2.2 代数式与代数式的值（第1课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

第2章 简单的代数式 2.2 代数式与代数式的值 （第1课时）代数式的概念与列式 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 学习目标：读懂关系，列出式子 识别概念 说清代数式是什么，能辨认单个数和字母也是代数式。 准确列式 从文字中找出运算顺序，正确使用括号、分数和乘方。 联系实际 用代数式表示购物、人数、面积及平均数。 复习引入 这些式子有什么共同点 从已有经验出发 表示两个数的和；表示与的积。 看结构 中有数、字母、运算符号和括号。 看作用 式子能把数量之间的关系简明地表示出来。 知识讲授 认识代数式 用运算符号或括号把数或字母连接而成的式子叫作代数式． 数与字母可以通过加、减、乘、除、乘方等运算连接。 例如、、都是代数式。 知识讲授 单独的数或字母也算 单独的一个数或字母也是代数式，如、、、等． 代数式不一定含有字母，如和。 代数式也不一定写出运算符号，如和。 知识讲授 概念辨析　式子与数量关系的判断 （1）、、都是代数式。 对 理由：单个数、单个字母也包括在内。 （2）代数式必须同时含有数和字母。 错 理由：单个数就是反例。 （3）是一个代数式。 错 理由：它用等号说明两边相等，不是单个代数式。 方法：按定义检查，不以有没有字母作唯一标准。 注意：等号两边的和各自是代数式。 知识讲授 读句子：先找最后一步 “……的和” 最终作加法。如“的倍与的和”写成。 “……的差” 最终作减法。先分清谁减去谁，减法顺序不可交换。 “……的倍数” 若把一个和扩大若干倍，要先加括号，再与倍数相乘。 知识讲授 括号保护一个整体 先和后乘 “与的和的倍”中，先把看成一个整体。 先乘后和 “的倍与的和”中，只有先乘。 并排对照 与对应不同的文字关系，括号决定先算什么。 知识讲授 分数与乘方：认准对象 倒数 当时，的倒数是；再减去才是。 平方与立方 的平方是；的立方是。 分数线 分数线同时有括号的作用，表示整个除以。 环节归纳 知识环节归纳 判断代数式看定义 （1）单个数或字母也在定义范围内。 （2）区分表示一个量的式子与含等号的关系。 列式按语义分层 （1）先找最后一步运算，再找参与运算的两个整体。 （2）遇到“和的”“差的”，检查是否需要括号。 例题讲解 例 1 用代数式表示： （1） 比的倍多的数； （2） 与的积的相反数； （3） 的立方与的和； （4） （）的倒数减去的差； （5） 减去的的差； （6） 与的和的倍． 解第（1）题 先取的倍，再加。 解第（2）题 积是，再取相反数。 方法：从比较基准的倍出发。 注意：“多”在这里对应加法。 方法：先表示整个积，再取相反数。 注意：负号要保留。 例题讲解 例 1 用代数式表示： （1） 比的倍多的数； （2） 与的积的相反数； （3） 的立方与的和； （4） （）的倒数减去的差； （5） 减去的的差； （6） 与的和的倍． 解第（3）题 先表示立方，再加。 解第（4）题 倒数为，再减去。 方法：找到立方所针对的数。 注意：立方不是乘以。 方法：先求倒数再作差。 注意：保证倒数存在。 例题讲解 例 1 用代数式表示： （1） 比的倍多的数； （2） 与的积的相反数； （3） 的立方与的和； （4） （）的倒数减去的差； （5） 减去的的差； （6） 与的和的倍． 解第（5）题 的是。 解第（6）题 先把和作为一个整体。 方法：被减数在前，减数在后。 注意：不是的。 方法：先和后倍，括号保护整体。 注意：不是只有乘以。 例题讲解 变式 例 1 用代数式表示。 （1） 减去的差的倍。 （2） 的倍减去的差。 解第（1）题 先作差，再取差的倍。 解第（2）题 先求，再减。 方法：先确定被扩大的是谁。 注意：差的整体需加括号。 方法：按文字先后辨认运算层次。 注意：只有乘。 例题讲解 例 2 设甲数是，乙数是．用代数式表示： （1） 甲数与乙数的和的倍； （2） 甲数的倍与乙数的倍的和； （3） 甲数减去乙数的差除以所得的商； （4） 甲数平方与乙数平方的和； （5） 甲数与乙数的和的平方． 解第（1）题 先求和，再乘。 解第（2）题 分别表示、，再相加。 方法：把甲乙两数之和看作整体。 注意：括号不能省略。 方法：先各自取倍数，再求和。 注意：两个倍数对应的字母不同。 例题讲解 例 2 设甲数是，乙数是．用代数式表示： （1） 甲数与乙数的和的倍； （2） 甲数的倍与乙数的倍的和； （3） 甲数减去乙数的差除以所得的商； （4） 甲数平方与乙数平方的和； （5） 甲数与乙数的和的平方． 解第（3）题 先作差，整体除以。 解第（4）题 分别平方，再把两个平方相加。 方法：整个差放在分子位置。 注意：不能写成。 方法：先看平方分别针对谁。 注意：平方不是乘以。 例题讲解 例 2 设甲数是，乙数是．用代数式表示： （1） 甲数与乙数的和的倍； （2） 甲数的倍与乙数的倍的和； （3） 甲数减去乙数的差除以所得的商； （4） 甲数平方与乙数平方的和； （5） 甲数与乙数的和的平方． 解第（5）题 先求和，再把整个和平方。 方法：整体平方需保留括号。 注意：与含义不同。 例题讲解 变式 例 2 用代数式表示，并说明先做哪一步。 （1） 与的差的平方。 （2） 的平方与的平方的差。 解第（1）题 ；先作差。 整个差是平方的对象。 解第（2）题 ；先分别平方。 两个平方之间再作减法。 方法：先找最后一步的运算对象。 注意：平方的对象是整个差。 方法：各自平方，最后相减。 注意：不可按字面近似把两个式子混同。 例题讲解 例 3 如图2–2–1，大正方形的边长为，小正方形的边长为，用代数式表示涂色部分的面积． 答：。 解 大正方形面积为，小正方形面积为。 涂色部分面积＝大正方形面积－小正方形面积。 方法：先认出“整体减去空白”的面积关系。 注意：边长差的平方与两个面积之差含义不同。 例题讲解 变式 例 3 如图，从长为、宽为的长方形纸片右下角剪去一个边长为的小正方形，剩余纸片的面积怎样表示？ 答：。 解 原长方形面积为。 减去小正方形的面积。 方法：分别求原面积和剪去面积，再作差。 注意：、、均为正数，且小正方形能放入长方形。 环节归纳 例题环节归纳 语言列式：最后一步统领全式 （1）“和的倍数”与“倍数的和”分开读。 （2）“差的平方”与“平方的差”分清对象。 图形列式：面积关系先于计算 （1）明确整体、空白与涂色部分。 （2）先用字母表示各部分面积，再按关系连接。 课堂练习 练习1 用代数式表示： （1） 比的倍少的数； （2） 减去的平方的差； （3） 的倍与的的和； （4） 的平方减去的平方的差． 解第（1）题 先取，再减去。 解第（2）题 减数是。 方法：比较基准是的倍。 注意：不是。 方法：先明确被减去的整个量。 注意：不是。 课堂练习 练习1 用代数式表示： （1） 比的倍少的数； （2） 减去的平方的差； （3） 的倍与的的和； （4） 的平方减去的平方的差． 解第（3）题 两部分是与。 解第（4）题 分别平方，再按顺序相减。 方法：先分别表示两部分再求和。 注意：分数只乘。 方法：保留“谁减去谁”的顺序。 注意：两数的差不先加括号平方。 课堂练习 练习2 地铁上原有人，到达某站后下去人，上来人．这时地铁上共有多少人？ 答：人。 解 下去人后剩人。 再上来人，在剩余人数上加。 方法：按人数变化的先后顺序列式。 注意：下车用减，上车用加；不能大于原有人数。 课堂练习 练习3 某文具店每支铅笔的售价为元，每块橡皮的售价为元．小海买了支铅笔和块橡皮，总共花了多少元？ 答：元。 解 铅笔共元，橡皮共元。 总费用＝两类文具费用之和。 方法：按商品种类分项，再求总价。 注意：每一种数量只乘它对应的单价。 课堂练习 练习4 某班开展包饺子的实践活动．该班有男生人、女生人，且男生平均每人包个饺子，女生平均每人包个饺子，则全班平均每人包多少个饺子？ 答：个。 解 男生共包个，女生共包个。 总个数除以总人数。 方法：平均每人的数量＝总数量÷总人数。 注意：人数可能不同，不能直接把与相加除以。 环节归纳 课堂练习环节归纳 分类求总量 （1）人数变化依次作加减，商品费用分项求和。 （2）每一项都要能说明它代表的实际数量。 平均数先合计再相除 （1）把每组人数乘对应的每人数量，得到各组总量。 （2）总量除以总人数；分母中的和是一个整体。 课堂小结 代数式 与列式 概念识别 用运算符号或括号把数或字母连接成式子；单个数、单个字母也包括在内，辨认时要联系定义。 语义分层 先找最后一步运算，再确定运算对象；把“和的倍数”“倍数的和”等相近表达仔细区分。 整体意识 多个数的和、差可看成一个整体；整体参与乘法、除法或乘方时，注意括号与分数线的作用。 实际模型 购物按种类求和，人数按变化加减，涂色面积作整体减空白，平均数用总量除以总份数。 特别提醒：列式后读回原意；本课重点是表示数量关系。 针对训练 训练1　用定义检验三个说法 （1）是代数式。 对 理由：单个数也是代数式。 （2）不是代数式，因为有分数线。 错 理由：它表示，是代数式。 （3）只有含字母的式子才是代数式。 错 理由：例如和都是代数式。 方法：对照定义，关注式子怎样组成。 注意：不把“是否含字母”当成唯一标准。 针对训练 训练2　倍数与多少 用代数式表示。 （1） 比的倍少的数。 （2） 比的一半多的数。 解第（1）题 先表示，再减。 解第（2）题 的一半是。 方法：找准比较的基准量。 注意：少不是乘以。 方法：先写分数部分，再加固定量。 注意：不是。 针对训练 训练3　倒数与相反数 用代数式表示。 （1） （）的倒数与的和。 （2） 与的积的相反数。 解第（1）题 先表示倒数，再加。 解第（2）题 积是，再取相反数。 方法：取倒数时分子写。 注意：条件不能忘。 方法：在整个积前加负号。 注意：这个式子不一定表示负数。 方法总结 训练1—3：概念与基本语言 概念检验用定义和反例 （1）单个数、单个字母都能成为代数式。 （2）对“一定”“只有”的说法，尝试找允许的反例。 基本运算分两层完成 （1）先写倍数、倒数或指定分数的部分。 （2）再根据外层的和、差或相反数连接。 针对训练 训练4　和的倍数与倍数的和 用代数式表示。 （1） 与的和的倍。 （2） 的倍与的和。 解第（1）题 先求，再乘。 解第（2）题 先取的倍，再加。 方法：“和的”提醒把和作为整体。 注意：括号内的两个量都属于这个和。 方法：先看倍数只修饰哪个量。 注意：不是两数的和都乘。 针对训练 训练5　平方差与差的平方 用代数式表示。 （1） 的平方减去的平方的差。 （2） 减去的差的平方。 解第（1）题 两个数分别平方，再相减。 解第（2）题 先作差，再把整个差平方。 方法：先看平方对象是单个数。 注意：不把差先看作整体。 方法：括号表示平方的完整对象。 注意：不能把它写成。 针对训练 训练6　分数线保护整体 用代数式表示。 （1） 与的和除以所得的商。 （2） 与除以所得商的和。 解第（1）题 整个和作被除数。 解第（2）题 只把除以，再加。 方法：整个被除数放在分子上。 注意：不是。 方法：认准“除以”只针对哪一部分。 注意：不是两数的和除以。 方法总结 训练4—6：相近语言做对照 圈出运算对象 （1）和或差整体被乘、被除、被平方时，保留整体。 （2）单个量先运算时，只对这个量写相应运算。 列式后读回文字 （1）从最内层开始，按次序读出式子的含义。 （2）把读出的语言与原题比较，检查括号和分数线。 针对训练 训练7　多层语言按顺序搭建 先把数增加，再把所得的和乘以，最后减去。用代数式表示最后得到的数。 答：。 解 第一步得到，第二步得到。 在第二步结果上减去，得到。 方法：把每一步结果当作下一步的完整输入。 注意：乘以针对整个，不是只乘。 针对训练 训练8　组合图形的面积 如图，两个不重叠的长方形的高都是，宽分别为、。用两种方法表示它们的总面积。 答：，或。 解 分别求面积再相加，得。 把两块拼成宽为的长方形，面积为。 方法：分别计算与整体计算都要对应清楚的图形。 注意：两块长方形高相同，拼合后总宽是。 针对训练 训练9　从代数式还原数量关系 某水箱中原有升水。先用去升，又注入升。小明写成。请指出错误，并写出正确的代数式。 答：正确为；注入升应增加水量。 解 用去升后剩升。 注入升后再加，不是再减。 方法：让式子中的每一个加减号对应实际增减。 注意：题中默认水量足够，且注水后没有溢出。 方法总结 训练7—9：过程与模型 连续过程逐步记录 （1）先表示当前数量，再进行下一次变化。 （2）检查加减号是否与增加、减少的实际含义一致。 几何模型允许多种列法 （1）分块求和与整体求面积可描述同一图形。 （2）解释每一部分含义，比机械记住式子更重要。 针对训练 训练10　双向翻译：从式子到文字 用一句话准确描述下列代数式的意义。 （1） （2） 解第（1）题 减去的差的四分之一。 分子是整体，最后除以。 解第（2）题 的平方的倍与的和。 先平方，再乘，最后加。 方法：先读分子，再读除法。 注意：不能读成与的四分之一的差。 方法：按运算层次读式子。 注意：不是的平方。 针对训练 训练11　应用：制作班级纪念册 制作一本纪念册的材料费为元，装订费为元。班级制作本，另付统一配送费元。用代数式表示总费用及平均每本分摊的费用。 答：总费用：元；平均每本：元。 解 每本制作费为元，本的制作费为元。 配送费只付一次；总费用再除以得到平均费用。 方法：先区分每本费用与一次性费用，再求总量和平均量。 注意：统一配送费不能按每本元重复计算。 针对训练 训练12　应用：两组志愿者的平均分装量 甲组有名志愿者，平均每人分装包种子；乙组有名志愿者，平均每人分装包。两组总人数大于，用代数式表示两组平均每人分装多少包。 答：包。 解 甲组共分装包，乙组共分装包。 两组总包数除以总人数。 方法：平均每人的数量必须由总量与总人数计算。 注意：不能无条件写成，因为两组人数未必相同。 方法总结 本课方法总结 列式三步：读关系—分整体—写规范 （1）找准最后一步运算和它的运算对象。 （2）把和、差等整体放进括号或分子中。 （3）式子读回原意，检查顺序、括号和字母意义。 应用三步：分项—合计—回答 （1）分别表示各部分数量，并确认单位一致。 （2）求平均数时先求总量与总份数。 （3）答案写明所求数量及单位，保留合理取值条件。 $