2.3 一次式（第1课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

第2章 简单的代数式 2.3 一次式 （第1课时）一次式、项与系数 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 给代数式按结构分类 学习目标 能辨认一次式，指出一次项、常数项和一次项的系数。 观察重点 看每个含字母的部分：字母有几个，指数是多少。 表达重点 每一项都连同符号一起读；分数系数、隐藏的1要看清。 知识讲授 观察原来的两组代数式 先看下面两组代数式： （1）、、； （2）、、． 第一组每个式子都可以看成“数乘一个字母”。 第二组由第一组那样的式子相加组成，有的还含有一个数。 知识讲授 第一组：数与一个字母的乘积 第（1）组中的每个代数式都是非零的数与一个指数是的字母的乘积．其中，可以看作，可以看作． 第一组是、、。 非零数字因数可以是正数、负数，也可以是分数。 知识讲授 第二组：这些式子相加，或再加上数 第（2）组中的代数式都是像第（1）组中那样的代数式的和，或者是像第（1）组中那样的代数式与数的和．例如，是、与的和． 第二组是、、。 读成和时，应连着负号看作一个部分。 知识讲授 一次式 像上面这样的代数式叫作一次式． 、、、、等都是一次式。 含字母的每个部分都符合前面第一组的结构；也可以与数相加。 知识讲授 哪些结构不属于本课的一次式 指数不符 、都含有字母的平方，不是一次式。 乘除结构不符 含两个字母相乘；的字母在分母，都不是一次式。 只有常数 只有一个数，没有一次项，按本课概念不属于一次式。 知识讲授 辨析　不要只看“有没有字母” （1）是一次式。 对 理由：是非零数与指数为1的字母的乘积。 （2）含两个字母，所以不是一次式。 错 理由：是两个符合条件的式子的和。 （3）与都是一次式。 错 理由：是两个字母的乘积，不符合结构。 （4）是一次式。 错 理由：只有一个常数，不含一次项。 方法：逐个看含字母的部分，再看它们之间的运算。 注意：一个式子中可以出现不同字母，但不能把两个字母相乘成一项。 知识讲授 项与一次项 我们把、称为一次式的项．因为、只含一个字母，且字母的指数是，所以又称为一次项． 有两项：和。 一次项连同它前面的符号一起看。 知识讲授 常数项 不含字母的项叫作常数项． 一次式的一次项是、，常数项是。 一次式的常数项是；一次式没有常数项。 知识讲授 项的边界：前面的符号跟着走 正、负都属于项 的三项依次为、、。 负常数也完整保留 的三项为、、。 分数不能拆开 是一项，是，不能拆成和。 知识讲授 一次项的系数 在一次式的含有字母的项中，数字因数叫作项的数字系数，简称系数． ，其系数是。 中，的系数是，的系数是。 知识讲授 没有写出的系数1 和的系数分别是、，而系数“”通常省略不写． ；。 省略的是系数1的书写，负号仍然必须保留。 知识讲授 一次项、系数、常数项各指什么 一次项：带着字母 在中，一次项是和。 系数：数字因数 上述两项的系数依次为和；要和字母一一对应。 常数项：不含字母 常数项是；它不是一次项，不列入一次项的系数。 环节归纳 辨认与读项，两条路线 先判断是不是一次式 （1）含字母部分必须是非零数乘一个指数为1的字母。 （2）逐项检查，不能因一部分合格就忽略平方或字母乘积。 再读项与系数 （1）连同前面的符号写出每一项。 （2）含字母的项读系数；不含字母的项读常数项。 例题讲解 例 1 指出一次式中的一次项、常数项及一次项的系数． 答：一次项：、；常数项：。 一次项的系数依次为、。 解 按带符号的项读取：、、。 前两项含一个字母且指数为1；最后一项不含字母。 把看作，把看作。 方法：先列项，再分一次项、常数项，最后写对应系数。 注意：不能把第二项的负号或分数分母遗漏。 例题讲解 变式 例 1 指出一次项、常数项及一次项的系数． （1） （2） 解第（1）题 一次项、；常数项；系数、。 三项为、、。 解第（2）题 一次项、；无常数项；系数、。 。 方法：常数项可以在开头；逐项辨认。 注意：的系数是。 方法：把分式写成数乘字母的结构来读。 注意：没有常数项时说明“无常数项”。 例题讲解 变式 例 1 一个一次式含两项：一项是，另一项是不含字母的。写出这个一次式，并指出一次项的系数与常数项。 答：一次式可写为；系数为，常数项为。 解 把给出的两项相加：。 含字母的项是，数字因数为。 不含字母的项为。 方法：从项到式，把每一项带着符号相加。 注意：一次项是一个完整的项，系数只是其中的数字因数。 环节归纳 例题解答要完整到哪里 三个栏目不能混 （1）一次项写完整的字母式，不能只写系数。 （2）常数项写带符号的数；没有时直接说明。 对应关系不能乱 （1）按一次项出现的次序写出系数。 （2）见到或时补想或。 课堂练习 练习1 找出下列代数式中的一次式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（1）题 是一次式。 是一次项，是常数项。 解第（2）题 不是一次式。 含有字母的平方。 方法：检查含字母部分是否满足要求。 注意：带常数项仍可以是一次式。 方法：逐个看含字母部分的指数。 注意：系数为负不能改变指数为2的事实。 课堂练习 练习1 找出下列代数式中的一次式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（3）题 是一次式。 是非零数3与指数为1的字母的乘积。 解第（4）题 不是一次式。 只有常数，不含一次项。 方法：一项也可以组成一次式。 注意：一次式不一定要有加号或减号。 方法：按本课概念，须有符合要求的一次项。 注意：负数仍是数，不能因为有负号就算一次式。 课堂练习 练习1 找出下列代数式中的一次式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（5）题 是一次式。 可看作。 解第（6）题 是一次式。 是、与的和。 方法：分母是数字时，先读出整个数字因数。 注意：不是所有带分数线的式子都要排除。 方法：每一个含字母部分都要符合要求。 注意：可以含多个不同字母的一次项。 课堂练习 练习2 指出下列一次式中的一次项、常数项和一次项的系数： （1） （2） （3） （4） （5） 解第（1）题 一次项；无常数项；系数。 。 解第（2）题 一次项、；无常数项；系数、。 两项分别为、。 方法：单个字母也按数乘字母来读。 注意：未写系数是1，不是0。 方法：分别读出两项的数字因数。 注意：不要只报告一个1而遗漏另一项。 课堂练习 练习2 指出下列一次式中的一次项、常数项和一次项的系数： （1） （2） （3） （4） （5） 解第（3）题 一次项；常数项；系数。 两项均要连同负号读取。 解第（4）题 一次项；无常数项；系数。 。 方法：先连符号列项，再分类型。 注意：常数项也要保留负号。 方法：把除以2看作数字因数中的分母。 注意：分母2不是字母的指数。 课堂练习 练习2 指出下列一次式中的一次项、常数项和一次项的系数： （1） （2） （3） （4） （5） 解第（5）题 一次项、；常数项；系数、。 三项为、、。 方法：按原次序写项与对应系数。 注意：不能写成，其系数不是1。 环节归纳 课堂练习怎样自查 一次式的边界 （1）纯数字不属于本课的一次式。 （2）含字母平方、字母相乘或字母在分母的式子要排除。 项与系数的边界 （1）一次项保留字母，系数只写数字因数。 （2）无常数项时不把任何字母项误写成常数项。 课堂小结 一次式 项与系数 辨认结构 一次项是非零数与一个指数为1的字母的乘积；这样的式子及其和，或再与数相加，可以构成一次式。 带符号读项 把式子读成各项的和，每一项都连同前面的符号；负号、分数和字母不能在拆分时遗漏。 区分两类项 含一个指数为1的字母的项是一次项；不含字母的项是常数项。一次式可以没有常数项。 对应找系数 一次项中的数字因数就是系数，可以为负数或分数；单独字母的系数是1，负字母的系数是负1。 特别提醒：按本课概念，9和−9都不是一次式；本课只辨认结构。 针对训练 训练1　把基础概念辨清楚 （1）是一次式。 对 理由：是非零数与一个指数为1的字母的乘积。 （2）不是一次式，因为有两个字母。 错 理由：两个字母分别处在不同的一次项中。 （3）是一次式的常数项，所以也是一次式。 错 理由：能作常数项不等于单独是一次式。 （4）的系数为。 错 理由：省略的系数为。 方法：把“整个式子”与“其中的一项”分开判断。 注意：纯数字与一次式中的常数项不是同一个说法。 针对训练 训练2　相似写法，结构未必相同 判断下列各式是否为一次式，并说明理由． （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 是一次式。 为一次项，为常数项。 解第（2）题 不是一次式。 中有两个字母相乘。 方法：查看含字母项的结构。 注意：分数系数符合要求。 方法：看字母之间的运算。 注意：没有平方符号也可能不是一次式。 针对训练 训练2　相似写法，结构未必相同 判断下列各式是否为一次式，并说明理由． （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 是一次式。 可写成。 解第（4）题 不是一次式。 字母在分母。 方法：把数字分母并入系数。 注意：除以数字6与除以字母不同。 方法：检查字母在分数中的位置。 注意：不能把它看成数乘。 针对训练 训练3　读出每一项的身份 指出一次项、常数项及一次项的系数． （1） （2） 解第（1）题 一次项、；常数项；系数、。 三项为、、。 解第（2）题 一次项、；常数项；系数、。 首项为常数，两项字母项都带负号。 方法：先带符号列项，再分类。 注意：第二项的系数1被省略。 方法：位置不能决定项的类型。 注意：常数项可以写在最前面。 方法总结 判断一次式的两次观察 先看每个含字母部分 （1）数乘一个指数为1的字母，才符合一次项结构。 （2）逐项检查平方、字母乘积和字母分母。 再看完整式子 （1）纯常数不属于本课的一次式。 （2）多个符合要求的一次项相加，可再带一个常数项。 针对训练 训练4　纠正一次式信息表 （1）的一次项是，系数是1。 错 理由：一次项是，系数是。 （2）的系数是。 错 理由：系数是整个数字因数。 （3）的常数项是。 对 理由：不含字母的完整一项为。 方法：把错误信息放回原式，逐字比较符号与分母。 注意：分母属于系数；项前的负号也属于项。 针对训练 训练5　按对应关系补全信息 补全一次式的信息： （1）一次项是什么？（2）对应系数是什么？ （3）常数项是什么？（4）共有几项？ 答：一次项为、；系数为、； 常数项为；共有项。 解 按和的组成，三项是、、。 前两项各含一个指数为1的字母；最后一项不含字母。 用读出省略的系数。 方法：按“项—类型—系数”顺序填写。 注意：不要把常数项计为一次项的系数。 针对训练 训练6　分数线与指数的对照 判断是否为一次式；若是，指出一次项、系数与常数项． （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 是；一次项，系数，无常数项。 。 方法：把分子中的负号连入数字因数。 注意：分子只写时，数字因数中仍有1。 针对训练 训练6　分数线与指数的对照 判断是否为一次式；若是，指出一次项、系数与常数项． （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 不是。 字母处于分母。 方法：看清分数线上下的位置。 注意：不能把数字5当作的系数。 针对训练 训练6　分数线与指数的对照 判断是否为一次式；若是，指出一次项、系数与常数项． （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 是；一次项，系数，常数项。 。 方法：先认定一次项，再单独读常数项。 注意：常数项1与系数不同。 针对训练 训练6　分数线与指数的对照 判断是否为一次式；若是，指出一次项、系数与常数项． （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 不是。 含有字母平方。 方法：看指数，再看其他部分。 注意：不能因为还含有常数1就忽略平方。 方法总结 含分数时怎样读得准确 先检查分数结构 （1）把数的部分连同分母一起读作系数。 （2）字母在分母时，不符合本课一次项结构。 再写完整数字因数 （1）符号、分子、分母一起保留。 （2）只有字母作分子时，别漏掉系数分子中的1。 针对训练 训练7　按要求构造一个一次式 写一个只含字母和的一次式，使所在一次项的系数为，所在一次项的系数为，常数项为。再指出这个式子的三个项。 答：可写为；三项为、、。 解 由系数和字母写出两个一次项：、。 再加上常数项，得到符合要求的式子。 方法：先由系数构造一次项，再添常数项。 注意：负常数相加写成减3，项本身仍是。 针对训练 训练8　同样三个符号，信息会改变 比较与：分别写出一次项和系数，并说明它们的常数项是否相同。 答：前式一次项、，系数、； 后式一次项、，系数、；常数项都为。 解 连同符号读取含、的两项。 前后两式中，同一字母所在一次项的符号都改变了。 不含字母的项始终是。 方法：对照同一个字母所在的完整项。 注意：式子用了相同字母和数字，不代表各项相同。 针对训练 训练9　常数项不取决于它写在哪里 分别指出、、中的一次项、系数与常数项。哪些式子的常数项相同？ 答：前两式：一次项，系数，常数项。 第三式：一次项，系数，常数项。 解 常数项按“不含字母”来找，与书写位置无关。 前两式的不含字母项均为；第三式为。 方法：先看字母有无，再保留该项符号。 注意：不能把减号固定当成后一项之外的符号。 方法总结 从项的信息双向理解一次式 由式子读信息 （1）带符号列项，再区分一次项与常数项。 （2）每个一次项的数字因数，与该项一一对应。 由信息构造式子 （1）用给定系数乘指定字母，写出一次项。 （2）把各项相加后，再回读一次验证所有要求。 针对训练 训练10　一个说法，两个反例 小明说：“含字母的代数式都是一次式；一次式中每个字母前必须写有数字。” 分别举一个反例，说明这两个说法为什么都不正确。 答：第一个反例可取；第二个反例可取。 解 虽含字母，但指数为2，不是一次式。 是一次式，其中的系数为，数字1省略未写。 方法：针对每一个断言，找一个不符合它却满足题意的例子。 注意：反例须说清结构理由，不能只写一个式子。 针对训练 训练11　应用：购买文具后的实际付款 一本笔记本元，一支签字笔元。购买本笔记本和支签字笔，结账时减免元（商品总价大于元）。 写出实际付款的一次式，指出一次项、系数和常数项，并解释常数项的意义。 答：实际付款为元。 一次项、；系数、；常数项。 解 笔记本费用，签字笔费用。 减免5元，故常数项为，表示付款减少5元。 方法：按每一类商品列出费用，再写固定增减金额。 注意：购买数量对应系数；减免金额对应负常数项。 针对训练 训练12　应用：长方形标牌的边框 一块长方形标牌的长为 cm，宽为 cm。 （1）用一次式表示标牌的周长； （2）指出其中的一次项、系数和常数项，解释它们表示哪部分边长。 答：周长为 cm。 一次项，系数，常数项。 解 两条长边共 cm，两条宽边共 cm。 系数2表示有两条长边；常数项12表示两条宽边的总长。 方法：先按长边、宽边两类分别求总长，再相加。 注意：这里求周长，单位是厘米；常数项仍表示实际长度。 方法总结 本课方法带走：结构与意义 结构辨认四点 （1）先排除纯常数、平方项、字母相乘与字母分母。 （2）逐项连符号读取，分别识别一次项和常数项。 （3）一次项中数字因数为系数，留意隐藏的1和−1。 联系数量解释各项 （1）每一项对应哪部分数量，先用语言说清楚。 （2）系数通常对应份数、单价或单位量，结合题意判断。 （3）正负常数项常表示固定增加或减少的数量。 $