3.2 一元一次方程及其解法（第1课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

第3章 一元一次方程 3.2 一元一次方程及其解法 （第1课时）等式性质与一元一次方程 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 从检验一个解到求出一个解 方程中，是不是它的解？如果事先不知道这个数，可以怎样求出？ 答：是解；需要寻找保持等式成立的变形方法。 解 代入，得，两边相等。 让等式左边只剩，就能读出它的值。 方法：已有的代入检验可以检查新的求解结果。 注意：求解时的每一步都要保证等式仍成立。 复习引入 本课要解决的三个问题 变形依据 观察平衡天平，理解等式两边同时作相同运算时，等式怎样保持成立。 方程类别 认识一元一次方程，从未知数的个数和含未知数的项判断。 求解任务 只用等式性质与合并同类项求解简单方程，并代回原方程检验。 新知讲授 观察　平衡天平两边加上相同质量 两边同加克 原来平衡： 物体质量为克，原来与克砝码平衡。 两边同加： 两边都加克和克，得到。 继续平衡： 增加的质量相同，天平保持平衡；两边同减相同质量也一样。 新知讲授 等式性质1：两边同加或同减 等式性质1 等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立。 字母表示 如果，那么，。 使用条件 要在等式两边加或减同一个数，不能只改一边。 新知讲授 用等式性质1使左边只剩未知数 利用等式性质，求方程的解，并说明每一步的依据。 答：。 解 两边同加：。 合并、计算，得。 检验：，左右两边相等。 方法：选择与左边常数互相抵消的运算。 注意：要完整写出两边同加1的过程。 新知讲授 等式两边的运算必须一致 正确变形 由，两边同减：。 错误变形 由直接写，两边进行了不同的运算。 要去掉左边的，两边都必须减5，所以。 新知讲授 观察　平衡天平两边扩大相同倍数 两边都变为倍 原来平衡： 两物体质量分别为与，有。 同时加倍： 两边各放两个相同物体，得到，仍保持平衡。 同时减半： 两边质量都变为原来的一半，等式也仍成立。 新知讲授 等式性质2：两边同乘或同除 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立。 同乘 如果，那么。 同除 如果，那么（）。 新知讲授 用等式性质2得到每一份的数量 利用等式性质，求方程的解。 答：。 解 合并同类项，得。 两边同除以：。 得到，代入两边都为。 方法：两边同除以未知数的非零系数。 注意：运算对象是等式的两边。 新知讲授 为什么要强调除数不为零 可以进行 由，两边同除以，得。 不能进行 不能在两边同除以；除以没有意义。 使用等式性质2除法变形时，必须先确认除数不为0。 新知讲授 解方程与一元一次方程 解方程 以上求方程的解的过程叫作解方程。 一元一次方程 只含有一个未知数且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程。 理解关键词 “一元”看未知数的个数；“一次”看含未知数的项。 新知讲授 一元一次方程的一般形式 一般形式 一元一次方程的一般形式为：（）。 系数与常数 例如，的系数为，常数项为。 判断角度 同一个未知数可在多处出现；出现位置多，不表示未知数有多个。 例题讲解 例 1 判断下列方程是不是一元一次方程，如果不是，请说明理由： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 是。 只有未知数，含未知数的项是一次项。 解第（2）题 不是。 它含有和两个未知数。 方法：先数不同的未知数，再看含未知数的项。 注意：同一个字母出现多次仍是一个未知数。 例题讲解 例 1 判断下列方程是不是一元一次方程，如果不是，请说明理由： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 不是。 项不是一次项。 解第（4）题 是。 只有未知数，含未知数的项是一次项。 方法：含未知数的项应是一次项。 注意：本题只判断类别，不需要解含括号的方程。 新知讲授 辨析　方程两边都出现未知数 判断是不是一元一次方程，并说明理由。 答：是，它只含未知数，含未知数的项均为一次项。 解 虽然在两边出现，但只表示同一个未知数。 和都是一次项。 方法：区分“字母出现次数”与“未知数个数”。 注意：不能把两处出现误判为两个未知数。 例题讲解 例 2 解下列方程： （1） （2） （3） 解第（1）题 两边同除以：。 计算，得。 解第（2）题 两边同减：。 合并得；两边同除以，得。 方法：先消去含未知数一边的常数，再使系数变成一。 注意：同减后右边是。 例题讲解 例 2 解下列方程： （1） （2） （3） 解第（3）题 两边同减：。 得；两边同除以，得。 方法：把看成，两边同除以。 注意：负号不能直接丢掉。 例题讲解 例 2 从负的未知数求出未知数 正确处理 ，两边同除以，得。 错误处理 就写成，只改变了等式左边。 检验：，原方程两边相等。 新知讲授 变式　系数为负数时怎样求解 利用等式性质解方程。 答：。 解 两边同除以，得。 约分，得。 检验：。 方法：用右边的数除以未知数的系数。 注意：除数是带符号的系数。 新知讲授 变式　小数系数也遵守等式性质 利用等式性质解方程。 答：。 解 两边同减，得。 两边同除以，得。 检验：。 方法：每次选择能够消去一个运算的等式变形。 注意：除以0.5相当于乘，不是除以。 课堂练习 练习1 判断下列方程是不是一元一次方程： （1）。 √ 一个未知数，含未知数的项为一次项。 （2）。 × 含和两个未知数。 （3）。 × 不是一次项。 （4）。 √ 只有，含未知数的项为一次项。 方法：按未知数个数与含未知数项逐个判断。 注意：本题只判断类型，不要求求解。 课堂练习 练习2 解下列方程： （1） （2） （3） 解第（1）题 两边同除以，得。 检验：。 解第（2）题 两边同减，得。 两边同除以，得。 方法：先看需要同加减，还是直接同乘除。 注意：方程的解也可以是分数。 课堂练习 练习2 解下列方程： （1） （2） （3） 解第（3）题 合并、计算，得。 两边同除以，得。 方法：同一边的同类项可以先合并。 注意：中的的系数是1。 方法总结 从课堂练习归纳解题顺序 方法1　识别一元一次方程 ① 确认只含一个未知数。 ② 确认含未知数的项为一次项。 方法2　依据等式性质求解 ① 先合并同类项或计算常数。 ② 两边同加减，留下含未知数的项。 ③ 两边同除非零系数，最后检验。 课堂总结 等式性质与 一元一次方程 等式性质1 两边同加或同减一个数，等式仍成立。 等式性质2 两边同乘一个数，或同除非零数，等式仍成立。 一元一次方程 只含一个未知数，且含未知数的项为一次项。 求解与检验 使方程逐步成为，再代回原式。 特别提醒：必须同时改变两边；除数不为零；负系数的符号不能遗漏。 针对训练 训练1　选择：判断方程类型 下列方程中，是一元一次方程的是（　）。 A. B. C. D. 答：C 解 A有两个未知数；B含。 C只含且含未知数的项为一次项；D含。 方法：从两个条件逐项检查。 注意：方程两边都含同一个字母，仍可能是一元。 针对训练 训练2　选择：等式变形的依据 由得到，运用的是（　）。 A. 两边同加 B. 两边同减 C. 两边同乘 D. 两边同除以 答：B 解 等式左边减少了，右边也减少了。 两边同减一个数，使用等式性质1。 方法：先比较变形前后，再确认两边共同的运算。 注意：不能只说“去掉”，应说两边同减5。 方法总结 方法一　判断与选择依据 方法1　辨认方程类型 ① 数不同未知数的个数。 ② 看含未知数的项是否为一次项。 方法2　解释等式变形 ① 说清等式两边同时做了什么。 ② 同加减用性质1，同乘除用性质2。 针对训练 训练3　填空：补全等式变形 由，两边同加________，得________；由，两边同除以________，得________。 答：依次为、、、。 解 ，所以。 ，所以。 方法：选择与已有运算相反的运算。 注意：使系数变为一时要除以负3。 针对训练 训练4　填空：分数系数的处理 解方程时，两边可同乘________，得________。 答：同乘，得。 解 。 。 方法：两边同乘系数的倒数，使未知数系数为一。 注意：负数的倒数仍是负数。 方法总结 方法二　使未知数的系数变为一 方法1　整数系数 ① 两边同除以原来的非零系数。 ② 例如，两边同除以。 方法2　分数系数 ① 两边同乘这个非零系数的倒数。 ② 先确定倒数的符号，再做乘法。 针对训练 训练5　判断等式变形是否成立 （1）由，可以得到。 √ 两边同减。 （2）由，可以得到。 √ 两边同乘。 （3）由，总可以得到。 × 还必须有。 方法：检查两边运算是否相同与除法条件。 注意：涉及除法时，不能漏掉除数条件。 针对训练 训练6　纠错：负号不能遗漏 解方程时，小华写成，接着写。错误在哪里？请改正。 答：最后一步除以时符号错误；应得。 解 两边同减，得。 两边同除以：。 检验：。 方法：负数除以负数，结果为正数。 注意：保留系数的负号再计算。 方法总结 方法三　检查条件与符号 方法1　检查变形条件 ① 两边必须作相同运算。 ② 除数必须不为零。 方法2　检查有理数运算 ① 先判定乘除法结果的符号。 ② 代回原方程，可发现符号错误。 针对训练 训练7　解答：按逆运算逐步求解 利用等式性质解方程，并检验。 答：。 解 两边同加，得。 两边同乘，得。 检验：。 方法：先消去常数，再处理未知数的系数。 注意：本题每一步都说明两边同作的运算。 针对训练 训练8　解答：先合并同类项 利用等式性质解方程，并检验。 答：。 解 先合并与计算，得。 两边同除以，得。 检验：左边，右边。 方法：先把等式两边各自能计算的部分整理好。 注意：合并同类项不能把等号两边直接混合。 方法总结 方法四　合理安排求解步骤 方法1　先整理原式 ① 等式每一边分别合并同类项。 ② 已知数能计算的先计算。 方法2　再用等式性质 ① 先同加减，使一边只剩含未知数的项。 ② 再同乘除，使未知数的系数变成一。 针对训练 训练9　由已知的解确定系数 已知是方程的解，求的值。 答：。 解 代入，得。 两边同除以，得。 检验：。 方法：把已知的解代入后，把作为待求的数。 注意：原方程中的和待求的含义不同。 针对训练 训练10　先求未知数，再求式子的值 已知，求的值。 答：。 解 两边同减，得。 两边同除以，得。 代入：。 方法：先利用条件求出，再代入指定式子。 注意：最后回答的是式子的值，不是的值。 方法总结 方法五　由方程确定其他数量 方法1　已知解求系数 ① 把已知的解代入原方程。 ② 用等式性质确定剩下的未知数。 方法2　求代数式的值 ① 先解条件中给出的方程。 ② 再将得到的值代入目标式计算。 针对训练 训练11　探究：两种求法结果一致吗 对方程，小甲说两边同除以，小乙说两边同乘。哪一种做法正确？说明理由。 答：两种都正确，均得。 解 除以与乘结果相同。 两种运算都使左边的系数变为。 方法：同除一个非零数与同乘它的倒数效果相同。 注意：倒数连同负号一起保留。 针对训练 训练12　应用：购买练习本 老师买本相同的练习本，另买元的文具，共花元。每本练习本多少元？请列方程求解。 答：每本练习本元。 解 设单价元，得。 两边同减，再同除以，得。 检验：，符合题意。 方法：总金额＝练习本总价＋另购文具的钱。 注意：答案要写明单价及单位。 针对训练 训练13　应用：每分钟放出多少水 水箱原有升水，连续放水分钟后剩升。每分钟放水量相同，求每分钟放出多少升水。 答：每分钟放出升水。 解 设每分钟放升，得。 两边同减得，同除以得。 检验：，符合题意。 方法：原有水量－放出水量＝剩余水量。 注意：放出量是每分钟水量×时间。 方法总结 应用方法总结　列方程并依据性质求解 方法1　建立实际问题中的等式 ① 设所求量为未知数并注明单位。 ② 用总价或原有量与剩余量建立关系。 ③ 检查已知条件是否都用到。 方法2　求解后回到实际问题 ① 两边同作相同运算，说明变形依据。 ② 代回原方程，检查两边是否相等。 ③ 带单位作答，确认数值符合题意。 $