3.3 一元一次方程的应用（第2课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

第3章 一元一次方程 3.3 一元一次方程的应用 （第2课时）多个未知量的表示 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 从一个未知量走向多个未知量 已知关系 甲有本书，乙比甲多本，乙有本。 变化关系 若乙的本数是甲的倍少本，乙有本。 引入问题 两人共有本书时，怎样只用一个未知数列方程？ 复习引入 复习　用总数建立等式 甲有本书，乙比甲多本，两人共有本。求两人各有多少本书。 答：甲有本，乙有本。 解 ，解得。 ，且。 方法：把另一个未知量用含的式子表示。 注意：两人都未知，也可以只设一个未知数。 新知讲授 多个未知量怎样表示 处理思路 有多个未知量时，可以先将其中一个量设为未知数，再根据题意，将其他相关的量用该未知数来表示，并列出方程。 先表示 先找倍数、多少等关系，写出其他量。 再列式 再用总和、周长、面积等关系建立方程。 新知讲授 读懂“几倍多几”和“几分之几少几” 倍数关系 乙比甲的倍多，甲为，乙为。 分数关系 乙比甲的少，乙为。 辨析 “甲的几倍”先乘，再按“多”“少”加减。 例题讲解 例 5 某栋居民楼的高度比上海环球金融中心高度的少 m。若这两栋建筑物的高度之和是 m，分别求这两栋建筑物的高度。 答：设上海环球金融中心高 m；居民楼高 m。 解 按高度和列式： 。 方法：先用倍数差表示居民楼，再用高度和列方程。 注意：“少”应在乘之后减去。 例题讲解 例 5 某栋居民楼的高度比上海环球金融中心高度的少 m。若这两栋建筑物的高度之和是 m，分别求这两栋建筑物的高度。 答：上海环球金融中心高 m，居民楼高 m。 解 ，解得。 ；。 方法：求出所设的量后，再求另一个量。 注意：答句要完整回答两栋建筑物。 例题讲解 对象 高度 / m 上海环球金融中心 居民楼 例 5 某栋居民楼的高度比上海环球金融中心高度的少 m。若这两栋建筑物的高度之和是 m，分别求这两栋建筑物的高度。 答：。 两栋建筑物的高度之和为 m。 例题讲解 例 5 为什么不是先减再乘 正确表示 ：中心高度的，再少 m。 错误表示 ：先把中心高度减少 m，再取。 运算次序不同，表达的数量关系也不同。 例题讲解 变式 例 5 甲、乙两种彩纸共张，乙种比甲种的多张。两种彩纸各有多少张？ 答：甲种张，乙种张。 解 设甲种有张：。 得，乙种有张。 方法：先设作为比较标准的量。 注意：“比甲种的多”以甲种为标准。 例题讲解 例 6 乐乐做一辆风力小车。小车的底座是用一根长 cm的铁丝围成的一个长方形，这个长方形的长比宽的倍少 cm。求这个长方形的宽。 答：设宽为 cm，则长为 cm。 解 长方形周长是长与宽之和的倍。 。 方法：用宽表示长，再根据周长列式。 注意：铁丝总长是周长，不是长与宽的和。 例题讲解 例 6 从图中看长与宽 底座四条边合长36 cm 宽： 设宽为 cm。 长： 长比宽的倍少 cm，即 cm。 周长： 两组对边分别相等，。 例题讲解 例 6 乐乐做一辆风力小车。小车的底座是用一根长 cm的铁丝围成的一个长方形，这个长方形的长比宽的倍少 cm。求这个长方形的宽。 答：这个长方形的宽是 cm。 解 ，得，。 长为 cm，。 方法：解出宽后，用长与周长同时检验。 注意：求的是宽，答句应写对应的量。 例题讲解 周长方程的两种写法 整体写法 ，先求长与宽的和。 半周长写法 ，先把周长除以。 两式依据相同；已知周长时可先求半周长。 例题讲解 变式 例 6 一张长方形卡纸的周长为 cm，长比宽的倍少 cm。求长和宽。 答：宽 cm，长 cm。 解 设宽为 cm：。 ，得，长为 cm。 方法：把周长转化为长与宽的和。 注意：半周长是 cm，不是 cm。 例题讲解 辨析 辨析　相同的周长条件 长方形长为 cm，宽为 cm，周长为 cm。小明列。请改正并求宽。 答：正确方程，宽为 cm。 解 长加宽等于周长的一半：。 ，解得。 方法：先核实公式对应的是总量还是一半。 注意：宽与长各只有一条时，不能直接等于周长。 方法总结 把多个未知量连成一个方程 方法1　表示量 ① 设比较标准的量为。 ② 倍数和多少关系用来表示其他量。 ③ 式子后要对应清楚单位。 方法2　列方程 ① 寻找总和、周长等相等关系。 ② 把每个量的式子代入。 ③ 解后求全，并代回题意检验。 课堂练习 练习1 小海的年龄比爷爷年龄的小岁，如果小海和爷爷的年龄之和是岁，那么小海和爷爷各是多少岁？ 答：设爷爷的年龄为岁，小海为岁。 解 年龄和为岁： 。 方法：选爷爷年龄作比较标准。 注意：“小岁”不是把爷爷年龄先减。 课堂练习 练习1 小海的年龄比爷爷年龄的小岁，如果小海和爷爷的年龄之和是岁，那么小海和爷爷各是多少岁？ 答：爷爷岁，小海岁。 解 ，得。 ，且。 方法：检验年龄和与年龄倍数差。 注意：不要只写爷爷的年龄。 课堂练习 练习2 一个书架分为上、下两层，共有本书。下层的书比上层的倍多本。这个书架的上层和下层各有多少本书？ 答：设上层有本书，下层有本。 解 两层共有本： 。 方法：上层是倍数关系中的比较标准。 注意：“多本”只在下层表达式中加一次。 课堂练习 练习2 一个书架分为上、下两层，共有本书。下层的书比上层的倍多本。这个书架的上层和下层各有多少本书？ 答：上层有本，下层有本。 解 ，得。 下层，总数。 方法：求出一层后，按关系求另一层。 注意：本数必须是符合题意的整数。 课堂练习 练习3 如图，把边长为 cm的正方形分割成一个三角形和一个梯形。梯形的面积比三角形的面积大 ，三角形较短的一条直角边的长是多少？ cm 答：设较短的直角边长为 cm，则三角形面积为 。 解 正方形面积： 。 梯形面积为 。 方法：借助整体面积表示另一个部分的面积。 注意：较短的直角边是图中右边的上段。 课堂练习 练习3 图形与未知线段 cm 三角形 梯形 右侧上段为三角形较短的直角边 三角形： 上横边长 cm，右侧上段长 cm。 面积： 三角形面积为。 余下部分： 下方梯形面积为。 课堂练习 练习3 如图，把边长为 cm的正方形分割成一个三角形和一个梯形。梯形的面积比三角形的面积大 ，三角形较短的一条直角边的长是多少？ cm 答：三角形较短的一条直角边长是 cm。 解 ，解得。 三角形 ，梯形 ，相差 。 方法：利用“梯形面积−三角形面积＝差”。 注意：求出 cm后还应确认它小于边长 cm。 课堂练习 练习3 避免重复计入面积 正确等量关系 ，两个面积作差。 常见错误 把面积差误当成梯形面积。 图形的整体是 ，题中 是两部分的面积差。 课堂总结 多个未知量 一个字母表示 设未知数 优先设比较标准的量为。 表示其他量 “几倍多几”写成；“少几”用减法。 建立方程 用总和、周长或面积差建立等式。 求解与检验 求出全部所求量，检验数值与实际意义。 特别提醒：先读清“谁是谁的几倍”，再判断还要用哪个条件列方程。 针对训练 训练1　选择正确的表示式 甲种树棵，乙比甲的倍少棵。乙种树的棵数可表示为（　）。 A. B. C. D. 答：B 解 “甲的倍”为。 在的基础上少，所以是。 方法：按文字顺序确定运算次序。 注意：不要把“少”放进倍数运算中。 针对训练 训练2　补全方程 一根绳子长 m，剪成两段，长段比短段的倍多 m。设短段长 m，列出方程并求两段长。 答：方程；短段 m，长段 m。 解 ，得。 长段 m。 方法：总长度等于两部分之和。 注意：不要把长段误写为。 针对训练 训练3　判断表示是否正确 （1）甲为，乙比甲多，乙为。 √ “比甲多”就在甲的数量上加。 （2）甲为，乙比甲的倍少，乙为。 × 应为，先乘再减。 （3）长方形周长为，宽为，长为。 √ 长与宽的和是半周长。 方法：先逐句解释式子的含义。 注意：括号改变运算顺序，不能随意添加。 方法总结 表示式训练的方法 方法1　读关系 ① 找准被比较的标准量。 ② 先完成倍数或分数运算。 ③ 再按“多”“少”加减。 方法2　验表示 ① 选一个便于计算的数代入。 ② 核对文字与式子的运算顺序。 ③ 总量条件不要误当差量条件。 针对训练 训练4　数量差建立方程 甲仓库比乙仓库多箱货，甲仓库的箱数比乙仓库的倍少箱。两仓库各有多少箱？ 答：乙仓库箱，甲仓库箱。 解 设乙有箱：。 ，得，甲有箱。 方法：已知相差多少时，用大数减小数。 注意：甲减乙等于，顺序不能颠倒。 针对训练 训练5　用比例关系表示两部分 一个合唱团有人，女生人数比男生人数的倍少人。男、女生各有多少人？ 答：男生人，女生人。 解 设男生有人：。 得，女生为人。 方法：以男生为标准，再用总人数列方程。 注意：不要把“女生比男生多”替换原有的倍数关系。 针对训练 训练6　条形图表示倍数差 乙 甲 每个x表示乙的邮票数 条件： 乙有枚邮票，甲比乙的倍多枚。 总量： 两人共有枚，故。 求解： 得，甲有枚，乙有枚。 针对训练 训练7　用周长求尺寸 长方形菜地的周长为 m，长比宽的倍多 m。求菜地的长和宽。 答：宽 m，长 m。 解 设宽 m：。 ，得，长为 m。 方法：优先用半周长化简列式。 注意：长度单位相同，才能相加。 针对训练 训练8　改正周长方程中的漏项 长方形长为 cm，宽为 cm，周长为 cm。有人列，请改正并求宽。 答：应列，宽为 cm。 解 半周长等于长加宽，原式漏掉了宽。 ，解得。 方法：逐项核查每一条边是否已计入。 注意：半周长不是只有长。 方法总结 总和、差与几何条件 方法1　数量问题 ① 两量共有：甲量＋乙量＝总量。 ② 两量相差：较大量−较小量＝差。 ③ 比较关系用于表示其中一个量。 方法2　几何问题 ① 先写周长或面积公式。 ② 用一条边表示相关边。 ③ 分割后各部分面积和等于整体。 针对训练 训练9　分割后的面积差 一个面积为 的长方形被分成两部分，甲部分面积比乙部分面积的倍少 。求两部分面积。 答：乙部分 ，甲部分 。 解 设乙面积为 ：。 解得，甲面积 。 方法：分割不会改变整体面积。 注意：面积的单位要写成平方单位。 针对训练 训练10　两个表达式说同一个量 甲组有人，乙组比甲组的倍少人；乙组又比甲组多人。求两组各有多少人。 答：甲组人，乙组人。 解 乙组既是，也是。 ，得，乙有人。 方法：同一个量的两种表达式相等。 注意：方程两边都应表示乙组人数。 针对训练 训练11　由答案反查遗漏条件 一块长方形板，长比宽的倍少 cm，周长为 cm。小明求得宽 cm。这个结果正确吗？求出正确结果。 答：不正确；宽应为 cm，长为 cm。 解 若宽，长，周长为，不符题意。 设宽：，得。 方法：把结果代回所有原始条件。 注意：满足某一个条件不能说明答案正确。 针对训练 训练12　设不同的量都可以 甲、乙两人共有张卡片，甲比乙的倍多张。设甲有张，列方程并求两人张数。 答：甲有张，乙有张。 解 乙有张，列。 ，得，乙有张。 方法：改变设法后，重新表示其他量。 注意：分子整体除以。 方法总结 检验与设法选择 方法1　检验答案 ① 总和与差都要代回。 ② 几何长度应符合图形关系。 ③ 人数、本数等须符合实际意义。 方法2　选择设法 ① 优先设比较关系中的标准量。 ② 也能设另一个量，但式子可能更复杂。 ③ 方程解的含义以设句为准。 针对训练 训练13　应用：两组收集材料 六年级两组共收集废纸 kg，甲组比乙组的倍少 kg。两组各收集多少千克废纸？ 答：甲组 kg，乙组 kg。 解 设乙组收集 kg：。 ，得，甲组为 kg。 方法：比较关系表示甲，合计关系列方程。 注意：题目问两组，应分别写出结果。 针对训练 训练13　应用检验与表达 六年级两组共收集废纸 kg，甲组比乙组的倍少 kg。两组各收集多少千克废纸？ 答：甲组收集 kg，乙组收集 kg。 解 合计：。 比较：，两项均符合题意。 方法：检查结果是否同时满足两条关系。 注意：检验关系时不要交换甲、乙。 针对训练 训练14　应用：围长方形展示区 学校用 m围栏围成一个长方形展示区，长比宽的倍多 m。求展示区的长、宽及面积。 答：宽 m，长 m，面积 。 解 设宽 m：，得。 长为 m，面积 。 方法：先用周长求尺寸，再计算面积。 注意：列方程时使用周长，不能使用尚未知的面积。 针对训练 训练14　应用检验与单位 学校用 m围栏围成一个长方形展示区，长比宽的倍多 m。求展示区的长、宽及面积。 答：长 m，宽 m，面积 。 解 检验周长： m。 检验长宽： m。 方法：用两条原始条件核对长与宽。 注意：长、宽用m，面积用。 方法总结 应用题方法总结 方法1　从文字到方程 ① 设一个量，并写清对象与单位。 ② 用关系表示其他未知量。 ③ 根据总量或几何条件列方程。 方法2　从方程回到问题 ① 解出未知数，再补全所求量。 ② 代回题目核查各项条件。 ③ 按问题顺序完整作答。 $