3.3 一元一次方程的应用（第1课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

第3章 一元一次方程 3.3 一元一次方程的应用 （第1课时）基本数量关系与工程问题 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 本课学习任务 寻找相等关系 从“比一个量的几分之几多或少”中找出相等关系。 理解工作量 用全部工作量表示为的方法处理工程问题。 完整表达 设未知数、列方程、求解、检验并作答。 复习引入 温故：解分数系数方程 解方程：。 答： 解 移项，得。 两边同乘，得。 方法：先分离未知数项，再化系数为。 注意：应用题中的方程也依据等式性质求解。 复习引入 把一句话表示成相等关系 比某数的一半多 “甲数比乙数的一半多”：甲数乙数。 比某数多几分之几 “甲数比乙数多”：甲数乙数乙数。 关键区别 前一句多的是，后一句多的是乙数的。 新知讲授 用方程解决实际问题的思路 读题与设数 明确要求什么；设未知数时写出数量名称与单位。 找关系与列式 把关键数量用同一未知数表示，利用相等关系列方程。 求解与回答 解方程后代回检验，再检查结果的单位与实际意义。 例题讲解 例 1 在年北京冬奥会上，中国队共获得了枚奖牌，比年至年历届冬奥会获得的奖牌总数的多枚。问：从年至年中国队获得的冬奥会奖牌总数是多少枚？ 答：奖牌总数是枚。 解 设奖牌总数为枚，列。 移项，得，所以。 方法：把“总数的七分之一多四枚”完整表示。 注意：所求的是历届总数。 新知讲授 数量 表示 例 1 在年北京冬奥会上，中国队共获得了枚奖牌，比年至年历届冬奥会获得的奖牌总数的多枚。问：从年至年中国队获得的冬奥会奖牌总数是多少枚？ 总数的再多枚 年北京冬奥会奖牌数 答： 题目说明这两个数量相等。 例题讲解 变式 变式：总量的几分之几多一些 仓库当天运出箱器材，比原有箱数的多箱。仓库原有多少箱器材？ 答：原有箱器材。 解 设原有箱，列。 整理，得，所以。 方法：原有总量乘分数后，再加固定数量。 注意：“多箱”不是多总数的。 方法总结 方法：分数倍与固定增减量 方法1　表示数量 ① 明确哪个量作为整体。 ② 先写整体的分数倍，再加减固定数。 方法2　检验关系 ① 用求得的总量计算分数倍。 ② 再加减固定数，看是否等于已知量。 例题讲解 例 2 已知轿车的速度是 km/h，轿车的速度比货车快，求货车的速度。 答：货车的速度是 km/h。 解 设货车速度为 km/h，列。 合并，得，所以。 方法：货车速度是比较基准，多出的量是货车速度的五分之一。 注意：“比货车快”以货车速度为基准。 新知讲授 例 2 ：原来的量加上多出的量 货车 轿车 每小段表示货车速度的五分之一 货车： 货车速度用表示。 多出的部分： 轿车比货车快。 轿车： 两部分合起来是 km/h。 例题讲解 辨析 辨析：为什么不能直接减去五分之一 例2中，有人算，认为货车速度是 km/h。错在哪里？ 答：把当成了比较基准；正确结果是 km/h。 解 多出的量应是货车速度的。 列，解得。 方法：先回答“是谁的五分之一”。 注意：两种速度的差不是。 例题讲解 变式 变式：价格的比较基准 一件文具现价元，比原价高。原价是多少元？ 答：原价是元。 解 设原价为元，列。 整理，得，所以。 方法：原价是基准，涨价金额为原价的五分之一。 注意：不要用现价直接减去现价的五分之一。 方法总结 方法：比一个量多或少几分之几 方法1　先确定基准 ① 看“比”后面的数量。 ② 多出或少掉的部分等于基准量乘分数。 方法2　再表示目标量 ① 比基准多：基准量加变化量。 ② 比基准少：基准量减变化量。 新知讲授 工程问题：把全部工作量看作一份 整体 全部工作量用表示，完成全部工作就是完成这一份。 每天完成 甲单独天完成，每天完成；乙单独天完成，每天完成。 时间与工作量 工作量等于每天完成的工作量乘工作的天数；合作时两队工作量相加。 例题讲解 例 3 为更好地完成某小区绿化带改造任务，甲、乙两个施工队合作施工。已知甲队单独施工天可以完成，乙队单独施工天可以完成。如果甲、乙两队合作施工天，余下的工作由乙队单独完成，那么乙队还需要施工多少天才可以完成任务？ 答：乙队还需要施工天。 解 设乙队还需天，列。 整理，得，所以。 方法：合作完成的工作量加乙队继续完成的工作量等于全部工作量。 注意：只表示乙队继续施工的天数。 新知讲授 施工队 每天完成 工作天数 工作量 甲队 乙队 例 3 为更好地完成某小区绿化带改造任务，甲、乙两个施工队合作施工。已知甲队单独施工天可以完成，乙队单独施工天可以完成。如果甲、乙两队合作施工天，余下的工作由乙队单独完成，那么乙队还需要施工多少天才可以完成任务？ 答： 乙队总共施工天。 新知讲授 例 3 ：用剩余工作量检验结果 合作完成 。 剩余工作 。 乙队继续 乙队每天完成，再做天恰好完成，和方程的解一致。 例题讲解 变式 变式：合作后由甲队继续 甲队独做一项工程需天，乙队独做需天。两队先合作天，再由甲队独做，甲队还需几天完成？ 答：甲队还需天。 解 设还需天，列。 合作完成，得，所以。 方法：先区分合作阶段与单独施工阶段。 注意：继续施工的是甲队，用甲队的效率。 方法总结 方法：分阶段计算工程量 方法1　分别表示阶段 ① 合作量等于两队效率和乘合作时间。 ② 独做量等于对应队的效率乘独做时间。 方法2　汇总成整体 ① 各阶段工作量相加等于。 ② 问“还需”时，未知数不含已用时间。 例题讲解 例 4 在本章章首语中的“以碗知僧”问题大意为：山上有一座古寺，在这座寺庙里，每个和尚合吃一碗饭，每个和尚合分一碗汤，一共用了只碗。问：寺里有多少个和尚？ 答：寺里有个和尚。 解 设寺里有个和尚，列。 合并，得，所以。 方法：人数除以每碗供几人，得到碗数。 注意：饭碗数与汤碗数相加。 新知讲授 用途 每碗供人数 碗数 吃饭 喝汤 例 4 在本章章首语中的“以碗知僧”问题大意为：山上有一座古寺，在这座寺庙里，每个和尚合吃一碗饭，每个和尚合分一碗汤，一共用了只碗。问：寺里有多少个和尚？ 答：饭碗只，汤碗只。 ，与总碗数相符。 新知讲授 例 4 ：乘法与除法的含义 观察一 ：把人每人分一组，得到饭碗数。 观察二 ：表示的倍，不能表示每人一碗的碗数。 先说清单位：人数÷每碗供人数＝碗数。 课堂练习 练习1 少年宫合唱队有人，比舞蹈队人数多。舞蹈队有多少人？ 答：舞蹈队有人。 解 设舞蹈队有人，列。 合并得，所以。 方法：舞蹈队人数是基准量。 注意：多出的是舞蹈队人数的三分之一。 课堂练习 练习2 图书角有一些科普书和文艺书，其中文艺书有本，如果从图书角拿走本科普书，那么文艺书的本数是剩下的科普书的。图书角原有科普书多少本？ 答：原有科普书本。 解 设原有科普书本，列。 解得，所以。 方法：先表示剩余科普书，再表示它的一半。 注意：比较的是拿走之后的科普书。 课堂练习 练习3 小华的妈妈买了一些每枝元的玫瑰，又买了一个元的花瓶，付出元找回元。小华的妈妈买了多少枝玫瑰？ 答：买了枝玫瑰。 解 设买了枝玫瑰，列。 整理，得，所以。 方法：商品总价等于付出的钱减去找回的钱。 注意：元不是实际花费。 课堂练习 练习4 甲、乙两个工程队修一条公路，甲队单独做需要天完成，乙队单独做需要天完成。如果甲、乙两队先合作天，剩下的由甲队单独完成，那么甲队还需要做几天才可以修完这条公路？ 答：甲队还需要做天。 解 设甲队还需天，列。 合作完成，得，所以。 方法：合作阶段和甲队独做阶段分别表示。 注意：甲队一共做了天，还需做的是天。 课堂总结 实际问题 列方程 设未知数 明确所求数量及单位。 找等量关系 基准与增减、总价与找零、部分与整体。 列式求解 分数关系认基准；工程总量可记为。 检验作答 代回关系，核对单位与实际意义。 特别提醒：分清原来与剩余、还需与总共、人数与组数。 针对训练 训练1　选择：列出合适方程 甲队有人，比乙队人数多。设乙队有人，正确方程是（　）。 A. B. C. D. 答：B 解 乙队为基准，多出的人数为。 所以。 方法：“比乙队多”就以乙队人数为基准。 注意：不能把多出的人数写成。 针对训练 训练2　填空：两队合作完成多少 甲独做一项任务需天，乙独做需天，两队合作天完成全部任务的________。 答： 解 两队每天合做。 天完成。 方法：先求每天完成的份数，再乘时间。 注意：不可直接把天与天相加。 方法总结 方法：两种“分数”的含义 方法1　数量比较中的分数 ① 表示基准量的几分之几。 ② 必须先找基准量。 方法2　工程中的分数 ① 用整体表示全部工程。 ② 单独完成天数的倒数表示每天完成量。 针对训练 训练3　判断与改正 （1）每人一组，人可分为组。 √ 总人数除以每组人数，得到组数。 （2）甲天完成工程，所以甲每天完成全部工程的倍。 × 甲每天完成全部工程的。 （3）甲比乙少，设乙为，则甲为。 √ “比乙少”的基准是乙。 方法：结合数量与单位说明式子的含义。 注意：天数、每天工作量不能混淆。 针对训练 训练4　改错：比一个量少四分之一 合唱队有人，比舞蹈队少。小明算，说舞蹈队有人。请改正。 答：舞蹈队有人。 解 设舞蹈队有人，列。 整理，得，所以。 方法：先确定基准是舞蹈队。 注意：结果应大于合唱队的人。 方法总结 方法：用实际意义发现错误 方法1　大小关系检查 ① 多于基准的数量应更大。 ② 少于基准的数量应更小。 方法2　单位关系检查 ① 人数除以每组人数得到组数。 ② 效率乘时间得到工作量。 针对训练 训练5　解答：从运出量求原有量 仓库运出箱物资，比原有箱数的多箱。原有多少箱？ 答：原有箱。 解 设原有箱，列。 移项，得，所以。 方法：把“原有箱数的四分之一”先表示出来。 注意：多箱是在分数倍之外再加。 针对训练 训练6　解答：购书与找零 小宁买了若干本每本元的书和一支元的笔，付出元，找回元。买了几本书？ 答：买了本书。 解 设买了本书，列。 整理，得，所以。 方法：用商品总价等于实际付款列方程。 注意：实际付款是元。 方法总结 方法：关系语句与购物关系 方法1　关系语句 ① 先写分数倍或增减量。 ② 把已知数量与含未知数式子相等。 方法2　购物关系 ① 各商品总价相加。 ② 商品总价等于付款减找零。 针对训练 训练7　解答：换一个队继续施工 甲队独做需天完成，乙队独做需天完成。先合作天，余下由乙队独做，乙队还需几天？ 答：乙队还需天。 解 设还需天，列。 合作完成，所以。 方法：按合作与独做两阶段表示工作量。 注意：继续施工的是乙队，效率为。 针对训练 训练8　解答：分组器材的总数 实验班学生每人共用一个托盘，每人共用一套量杯，共用了件器材。这个实验班有多少名学生？ 答：有名学生。 解 设有名学生，列。 两边同乘，得，所以。 方法：先按每组人数求两种器材的数量。 注意：检验：个托盘加套量杯共件。 方法总结 方法：工程与分组各找同一单位 方法1　工程问题 ① 各部分都用全部工作的几分之几表示。 ② 工作量相加等于。 方法2　分组问题 ① 把总人数除以每组人数。 ② 所得器材数量按总数或差建立等式。 针对训练 训练9　解答：从实际量求计划量 工坊实际制作了件作品，比原计划多。原计划制作多少件？ 答：原计划制作件。 解 设原计划件，列。 整理，得，所以。 方法：以原计划为基准，实际量等于原计划加超出量。 注意：多出的作品有件，恰为计划的五分之一。 针对训练 训练10　填空：已完成的工作量 甲独做需天，乙独做需天。两队合作天后，甲再独做天，共完成全部工程的多少？ 答：完成全部工程的。 解 合作完成。 甲再完成，合计。 方法：先算各阶段工作量，再相加。 注意：总共只完成部分工程，不能直接令其等于。 方法总结 方法：列方程前先把条件算清 方法1　区分计划与实际 ① 同一基准下表示增加或减少的部分。 ② 以原计划为未知数时，实际量要另写式子。 方法2　区分部分与全部 ① 把已完成工作量分阶段计算。 ② 只有完工时，各部分总量才等于。 针对训练 训练11　应用：先独做再合作 甲队独做一项工程需天，乙队独做需天。甲队先独做天，再由两队合作，还需几天才能完成？ 答：还需合作天。 解 设还需合作天，列。 整理，得，所以。 方法：独做与合作顺序改变，仍按阶段累计工作量。 注意：未知数表示后续合作时间。 针对训练 训练12　应用：用器材数量差求人数 实验活动中，每名学生共用一个托盘，每名学生共用一套量杯，托盘比量杯多个。共有多少名学生？两种器材各有多少？ 答：有名学生；托盘个，量杯套。 解 设有名学生，列。 解得，故托盘个、量杯套。 方法：分别表示两类器材，再用它们的数量差列式。 注意：回答人数后，还要回答两类器材数量。 方法总结 方法：应用题的完整表达 方法1　建模与求解 ① 设未知数并写清单位。 ② 找相等关系，列方程并求解。 方法2　检验与作答 ① 检查每一条数量关系和实际意义。 ② 按题目所问逐项回答，单位不遗漏。 $