3.3 一元一次方程的应用（第3课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

第3章 一元一次方程 3.3 一元一次方程的应用 （第3课时）选择未知数与不变量 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 同一个总量可以怎样表示 回顾 每组人，共组，人数可写成。 另一种分组 同样的学生，每组人，共组，人数是。 引入 人数不变，所以。 复习引入 复习　两种分组中的不变量 同一批学生，按每组人分成组；按每组人分组，则多分组。共有多少名学生？ 答：共有名学生。 解 ，解得。 人数为；。 方法：同一总人数的两种表示相等。 注意：两种分组的组数不同，总人数相同。 新知讲授 选择未知数并寻找不变的量 要设什么 可以设所求的量，也可以设便于表示其他量的量。 什么不变 分组方式、单价或分配标准改变时，人数、总价或物品总数可能不变。 怎样列式 用两种方案分别表示同一个不变的量，再令两式相等。 例题讲解 例 7 学校购置了一批电脑用于拓展课的教学，分配给参加拓展课的学生每组一台电脑。如果每名学生为一组，那么恰好空出台电脑；如果每名学生为一组，那么电脑恰好分完。问：学校一共购置了多少台电脑？参加拓展课的学生有多少名？ 答：设学校购置了台电脑。 解 每组人时，用台，学生有名。 每组人时，学生有名，得。 方法：找出两种分组中不变的学生总数。 注意：空出台，应从电脑总数中减去。 例题讲解 分组 使用电脑 / 台 学生人数 例 7 学校购置了一批电脑用于拓展课的教学，分配给参加拓展课的学生每组一台电脑。如果每名学生为一组，那么恰好空出台电脑；如果每名学生为一组，那么电脑恰好分完。问：学校一共购置了多少台电脑？参加拓展课的学生有多少名？ 每组人 每组人 答：学生总数相同：。 “空出”改变使用台数，不改变总台数。 例题讲解 例 7 学校购置了一批电脑用于拓展课的教学，分配给参加拓展课的学生每组一台电脑。如果每名学生为一组，那么恰好空出台电脑；如果每名学生为一组，那么电脑恰好分完。问：学校一共购置了多少台电脑？参加拓展课的学生有多少名？ 答：学校购置台电脑，学生有名。 解 ，得。 学生为名；组，空台。 方法：先求电脑总数，再求学生总数。 注意：空出的台属于总数台之内。 例题讲解 例 7 沿用例7的条件：每名学生一组时恰好空出台电脑，每名学生一组时电脑恰好分完。如果设参加拓展课的学生有名，请列出方程并求解。 答：方程；学生名，电脑台。 解 两种方法表示电脑总数：与。 去分母得，故。 方法：设学生数时，用人数除以每组人数求组数。 注意：电脑总数＝使用台数＋空出台数。 例题讲解 例 7 比较两种设法 设电脑数为 ，两边表示学生总数。 设学生数为 ，两边表示电脑总数。 设法可以不同，但方程两边必须表示同一个量。 新知讲授 根据题意引入适当的未知数 解题要求 在解决应用问题的过程中，往往需要引入适当的未知数，根据题意，列出方程，并求得方程的解。 比较设法 设电脑数能直接相乘；设学生数需要除以每组人数。 检查含义 解出的是设句指定的量，不一定已得到全部答案。 例题讲解 变式 例 7 学校把一批实验材料分给各组。每组分套时，恰好有组分不到；每组分套时，恰好分完。共有多少组、多少套材料？ 答：共有组，套材料。 解 设有组：。 得，材料有套。 方法：材料总套数在两种方案中相同。 注意：“有组分不到”减少的是领到材料的组数。 新知讲授 辨析　空出、缺少分别影响什么 空出资源 有台设备，空台，实际用台。 需要增加 原有条船，还需条，实际需条。 先判断加减发生在哪个数量上，再与每份数量相乘。 例题讲解 例 8 一家绿色生态农庄种植玉米和甜瓜，已知玉米种植面积比农庄总种植面积的多公顷，甜瓜种植面积比农庄总种植面积的少公顷。问：该农庄种植玉米和甜瓜各多少公顷？ 答：设农庄总种植面积为公顷。 解 玉米为公顷，甜瓜为公顷。 。 方法：两个所求量都与总量有关，先设总量。 注意：总种植面积虽未直接问到，也可以设为未知数。 例题讲解 作物 种植面积 / 公顷 玉米 甜瓜 例 8 一家绿色生态农庄种植玉米和甜瓜，已知玉米种植面积比农庄总种植面积的多公顷，甜瓜种植面积比农庄总种植面积的少公顷。问：该农庄种植玉米和甜瓜各多少公顷？ 答：玉米面积＋甜瓜面积＝总种植面积。 两部分的和为，不能误写成已知常数。 例题讲解 例 8 一家绿色生态农庄种植玉米和甜瓜，已知玉米种植面积比农庄总种植面积的多公顷，甜瓜种植面积比农庄总种植面积的少公顷。问：该农庄种植玉米和甜瓜各多少公顷？ 答：种植玉米公顷，甜瓜公顷。 解 ，得，。 玉米；甜瓜。 方法：先求整体，再分别求两个部分。 注意：公顷是总面积，还不是题目要求的两个答案。 例题讲解 变式 例 8 一批图书分给甲、乙两组。甲组得到总数的一半多本，乙组得到总数的多本，恰好分完。两组各得到多少本？ 答：甲组本，乙组本。 解 设共有本：。 得，甲为本，乙为本。 方法：所有部分都与总数有关时可先设总数。 注意：“恰好分完”说明各部分之和等于总数。 新知讲授 设间接量后的答题检查 不是只报 例8解得，代表农庄总种植面积。 继续求所问 玉米与甜瓜分别是和。 完整检验 ，且，。 方法总结 选择未知数的两条路径 方法1　直接设所求量 ① 先比较哪种设法更容易表示其他量。 ② 组数、台数常可直接与每份数量相乘。 ③ 所有式子的对象和单位保持清楚。 方法2　间接设关联量 ① 多个所求量都与总量有关时，可设总量。 ② 用部分之和等于整体列方程。 ③ 解后代回表示式，求出全部所问。 课堂练习 练习1 六年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船。如果每条船坐人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐人，那么租的这些船恰好坐满。问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 答：设原来租了条船。 解 每船人需条；每船人用条。 总人数相同，列。 方法：“多租一条”按原租船数加。 注意：“租的这些船”指原来租的条。 课堂练习 练习1 六年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船。如果每条船坐人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐人，那么租的这些船恰好坐满。问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 答：原租了条船，共有教师和学生人。 解 ，得。 人数；每船人需条，正好多条。 方法：同时检验两种乘船方案。 注意：教师和学生都计入总人数。 课堂练习 练习2 李老师带了一笔钱去买文具。如果买单价为元的钢笔，钱正好用完；如果改买单价为元的圆珠笔，那么可以多买支，钱也正好用完。问：若全买钢笔，可以买多少支？李老师一共带了多少元？ 答：设全买钢笔可买支，则圆珠笔可买支。 解 钢笔总价元；圆珠笔总价元。 所带钱数不变，列。 方法：单价乘数量表示总价。 注意：多买支是圆珠笔的数量多。 课堂练习 练习2 李老师带了一笔钱去买文具。如果买单价为元的钢笔，钱正好用完；如果改买单价为元的圆珠笔，那么可以多买支，钱也正好用完。问：若全买钢笔，可以买多少支？李老师一共带了多少元？ 答：全买钢笔可买支，共带了元。 解 ，得。 ；圆珠笔支也需元。 方法：先求钢笔数量，再用总价公式求钱数。 注意：答句中的支数应是钢笔支数。 课堂练习 练习3 某学校买了一批短绳。如果每班分根，那么恰好有个班级分不到；如果每班分根，那么恰好分完。问：这个学校一共有几个班？学校买来多少根短绳？ 答：设学校有个班级。 解 每班根时，只分给个班。 短绳总数相同：。 方法：没有分到的班级从总班数中减去。 注意：不能把个班误看成剩余根绳。 课堂练习 练习3 某学校买了一批短绳。如果每班分根，那么恰好有个班级分不到；如果每班分根，那么恰好分完。问：这个学校一共有几个班？学校买来多少根短绳？ 答：学校共有个班，买来根短绳。 解 ，得。 短绳根；根。 方法：用两种分配方案核对总数。 注意：是第一种方案领到绳的班数。 课堂练习 课堂练习　不变的量各是什么 分组与租船 学生总数不变，用“每组人数×组数”表示。 买笔与分绳 买笔：总价不变；分绳：短绳总数不变。 先指明不变量，再让两种表达式相等。 课堂总结 选择未知数 寻找不变量 选择未知数 直接设所求量；必要时先设关联的总量。 表示变化 空出用减，另需用加；先明确改变的是哪个量。 确定不变量 比较两种方案的人数、总价或物品总数。 求解与回答 检查设句含义，继续求出未直接设出的量。 特别提醒：方程两边必须表示同一种数量；数量的单位也应相同。 针对训练 训练1　找出不变的量 同一笔钱可以买单价元的笔记本若干本，也可以买单价元的练习册，多买本。列方程时相等的量是（　）。 A. 单价 B. 本数 C. 总价 D. 每本页数 答：C 解 购买的种类、单价和数量都改变。 两种购买方案花的钱数相同。 方法：找出题目中没有改变的总量。 注意：不能让两个方案的本数直接相等。 针对训练 训练2　补全两种方案 一批学生分组，每组人时有组的器材空着；每组人时所有组的器材恰好用完。设共有组器材，写出两种学生人数并求人数。 答：分别为、；共有名学生。 解 ，得。 人数为。 方法：使用组数等于总组数减空闲组数。 注意：空着的器材组数不计入人数。 针对训练 训练3　判断等量关系 （1）同一笔钱换买不同商品，可令两种商品的单价相等。 × 不变的是总价，不是单价。 （2）原有条船，多租条后有条船。 √ 增加的船数与原数相加。 （3）设总数为，甲、乙恰好分完，则甲的数量加乙的数量等于。 √ 两部分之和等于整体。 方法：先指出每个式子表示的实际量。 注意：同一个字母在同一道题中只表示一个量。 方法总结 不变量训练的方法 方法1　比较两种方案 ① 写出每种方案的每份数量。 ② 根据空出或另需修正份数。 ③ 两式都应表示同一总量。 方法2　把式子解释清楚 ① 单价×数量表示总价。 ② 每组人数×组数表示总人数。 ③ 每份数量×份数表示物品总量。 针对训练 训练4　座位分配 一批学生坐长凳，每条坐人，恰好需要再加条；每条坐人，现有长凳恰好坐满。现有多少条长凳、多少名学生？ 答：现有条长凳，名学生。 解 设现有条：。 得，人数为。 方法：两种乘坐方案的学生人数相同。 注意：每条坐人时使用条。 针对训练 训练5　相同的钱购买不同物品 小华用同一笔钱买元一本的画册，或买元一本的练习册。买练习册可多买本。画册可买多少本？这笔钱有多少元？ 答：画册可买本，共元。 解 设画册可买本：。 ，得，钱数为元。 方法：用总价不变建立方程。 注意：两种物品数量相差，不是价格相差。 针对训练 分法 领到卡片的组数 卡片总数 训练6　表格中的缺项 同一批卡片分给若干小组。每组张时有组分不到；每组张时恰好分完。设有组。 每组张 每组张 答：，得，共张。 两种分法都分完同一批卡片，所以总数相等。 方法：先填写份数，再填写总数。 注意：组数相减，不能写成张。 针对训练 训练7　改正数量单位混用 有个班分图书，每班分本时有个班未分到，每班分本时恰好分完。有人列。请改正并求班数。 答：应列，共有个班。 解 少分给个班，少用本书。 ，得。 方法：“每份数×减少份数”才是减少的总量。 注意：不能把本数减去班数。 方法总结 处理“空出”和“分不到” 方法1　先修正份数 ① 空出几台：实际用的台数要减。 ② 多需几条：实际需的条数要加。 ③ 分不到几组：领到的组数要减。 方法2　再表示总量 ① 修正后的份数需整体乘每份数量。 ② 必要时加括号再进行乘法。 ③ 检查相加减的数量单位一致。 针对训练 训练8　设总人数 某活动分成两组，甲组人数是总人数的少人，乙组人数是总人数的多人。两组各有多少人？ 答：甲组人，乙组人。 解 设总人数：。 得，；两组为、人。 方法：两组都以总人数为标准，先设总人数。 注意：分数相加前要通分。 针对训练 训练9　设总长度 一根绳子剪成两段，第一段为全长的多 m，第二段为全长的多 m。求两段的长度。 答：第一段 m，第二段 m。 解 设全长 m：。 得，，两段为 m和 m。 方法：两段之和等于全长。 注意：所设的全长还要换算成两段长度。 针对训练 训练10　直接与间接设法 同一笔钱买元的画笔可买若干支，买元的画笔可多买支。设钱数为元，列方程并求钱数。 答：方程；钱数为元。 解 用钱数除以单价表示支数。 乘得，所以。 方法：间接设钱数时，用除法表示购买数量。 注意：便宜的画笔数量更多，减法顺序不能颠倒。 针对训练 训练10　比较列方程的方便程度 设贵画笔为支 ，解得。 设总钱数为元 ，解得。 两种设法都正确；先判断式子是否易于表示和求解。 方法总结 设总量与解题检查 方法1　什么时候设总量 ① 几个未知部分都与整体有关。 ② 各部分可以用同一字母表示。 ③ 利用部分之和等于整体列式。 方法2　解出后还要做什么 ① 核实所表示的量。 ② 按题目要求求各个部分。 ③ 检验总和与各个分数条件。 针对训练 训练11　应用：采购美术用品 学校用一笔钱买每盒元的彩笔，若改买每盒元的颜料，可多买盒，两种买法都恰好用完。可以买多少盒彩笔？这笔钱有多少元？ 答：可以买盒彩笔，共元。 解 设彩笔可买盒：。 ，得，钱数元。 方法：单价乘盒数表示同一笔钱。 注意：两种买法中的对象和数量要对应。 针对训练 训练11　应用检验与答句 学校用一笔钱买每盒元的彩笔，若改买每盒元的颜料，可多买盒，两种买法都恰好用完。可以买多少盒彩笔？这笔钱有多少元？ 答：可以买盒彩笔，这笔钱为元。 解 颜料可买盒。 ，，钱数相同。 方法：用两种购买方案分别算总价。 注意：多盒的条件也要检查。 针对训练 训练12　应用：校园种植区 校园一块种植区全部种植蔬菜与花卉。蔬菜面积比总面积的多 ，花卉面积比总面积的多 。求两类植物的种植面积。 答：蔬菜 ，花卉 。 解 设总面积：。 得，两部分为 、 。 方法：各部分都与总面积有关，先设总面积。 注意：全部种满，故两部分面积相加等于总面积。 针对训练 训练12　应用检验与答句 校园一块种植区全部种植蔬菜与花卉。蔬菜面积比总面积的多 ，花卉面积比总面积的多 。求两类植物的种植面积。 答：蔬菜种植面积 ，花卉种植面积 。 解 总面积： 。 ，。 方法：先检验整体，再检验部分的表示式。 注意：总面积 不能替代两类面积的答案。 方法总结 应用题方法总结 方法1　两种方案一个总量 ① 设一个便于表达的量。 ② 分别表示两种方案中的总量。 ③ 让两式相等后求解。 方法2　多个部分一个整体 ① 必要时把整体设为。 ② 根据题意写出每个部分。 ③ 解后求全、检验并写答句。 $