安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学 (120分钟 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=，则= A.-i B.+i C.-i D.+i 2.已知集合A={x∈N|-1≤log2(x+1)≤2}，B={x|-1<x<3}，则A∩B= A.{1，2} B.{0，1，2} C.{0，1} D.{2} 3.已知向量a=(-2，1)，a-5b=(3，6)，则|b|= A.1 B. C. D.3 4.已知“t∈(a，5a)”是“函数f(x)=xt-3在(0，+∞)上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是 A.(3，+∞) B.[3，+∞) C.(0，3) D.(0，3] 5.已知函数f(x)=ex+x的零点为x0，过原点作曲线y=f(x)的切线，切点为Q(a，b)，则= A. B.e C.1 D.-1 6.已知α，β∈0，，cos 2α=2cos 2β，且tan(α+β)=1，则tan(α-β)= A.- B. C. D.- 7.已知函数g(x)=2sin2ωx-+(ω>0)在-，上仅有一个极值点和一个零点，则ω的取值范围是 A.，1 B.1， C.，1 D.1， 8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形ABCDEF的边长为2，令=a，=b，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为1，G是圆O内含边界的动点，=xa+yb，则x+y的最大值是 A.2 B.5 C.4 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题为真命题的是 A.∀x∈N，>0 B.∃x∈R，x<x C.若a·b>0，则向量a与b的夹角为锐角 D.若c>0，a>b>0，则> 10.已知函数f(x)=sin 2xcos 2x+cos22x，则 A.将f(x)的图象向右平移个单位长度后可以得到一个奇函数的图象 B.将f(x)的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象 C.为了得到y=cos x的图象，可以先将f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，最后将所得图象向下平移个单位长度 D.f(x)在-，上的值域为0， 11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a，b，c∈R)，则 A.当b<0时，函数f(x)在R上不单调 B.当a=1，b=-3时，若函数f(x)至少有2个零点，则c的取值范围是-5， C.当b<0时，若直线l与曲线y=f(x)有3个不同的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，且|AB|=|AC|，则x1+x2+x3=-3a D.当a2≤b时，f(ex)≤f(ex)恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知z=为纯虚数，则实数a的值为　　　　.  13.已知在平行四边形ABCD中，=，=，且AE=2，AF=3，则·的值为　　　　.  14.已知函数f(x)=a(xex-x+1)，若关于x的不等式f(x)<ex至少有两个整数解，则实数a的取值范围为　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，在平面四边形ABCD中，AC=BD=2AB=2. (1)若∠ADB=，求∠ABD； (2)若∠ABD=∠ACD，CD=2，求AD. 16.(15分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，0<φ<的部分图象如图所示，B，C是图象与x轴的交点，D，E分别为图象的最高点与最低点.若(+)·(-)=8，且函数f(x)的图象关于点，0中心对称. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的解析式，并写出其函数图象的对称轴方程； (3)求·的值. 17.(15分)已知函数f(x)=a(x+1)+ln. (1)求f(x)的定义域； (2)证明曲线y=f(x)是中心对称图形，并求其对称中心； (3)当x∈(-1，0)时，f(x)<0恒成立，求实数a的最大值. 18.(17分)某海域有港口A，在港口A的周边有B，C，D三个观察站，如图所示，已知观察站B与观察站D到港口A的距离相等，观察站B，C间的距离为200海里，2BCsin∠ACB+=AC+AB. (1)求从港口A望观察站B和C所成的视角∠BAC； (2)求观察站C，D间的距离的取值范围； (3)当观察站B，C离港口A的距离之和最大时，求观察站C，D间的距离. 19.(17分)在平面直角坐标系xOy中，定义函数f(x)=psinx+qcosx的“和谐向量”为非零向量m=(p，q)，非零向量n=(p'，q')的“和谐函数”为F(x)=p'sinx+q'cosx.记平面内所有非零向量的“和谐函数”构成的集合为S. (1)已知α∈R，f(x)=3sin(α-x)+cosx，若函数f(x)为集合S中的元素，求其“和谐向量”的模的取值范围. (2)已知a=(1，2)，b=(1，1)，设c=a+λb(λ>0)，且c的“和谐函数”为g(x)，其最大值为，求λ的值. (3)已知P(-2，3)，Q(2，6)，设(1)中的“和谐向量”的模取得最大值时的“和谐函数”为h(x)，设k(x)=h(x)，试问在y=k(x)的图象上是否存在一点R，使得·=0?若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案 1.D 【解题分析】z====，则=+i. 2.B 【解题分析】A=x∈Nlog2≤log2(x+1)≤log24=x∈N≤x+1≤4={0，1，2，3}，所以A∩B={0，1，2}. 3.B 【解题分析】5b=a-(a-5b)=(-2，1)-(3，6)=(-5，-5)，所以b=(-1，-1)，故|b|=. 4.B 【解题分析】因为函数f(x)=xt-3在(0，+∞)上单调递增，所以t-3>0，解得t>3. 因为“t∈(a，5a)”是“函数f(x)=xt-3在(0，+∞)上单调递增”的充分不必要条件，且a>0，所以(a，5a)是(3，+∞)的真子集，所以a≥3. 5.C 【解题分析】由题意得f'(x)=ex+1，切点Q的坐标为(a，ea+a)，则切线方程为y=(ea+1)(x-a)+ea+a，因为切线过原点，所以0=(ea+1)(-a)+ea+a，解得a=1. 依题意得+x0=0，即x0=ln(-x0)，所以=1. 6.A 【解题分析】因为α，β∈0，，所以α+β∈(0，π)，因为tan(α+β)=1，所以α+β=. (方法一)因为α=-β，所以cos 2α=cos-2β=sin 2β，所以sin 2β=2cos 2β， 即tan 2β=2，所以tan(α-β)=tan-2β==-. (方法二)由cos2α=2cos2β，得cos[(α+β)+(α-β)]=2cos[(α+β)-(α-β)]， 得-cos(α+β)cos(α-β)=3sin(α+β)sin(α-β)，所以tan(α-β)=-. 7.A 【解题分析】g(x)=2sin2ωx-+=2sin2ωx-+(ω>0). 因为x∈-，，所以2ωx-+∈-+，， 由g(x)在-，上仅有一个极值点和一个零点，得-π≤-+<-，解得<ω≤1. 8.D 【解题分析】由题意知x≠0，且y≠0，所以=a+b. 令=，则=+，且x+y=. 因为+=1，所以P，B，F三点共线. 当||取到最大值||时，AH⊥BF，AQ⊥CE，H，Q分别为垂足，如图所示， 所以点A到线段BF的最短距离为AH，即||恰好取到最小值||，所以x+y≤=3. 9.BD 【解题分析】对于A项，当x=0时，=0，所以A项是假命题； 对于B项，∀x∈(-∞，0)，x<x，所以B项是真命题； 对于C项，当a·b>0时，向量a与b的夹角可以为0，所以C项是假命题； 对于D项，-==>0，即>，所以D项是真命题.故选BD. 10.BCD 【解题分析】易知f(x)=sin 4x+cos 4x+=sin4x++. 对于A项，将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=sin 4x+的图象，该图象对应的函数不是奇函数，所以A项错误； 对于B项，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y=cos 4x+的图象，该图象对应的函数是偶函数，所以B项正确； 对于C项，将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y=sinx++，再将其图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=cos x+，最后将其图象向下平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=cos x，所以C项正确； 对于D项，当x∈-，时，4x+∈-，，所以sin4x+∈-，1， 所以f(x)在-，上的值域为0，，所以D项正确.故选BCD. 11.ACD 【解题分析】对于A项，f'(x)=x2+2ax+b，当b<0时，Δ=4a2-4b>0恒成立，所以函数f(x)在R上不单调，故A项正确； 对于B项，当a=1，b=-3时，f'(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1)，令f'(x)=0，解得x=-3或x=1，若f(x)至少有2个零点，则极大值f(-3)=9+c≥0，且极小值f(1)=c-≤0，所以c的取值范围是-9，，故B项错误； 对于C项，由题意得A一定是对称中心点，根据A项的分析知f(x)在R上有一个极大值点和一个极小值点，分别记为x4，x5，令f'(x)=x2+2ax+b=0，则x4+x5=-2a，易知x1==-a，所以x1+x2+x3=3x1=-3a，故C项正确； 对于D项，当a2≤b时，结合A项的分析知Δ=4(a2-b)≤0，所以f'(x)≥0，即函数f(x)在R上单调递增，令h(x)=ex-ex，则h'(x)=e-ex，则h(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以h(x)≤h(1)=0，即ex≤ex，所以f(ex)≤f(ex)，故D项正确. 12.-1 【解题分析】z===，因为z为纯虚数，所以=0，且≠0，解得a=-1. 13.- 【解题分析】因为=，所以==，所以=+=+. 同理得=+=+，所以+=(+)=，-=(-)=， 所以·=-=-5，所以·=-. 14.(-∞，1) 【解题分析】由a(xex-x+1)<ex，得ax-<1，令h(x)=x-，则h'(x)=1-=， 令t(x)=ex+x-2，易知t(x)单调递增，且t(0)=-1<0，t(1)=e-1>0， 所以存在x0∈(0，1)，使得t(x0)=0， 当x∈(-∞，x0)时，t(x)<0，即h'(x)<0，所以h(x)单调递减， 当x∈(x0，+∞)时，t(x)>0，即h'(x)>0，所以h(x)单调递增， 所以h(x)≥h(x0)=，因为ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立， 所以h(x)≥h(x0)=>=>0， 当x≤0时，h(x)单调递减，h(x)≥h(0)=1，当x≥1时，h(x)单调递增，h(x)≥h(1)=1. ①当a≤0时，a·h(x)<1恒成立，此时a·h(x)<1有无穷多个整数解，符合题意； ②当a≥1，即≤1时，因为函数h(x)在(-∞，0]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增， 所以当x∈Z时，h(x)≥1≥，此时不等式a·h(x)<1无整数解，不符合题意； ③当0<a<1时，因为h(0)=h(1)=1<，显然0，1是不等式a·h(x)<1的两个整数解，符合题意.综上所述，a∈(-∞，1). 15.【解题分析】(1)在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB，可得AD=，所以AD2+AB2=BD2，所以∠ABD=. 4分 (2)CD=AC=BD=2AB=2， 在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos∠ABD， 所以AD2=5-4cos∠ABD，　① 在△ACD中，由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos∠ACD， 所以AD2=8-8cos∠ACD，　② 联立①②可得5-4cos∠ABD=8-8cos∠ACD. 因为∠ABD=∠ACD，所以cos∠ABD=cos∠ACD=， 所以AD=. 13分 16.【解题分析】(1)由题图知A=，由图象的对称性知C为线段DE的中点， 因为(+)·(-)=8，所以2·=2||2=8，所以||=2， 即=2，故函数f(x)的最小正周期为4. 4分 (2)由(1)知ω==，故f(x)=sinx+φ. 因为函数f(x)的图象关于点，0中心对称，所以×+φ=kπ，k∈Z， 即φ=-+kπ，k∈Z，因为0<φ<，所以φ=，故f(x)=sinx+. 令x+=+kπ，k∈Z， 得函数y=f(x)的图象的对称轴方程为x=+2k，k∈Z. 10分 (3)由图象的对称性知|DB|=|DC|，所以tan∠DBC=，所以∠DBC=60°， 所以|BD|=|DC|=|BC|=2，故△BCD为正三角形. 在△BCE中，|BC|=|CE|=2，∠BCE=120°，所以∠CBE=30°， 所以∠DBE=90°，所以·=0. 15分 17.【解题分析】(1)由>0，解得x∈(-2，0)，故f(x)的定义域为(-2，0). 2分 (2)由(1)知x∈(-2，0)，若曲线y=f(x)是中心对称图形，则其对称中心的横坐标必为-1. 因为f(-2-x)+f(x)=a(-2-x+1)+ln+a(x+1)+ln=ln 1=0， 所以曲线y=f(x)是中心对称图形，其对称中心为(-1，0). 6分 (3)令t=x+1，因为x∈(-1，0)，所以t∈(0，1)， 则F(t)=at+ln=at+ln(1-t)-ln(t+1)，t∈(0，1)， 则F'(t)=a+-=a+. 当a≤2时，a+<0，故F'(t)<0恒成立，故F(t)在(0，1)上单调递减， 故F(t)<F(0)=0，符合题意； 当a>2时，则当0<t<<1时，F'(t)>0， 故F(t)在0，上单调递增，故F(t)>F(0)=0，不合题意，舍去. 综上所述，a≤2，即a的最大值为2. 15分 18.【解题分析】(1)由两角和的正弦公式得BCsin∠ACB+BCcos∠ACB=AC+AB， 由正弦定理得sin∠BACsin∠ACB+sin∠BACcos∠ACB=sin∠ABC+sin∠ACB， 又sin∠ABC=sin(∠BAC+∠ACB)=sin∠BACcos∠ACB+cos∠BACsin∠ACB， 所以sin∠BACsin∠ACB-cos∠BACsin∠ACB=sin∠ACB. 因为sin∠ACB≠0，所以sin∠BAC-cos∠BAC=1，即sin∠BAC-=， 因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC-∈-，，所以∠BAC-=， 即∠BAC=，故从港口A望观察站B和C成60°. 5分 (2)由(1)知，在△ACD中，∠CAD=，设CD=x， 由余弦定理得AC2+AD2-2AC·AD·cos=x2， 因为AD=AB，所以AC2+AB2+AC·AB=x2，　① 同理，在△ABC中，可得AB2+AC2-AB·AC=40 000，　② 由①+②得AB2+AC2=， 由①-②得AB·AC=， 因为AB2+AC2≥2AB·AC，所以≥x2-40 000，即x2≤120 000， 因为AB·AC=>0，所以x2>40 000，所以40 000<x2≤120 000， 所以200<x≤200，即CD∈(200，200]. 12分 (3)由(2)知，在△ABC中，AB2+AC2-AB·AC=40 000， 即(AB+AC)2-3AB·AC=40 000， 因为AB·AC≤2， 所以40 000=(AB+AC)2-3AB·AC≥(AB+AC)2-32=(AB+AC)2， 所以AB+AC≤400，当且仅当AB=AC=200时，等号成立， 此时，在△ACD中，AC=AD=200，∠CAD=，可得CD=2AC·cos=200， 即观察站C，D间的距离为200海里. 17分 19.【解题分析】(1)f(x)=3sin(α-x)+cosx=3(sinαcosx-cosαsinx)+cosx， 即f(x)=-3cosαsinx+(3sinα+1)cosx， 由题意可知函数f(x)的“和谐向量”为m=(-3cosα，3sinα+1)， 则|m|==. 因为α∈R，所以sinα∈[-1，1]，可得6sinα+10∈[4，16]， 所以|m|的取值范围为[2，4]. 6分 (2)因为a=(1，2)，b=(1，1)，所以c=a+λb=(1+λ，2+λ)， 所以g(x)=(1+λ)sin x+(2+λ)cos x=sin(x+φ)，其中tan φ=.因为g(x)的最大值为，所以=，化简得λ2+3λ-4=0，解得λ=1或λ=-4(舍去)，所以λ=1. 10分 (3)由(1)知，当sin α=1时，|m|取得最大值，此时m=(0，4)，所以k(x)=h(x)=2cos x.设R(x，y)，则=(x+2，y-3)，=(x-2，y-6). 若存在，则·=0，即(x+2)(x-2)+(y-3)(y-6)=0，化简得x2+y2-9y+14=0，所以y-2=-x2(*)，所以y-≤，即2≤y≤7，而y=2cos x∈[-2，2]， 所以当且仅当y=2，x=0时，等式(*)成立， 所以在y=k(x)的图象上存在点R(0，2)，使得·=0. 17分 ( 第 9 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $