专题1.3 一元二次方程的根与系数的关系（4大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上学期

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）这一核心知识点，前承一元二次方程解法及判别式，后为函数与方程综合应用奠基。以定理内容（含使用前提）、代数式变形公式、方程构造方法、根的正负性判定为知识支架，构建完整认知体系。 资料亮点在于分层题型设计，涵盖基础必考、培优高频、压轴素养三类，适配不同学情。通过“根的定义降次求值”培养数学思维中的转化能力，“新型定义方程”“几何综合”题型发展创新意识与应用意识，如“倒方程”新定义问题。课中助力教师分层教学，课后学生可借变式题与巩固练习强化薄弱，有效查漏补缺。

专题1.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识点1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）   1. 核心定理内容：对于一元二次方程 ，当方程有两个实数根（）时，设两根为 ，则两根和与两根积满足固定关系：，。   2. 简化形式：当一元二次方程二次项系数为1，即方程为 时，两根关系简化为：，。   3. 使用前提条件   （1）方程必须是一元二次方程，即二次项系数 ；   （2）方程必须有实数根，即判别式 ，无实根的方程不适用韦达定理。 知识点2：韦达定理常用代数式变形公式   基于两根和、两根积，可推导各类高频求值代数式变形，是本节计算核心，所有变形无需解方程，可直接代入 计算。 序号 所求代数式 变形公式 1 2 3 4 5 6 知识点3：利用根与系数关系构造一元二次方程   1. 构造规则：已知两个实数 ，以这两个数为根、二次项系数为1的一元二次方程为：。   2. 拓展构造：若要求二次项系数为 ，则构造方程为：。 知识点4：一元二次方程根的正负性判定   在 的前提下，结合两根和、两根积的符号，可快速判断根的正负分布，无需解方程。 两根和符号 两根积符号 根的正负情况 两个不相等的正实数根 两个不相等的负实数根 任意符号 一正一负两个实数根 【基础必考题型】 【题型1】直接利用韦达定理求基础代数式的值 1.核心知识点 熟练掌握一元二次方程两根和、两根积的基础公式，牢记常见代数式变形规则，能在不解方程的前提下，代入公式完成简单代数式求值，掌握韦达定理最基础应用。 2.解题方法技巧 先将方程化为一元二次方程标准一般形式，精准提取 的值（包含正负符号）；计算出 和 ，再结合对应变形公式代入计算，全程无需求解方程的根。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【变式题1-1】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知，是一元二次方程的两根，则的值是________． 【题型2】已知一根利用韦达定理求另一根及参数 1.核心知识点 结合方程根的定义与韦达定理，已知一元二次方程的一个实数根，可快速求解另一根及方程中的未知参数，是新授课高频基础题型。 2.解题方法技巧 优先使用韦达定理：利用两根和公式直接求出未知根，再通过两根积公式求解参数；也可将已知根代入方程求出参数，再解方程验证另一根，两种方法可交叉校验答案。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根及的值分别是（   ） A．3，6 B．， C．7，14 D．， 【变式题2-1】.（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为________． 【变式题2-2】.（2025·江苏苏州·模拟预测）若关于的方程有一个根为，则该方程的另一个根为___________． 【变式题2-3】.（2025九年级·江西·专题练习）已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根． 【题型3】不解方程判定根的正负分布 1.核心知识点 结合根的判别式与韦达定理，利用两根和、两根积的符号规律，快速判断一元二次方程根的正负情况，培养数形结合、推理分析素养。 2.解题方法技巧 第一步先计算判别式，确认方程有实数根；第二步计算两根和、两根积的符号，对照正负根判定表格，精准判断根的分布情况，杜绝无判别式直接判定的错误。 【例题3】.（2026·河北沧州·模拟预测）关于的一元二次方程中，，则方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之和为 D．两根之积为 【变式题3-1】.（24-25九年级上·河南安阳·期中）关于x的方程（m为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（   ） A．两个正根 B．一个正根，一个负根 C．两个负根 D．根的符号与m的值有关 【变式题3-2】.（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（   ） A．一个正根，一个负根 B．两个正根 C．两个负根 D．无实数根 【变式题3-3】.（2026·山西临汾·一模）关于的方程（为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【培优高频题型】 【题型4】结合方程根的定义降次求值 1.核心知识点 利用方程根的定义（根代入方程等式成立）对高次代数式降次，再结合韦达定理整体代入求值，融合整体思想与转化思想，是中考高频提升题型。 2.解题方法技巧 将方程的根代入原方程，变形得到高次项的低次替换式，对所求高次代数式逐步降次化简；化简为含两根和、两根积的基础形式后，再代入韦达定理结果计算。 【例题4】.（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则代数式的值为______． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【题型5】韦达定理与参数取值范围综合 1.核心知识点 综合根的判别式、一元二次方程定义、韦达定理，根据方程根的数量、正负、大小关系，求解未知参数的值或取值范围，强化分类推理素养。 2.解题方法技巧 先根据一元二次方程定义和判别式，确定参数基础取值范围；再结合韦达定理列出等式、不等式，联立求解参数，最后校验所有隐藏限制条件，剔除增根。 【例题5】.（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)记该方程的两个实数根为和，若，求的值． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·广东广州·期中）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)若，求的范围． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·河南商丘·期末）阅读材料：如果分别是一元二次方程的两个实数根，则有，． 创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【压轴素养题型】 【题型6】同结构方程整体换元求值 1.核心知识点 针对两个结构完全相同、未知数不同的一元二次方程，利用整体思想判定未知数为方程两根，结合韦达定理整体求值，是培优核心创新题型。 2.解题方法技巧 观察两个方程的结构特征，确认未知数满足同一个一元二次方程，且两未知数不相等；直接套用韦达定理得到两根和、积，无需单独解方程，整体代入化简求值。 【例题6】.（25-26九年级上·四川凉山·期末）若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为______． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，若实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如若实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、，且，满足、，则的值为___________； (2)若关于的方程有两个实数根，，若满足，求的值； (3)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【题型7】新型定义方程问题 1.核心知识点 结合新定义情境，理解“倍根方程”的核心内涵（一个根是另一个根的倍数），迁移韦达定理知识解决创新题型，适配新课标素养命题导向。 2.解题方法技巧 根据倍根关系设出两根表达式，结合韦达定理联立方程，建立参数与根的等量关系；求解后验证判别式，保证方程存在对应实数根，符合新定义要求。 【例题7】.（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·江西赣州·期中）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是倍根方程； (2)若是倍根方程，则，具有怎样的关系？ (3)若一元二次方程有两个实数根且是倍根方程，则，的等量关系是______（直接写出结果）． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·河南安阳·期末）定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 【题型8】韦达定理与几何图形综合探究 1.核心知识点 融合菱形、矩形、直角三角形等几何图形性质，以一元二次方程的两根为图形边长、对角线长，结合韦达定理求解几何参数，体现数形结合跨模块素养。 2.解题方法技巧 根据几何图形性质列出边长、对角线的数量关系，结合韦达定理的两根和、积公式联立计算；求解后必须验证几何三边关系、边长为正等隐藏条件，排除无效解。 【例题8】.（25-26九年级上·四川广元·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且这两根分别是四边形相邻两边，的长． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长为，求的值． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为，求的值； (2)当为何值时，平行四边形为菱形； (3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若的斜边边长，另两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k值及此三角形的面积． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值方程都有两个不相等的实数根； (2)当矩形的对角线，且两条边和的长恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长． 易错点 1、忽略韦达定理使用前提：直接套用两根和、积公式，未验证，无实数根的方程误用定理导致解题错误。 2、公式符号记忆混淆：记错两根和公式 ，遗漏负号，或提取 时忽略参数正负符号。 3、构造方程格式出错：逆向构造方程时，忘记两根和的负号，混淆两根和、积对应的一次项、常数项系数。 4、参数题型遗漏隐藏条件：含参数方程求值时，忽略一元二次方程 的限制，或未校验根的实际意义（边长为正等）。 重点 1、熟练掌握韦达定理核心公式，牢记使用前提，能精准提取方程系数，快速求解各类基础对称代数式的值。 2、掌握两根正负性判定方法，结合判别式与两根和、积的符号，不解方程快速判断根的分布情况。 3、熟练运用降次、整体代入思想，解决高次代数式求值问题，掌握韦达定理与配方法、参数问题的综合应用。 4、掌握方程构造、根的变式迁移，能灵活逆向运用韦达定理，适配各类创新基础题型。 难点 1、高次代数式降次求值：结合方程根的定义多次降次，搭配韦达定理整体代入，对转化思想和代数变形能力要求较高。 2、参数综合探究问题：多重条件联立求解参数，需要兼顾判别式、根的正负、取值范围等多重隐藏限制条件，易漏解、增解。 3、代数与几何综合题型：将几何图形性质与韦达定理结合，实现数形转化，需要跨模块知识融合与综合推理能力。 4、新定义、变式探究题型：快速迁移新知，将陌生创新题型转化为常规韦达定理问题，灵活解决变式、探究类问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 2．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知方程，则下列说法正确的是（     ） A．方程的两根之和是3 B．方程的两根之和是 C．方程的两根之积是2 D．方程的两根之差是 二、填空题 4．已知是一元二次方程的两个根，则________． 5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． 6．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 三、解答题 7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求的值． 8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 9．若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识点1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）   1. 核心定理内容：对于一元二次方程 ，当方程有两个实数根（）时，设两根为 ，则两根和与两根积满足固定关系：，。   2. 简化形式：当一元二次方程二次项系数为1，即方程为 时，两根关系简化为：，。   3. 使用前提条件   （1）方程必须是一元二次方程，即二次项系数 ；   （2）方程必须有实数根，即判别式 ，无实根的方程不适用韦达定理。 知识点2：韦达定理常用代数式变形公式   基于两根和、两根积，可推导各类高频求值代数式变形，是本节计算核心，所有变形无需解方程，可直接代入 计算。 序号 所求代数式 变形公式 1 2 3 4 5 6 知识点3：利用根与系数关系构造一元二次方程   1. 构造规则：已知两个实数 ，以这两个数为根、二次项系数为1的一元二次方程为：。   2. 拓展构造：若要求二次项系数为 ，则构造方程为：。 知识点4：一元二次方程根的正负性判定   在 的前提下，结合两根和、两根积的符号，可快速判断根的正负分布，无需解方程。 两根和符号 两根积符号 根的正负情况 两个不相等的正实数根 两个不相等的负实数根 任意符号 一正一负两个实数根 【基础必考题型】 【题型1】直接利用韦达定理求基础代数式的值 1.核心知识点 熟练掌握一元二次方程两根和、两根积的基础公式，牢记常见代数式变形规则，能在不解方程的前提下，代入公式完成简单代数式求值，掌握韦达定理最基础应用。 2.解题方法技巧 先将方程化为一元二次方程标准一般形式，精准提取 的值（包含正负符号）；计算出 和 ，再结合对应变形公式代入计算，全程无需求解方程的根。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之积即可. 【详解】解：∵方程中，，， ∴由根与系数的关系得. 【变式题1-1】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ，． ． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，满足同一个一元二次方程，因此，可看作一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知，是一元二次方程的两根，则的值是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，最后根据，即可求解． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ． 【题型2】已知一根利用韦达定理求另一根及参数 1.核心知识点 结合方程根的定义与韦达定理，已知一元二次方程的一个实数根，可快速求解另一根及方程中的未知参数，是新授课高频基础题型。 2.解题方法技巧 优先使用韦达定理：利用两根和公式直接求出未知根，再通过两根积公式求解参数；也可将已知根代入方程求出参数，再解方程验证另一根，两种方法可交叉校验答案。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根及的值分别是（   ） A．3，6 B．， C．7，14 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，即两根之和等于，两根之积等于. 【详解】解：∵ 方程的一个根为2，设另一根为，则， ∴， 又， ∴， 故另一个根为3，m的值为6， 故选A. 【变式题2-1】.（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，两根之和为．设方程的另一个根为，利用根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得： ， 解得， 即方程的另一个根为． 【变式题2-2】.（2025·江苏苏州·模拟预测）若关于的方程有一个根为，则该方程的另一个根为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：设另一个根的值为a， 根据根与系数的关系得：， 解得， 即方程的另一个根为1． 故答案为：1． 【变式题2-3】.（2025九年级·江西·专题练习）已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根． 【答案】(1) (2)a的值是2，方程的另一个根是3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知，求出不等式的解集即可； （2）将方程的解代入原方程求出a的值，再根据一元二次方程根与系数的关系求出另一个根． 【详解】（1）解：∵，即， ∴． ∵方程总有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：设方程的两个根分别为， 将代入，得， 解得； ∵方程的两个根分别为，且， ∴， ∴， 即a的值是2，方程的另一个根是3． 【题型3】不解方程判定根的正负分布 1.核心知识点 结合根的判别式与韦达定理，利用两根和、两根积的符号规律，快速判断一元二次方程根的正负情况，培养数形结合、推理分析素养。 2.解题方法技巧 第一步先计算判别式，确认方程有实数根；第二步计算两根和、两根积的符号，对照正负根判定表格，精准判断根的分布情况，杜绝无判别式直接判定的错误。 【例题3】.（2026·河北沧州·模拟预测）关于的一元二次方程中，，则方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】C 【分析】先将方程整理为一元二次方程的标准形式，计算根的判别式判断根的存在性，再根据一元二次方程根与系数的关系计算两根之和与两根之积，即可判断选项． 【详解】解：将原方程整理为标准形式，得， ∴， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根，排除A选项； 设方程的两个实数根为，，则 ，可得C选项符合条件； ，为小于0的任意数，不是定值，排除D选项； 两根之和为，不可能有两个正实数根，排除B选项． 【变式题3-1】.（24-25九年级上·河南安阳·期中）关于x的方程（m为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（   ） A．两个正根 B．一个正根，一个负根 C．两个负根 D．根的符号与m的值有关 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，先将方程整理为一般式，再根据判断根的情况即可． 【详解】将整理， 得， 可知， ∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根． 设两个根是，根据题意，得 ， ∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根，根的符号与m的值有关． 故选：D． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（   ） A．一个正根，一个负根 B．两个正根 C．两个负根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系． 通过计算判别式判断方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，由两根之积为负判断两根异号，即可解题． 【详解】解：∵方程化为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根之积， ∴方程有一个正根和一个负根． 故选：A． 【变式题3-3】.（2026·山西临汾·一模）关于的方程（为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】先利用判别式判断方程是否有实数根，再根据两根乘积的符号判断根的正负性，即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴，，， ∴， ∵ 无论取任意实数，都有 ∴ ，因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根分别为，，则， ∴ 两个根异号，即方程有一个正根，一个负根. 【培优高频题型】 【题型4】结合方程根的定义降次求值 1.核心知识点 利用方程根的定义（根代入方程等式成立）对高次代数式降次，再结合韦达定理整体代入求值，融合整体思想与转化思想，是中考高频提升题型。 2.解题方法技巧 将方程的根代入原方程，变形得到高次项的低次替换式，对所求高次代数式逐步降次化简；化简为含两根和、两根积的基础形式后，再代入韦达定理结果计算。 【例题4】.（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的表达式，再结合根与系数的关系：是一元二次方程的两个根，则，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， 将代入所求代数式得： 原式． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系计算求值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ，， ． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据根与系数的关系有：，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 【题型5】韦达定理与参数取值范围综合 1.核心知识点 综合根的判别式、一元二次方程定义、韦达定理，根据方程根的数量、正负、大小关系，求解未知参数的值或取值范围，强化分类推理素养。 2.解题方法技巧 先根据一元二次方程定义和判别式，确定参数基础取值范围；再结合韦达定理列出等式、不等式，联立求解参数，最后校验所有隐藏限制条件，剔除增根。 【例题5】.（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)记该方程的两个实数根为和，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． （2）解：由题意得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定即可得证； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入已知等式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·广东广州·期中）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)若，求的范围． 【答案】(1)， (2)为任意实数 【分析】本题考查了一元二次方程的根、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． （1）先将代入方程可得，则可得，再将代入方程，利用因式分解法解方程即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入求解即可得． 【详解】（1）解：∵是关于的方程， ∴， ∴， 将代入方程得：，即， 解得或， ∴． （2）解：方程可变形为， 方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， ∵，是关于的方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴为任意实数． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·河南商丘·期末）阅读材料：如果分别是一元二次方程的两个实数根，则有，． 创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，根据题意可将看作一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到和的值，再将用含的式子表示，代入代数式转化为含和的形式，进而代入计算即可求解，将看作方程的根并进行代数式的转化是解题关键． 【详解】解：∵是两个不相等的实数，且满足，， ∴可将看作一元二次方程的两个实数根根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴原式 ． ∴代数式． 故答案为：． 【压轴素养题型】 【题型6】同结构方程整体换元求值 1.核心知识点 针对两个结构完全相同、未知数不同的一元二次方程，利用整体思想判定未知数为方程两根，结合韦达定理整体求值，是培优核心创新题型。 2.解题方法技巧 观察两个方程的结构特征，确认未知数满足同一个一元二次方程，且两未知数不相等；直接套用韦达定理得到两根和、积，无需单独解方程，整体代入化简求值。 【例题6】.（25-26九年级上·四川凉山·期末）若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由题可得m、n是的两个根，整理得到，从而得到，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m、n是，即的两个根， 根据根与系数的关系，得，， ∴ ， 故答案为：6． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，实数，满足，根据根与系数的关系得到、，据此逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，，，则，， 设实数，满足， 由根与系数关系得：、， 故A、B选项错误； ， 故C选项正确； ， 故D选项错误． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 【答案】(1)23或2 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据根与系数的关系进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行解答即可． 【详解】（1）、满足， ①当时，原式； ②当时，、可看作是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 或2． （2）将方程两边同乘以2得：， 实数，满足：，且， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，，， 又，是方程的两个不相等的实数根， 方程根的判别式，解得， ， ． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，若实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如若实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、，且，满足、，则的值为___________； (2)若关于的方程有两个实数根，，若满足，求的值； (3)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据实数、是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； （2）先将，代入求出，再由一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （3）将、看作是方程的两实数根，再由一元二次方程根的判别式得不等式，结合即可求解． 【详解】（1）解：实数、，且，满足、， 实数、（）是一元二次方程的两根， ， 故答案为：； （2）解：方程两个实数根，，若满足， ，无解或， ， ， ，， ． （3）解：，， 将、看作是方程的两实数根； ， 而， ， ， 即， 的最大值为1． 【题型7】新型定义方程问题 1.核心知识点 结合新定义情境，理解“倍根方程”的核心内涵（一个根是另一个根的倍数），迁移韦达定理知识解决创新题型，适配新课标素养命题导向。 2.解题方法技巧 根据倍根关系设出两根表达式，结合韦达定理联立方程，建立参数与根的等量关系；求解后验证判别式，保证方程存在对应实数根，符合新定义要求。 【例题7】.（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 【变式题7-1】.（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系等知识点，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据新定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由方程的解得到，根据新定义得到，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∵， ∴ 【变式题7-2】.（25-26九年级上·江西赣州·期中）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是倍根方程； (2)若是倍根方程，则，具有怎样的关系？ (3)若一元二次方程有两个实数根且是倍根方程，则，的等量关系是______（直接写出结果）． 【答案】(1) 解： ，， ， 该方程是倍根方程； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用配方法解方程得到，，然后根据“倍根方程”可判断方程是倍根方程； （2）利用因式分解法解方程得，，再利用“倍根方程”的定义即可求解； （3）设一元二次方程的两个根为，，且，根据根与系数的关系得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解方程得，， 该方程是倍根方程， 或； （3）设一元二次方程的两个根为，，且， ，即， 整理得． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·河南安阳·期末）定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 【答案】(1) 解：该方程不是“邻根方程”， 理由如下：原方程因式分解得：， ∴或， 解得：，， ∵， ∴该方程不是邻根方程； (2)c的值为2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻根方程”定义． （1）根据“邻根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 由条件可知， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴c的值为2． 【题型8】韦达定理与几何图形综合探究 1.核心知识点 融合菱形、矩形、直角三角形等几何图形性质，以一元二次方程的两根为图形边长、对角线长，结合韦达定理求解几何参数，体现数形结合跨模块素养。 2.解题方法技巧 根据几何图形性质列出边长、对角线的数量关系，结合韦达定理的两根和、积公式联立计算；求解后必须验证几何三边关系、边长为正等隐藏条件，排除无效解。 【例题8】.（25-26九年级上·四川广元·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且这两根分别是四边形相邻两边，的长． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据题意得，进一步得，最后解方程即可； （2）由根与系数的关系得，，，进一步得，再根据勾股定理建立方程，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：若四边形为菱形，则， ∴关于的一元二次方程有两个相等实数根， ， 即， 解得 ． 答：的值为． （2）解：由题意可知，，的长为方程的两个实数根， ，， ． 当四边形为矩形时，则有， 即， 解得，或． ，且，, 且， ． 答：的值为． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为，求的值； (2)当为何值时，平行四边形为菱形； (3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，矩形的面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程，即可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，即方程有两个相等的实数根，结合根的判别式，得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值； （3）根据平行四边形为对角线长为的矩形，则有，即，由根与系数关系得：，，将等式进行变形，可得关于的一元二次方程，解方程结合实际意义可确定的值，进而可求得矩形的面积． 【详解】（1）解：将代入方程得：， 解得； （2）解：菱形的邻边相等， ，即方程有两个相等的实数根， ， 即， ， ； （3）解：存在，理由如下： 设方程两根为，，则，， 由根与系数的关系得：，， 若平行四边形为对角线长为的矩形，则有， 即， ， ， 整理得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ， 矩形的面积为． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若的斜边边长，另两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k值及此三角形的面积． 【答案】(1) (2)的值为4，三角形的面积为6． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，以及直角三角形的勾股定理和面积计算，解题的关键是掌握“方程有两个不相等实数根则判别式”的条件，熟练运用韦达定理表示根与系数的关系，并结合勾股定理将边长关系转化为方程系数的关系，同时注意边长为正数的隐含条件． （1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，确定方程中、、，代入判别式公式，解不等式求出的取值范围； （2）先由根与系数的关系得、，再根据直角三角形勾股定理，将变形为，代入计算值；验证是否满足方程有实根的条件，最后用计算三角形面积． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴． 代入得， 即， 化简得， 解得． （2）解：∵、是方程的两个根，由根与系数的关系得，， ∵中，斜边， ∴由勾股定理得 又∵，代入得， 即， 化简得， 解得． 验证：当时，，方程有两个实根，符合题意． 此时，三角形面积． ∴的值为4，三角形的面积为6． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值方程都有两个不相等的实数根； (2)当矩形的对角线，且两条边和的长恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)10 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理及完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及与系数的关系是解题的关键． （1）求得一元二次方程的判别式，即可得出结论； （2）根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得，，再利用勾股定理求得，再利用完全平方公式可得，求得或，进一步计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时， ∴，， ∴， 在中，，即， ∵， ∴， 解得或， 当时，，不符合题意；故舍去． 当时，， ∴． 易错点 1、忽略韦达定理使用前提：直接套用两根和、积公式，未验证，无实数根的方程误用定理导致解题错误。 2、公式符号记忆混淆：记错两根和公式 ，遗漏负号，或提取 时忽略参数正负符号。 3、构造方程格式出错：逆向构造方程时，忘记两根和的负号，混淆两根和、积对应的一次项、常数项系数。 4、参数题型遗漏隐藏条件：含参数方程求值时，忽略一元二次方程 的限制，或未校验根的实际意义（边长为正等）。 重点 1、熟练掌握韦达定理核心公式，牢记使用前提，能精准提取方程系数，快速求解各类基础对称代数式的值。 2、掌握两根正负性判定方法，结合判别式与两根和、积的符号，不解方程快速判断根的分布情况。 3、熟练运用降次、整体代入思想，解决高次代数式求值问题，掌握韦达定理与配方法、参数问题的综合应用。 4、掌握方程构造、根的变式迁移，能灵活逆向运用韦达定理，适配各类创新基础题型。 难点 1、高次代数式降次求值：结合方程根的定义多次降次，搭配韦达定理整体代入，对转化思想和代数变形能力要求较高。 2、参数综合探究问题：多重条件联立求解参数，需要兼顾判别式、根的正负、取值范围等多重隐藏限制条件，易漏解、增解。 3、代数与几何综合题型：将几何图形性质与韦达定理结合，实现数形转化，需要跨模块知识融合与综合推理能力。 4、新定义、变式探究题型：快速迁移新知，将陌生创新题型转化为常规韦达定理问题，灵活解决变式、探究类问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 2．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 ，，则 ，． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根． ∴ ，． 3．已知方程，则下列说法正确的是（     ） A．方程的两根之和是3 B．方程的两根之和是 C．方程的两根之积是2 D．方程的两根之差是 【答案】B 【分析】一元二次方程的两个根，，则满足，． 【详解】解： 原方程为 ，移项整理得一般形式： ． 其中 ， ，， ∴ ，即方程有两个实数根， ∴两根之和为，两根之积为， 解方程得，， 故：，， 对比选项，只有B说法正确． 二、填空题 4．已知是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程解的定义和一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：已知是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴． 5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． 【答案】 或 【分析】（1）由因式分解法解方程可得，，再根据倍根方程的定义求解即可； （2）设方程的两个根为、，根据一元二次方程根和系数的关系，得到，即可得解． 【详解】解：（1）， 或， 解得：，， 是倍根方程， 或， 或， 解得：或； （2）方程是倍根方程， 设方程的两个根为、， ， ， ， ， ，， 即该方程较大的根为． 6．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 三、解答题 7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ，即， 解得； （2）解：是方程的一个根， 设方程的另一个根为， ， 解得， ， 解得． 8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． 9．若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 【分析】（1）先求得，则，利用配方法和平方数的非负性求解即可； （2）先求得，且b，c是方程的两根，利用一元二次方程的判别式与根的关系得到，进而求得或1即可求解； （3）由已知得到，根据奇数与偶数的积是偶数，偶数与偶数的和为偶数可得结论． 【详解】（1）解：，， ∴， ． ∴当时，m的最小值为； （2）解：，， ． ∴b，c是方程的两根， ，则， ，则， ， ∵a为整数， 或1， ∴无论哪种情况都有， 或； （3）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $