第3讲 一元二次方程应用 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版九年级数学上册

第3讲 一元二次方程应用 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 能列一元二次方程解决单循环、双循环比赛问题 掌握传播问题、增长率问题的建模方法 能解决商品销售利润问题 掌握图形面积问题的建模 能解决数字问题和动态几何问题 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.循环与传播问题 单循环：n个队比赛n(n-1)/2场 双循环：n个队比赛n(n-1)场 传播问题：每轮每人传染x人，两轮后(1+x)² 关键：找等量关系列方程 概念辨析例题：概念辨析：流感两轮传染后64人患病，每轮传染几人？ 解析：(1+x)²=64，1+x=8，x=7。第三轮后64×8=512人。 ☆ 2.增长率问题 平均增长率：a(1+x)²=b 平均降低率：a(1-x)²=b 连续两次增长或降低 解出后要根据实际意义取舍 概念辨析例题：概念辨析：药品40元两次降价后25.6元，求降价率 解析：40(1-x)²=25.6，(1-x)²=0.64，1-x=0.8，x=0.2=20%。 ☆ 3.销售利润问题 利润=每件利润×销售量 每件利润=售价-进价 涨价则销量减少，降价则销量增加 注意根据题意取舍解 概念辨析例题：概念辨析：进价40元售价60元，每天卖100kg，每降1元多卖10kg，获利2240元，定价多少？ 解析：设降x元：(60-40-x)(100+10x)=2240，(20-x)(100+10x)=2240，解得x=6或x=4，要销量大则降6元，定价54元。 ☆ 4.面积与动态几何问题 矩形面积=长×宽 靠墙问题注意一边不用围 动态问题用时间或速度表示线段长度 根据面积或勾股定理列方程 概念辨析例题：概念辨析：靠墙围矩形花圃，篱笆20m，面积48m²，求边长 解析：设AD=x（垂直墙），则平行墙边长20-2x，x(20-2x)=48，解得x=6或8，结合墙长取舍。 📋 知识总结表 题型 等量关系 典型方程 单循环 n(n-1)/2=场数 n(n-1)=2场数 双循环 n(n-1)=场数 n(n-1)=场数 传播 (1+x)²=总数 两轮传播 增长率 a(1±x)²=b 连续两次 销售利润 (售价-进价)×销量=利润 注意取舍 面积 长×宽=面积 靠墙减一边 【考点1】单循环问题（第1-4题） 单循环比赛场数=n(n-1)/2 握手问题同单循环模型 1．（2025秋•北京校级月考）n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，依题意可列方程为　　 ． 【分析】根据单循环公式列方程即可； 【解答】解：根据单循环公式列方程可得： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用—单循环应用，根据公式准确列方程是解题的关键． 2．（2024春•黎川县期中）一组学生在校门口拍一张合影，已知冲一张底片需要0.6元，洗一张照片需要0.4元，每人都得到一张照片，每人平均分摊的钱不超过0.5元，那么参加合影的同学至少有 　6　 人． 【分析】根据题意表示冲洗照片所需的费用，进而得出不等关系求出答案． 【解答】解：设参加合影的同学有x人，根据题意可得： 0.6+0.4x≤0.5x， 解得：x≥6， 故参加合影的同学至少有6人． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键． 3．（2025•开州区校级模拟）某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛，若设共有x支队伍参加比赛，则可列方程为　36　 ． 【分析】设共有x支队伍参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛球队数量×（参赛球队数量﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：依题意得：36， 故答案为：36． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2025秋•大荔县期中）有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有x个人，则根据题意可列方程为　x（x﹣1）＝15　 ． 【分析】诸侯共有x人，则每人行礼（x﹣1）次，又每两人都相互行礼一次，故x（x﹣1）人共行礼次，由此列一元二次方程． 【解答】解：根据题意得x（x﹣1）＝15． 故选：x（x﹣1）＝15． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点2】双循环问题（第5-8题） 双循环比赛场数=n(n-1) 主客场制即双循环 5．（2025秋•青山区校级月考）九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x名学生，则列出的方程化为一般式为x2﹣x﹣132＝0　 ． 【分析】设全班有x人．根据互赠卡片一张，则x人共赠卡片x（x﹣1）张，列方程即可． 【解答】解：根据题意得， x（x﹣1）＝132，即x2﹣x﹣132＝0， 故答案为：x2﹣x﹣132＝0． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．理解题意列出方程是关键． 6．有n个同学相约一起观看卡塔尔世界杯决赛，并把猜想的分数通过微信发给其他同学．已知这n个同学互发信息共90条，则n的值为 　10　 ． 【分析】一共有n名同学，由于每两名同学之间互发一次信息，那么每一名同学都需给（n﹣1）名同学发一次信息，进而得出总次数，由此列出方程并解答． 【解答】解：根据题意，得n（n﹣1）＝90． 解得n1＝10，n2＝﹣9（舍去）． 即：n的值是10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 7．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在黑龙江哈尔滨举行．在亚冬会到来之际，某校组织了一次旱地冰球比赛，比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），共进行了30场比赛．设该校有x个队参赛，则根据题意可列方程为x（x﹣1）＝30　 ． 【分析】赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程． 【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，由题意得： x（x﹣1）＝30， 故答案为：x（x﹣1）＝30． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（2025秋•硚口区月考）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为x（x﹣1）＝90　 ． 【分析】根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【解答】解：由题意得x（x﹣1）＝90． 故答案为：x（x﹣1）＝90． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 【考点3】传播问题（第9-11题） 每轮传染x人，两轮后(1+x)² 注意初始1人患病 9．（2026•思明区校级模拟）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 【分析】由“每轮传染中平均一个人传染了x个人”，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染后共有225人感染”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2025秋•武汉校级月考）（1）某一个人患了流感，经过两轮传染后共有64个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则列方程是　1+x+x（1+x）＝64　 （不要求化成一般式）． （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，则每个支干长出　8　 个小分支． （3）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+30t．飞机着陆后滑行　150　 m才能停下来． 【分析】（1）根据题意可得，每轮传染中平均一个人传染了x个人，经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为64人，依此列出一元二次方程即可； （2）设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案； （3）要求飞机从滑行到停止的路程就是求出函数的最大值即可． 【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意得1+x+x（1+x）＝64， 故答案为：1+x+x（1+x）＝64； （2）设每个支干长出x根小分支， 根据题意得1+x+x2＝73， 解得x＝﹣9（不符合题意，舍去）或x＝8， ∴每个支干长出8根小分支， 故答案是：8； （3）∵s＝﹣1.5t2+30t＝﹣1.5（t﹣10）2+150， ∵﹣1.5＜0， ∴当t＝10时，该函数有最大值150． ∴飞机着陆后滑行150m才能停下来． 故答案为：150． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确地理解题意是解题的关键． 11．我们知道，“传销”能扰乱一个地区正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，你了解传销吗？某非法传销组织头目一人可发展若干数目的下线成员，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，一个传销组织头目经过两轮发展后，非法传销组织成员共有421人，问在每轮发展中平均一个成员发展下线多少人？ 【分析】设在每轮发展中平均一个成员发展下线x人，根据一个传销组织头目经过两轮发展后，非法传销组织成员共有421人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设在每轮发展中平均一个成员发展下线x人， 根据题意得：1+x+x2＝421， 解得：x＝20或x＝﹣21（舍去）． 答：在每轮发展中平均一个成员发展下线20人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 【考点4】增长率问题（第12-17题） a(1+x)²=b求增长率 降低率用a(1-x)²=b 根据实际意义取舍 12．（2025秋•黄浦区期末）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（　　） A．100（1+x）2＝484 B．100（1+x）3＝484 C．（1+x）+100（1+x）2＝484 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝484 【分析】根据每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元，则八月份产值为100（1+x），九月份产值为100（1+x）2，然后已知第三季度的总产值，列方程即可． 【解答】解：每个月产值的平均增长率为x，由题意得， 100[1+（1+x）+（1+x）2]＝484， 故选：D． 【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 13．（2025秋•宝安区期中）电影《731》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3（1+x）+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10 【分析】根据第一天的票房及平均每天票房的增长率，可得出第二、三天的票房，再结合三天累计票房9.63亿元，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵第一天票房约为3亿元，且平均每天票房的增长率为x， ∴第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元． 根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．（2025秋•邳州市期中）2025年，一场集结江苏省13座城市的足球联赛火爆全网．徐州市6月份作为主场城市在比赛期间接待游客数约21万人次，随着苏超热度席卷全国，到8月份徐州市在主场比赛期间接待游客数已增长到约49.77万人次，求徐州市平均每月主场比赛期间接待游客数的增长率．设徐州市平均每月主场比赛接待游客数增长率为x，可列方程得　21（1+x）2＝49.77　 ． 【分析】利用徐州市8月份作为主场城市在比赛期间接待游客数＝徐州市6月份作为主场城市在比赛期间接待游客数×（1+徐州市平均每月主场比赛期间接待游客数的增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：21（1+x）2＝49.77． 故答案为：21（1+x）2＝49.77． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．容积为10升的瓶中装满了纯酒精，第一次倒出a升后，用水加满，第二次又倒出a升混合后的溶液，再用水加满，这时瓶中有纯酒精 　（a2﹣2a+10）　 升． 【分析】根据题意表示出第一次加水后酒精的浓度，进而表示出第二次倒出的纯酒精的升数，即可表示出剩余的纯酒精升数． 【解答】解：根据题意得：10﹣a﹣a•10﹣a10﹣a﹣aa2＝（a2﹣2a+10）升， 则这时瓶中有酒精（a2﹣2a+10）升． 故答案为：（a2﹣2a+10）． 【点评】本题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键． 16．（2025秋•榆林校级期末）某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意，可以列方程为　144（1﹣x）2＝100　 ． 【分析】根据连续两次降价的比例关系列出方程． 【解答】解：根据题意，第二次降价后售价为100元，因此可得方程144（1﹣x）2＝100， 故答案为：144（1﹣x）2＝100． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 17．（2025秋•汕头校级期末）某起重机厂四月份生产A型起重机25台，B型起重机若干台．从五月份起，A型起重机月增长率相同，B型起重机每月增加3台．已知五月份生产的A型起重机是B型起重机的2倍，六月份A、B型起重机共生产54台．求四月份生产B型起重机的台数和从五月份起A型起重机的月增长率． 【分析】设四月份生产B型起重机x台，从五月份起A型起重机的月增长率为y，根据题目中的等量关系列出方程组求解即可． 【解答】解：设四月份生产B型起重机x台，从五月份起A型起重机的月增长率为y， 根据题意，可列方程组， ， 解得：x＝12，y＝0.2， 答：四月份生产B型起重机12台，从五月份起A型起重机的月增长率为20%． 【点评】本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系． 【考点5】商品销售问题（第18-21题） 每件利润×销量=总利润 涨价少卖、降价多卖 根据优惠条件取舍解 18．（2025秋•青山区期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到5250元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论； （3）设利润为w，则w＝﹣10（y﹣55）2+6250，根据二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：200（1+x）2＝288， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为400个，售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：（y﹣30）[400﹣10（y﹣40）]＝5250， 整理，得：y2﹣110y+2925＝0， 解得：y1＝65（不合题意，舍去），y2＝45， 答：该品牌头盔的实际售价应定为45元； （3）设利润为w，则w＝（y﹣30）[400﹣10（y﹣40）] ＝﹣10y2+1100y﹣24000 ＝﹣10（y﹣55）2+6250， ∴当y＝55时，w最大，最大利润为6250元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程或二次函数解析式． 19．（2024秋•沅江市校级期中）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间将接待游客达28.8万人次． （1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率； （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．列出方程求解即可； （2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可． 【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得： 20（1+x）2＝28.8， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）． 答：年平均增长率为20%； （2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得： （y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300， 整理得：y2﹣41y+420＝0， 解得：y1＝20，y2＝21． ∵让顾客获得最大优惠， ∴y＝20． 答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 20．（2025秋•黄梅县月考）根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆． 素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． 问题解决 任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【分析】任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，再根据1月份和3月份的销售量建立方程求解即可； 任务2：设每辆汽车的售价下调y万元．则每辆汽车的销售利润为（10﹣y）万元，平均每周可售出（8+2y）辆，再根据总利润等于每辆汽车的利润乘以销售量列出方程求解即可． 【解答】解：任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意列一元二次方程得，3（1+x）2＝5.07， 整理得，3x2+6x﹣2.07＝0， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%； 任务2：设每辆汽车的售价下调y万元．则每辆汽车的销售利润为（10﹣y）万元，平均每周可售出（8+2y）辆， 根据题意列一元二次方程得，（10﹣y）（8+2y）＝96， 整理得y2﹣6y+8＝0﹣3x+1＝5． 解得：y1＝2，y2＝4， 又∵此次销售尽量让利于顾客， ∴y＝4，此时，每辆汽车的售价为25﹣4＝21万元． 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． 21．（2024春•瑶海区期末）农历五月初五端午节是中华民族传统的节日，这一天人们通过龙舟竞渡、吃粽子、喝雄黄酒等风俗，来纪念爱国诗人屈原．城郊的盼盼食品加工厂计划在端午节前用21天的时间生产袋装粽子进行销售，已知每袋粽子需要0.3斤馅料和0.5斤糯米，而工厂设备每天能生产馅料450斤或者糯米300斤，但因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种． （1）若这21天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？ （2）为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在10天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．工厂按售价25元销售了2天，余下8天进行降价促销，第10天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利40500元，则工厂促销时每袋应降价多少元？ 【分析】（1）设总共生产这种粽子a袋，根据这21天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设工厂促销时每袋应降价x元，根据最终获利40500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设总共生产这种粽子a袋， 由题意得：21， 解得：a＝9000， 答：总共生产这种粽子9000袋； （2）设工厂促销时每袋应降价x元， 由题意可知，前10天的利润为：225×2×（25﹣13）+8（25﹣13﹣x）（225x）， 第10天结束后工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市的利润：（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]， 由题意得：225×2×（25﹣13）+8（25﹣13﹣x）（225x）+（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]＝40500， 解得：x1＝4，x2＝0（不符合题意，舍去）， 答：工厂促销时每袋应降价4元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【考点6】图形面积问题（第22-28题） 画图标注边长 靠墙问题注意门和墙长 面积=长×宽列方程 22．（2024秋•东营区期末）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为（　　）m A．1 B．2 C．3 D．12 【分析】设小路的宽为x米，根据图形得出花坛的长和宽，利用面积列方程求解即可得到答案． 【解答】解：设小路的宽为x米，则花坛的边长为（16﹣2x）米，（12﹣2x）米． 由题意可得，（12﹣2x）（16﹣2x）16×12， 解得x2＝12（不符合题意舍去），x1＝2， 答：小路宽为2m， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确地理解题意列出方程是解题的关键． 23．（2022•浦江县模拟）取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图）．并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计）．这张长方形纸板的长为多少厘米？（　　） A．24cm B．30cm C．32cm D．36cm 【分析】设这张长方形纸板的长为5x厘米，宽为2x厘米，根据包装盒的容积为200cm3，得5（5x﹣10）•（2x﹣10）＝200，解方程即可． 【解答】解：设这张长方形纸板的长为5x厘米，宽为2x厘米， 根据题意，得5（5x﹣10）•（2x﹣10）＝200， 解方程，得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝6， ∴这张长方形纸板的长为30厘米， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键． 24．（2024秋•岳塘区校级月考）小亮爸爸是一个养花爱好者．如图，他爸爸想要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆将长方形ABCD分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃ABCD，那么AD的长为（　　）米． A．3 B．6 C．3或6 D．4或6 【分析】设花圃的长AD为x米，用总长减去三个宽即为AB的长，则AB＝（27﹣3x）米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可． 【解答】解：设花圃的长AD为x米，则AB＝（27﹣3x）米， ∴x（27﹣3x）＝54， 解得：x1＝3，x2＝6， 当x1＝3时，27﹣3x＝18，不符合题意， 当x2＝6时，27﹣3x＝9，符合题意， 答：AD的长应为6米， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，表示出AD、AB的长，再找出题目中的等量关系是解决此题的关键． 25．（2026秋•建邺区校级同步）某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m）现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花．若改造后观花道的面积为13m2，求x的值． 【分析】根据改造后观花道的面积＝矩形的面积减去两个空白部分三角形的面积，结合改造后观花道的面积为13m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：由题意得：6×8﹣2（6﹣x）（8﹣x）＝13， 整理得：x2﹣14x+13＝0， 解得：x1＝1，x2＝13（不符合题意，舍去）， 答：x的值为1． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用以及三角形面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．（2025秋•沛县期末）如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏，已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 【分析】设宽为xm，则长为（20﹣2x）m，然后根据长方形的面积公式列出方程，求出x的值，再根据已知条件，把不合题意的解舍去，即可得出围成矩形的长和宽． 【解答】解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m． 由题意，得 x•（20﹣2x）＝48， 解得 x1＝4，x2＝6． 当x＝4时，长为20﹣2×4＝12＞9（舍去）， 当x＝6时，长为20﹣2×6＝8（m）． 答：围成矩形的长为8m、宽为6m． 【点评】此题是利用一元二次方程解决实际问题，解题关键是找到关键描述语，从而找到等量关系准确地列出方程． 27．（2025秋•沛县期末）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m． 根据题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝640． 解得x1＝16，x2＝20． 当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40； 当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32． 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈； （2）不能，理由如下： 由题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝650． 整理得，x2﹣36x+325＝0． ∵Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 28．（2025秋•东台市期中）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0（x＞0）为例，构造方法如下： 第一步：将原方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）变形为x（x+2）＝35（x＞0）； 第二步：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．第三步：得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 B ． A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程x2+x﹣6＝0（x＞0），请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程x2+x﹣6＝0（x＞0）变形为x（ x+1　 ）＝6； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为 　1　 ． 【分析】理解：观察构造图形的方法判断即可； 实践：x2+x﹣6＝0可变形为x（x+1）＝6；仿照[学习研究]可知，画四个长为x+1，宽为x的全等矩形构造“空心”大正方形；再根据[学习研究]的方法写出解答过程即可； 应用：根据矩形的面积为3，知x（x+a）＝3，得b＝3；而中间围成的正方形边长2，可知a＝2，再仿照[学习研究]的方法可解得方程的正根． 【解答】解：理解：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想； 故选：B； 实践：第一步：将原方程x2+x﹣6＝0变形为x（x+1）＝6； 第二步：画四个长为x+1，宽为x的全等矩形构造“空心”大正方形； 如图： 大正方形的面积可表示为（x+x+1）2，也可表示为4x（x+1）+12＝4×6+1， ∴（x+x+1）2＝4×6+1， ∵x表示边长，x＞0， ∴2x+1＝5， ∴x＝2． 应用：如图： ∵x2+ax＝b， ∴x（x+a）＝b， ∵矩形的面积为3， ∴x（x+a）＝3， ∴b＝3． ∵中间围成的正方形面积为4， ∴边长为2． ∴a＝2． ∵（x+x+2）2＝4×3+4，x表示边长， ∴2x+2＝4． ∴x＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，理解用几何方法解一元二次方程的过程． 【考点7】数字问题（第29-32题） 两位数=十位×10+个位 用未知数表示数位 29．（2023秋•文昌校级期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（　　） A．25 B．36 C．25或36 D．﹣25或﹣36 【分析】可设这个数的个位数为x，那么十位数字应该是x﹣3，由一个两位数等于它的个位数的平方，列出一元二次方程求解． 【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，那么十位数字应该是x﹣3， 由题意得10（x﹣3）+x＝x2， 解得x1＝5，x2＝6； 那么这个两位数就应该是25或36． 故选：C． 【点评】本题要注意两位数的表示方法，然后根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 30．（2026•遂宁一模）如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出2×3个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（　　） A．x（x+9）＝190 B．x（x﹣8）＝190 C．（x+9）（x﹣9）＝190 D．x（x﹣9）＝190 【分析】由题意可知最小数为x﹣9，然后可列出方程进行求解． 【解答】解：由题意知，最小数为（x﹣7）﹣2＝x﹣9，则由“最小数与最大数x的积为190”得到：x（x﹣9）＝190． 故选：D． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意． 31．根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： （1）两个连续奇数的积等于323，求这两个连续奇数各是多少？ （2）一个长方形的周长是30cm，面积是54cm2，求这个长方形的长与宽． （3）一个正的两位数，个位数字比十位数字大2，个位数字与十位数字的积是24，则这个两位数是多少？ 【分析】（1）设较小的奇数为m，构建方程求解即可； （2）设这个长方形的长是mcm，构建方程求解即可； （3）设这个两位数的十位数字为m，构建方程求解即可； 【解答】解：（1）设较小的奇数为m，则m（m+2）＝323， 一般形式为m2+2m﹣323＝0． （2）设这个长方形的长是mcm，则m（15﹣m）＝54， 一般形式为m2﹣15m+54＝0． （3）设这个两位数的十位数字为m，则m（m+2）＝24， 一般形式为m2+2m﹣24＝0． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是学会利用未知数，构建方程解决问题． 32．（2024春•秦安县校级月考）一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【分析】设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，列出二元一次方程组．解方程组即可． 【解答】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得，， 解得：， 答：原来的两位数为42． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【考点8】动态几何问题（第33-36题） 用时间表示线段长度 根据面积或勾股列方程 33．（2023秋•铜梁区校级月考）如图，∠BOC＝60°，A是BO的延长线上一点，OA＝10cm，动点P从点A出发，沿AB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以2cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时，移动的时间是 　2或10　 s． 【分析】根据△OPQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，或点P在BO上． 【解答】解：当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形； 如图1所示： ∵PO＝AO﹣AP＝10﹣3t，OQ＝2t， ∴当PO＝QO时， 10﹣3t＝2t， 解得t＝2； 当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形； 如图2所示： ∵PO＝AP﹣AO＝3t﹣10，OQ＝2t； ∴当PO＝QO时，3t﹣10＝2t； 解得t＝10； 故答案为：2或10． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质；由等腰三角形的性质得出方程是解决问题的关键，注意分类讨论． 34．（2016秋•金平区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别是从A、B同时出发， （1）那么几秒后，△PBQ的面积等于9平方厘米？ （2）那么几秒后，点P与点Q之间的距离可能为5厘米吗？说明理由． （3）那么几秒后，五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？ 【分析】（1）设xs后，△PBQ的面积等于9cm2，根据，列方程求解可得； （2）由PB2+BQ2＝PQ2得（6﹣x）2+（2x）2＝52，即可判断； （3）由S五边形APQCD＝S矩形ABCD﹣S△PBQ＝AB•BCPB•BQ＝72﹣6x+x2＝（x﹣3）2+63，即可得答案． 【解答】解：（1）设xs后，△PBQ的面积等于9cm2， 此时，AP＝xcm，PB＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm． 由，得 ． 解得 x1＝x2＝3． 答：3秒后，△PBQ的面积等于9平方厘米； （2）点P与点Q之间的距离不可能为5厘米． 由PB2+BQ2＝PQ2得（6﹣x）2+（2x）2＝52， 整理，得 5x2﹣12x+11＝0， 容易判断此方程无实数根． 答：点P与点Q之间的距离不可能为5厘米； （3）由S五边形APQCD＝S矩形ABCD﹣S△PBQ ＝AB•BCPB•BQ ＝6×12（6﹣x）•2x ＝72﹣6x+x2 ＝（x﹣3）2+63， ∵（x﹣3）2≥0， ∴当x﹣3＝0时，即（x﹣3）2的值为0时是最小值， ∴当x＝3时，（x﹣3）2+63有最小值，此时为63． 答：3秒后，五边形APQCD的面积最小，最小值是63cm2． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据三角形的面积、勾股定理、五边形的面积列出方程或函数解析式是解题的关键． 35．（2025春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S． （1）用含t的代数式表示CD＝tcm ；CE＝　（8﹣2t）cm ； （2）点D运动至何处时，？ （3）点D运动过程中，S△CDE的最大值是多少？ 【分析】（1）根据点D和点E的运动路径和运动速度即可得到答案； （2）求出S＝3cm2，由CD＝t，则BE＝2t，CE＝8﹣2t，AD＝6﹣t，可得即可求出t＝3s； （3）根据直角三角形面积公式列出S△CDE关于t的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s， ∴CD＝tcm， ∵BC＝8cm，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s， ∴CE＝（8﹣2t）cm， 故答案为：tcm，（8﹣2t）cm； （2）由题意可知，t的最大值为4（s），即0≤t≤4， ∵AC＝6cm，BC＝8cm， ∴S， 由题意可知，CD＝t，BE＝2t，CE＝8﹣2t，AD＝6﹣t， ∴S•（6﹣t）•（8﹣2t）＝3， 解得：t＝3s，t＝7s（舍去）， ∴当CD＝3cm时，S． （3）由题意可得， S△CDE4， ∵0≤t≤4， ∴当t＝2时，S△CDE的最大值是4， 即点D运动过程中，S△CDE的最大值是4cm2． 【点评】本题考查动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，一元二次方程的实际应用等知识，数形结合是解题的关键． 36．（2025春•科左中旗校级期末）【感知】如图（1），四边形ABCD和CEFG均为正方形，BE与DG的数量关系为BE＝DG ． 【拓展】如图（2），四边形ABCD和四边形CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．请判断BE与DG的数量关系，并说明理由． 【应用】如图（3），四边形ABCD和CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，△EBC的面积为12，求菱形CEFG的面积． 【分析】【感知】由“SAS”可证△BCE≌△DCG，可得BE＝DG； 【拓展】由“SAS”可证△BCE≌△DCG，可得BE＝DG； 【应用】由面积和差关系可求解． 【解答】解：【感知】∵四边形ABCD和CEFG均为正方形， ∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°， ∴∠BCE＝∠DCG， 在△BCE和△DCG中， ， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴BE＝DG， 故答案为：BE＝DG； 【拓展】BE＝DG；理由如下： ∵四边形ABCD和四边形CEFG均为菱形， ∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠A，∠ECG＝∠F． ∵∠A＝∠F， ∴∠BCD＝∠ECG， ∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ECG﹣∠ECD， 即∠BCE＝∠DCG， 在△BCE和△DCG中， ， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴BE＝DG； 【应用】∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC， ∵BE＝DG， ∴S△ABE+S△CDE＝S△BEC＝S△CDG＝12， ∵AE＝2ED， ∴， ∴S△ECG＝S△CDE+S△CDG＝16， ∴S菱形CEFG＝2S△ECG＝32． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 📝 课后巩固 ❤复习建议 列方程解应用题关键：找等量关系 循环问题：单循环n(n-1)/2，双循环n(n-1) 增长率模型a(1±x)²=b，解后要取舍 销售利润：每件利润×销量=总利润 面积问题画图标注边长，靠墙注意减一边 【作业 1】（2026春•包河区期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感． A．7 B．8 C．448 D．512 【分析】由每轮传染中平均一人传染了x人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，结合“有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入64（1+x）中，即可求出结论． 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x人， ∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝64， 整理得：（x+1）2＝64， 解得：x1＝7，x2＝﹣9 （不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了7人， ∴经过三轮传染后患流感的人数为64（1+x）＝64×（1+7）＝512． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 2】（2026•江北区校级三模）某药品经过连续两次降价后，每盒的零售价由40元降为25.6元，若两次降价的百分率相等，则降价的百分率为（　　） A．10% B．20% C．25% D．30% 【分析】设降价的百分率为x，由题意列出方程，即可求解． 【解答】解：设降价的百分率为x， 由题意可得：40（1﹣x）2＝25.6， 解得：x1＝20%，x2＝180%（舍去）， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•康县期中）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种原价为200元的药品连续两次降价后为162元，则平均每次降价的百分率为（　　） A．10% B．15% C．8% D．20% 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出方程即可求解． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x， 200（1﹣x）2＝162， ∴x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）， ∴连续两次降价后，平均每次降价的百分率为10%， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【作业 4】（2026•涪城区一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 　54　 元． 【分析】设每千克这种商品应定价为x元，则降价（60﹣x）元，平均每天的销售量增加10（60﹣x）件，根据进价为每千克40元，平均每天获利2240元，列出一元二次方程，解方程，取最小值即可． 【解答】解：设每千克这种商品应定价为x元，则降价（60﹣x）元，平均每天的销售量增加10（60﹣x）件， 由题意得：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240， 整理得：x2﹣110x+3024＝0， 解得：x1＝54，x2＝56， ∵要使销量尽可能大， ∴x＝54， 故答案为：54． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 5】（2026•普陀区二模）学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为10m的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为20m的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为48m2，则AD的长为　6　 m． 【分析】设AD的长为xm，则AB的长为（20﹣2x）m，根据矩形花圃的面积为48m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设AD的长为xm，则AB的长为（20﹣2x）m， 由题意得：x（20﹣2x）＝48， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝6，x2＝4， 当x＝6时，20﹣2x＝20﹣2×6＝8＜10，符合题意； 当x＝4时，20﹣2x＝20﹣2×4＝12＞10，不符合题意，舍去； 即AD的长为6m， 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 6】（2026•扶绥县校级开学）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有　8　 支． 【分析】设参加小组赛的球队数量为x，根据双循环赛制，小组赛阶段共比赛56场，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设参加小组赛的球队有x支， 根据题意得：x（x﹣1）＝56， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， 即参加小组赛的球队有8支， 故答案为：8． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 7】（2025秋•西丰县期末）为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形ABCD且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边AB和BC的长． 【分析】设AB的长为x米，则BC的长为（14+1.5×2﹣2x）米，根据矩形ABCD的面积为30平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合这堵墙长10米，即可确定结论． 【解答】解：设AB的长为x米，则BC的长为（14+1.5×2﹣2x）米， 根据题意得：x（14+1.5×2﹣2x）＝30， 整理得：2x2﹣17x+30＝0， 解得：x1＝6，x2＝2.5， 当x＝6时，14+1.5×2﹣2x＝14+1.5×2﹣2×6＝5＜10，符合题意； 当x＝2.5时，14+1.5×2﹣2x＝14+1.5×2﹣2×2.5＝12＞10，不符合题意，舍去． 答：AB的长为6米，BC的长为5米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 8】（2025秋•南京期末）某商店的一种服装，每件成本为60元．经市场调研，售价为80元时，可销售750件；售价每提高5元，销售量将减少50件．已知商店销售这批服装获利22500元，这种服装每件售价是多少元？ 【分析】设这种服装每件售价是x元，根据商店销售这批服装获利22500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设这种服装每件售价是x元， 根据题意得：， 整理得：x2﹣215x+11550＝0， 解得：x1＝110，x2＝105， 答：这种服装每件售价是110元或105元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 9】（2025秋•盖州市期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套．如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【分析】（1）设该款帐篷价格每次下降的百分率为x，根据降价前的价格×（1﹣x）2＝降价后的价格列方程求解即可． （2）设该款式帐篷每套可以涨价m元，根据月销售利润达到9600元列方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设该款帐篷价格每次下降的百分率为x， 根据题意得：300（1﹣x）2＝243， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， 答：该款帐篷价格每次下降的百分率10%； （2）设该款式帐篷每套可以涨价m元， 根据题意得：（40+m）（20020）＝9600， 整理得：m2﹣60m+800＝0， 解得：m1＝20，m2＝40， 答：该款式的帐篷每套可以涨价20元或40元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 10】（2025秋•沛县期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【分析】（1）设售价应定为x元，则每个利润为（x﹣20）元，销量为个，利用总利润为8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为y，根据两周后销售量达到了484个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每个利润为（x﹣20）元，销量为个， 由题意得：， 整理得：x2﹣100x+2400＝0， 解得：x1＝40，x2＝60（不符合题意，舍去）， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为40元； （2）由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为y， 由题意得：400（1+y）2＝484， 解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 11】（2025秋•赣州期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【分析】（1）依据题意，列出每天销售T恤衫的利润计算即可得解； （2）依据题意，设此时每件T恤衫降价x元，从而每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050，进而计算后再由优惠最大，即可判断得解； （3）依据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，求出x的值，再由每件T恤衫的利润率不低于55%，可得100﹣x﹣60≥60×55%，得出x的范围后即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程是关键． 【作业 12】（2025秋•深圳期中）根据以下素材，探索完成任务1、任务2和任务3： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 a元/杯 芝士100ML/杯 茉莉清茶400ML/杯 杨梅肉 多肉 满杯杨梅 配料 b元/杯 茉莉清茶500ML/杯 杨梅肉 多肉 素材2 6月1日当天，为了庆祝“6.1儿童节”，购买了这两款爆款奶茶： 1班购买30杯“芝士杨梅”和20杯“满杯杨梅”共花费1010元； 2班购买20杯“芝士杨梅”和30杯“满杯杨梅”共花费990元． 素材3 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯；而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知每杯奶茶的成本为9元．经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的销售量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务3 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 【分析】任务1，设每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价分别是a和b元，根据1班购买30杯“芝士杨梅”和20杯“满杯杨梅”共花费1010元；2班购买20杯“芝士杨梅”和30杯“满杯杨梅”共花费990元．列二元一次方程组，解方程组即可； 任务2，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是x，根据某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务3，设款奶茶应该降价m元，则每杯的利润为（21﹣9﹣m）元，月销售量为（1600+100m）杯，根据使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：任务1，设每杯“芝士杨梅”的售价是a元，每杯“满杯杨梅”的售价是b元， 由题意得：， 解得：， 答：每杯“芝士杨梅”的售价是21元，每杯“满杯杨梅”的售价是19元； 任务2，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是x， 由题意得：1280（1+x）2＝2000， 整理得：（1+x）2＝1.5625， 解得：x1＝﹣2.25（不合题意，舍去），x2＝0.25＝25%， 答：该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是25%； 任务3，设该款奶茶应该降价m元，则每杯的利润为（21﹣9﹣m）元，月销售量为（1600+100m）杯， 根据题意得：（21﹣9﹣m）（1600+100m）＝16000， 整理得：m2+4m﹣32＝0， 解得：m1＝﹣8（不符合题意，舍去），m2＝4， 答：该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价4元时． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【作业 13】（2026春•宁波期末）【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的图解法是：如图，作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，，AC＝b，在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程x2+ax＝b2进行配方， 得， 因为∠ACB＝90°，所以AB2＝AC2+BC2， … （1）请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 （2）若利用此图解法解方程x2+2x＝5，那么BC＝　1　 ，AB＝　　 ，方程的正根x＝　1　 ． （3）已知关于x的一元二次方程x2+ax＝64（a＞0），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 【分析】 （1）推导验证：从几何图形出发，利用勾股定理建立直角三角形三边关系．得出通过观察方程配方的结果，将几何长度与代数式子连接起来，证明，从而推导出 AD＝x即是方程的解． （2）尝试应用：直接将题目给出的具体方程x2+2x＝5与图解法模板x2+ax＝b2对比，确定a＝2，b2＝5，通过勾股定理分别求出BC和AB的长度，最后利用线段差AD＝AB﹣BD求出方程的正根． （3）综合应用：将已知的几何线段比值转化为关于参数a与方程正根x的代数等式（即a＝3x），再将其代回原方程x2+ax＝64求解，从而得出a的值． 【解答】解：（1）因为∠ACB＝90°，所以AB2＝AC2+BC2， 将AC＝b和BC，代入得：AB2＝b2+（）2， 由配方结果， 可知：， 因为在斜边AB上截取， 所以：， 因此，AD的长就是所求方程的正根x； （2）根据上述图解法，方程x2+2x＝5中， 对应 a＝2，b2＝5，即b， 那么：，， 方程的正根x＝AD＝AB﹣BD1； （3）已知关于x的一元二次方程x2+ax＝64（a＞0）， 对应图解法中b2＝64，所以 b＝8， 根据图解法原理，方程的正根x对应图中的AD，且， 由题意可知，即， 化简得a＝3x， 因为x是方程x2+ax＝64的正根， 将a＝3x代入方程得：x2+3x•x＝64， 4x2＝64， x2＝16， 因为x＞0， 解得x＝4， 所以a＝3x＝3×4＝12， 即a的值为12． 【点评】本意主要考查了一元二次方程的配方法、勾股定理以及数形结合的数学思想，深刻理解几何图形中线段的代数意义，AC＝b，AD＝x）并熟练运用勾股定理建立等量关系是解题的关键．本题打破传统的代数求解框架，以欧几里得《几何原本》中经典的“几何作差法”为素材，巧妙地将枯燥的代数方程转化为直观的几何长度，具有浓厚的数学文化气息．解答时务必紧扣“数形对应”的原则，特别是第（3）问，利用几何线段比例关系作为桥梁进行变量代换，不仅能有效避开了复杂的代数运算，更直观体现了转化与化归思想在初中数学综合题中的巨大威力． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 一元二次方程应用 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 能列一元二次方程解决单循环、双循环比赛问题 掌握传播问题、增长率问题的建模方法 能解决商品销售利润问题 掌握图形面积问题的建模 能解决数字问题和动态几何问题 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.循环与传播问题 单循环：n个队比赛n(n-1)/2场 双循环：n个队比赛n(n-1)场 传播问题：每轮每人传染x人，两轮后(1+x)² 关键：找等量关系列方程 概念辨析例题：概念辨析：流感两轮传染后64人患病，每轮传染几人？ 解析：(1+x)²=64，1+x=8，x=7。第三轮后64×8=512人。 ☆ 2.增长率问题 平均增长率：a(1+x)²=b 平均降低率：a(1-x)²=b 连续两次增长或降低 解出后要根据实际意义取舍 概念辨析例题：概念辨析：药品40元两次降价后25.6元，求降价率 解析：40(1-x)²=25.6，(1-x)²=0.64，1-x=0.8，x=0.2=20%。 ☆ 3.销售利润问题 利润=每件利润×销售量 每件利润=售价-进价 涨价则销量减少，降价则销量增加 注意根据题意取舍解 概念辨析例题：概念辨析：进价40元售价60元，每天卖100kg，每降1元多卖10kg，获利2240元，定价多少？ 解析：设降x元：(60-40-x)(100+10x)=2240，(20-x)(100+10x)=2240，解得x=6或x=4，要销量大则降6元，定价54元。 ☆ 4.面积与动态几何问题 矩形面积=长×宽 靠墙问题注意一边不用围 动态问题用时间或速度表示线段长度 根据面积或勾股定理列方程 概念辨析例题：概念辨析：靠墙围矩形花圃，篱笆20m，面积48m²，求边长 解析：设AD=x（垂直墙），则平行墙边长20-2x，x(20-2x)=48，解得x=6或8，结合墙长取舍。 📋 知识总结表 题型 等量关系 典型方程 单循环 n(n-1)/2=场数 n(n-1)=2场数 双循环 n(n-1)=场数 n(n-1)=场数 传播 (1+x)²=总数 两轮传播 增长率 a(1±x)²=b 连续两次 销售利润 (售价-进价)×销量=利润 注意取舍 面积 长×宽=面积 靠墙减一边 ⚠️ 核心考点 · 典型例题精讲 【考点1】单循环问题（第1-4题） 单循环比赛场数=n(n-1)/2 握手问题同单循环模型 1．（2025秋•北京校级月考）n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，依题意可列方程为____________________ ． 2．（2024春•黎川县期中）一组学生在校门口拍一张合影，已知冲一张底片需要0.6元，洗一张照片需要0.4元，每人都得到一张照片，每人平均分摊的钱不超过0.5元，那么参加合影的同学至少有 _____ 人． 3．（2025•开州区校级模拟）某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛，若设共有x支队伍参加比赛，则可列方程为____________________ ． 4．（2025秋•大荔县期中）有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有x个人，则根据题意可列方程为____________________ ． 【考点2】双循环问题（第5-8题） 双循环比赛场数=n(n-1) 主客场制即双循环 5．（2025秋•青山区校级月考）九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x名学生，则列出的方程化为一般式为_______________ ． 6．有n个同学相约一起观看卡塔尔世界杯决赛，并把猜想的分数通过微信发给其他同学．已知这n个同学互发信息共90条，则n的值为 _______ ． 7．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在黑龙江哈尔滨举行．在亚冬会到来之际，某校组织了一次旱地冰球比赛，比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），共进行了30场比赛．设该校有x个队参赛，则根据题意可列方程为______________ ． 8．（2025秋•硚口区月考）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为______________ ． 【考点3】传播问题（第9-11题） 每轮传染x人，两轮后(1+x)² 注意初始1人患病 9．（2026•思明区校级模拟）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 10．（2025秋•武汉校级月考）（1）某一个人患了流感，经过两轮传染后共有64个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则列方程是__________________ （不要求化成一般式）． （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，则每个支干长出_____ 个小分支． （3）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+30t．飞机着陆后滑行________ m才能停下来． 11．我们知道，“传销”能扰乱一个地区正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，你了解传销吗？某非法传销组织头目一人可发展若干数目的下线成员，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，一个传销组织头目经过两轮发展后，非法传销组织成员共有421人，问在每轮发展中平均一个成员发展下线多少人？ 【考点4】增长率问题（第12-17题） a(1+x)²=b求增长率 降低率用a(1-x)²=b 根据实际意义取舍 12．（2025秋•黄浦区期末）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（　　） A．100（1+x）2＝484 B．100（1+x）3＝484 C．（1+x）+100（1+x）2＝484 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝484 13．（2025秋•宝安区期中）电影《731》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3（1+x）+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10 14．（2025秋•邳州市期中）2025年，一场集结江苏省13座城市的足球联赛火爆全网．徐州市6月份作为主场城市在比赛期间接待游客数约21万人次，随着苏超热度席卷全国，到8月份徐州市在主场比赛期间接待游客数已增长到约49.77万人次，求徐州市平均每月主场比赛期间接待游客数的增长率．设徐州市平均每月主场比赛接待游客数增长率为x，可列方程得___________________ ． 15．容积为10升的瓶中装满了纯酒精，第一次倒出a升后，用水加满，第二次又倒出a升混合后的溶液，再用水加满，这时瓶中有纯酒精 ____________________ 升． 16．（2025秋•榆林校级期末）某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意，可以列方程为__________________ ． 17．（2025秋•汕头校级期末）某起重机厂四月份生产A型起重机25台，B型起重机若干台．从五月份起，A型起重机月增长率相同，B型起重机每月增加3台．已知五月份生产的A型起重机是B型起重机的2倍，六月份A、B型起重机共生产54台．求四月份生产B型起重机的台数和从五月份起A型起重机的月增长率． 【考点5】商品销售问题（第18-21题） 每件利润×销量=总利润 涨价少卖、降价多卖 根据优惠条件取舍解 18．（2025秋•青山区期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到5250元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 19．（2024秋•沅江市校级期中）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间将接待游客达28.8万人次． （1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率； （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 20．（2025秋•黄梅县月考）根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆． 素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． 问题解决 任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 21．（2024春•瑶海区期末）农历五月初五端午节是中华民族传统的节日，这一天人们通过龙舟竞渡、吃粽子、喝雄黄酒等风俗，来纪念爱国诗人屈原．城郊的盼盼食品加工厂计划在端午节前用21天的时间生产袋装粽子进行销售，已知每袋粽子需要0.3斤馅料和0.5斤糯米，而工厂设备每天能生产馅料450斤或者糯米300斤，但因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种． （1）若这21天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？ （2）为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在10天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．工厂按售价25元销售了2天，余下8天进行降价促销，第10天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利40500元，则工厂促销时每袋应降价多少元？ 【考点6】图形面积问题（第22-28题） 画图标注边长 靠墙问题注意门和墙长 面积=长×宽列方程 22．（2024秋•东营区期末）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为（　　）m A．1 B．2 C．3 D．12 23．（2022•浦江县模拟）取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图）．并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计）．这张长方形纸板的长为多少厘米？（　　） A．24cm B．30cm C．32cm D．36cm 24．（2024秋•岳塘区校级月考）小亮爸爸是一个养花爱好者．如图，他爸爸想要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆将长方形ABCD分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃ABCD，那么AD的长为（　　）米． A．3 B．6 C．3或6 D．4或6 25．（2026秋•建邺区校级同步）某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m）现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花．若改造后观花道的面积为13m2，求x的值． 26．（2025秋•沛县期末）如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏，已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 27．（2025秋•沛县期末）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 28．（2025秋•东台市期中）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0（x＞0）为例，构造方法如下： 第一步：将原方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）变形为x（x+2）＝35（x＞0）； 第二步：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．第三步：得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 _____ ． A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程x2+x﹣6＝0（x＞0），请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程x2+x﹣6＝0（x＞0）变形为x（ ________ ）＝6； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为 _____ ． 【考点7】数字问题（第29-32题） 两位数=十位×10+个位 用未知数表示数位 29．（2023秋•文昌校级期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（　　） A．25 B．36 C．25或36 D．﹣25或﹣36 30．（2026•遂宁一模）如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出2×3个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（　　） A．x（x+9）＝190 B．x（x﹣8）＝190 C．（x+9）（x﹣9）＝190 D．x（x﹣9）＝190 31．根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： （1）两个连续奇数的积等于323，求这两个连续奇数各是多少？ （2）一个长方形的周长是30cm，面积是54cm2，求这个长方形的长与宽． （3）一个正的两位数，个位数字比十位数字大2，个位数字与十位数字的积是24，则这个两位数是多少？ 32．（2024春•秦安县校级月考）一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【考点8】动态几何问题（第33-36题） 用时间表示线段长度 根据面积或勾股列方程 33．（2023秋•铜梁区校级月考）如图，∠BOC＝60°，A是BO的延长线上一点，OA＝10cm，动点P从点A出发，沿AB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以2cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时，移动的时间是 _________ s． 34．（2016秋•金平区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别是从A、B同时出发， （1）那么几秒后，△PBQ的面积等于9平方厘米？ （2）那么几秒后，点P与点Q之间的距离可能为5厘米吗？说明理由． （3）那么几秒后，五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？ 35．（2025春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S． （1）用含t的代数式表示CD＝_________ ；CE＝_____________ ； （2）点D运动至何处时，？ （3）点D运动过程中，S△CDE的最大值是多少？ 36．（2025春•科左中旗校级期末）【感知】如图（1），四边形ABCD和CEFG均为正方形，BE与DG的数量关系为__________ ． 【拓展】如图（2），四边形ABCD和四边形CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．请判断BE与DG的数量关系，并说明理由． 【应用】如图（3），四边形ABCD和CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，△EBC的面积为12，求菱形CEFG的面积． 📝 课后巩固 【作业 1】（2026春•包河区期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感． A．7 B．8 C．448 D．512 【作业 2】（2026•江北区校级三模）某药品经过连续两次降价后，每盒的零售价由40元降为25.6元，若两次降价的百分率相等，则降价的百分率为（　　） A．10% B．20% C．25% D．30% 【作业 3】（2025秋•康县期中）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种原价为200元的药品连续两次降价后为162元，则平均每次降价的百分率为（　　） A．10% B．15% C．8% D．20% 【作业 4】（2026•涪城区一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 _______ 元． 【作业 5】（2026•普陀区二模）学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为10m的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为20m的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为48m2，则AD的长为_____ m． 【作业 6】（2026•扶绥县校级开学）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有_____ 支． 【作业 7】（2025秋•西丰县期末）为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形ABCD且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边AB和BC的长． 【作业 8】（2025秋•南京期末）某商店的一种服装，每件成本为60元．经市场调研，售价为80元时，可销售750件；售价每提高5元，销售量将减少50件．已知商店销售这批服装获利22500元，这种服装每件售价是多少元？ 【作业 9】（2025秋•盖州市期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套．如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【作业 10】（2025秋•沛县期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【作业 11】（2025秋•赣州期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【作业 12】（2025秋•深圳期中）根据以下素材，探索完成任务1、任务2和任务3： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 a元/杯 芝士100ML/杯 茉莉清茶400ML/杯 杨梅肉 多肉 满杯杨梅 配料 b元/杯 茉莉清茶500ML/杯 杨梅肉 多肉 素材2 6月1日当天，为了庆祝“6.1儿童节”，购买了这两款爆款奶茶： 1班购买30杯“芝士杨梅”和20杯“满杯杨梅”共花费1010元； 2班购买20杯“芝士杨梅”和30杯“满杯杨梅”共花费990元． 素材3 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯；而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知每杯奶茶的成本为9元．经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的销售量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务3 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 【作业 13】（2026春•宁波期末）【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的图解法是：如图，作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，，AC＝b，在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程x2+ax＝b2进行配方， 得， 因为∠ACB＝90°，所以AB2＝AC2+BC2， … （1）请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 （2）若利用此图解法解方程x2+2x＝5，那么BC＝_____ ，AB＝_______________ ，方程的正根x＝_________________ ． （3）已知关于x的一元二次方程x2+ax＝64（a＞0），利用上述图解法求解时，有，求a的值． ❤复习建议 列方程解应用题关键：找等量关系 循环问题：单循环n(n-1)/2，双循环n(n-1) 增长率模型a(1±x)²=b，解后要取舍 销售利润：每件利润×销量=总利润 面积问题画图标注边长，靠墙注意减一边 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $