专题05 一元二次方程的根与系数的关系讲义（6大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题05 一元二次方程的根与系数的关系 题型01 利用根与系数的关系直接求值 题型02 利用根与系数的关系求参数 题型03 利用根与系数的关系求代数式的值 题型04 利用根与系数的关系求另一根 题型05 根据根的情况求参数 题型06 新定义问题 ▌题型01 利用根与系数的关系直接求值 【典例1】若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【变式1-1】下列一元二次方程两实数根的和为2的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【变式1-3】已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 ▌题型02 利用根与系数的关系求参数 【典例1】已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【变式1-1】若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 【变式1-2】关于x的方程的两个根是和1，则的值为_________． 【变式1-3】有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． ▌题型03 利用根与系数的关系求代数式的值 【典例1】已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 【变式1-1】已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知方程的两根分别为，，则的值为___________． 【变式1-3】已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． ▌题型04 利用根与系数的关系求另一根 【典例1】已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【变式1-1】关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【变式1-3】已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根． ▌题型05 根据根的情况求参数 【典例1】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【变式1-1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【变式1-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【变式1-3】已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． ▌题型06 新定义问题 【典例1】我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： (1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 【变式1-1】定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【变式1-2】【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【变式1-3】对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程的根与系数的关系 题型01 利用根与系数的关系直接求值 题型02 利用根与系数的关系求参数 题型03 利用根与系数的关系求代数式的值 题型04 利用根与系数的关系求另一根 题型05 根据根的情况求参数 题型06 新定义问题 ▌题型01 利用根与系数的关系直接求值 【典例1】若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之积即可. 【详解】解：∵方程中，，， ∴由根与系数的关系得. 【变式1-1】下列一元二次方程两实数根的和为2的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需同时满足有两实数根、两根和为2，结合根与系数的关系及判别式判断； 【详解】解：A选项：方程，两根和为，不符合； B选项：方程，两根和为，，有两个实数根，符合； C选项：方程，，无实数根，不符合； D选项：方程，两根和为，不符合． 【变式1-2】若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 【变式1-3】已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． ▌题型02 利用根与系数的关系求参数 【典例1】已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 【变式1-1】若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， 当时，， ∴方程有2个相等的实数根，满足题意． 【变式1-2】关于x的方程的两个根是和1，则的值为_________． 【答案】16 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（一元二次方程的两根之和为，两根之积为）求出和的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵关于的方程的两个根是和， 可得，， 解得，， 将，代入， 得． 【变式1-3】有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；1 (2) (3)3 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． ▌题型03 利用根与系数的关系求代数式的值 【典例1】已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，利用根与系数的关系得到，将所求代数式拆分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得， ∴． 【变式1-1】已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 【变式1-2】已知方程的两根分别为，，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，将所求式子通过平方差公式变形，代入求解即可． 【详解】解∶∵方程的两根分别为，， ∴， ∴． 【变式1-3】已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)3； (2)． 【分析】（1）根据根与系数的关系可得，，将所求代数式进行通分，再代入计算即可； （2）利用 ，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即： ； （2）解： ． ▌题型04 利用根与系数的关系求另一根 【典例1】已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 【变式1-1】关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】2 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，两根乘积为常数项与二次项系数的比值，代入已知根即可计算另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得， ∵， ∴， 解得． 【变式1-3】已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根． 【答案】(1) (2)a的值是2，方程的另一个根是3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知，求出不等式的解集即可； （2）将方程的解代入原方程求出a的值，再根据一元二次方程根与系数的关系求出另一个根． 【详解】（1）解：∵，即， ∴． ∵方程总有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：设方程的两个根分别为， 将代入，得， 解得； ∵方程的两个根分别为，且， ∴， ∴， 即a的值是2，方程的另一个根是3． ▌题型05 根据根的情况求参数 【典例1】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：方程的两个实数根为，， ，， ， ， ， 解得． 【变式1-1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为 (2)或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 【变式1-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造不等式，并求解即可； （2）设方程的两根为、，且，由根与系数的关系可得，解得，，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即，符合． 【变式1-3】已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：一元二次方程化为一般形式为， ， 该方程有两个不相等的实数根； (2) (3) 【分析】（1）由根的判别式计算即可证明； （2）将已知的方程根代入方程后可求得的值，再根据根与系数的关系得到的值，进而可得另一个根； （3）方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得到，，再根据两个根的取值范围得到，然后解不等式即可． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程得，，解得， 此方程为， ， 另一根为； （3）解：设方程的两个实数根为，， ，， 方程的一个根大于，另一个根小于， ， ， ，解得． ▌题型06 新定义问题 【典例1】我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： (1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 【答案】(1) (2) 满足条件的一个的值为（答案不唯一，也符合要求） 【分析】 （1）先对原方程因式分解得到两根，再根据特征数对的定义列出关于的方程组，求解得到符合条件的； （2）先求出方程的特征数对，再根据“关联全整根方程”的定义得到与的关系，结合方程是全整根方程的条件，找出满足所有要求的即可. 【详解】（1）解：， ， 解得方程的两个根为和， 特征数对为， ， 由得， 当时，，符合条件， 当时，，舍去， 故； （2）解：对方程：， ， 解得方程的两根为和， ∴方程的特征数对：，， 对于方程：， 由根与系数的关系得，， ，， ∴， ∵两个方程互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设方程两根为（为正整数），则，， 代入得， ∴， 将分解为两个大于1的正整数乘积，得： ， ∴或； ∴一个满足条件的为或12. 【变式1-1】定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【答案】(1)两条对角线的长分别为和 (2)对角线的长为 (3)的值为 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【详解】（1）解将代入方程： ， 化简： ， 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和． （2）解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ， 令： ， ， ， 解得（满足）， 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6． （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ， 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入： ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为． 【变式1-3】对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【答案】(1)和 (2)代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． (3)正整数的值为 【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $