精品解析：安徽省临泉第二中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

高三数学 （120分钟 150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A，求交集即可. 【详解】， 所以， 故选：A 2. 已知复数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据共轭复数的概念求，结合条件关系列方程，解方程可得，由此可得结论. 【详解】设，则， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 3. 已知，且，则“成立”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得到不等式成立的充要条件，结合选项得出答案. 【详解】， 当时，，所以； 当时，，所以， 综上，， 要找“成立”的充分不必要条件，即找的子区间， 结合选项可知是成立的充分不必要条件， 故选：B 4. 为了鼓励学生锻炼身体，强健体魄，增强抵抗病毒能力，某校决定加强体育活动并对学生的体育成绩进行定期统计，下表是该校高三年级200名学生某次体育测试成绩的样本频率分布表： 分组 频率 0.12 0.13 0.4 0.24 0.11 则该次高三年级体育测试成绩中位数的估计值位于区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中位数的取值恰好将该数值左右的频率平分成，据此求解. 【详解】由题意，的频率是，的频率是， 可知中位数落在上， 设中位数为，则，解得. 故选：C 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数值在上的符号可判断AC不正确；根据函数在上的单调性可判断B不正确. 【详解】当时，，故AC不正确； 当时，，且为减函数，所以为增函数，故B不正确. 故选：D. 6. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，利用双曲线的定义表示，根据求出，在中利用余弦定理可求得的值，即可得到的值. 【详解】 由题意得，，，， 由双曲线定义得，，∴. ∵，∴，，， ∵， ∴，∴. 在中，由余弦定理得，， 解得或（舍）， ∴. 故选：A. 7. 在三棱锥中，分别是棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，取中点，连接，，则 ，，从而建立空间直角坐标系，利用向量求出二面角的余弦值即可. 【详解】在三棱锥中，， 分别是棱的中点， 当三棱锥的体积最大时，平面平面， 如图：取中点，连接，，则 ，， 平面平面，平面平面，，平面， 则平面， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 所以设平面的一个法向量为 则，即，令，则，， 故， 设平面的一个法向量为 则，即，令，则，， 故， 所以. 由图知，二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为. 故选：C. 8. 设（为自然对数的底数），，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再比较大小. 【详解】设，，，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ，，， 因为，所以. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式及余弦的二倍角公式先求出，然后根据正弦二倍角，余弦二倍角，同角三角函数的关系判断BCD. 【详解】由题意可知： ，则，故A正确； 因为为锐角，所以，所以，， 所以，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 10. 已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，在单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的性质可得与的单调性，利用单调性逐项判断即可. 【详解】根据题意，由奇偶函数的性质可得， 在上单调递增，在上单调递减，在R上单调递减， 则，， 对于A，由题意只能得到，并不能确定的正负号，所以无法判断与的大小，故A错误； 对于B，由题意只能得到，并不能确定的正负号，所以无法判断与的大小，故B错误； 对于C，因为，在R上单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为，在R上单调递减，所以，故D正确. 故选：CD 11. 已知是的导函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 将图象上所有的点向左平移个单位长度可得的图象 B. 与的图象关于直线对称 C. 与的值域相同 D. 当时，与在区间上的单调性相同 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求得的导函数，然后根据三角函数图像平移验证A选项的正误，根据函数的对称性验证B选项的正误，根据求三角函数的值域验证C选项的正误，根据求解三角函数的单调性验证D选项的正误. 【详解】对于A：，. 将的图像向左平移个单位得的图像，故A选项正确； 对于B：已知的图像与的图像关于直线对称， ，故B选项错误； 对于C：， 其中，值域为， ， 其中，值域为，故C选项正确； 对于D：当时，，， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 综上可知和在上的单调性相反，故D选项错误. 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，在四边形中，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算即可得解. 【详解】因为在四边形中，， 所以 . 故答案为：. 13 某人骑共享单车上班，第一条路线较短但拥挤，路途用时（单位：）服从正态分布；第二条路线较长但不拥挤，路途用时（单位：）服从正态分布.若有一天他出发时离上班时间还有8，则___________（精确到0.0001）（参考数据：） 【答案】0.0165 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出指定区间的概率即可. 【详解】由，得， 由，得， 所以 故答案为：0.0165 14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若以为直径的圆与直线交于点，则当时，直线的斜率为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】设则依题得，，将用坐标表示，推得，设直线的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，三式联立即可求得直线斜率. 【详解】 如图，设因点关于轴对称的点为，故， 因轴，是圆的直径，则，故轴，则. 由可得，即得，也即 . 又，依题意，显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，代入，消去，得， 则且，由，解得或， 分别代入中，可得或，故直线的斜率为：或. 故答案为：或. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求的面积； （2）若是线段的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理求出，求出的面积； （2）由平面向量中点的性质得，再利用平面向量的数量积运算法则即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 因为，所以，又， 所以的面积. 小问2详解】 因为D是线段的中点， 所以，即， 则| ， 所以，故的长为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点，. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作PA的中点F，连接EF，FG，通过证明平面∥平面，可得平面； （2）利用等体积法求出点D到平面距离为h，设PD与平面所成的角为,所以，求出线面角. 【小问1详解】 如图，作PA的中点F，连接EF，FG. 因为E，F，G分别是棱AB，AP，PD中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又底面为平行四边形， 所以，则， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面∥平面. 又平面，所以平面. 【小问2详解】 因为， 所以，所以. 因为，所以，所以. 因为平面， 所以平面. 因为，所以，所以， 因为平面， 所以平面，所以平面，因为平面， 所以. 设点D到平面的距离为h，又， 所以，所以. 设PD与平面所成的角为,所以， 因为，所以， 所以PD与平面PBC所成的角为. 17. 已知在数列中，，且满足. （1）求证：数列是等比数列. （2）设数列满足，求最小实数，使得对一切正整数均成立. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，取倒数变形，结合等比数列定义推理得证. （2）由（1）求出通项公式，再利用分组求和及裂项相消法求和，并借助单调性求出范围即可得解. 【小问1详解】 依题意，，由，得，则， 由，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，数列， 当为奇数时，，当为偶数时，， 因此 ， 而数列是递减数列，则数列是递增数列， 因此恒成立，又恒成立，则， 所以m的最小值为. 18. 为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，推进生态文明建设，由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行.某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，该宣传小分队记录了前10周普及的人数，得到下表： 时间x/周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每周普及的人数y 82 94 121 140 196 205 190 256 298 318 并计算得 （1）从这10周的数据中任选4周的数据，以X表示4周中每周普及宣传人数不少于240的周数，求X的分布列和数学期望； （2）由于统计工作人员的疏忽，第10周的数据统计有误，如果去掉第10周的数据，试用剩下的数据求出每周普及的人数y关于周数x的线性回归方程（精确到0.01）. 附：线性回归方程中，. 【答案】（1）分布列见解析，数学期望： （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定X所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得数学期望； （2）去掉第10周的数据后，可重新计算最小二乘法所需数据，由此可求得回归直线方程. 【小问1详解】 X的可能取值为0，1，2，3， =， ==， =， =. X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 【小问2详解】 去掉第10周的数据后可得新数据如下： 时间x/周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 每周普及的人数y 82 94 121 140 196 205 190 256 298 则，=， 去掉第10周的数据前， ， ， ， ， ， 所以， 故剩下的数据所求出的线性回归方程为. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个极值点，，当时，求的最大值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据分类讨论求函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系； （2）由，是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将转变为关于某一变量的新函数，分析新函数的单调性从而确定出新函数的最大值即的最大值. 【小问1详解】 由求导得，. 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，方程的， 所以，在上单调递增； 当时，， 由，解得，， 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在和上单调递增. 【小问2详解】 若有两个极值点，， 则，由方程知，. ， 令()， 则， 所以在上单调递减，所以. 所以的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学 （120分钟 150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则“成立”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 为了鼓励学生锻炼身体，强健体魄，增强抵抗病毒能力，某校决定加强体育活动并对学生体育成绩进行定期统计，下表是该校高三年级200名学生某次体育测试成绩的样本频率分布表： 分组 频率 0.12 0.13 0.4 0.24 0.11 则该次高三年级体育测试成绩中位数的估计值位于区间（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 7. 在三棱锥中，分别是棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设（为自然对数的底数），，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，在单调递减，则（ ） A. B. C D. 11. 已知是的导函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 将图象上所有的点向左平移个单位长度可得的图象 B. 与的图象关于直线对称 C. 与的值域相同 D. 当时，与在区间上的单调性相同 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，在四边形中，，则___________. 13 某人骑共享单车上班，第一条路线较短但拥挤，路途用时（单位：）服从正态分布；第二条路线较长但不拥挤，路途用时（单位：）服从正态分布.若有一天他出发时离上班时间还有8，则___________（精确到0.0001）（参考数据：） 14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若以为直径的圆与直线交于点，则当时，直线的斜率为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求面积； （2）若是线段的中点，求的长. 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点，. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的大小. 17. 已知在数列中，，且满足. （1）求证：数列等比数列. （2）设数列满足，求最小实数，使得对一切正整数均成立. 18. 为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，推进生态文明建设，由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行.某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，该宣传小分队记录了前10周普及的人数，得到下表： 时间x/周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每周普及的人数y 82 94 121 140 196 205 190 256 298 318 并计算得 （1）从这10周的数据中任选4周的数据，以X表示4周中每周普及宣传人数不少于240的周数，求X的分布列和数学期望； （2）由于统计工作人员的疏忽，第10周的数据统计有误，如果去掉第10周的数据，试用剩下的数据求出每周普及的人数y关于周数x的线性回归方程（精确到0.01）. 附：线性回归方程中，. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个极值点，，当时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$