车分别从上海和南京两地出发，沿沪宁高速公路相向而行。轿车先行 km后，客车再出发。轿车的速度为 km/h，客车的速度为 km/h。问：客车出发后多久两车相遇？ 答：设客车出发后 h两车相遇。 解 轿车后行 km，客车行驶 km。 。 方法：先行路程与之后两车路程的和等于全程。 注意：只表示客车出发后的共同时间。 例题讲解 例 9 画图分清先行与同时行驶 甲地 乙地 相遇 轿车 100 km/h 客车 80 km/h 54 km 270 km 共同时间：x h 先行路程＋后行两段路程＝总距离 先行路程： 轿车先行 km。 共同时间： 客车出发后 h，轿车再行 km，客车行 km。 相遇关系： 。 例题讲解 例 9 沪宁高速公路全长约 km，一辆轿车和一辆客车分别从上海和南京两地出发，沿沪宁高速公路相向而行。轿车先行 km后，客车再出发。轿车的速度为 km/h，客车的速度为 km/h。问：客车出发后多久两车相遇？ 答：客车出发后 h两车相遇。 解 ，解得。 。 方法：先扣除已走路程，再求共同时间。 注意：答案是客车出发后的时间，不是轿车全部行驶时间。 例题讲解 变式 例 9 两车从相距 km的两地相向而行，甲车以 km/h先行 h，乙车再以 km/h出发。乙车出发后多久相遇？ 答：乙车出发后 h相遇。 解 甲先行 km。 设 h后相遇：，得。 方法：先把先行时间转化成先行路程。 注意：先行路程由先行者的速度计算。 例题讲解 例 9 同一段共同时间的两种写法 分段表示轿车路程 ，先行路程加客车出发后的路程。 合并行驶时间 ，轿车先行时间为 h。 两式相等；设客车出发后的时间能让题意更清楚。 例题讲解 例 10 一辆客车和一辆轿车先后沿相同道路从上海出发去南京，客车先行 km后轿车出发，客车的速度为 km/h，轿车的速度为 km/h。问：经过多久轿车追上客车？ 答：设轿车出发后 h追上客车。 解 客车共行 km，轿车行 km。 。 方法：同地同向出发，追上时两车从起点走的总路程相同。 注意：客车的先行路程应加在客车一侧。 例题讲解 例 10 用两条线段表示追及 甲地 追上 轿车 100 km/h 客车 80 km/h 50 km 共同时间：x h 同向行驶，快车多走的路程填平原有间隔 原来的间隔： 轿车出发时，客车已在前方 km处。 后来行驶： 同样 h内，轿车行，客车行。 追上条件： 轿车多行的路程等于原间隔：。 例题讲解 例 10 一辆客车和一辆轿车先后沿相同道路从上海出发去南京，客车先行 km后轿车出发，客车的速度为 km/h，轿车的速度为 km/h。问：经过多久轿车追上客车？ 答：轿车出发后 h追上客车。 解 ，解得。 轿车 km；客车 km。 方法：追及用两者路程之差等于先行路程。 注意：不要误用速度之和计算追及。 新知讲授 相遇与追及怎样区分 相向相遇 两人向对方前进，共同缩短间隔，使用路程和。 同向追及 快者逐渐赶上慢者，多走的路程填平间隔，使用路程差。 先判断运动方向和相遇时的位置关系，再列方程。 例题讲解 例 11 小华和妈妈一起包饺子。小华平均每分钟包个饺子，妈妈平均每分钟包个饺子。小华先包好个饺子后妈妈开始包。多久后妈妈包的饺子和小华一样多？ 答：设妈妈开始包后 min，两人包的一样多。 解 小华共包个，妈妈包个。 。 方法：用两人完成的总个数相等列方程。 注意：妈妈开始后，小华仍继续包，不能漏掉。 例题讲解 对象 先完成 / 个 后来完成 / 个 小华 妈妈 例 11 小华和妈妈一起包饺子。小华平均每分钟包个饺子，妈妈平均每分钟包个饺子。小华先包好个饺子后妈妈开始包。多久后妈妈包的饺子和小华一样多？ 答：。 两人的总个数相同。 例题讲解 例 11 小华和妈妈一起包饺子。小华平均每分钟包个饺子，妈妈平均每分钟包个饺子。小华先包好个饺子后妈妈开始包。多久后妈妈包的饺子和小华一样多？ 答：妈妈开始包 min后，两人包的一样多。 解 ，解得。 小华个，妈妈个。 方法：完成数量的差逐渐缩小，与追及同样处理。 注意：题目中的是个数，不是时间。 例题讲解 变式 例 11 甲打印机已打印页后，乙打印机开始打印。甲每分钟打印页，乙每分钟打印页，两机继续工作。乙开始后多久两机打印的总页数一样多？ 答： min后一样多。 解 设 min后一样多：。 ，得；两机均打印页。 方法：先完成数量加后来完成数量等于另一方总量。 注意：两机继续工作，甲的后来数量不能遗漏。 例题讲解 例 12 小华、乐乐在 m长的环形跑道上练习跑步。已知小华的速度为 m/min，乐乐的速度为 m/min。 （1） 如果两人同时由同一起点反向出发，问：多久后两人第一次相遇？ （2） 如果两人同时由同一起点同向出发，问：多久后两人第一次相遇？ 解第（1）题 min。 设出发后 min第一次相遇，。 ，解得。 方法：反向出发第一次相遇，两人路程和等于一圈。 注意：出发时在同一点不作为题目所说的第一次相遇。 例题讲解 例 12 反向而行合走一圈 同一起点 小华 180 m/min 乐乐 220 m/min 400 m 第一次相遇：两人路程之和等于一圈 共同起点： 两人同时从同一点反向出发。 第一次相遇： 两人沿两个方向合走的路程恰好是一圈。 方程： ，解得。 例题讲解 例 12 小华、乐乐在 m长的环形跑道上练习跑步。已知小华的速度为 m/min，乐乐的速度为 m/min。 （1） 如果两人同时由同一起点反向出发，问：多久后两人第一次相遇？ （2） 如果两人同时由同一起点同向出发，问：多久后两人第一次相遇？ 解第（2）题 min。 设出发后 min第一次相遇，。 ，解得。 方法：同向出发第一次相遇，快者比慢者多跑一圈。 注意：不是两人路程相等，也不是路程和等于一圈。 例题讲解 例 12 同向而行相差一圈 同一起点 小华 180 m/min 乐乐 220 m/min 400 m 第一次相遇：快者比慢者多跑一圈 同向出发： 乐乐每分钟比小华多跑 m。 第一次相遇： 乐乐追上小华时，恰好多跑一圈 m。 方程： ，解得。 例题讲解 例 12 环形跑道上的“一圈” 反向第一次相遇 ，路程和为一圈，。 同向第一次相遇 ，路程差为一圈，。 方向不同，所用的路程关系不同；一圈长度相同。 方法总结 相遇、追及与完成数量 方法1　确定共同时间 ① 明确从谁开始计时。 ② 先行者要加先行路程或先完成数量。 ③ 休息者应减去未行驶时间。 方法2　建立等量关系 ① 相向相遇用路程和。 ② 同向追及用路程差。 ③ 环形跑道要判断和或差是否为一圈。 课堂练习 练习1 甲、乙两车分别从相距 km的A、B两地同时出发，沿相同道路相向而行，途中甲车休息了 h，结果乙车出发 h后与甲车在途中相遇。已知乙车的平均速度为 km/h，求甲车的平均速度。 答：设甲车的平均速度为 km/h。 解 甲实际行驶 h，乙行驶 h。 。 方法：先求两车各自实际行驶时间。 注意：同时出发不表示实际行驶时间相同。 课堂练习 练习1 甲、乙两车分别从相距 km的A、B两地同时出发，沿相同道路相向而行，途中甲车休息了 h，结果乙车出发 h后与甲车在途中相遇。已知乙车的平均速度为 km/h，求甲车的平均速度。 答：甲车的平均速度为 km/h。 解 ，得，。 甲行 km，乙行 km，合计 km。 方法：用实际行驶时间乘速度得到路程。 注意：休息的 h不能算作甲车行驶时间。 课堂练习 练习2 小海和乐乐从学校出发沿相同道路去图书馆，小海先行 min后乐乐再出发。已知乐乐的平均速度为 m/min， min后追上小海。求小海的平均速度。 答：设小海的平均速度为 m/min。 解 小海行走 min，乐乐行走 min。 。 方法：追上时，从同一起点走的路程相同。 注意：题中 min从乐乐出发开始计时。 课堂练习 练习2 小海和乐乐从学校出发沿相同道路去图书馆，小海先行 min后乐乐再出发。已知乐乐的平均速度为 m/min， min后追上小海。求小海的平均速度。 答：小海的平均速度为 m/min。 解 ，解得。 m， m。 方法：总时间相差先行的 min。 注意：不要误列，人物与时间要对应。 课堂练习 练习3 小华和欢欢练习打字，小华平均每分钟打字个，欢欢平均每分钟打字个。小华先打了 min后，欢欢才开始打。问：欢欢打字多久后，两人打的字一样多？ 答：设欢欢打字 min后，两人打的一样多。 解 小华共打 min，欢欢打 min。 。 方法：从欢欢开始计时，小华要加上先打的时间。 注意：括号内是小华的全部打字时间。 课堂练习 练习3 小华和欢欢练习打字，小华平均每分钟打字个，欢欢平均每分钟打字个。小华先打了 min后，欢欢才开始打。问：欢欢打字多久后，两人打的字一样多？ 答：欢欢打字 min后，两人打的一样多。 解 ，得。 小华个，欢欢个。 方法：先完成的字数为。 注意：答案是欢欢的时间；小华已打 min。 课堂总结 相遇、追及 与环形跑道 明确时间 先行加时间，休息减时间；人物与时间对应。 相向相遇 两人路程之和等于出发时相距路程。 同向追及 快者多走的路程等于原来的间隔。 环形跑道 反向第一次：路程和一圈；同向第一次：路程差一圈。 特别提醒：先画示意图，再写路程关系；时间和速度的单位必须一致。 针对训练 训练1　选择路程关系 甲、乙在相距 km的两地同时相向而行，速度分别为 km/h、 km/h。设 h后相遇，可列方程（　）。 A. B. C. D. 答：A 解 相遇时，两车行驶路程之和为 km。 因此。 方法：先判断相向还是同向。 注意：相向而行不用两段路程之差。 针对训练 训练2　填出正确的时间 甲以 m/min先走 min，乙再以 m/min沿同一路线追甲。设乙走 min追上，则甲走了多久？何时追上？ 答：甲走 min；乙出发后 min追上。 解 。 ，解得。 方法：先行者总时间＝共同时间＋先行时间。 注意：先行的 min只加给甲。 针对训练 训练3　判断相遇时的路程关系 （1）两人相向而行，相遇时一定各走总距离的一半。 × 速度不同时，在同一时间内走的路程不同。 （2）从同地同向先后出发，追上时两人的总路程相同。 √ 两人起点和追上时的位置都相同。 （3）环形跑道同地同向同时出发，第一次再相遇时快者多跑一圈。 √ 多走的路程恰好等于跑道一圈长度。 方法：结合起点、方向与相遇位置判断。 注意：“相遇”不一定意味着两人的路程相等。 方法总结 时间和路程训练的方法 方法1　处理先行与休息 ① 先写共同经过的时间。 ② 先行者加先行时间。 ③ 休息者减去休息时间。 方法2　检验列式 ① 逐项读出速度、时间和路程。 ② 检查各项属于哪个人物。 ③ 确认相加减的路程单位一致。 针对训练 训练4　求相遇时间 两车从相距 km的两地同时相向而行，速度分别为 km/h和 km/h。多久后相遇？ 答： h后相遇。 解 设 h后相遇：。 ，得。 方法：用两段路程之和等于总距离。 注意：小数时间可以是合理的实际答案。 针对训练 训练5　相向而行求未知速度 甲、乙两地相距 km，两车同时相向而行， h后相遇。甲车速度为 km/h，求乙车速度。 答：乙车速度为 km/h。 解 设乙车速度 km/h：。 ，解得。 方法：未知速度乘已知时间仍可表示路程。 注意：方程中的表示速度，不是时间。 针对训练 训练6　先统一时间单位 两人从相距 km的两地同时相向而行，甲的速度为 m/min，乙的速度为 m/min。多久后相遇？ 答： min后相遇，即 min s。 解 km m，列。 ，得。 方法：先统一路程单位，再用速度乘时间。 注意：速度用m/min时，不可把 km直接写成 m。 针对训练 训练7　反向跑步的第一次相遇 两人在 m的环形跑道上，从同一点同时反向出发，速度分别为 m/min、 m/min。多久后第一次相遇？ 答： min后第一次相遇。 解 设 min后相遇：。 ，解得。 方法：反向第一次相遇，两人合走一圈。 注意：一圈长度是路程之和。 针对训练 训练8　同向跑步的第一次相遇 两人在 m的环形跑道上，从同一点同时同向出发，速度分别为 m/min、 m/min。多久后第一次相遇？ 答： min后第一次相遇。 解 设 min后相遇：。 ，解得。 方法：同向第一次相遇，快者比慢者多跑一圈。 注意：出发后第一次再相遇，不计起跑瞬间。 方法总结 环形跑道的方法 方法1　反向出发 ① 两人各沿一个方向前进。 ② 第一次相遇时，两段路程拼成一圈。 ③ 用两人的路程相加。 方法2　同向出发 ① 快者逐渐绕回慢者身后。 ② 第一次追上时，快者多跑一圈。 ③ 用快者路程减慢者路程。 针对训练 训练9　休息时间与相遇 甲、乙两车从相距 km的两地同时相向而行。甲车速度 km/h，途中休息 h；乙车速度 km/h。甲休息结束后两车才相遇，求出发后多久相遇。 答：出发后 h相遇。 解 设出发后 h相遇：。 ，得，且。 方法：休息只减少甲的实际行驶时间。 注意：检验相遇确实发生在休息结束后。 针对训练 训练10　改正追及中的错误方程 题目与错解 慢车先行 km，后两车同向行驶，速度、 km/h。错列。 改正与求解 应列，得 h。 同向追及中，快车多走的路程等于最初的间隔。 方法总结 综合题怎样确定方程 方法1　先解释情境 ① 确定出发地点是否相同。 ② 确定相向还是同向。 ③ 把先行、休息等条件标在图上。 方法2　再检查结果 ① 把时间代回计算两段路程。 ② 核对相遇或追及关系。 ③ 注意求出的量和问题是否一致。 针对训练 训练11　应用：步道巡查 一条步道长 m。甲从一端先走 m后，乙从另一端出发，两人相向巡查。甲、乙速度分别为 m/min、 m/min。乙出发后多久相遇？ 答：乙出发后 min相遇。 解 设 min后相遇：。 ，解得。 方法：先行路程与之后两人路程之和等于步道全长。 注意：共同时间从乙开始巡查时计算。 针对训练 训练11　应用检验与时间起点 一条步道长 m。甲从一端先走 m后，乙从另一端出发，两人相向巡查。甲、乙速度分别为 m/min、 m/min。乙出发后多久相遇？ 答：乙出发后 min相遇。 解 甲共走 m，乙走 m。 m，符合相遇条件。 方法：代回全部路程检验，先行路程仍需保留。 注意： min不是甲巡查的总时间。 针对训练 训练12　应用：两组装配模型 甲组已装配个模型后，乙组开始装配。甲组每小时装配个，乙组每小时装配个，两组都继续工作。乙组开始后多久，两组装配的总个数一样多？ 答：乙组开始后 h，两组装配的总个数一样多。 解 设 h后一样多：。 ，解得。 方法：用两组完成的总个数相等列方程。 注意：甲组开始在前，但乙组单位时间完成得更多。 针对训练 训练12　应用检验与数量比较 甲组已装配个模型后，乙组开始装配。甲组每小时装配个，乙组每小时装配个，两组都继续工作。乙组开始后多久，两组装配的总个数一样多？ 答：乙组开始后 h，两组各装配个模型。 解 甲组个；乙组个。 两组总数相同，且保留了甲组先完成的个。 方法：数量问题也能用“后来多完成的数量补足原差”理解。 注意：求的是从乙组开始后的时间。 方法总结 应用题方法总结 方法1　从情境提取等量关系 ① 行程用速度乘实际行驶时间。 ② 完成数量用效率乘实际工作时间。 ③ 根据相遇、追上或数量相等列式。 方法2　完整求解与检验 ① 解方程并注明时间起点。 ② 代回分别算出两方的总量。 ③ 检查差、和或相等关系，写清单位。 $