奥数思维培优 第9讲 组合图形·割补法（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

人教版 · 五年级上册奥数思维培优 第9讲 组合图形 · 割补法 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第9讲 专题 组合图形——割补法 适用年级 小学五年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★☆☆ 前置知识 平行四边形、三角形、梯形面积 核心方法 割、补、平移 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 会用割、补、平移法求组合图形面积。 过程与方法 经历"化整为零→分别求积→合并"的过程。 思维品质 培养转化的数学思想。 情感应用 体会割补法在生活中的价值。 三、情境导入 小明家的客厅铺地板，地面形状像一个大写的L，不是长方形也不是正方形。 动脑筋：怎么算它的面积？ 妙招：沿着虚线一切，就变成两个长方形！ 图1 L形客厅 把复杂图形变成简单图形，这就是割补法。 四、知识导航 组合图形求面积的三种方法： 图2 三种方法 方法 操作 适用 割 分成几个基本图形，分别求面积再相加 图形可以分块 补 补成完整图形，减去补上的部分 有缺口的图形 平移 移动图形拼成规则图形 不规则但有对应边 五、易错辨析 常见错误 正确做法 割后重复计算 分割线不能穿过内部 补后忘减 补的部分一定要减掉 单位不统一 先统一单位再计算 找错对应边 注意看图上标注的数据 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从割补法到综合应用；每例后附一道变式练习。 例1【割法】 题目：求L形面积：左边长方形长5宽3，右边长方形长3宽2（拼在一起，如图）。 分析：分割法：沿接缝分开，分别求两个长方形面积再相加。 详解： 左边：5×3=15（平方厘米）。 右边：3×2=6（平方厘米）。 总面积：15+6=21（平方厘米）。 图3 割法 方法点睛：割法口诀：切成基本图形，各求各的面积。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：求面积：左边长方形长7宽4，右边长方形长4宽3。 解答： 7×4+4×3=28+12=40（平方厘米）。 点拨：与例1同法：割成两个长方形相加。 例2【补法】 题目：求面积：长方形长8宽4，右上角被切掉一个三角形（底2高3）。 分析：补法：先算完整长方形，再减去切掉的三角形。 详解： 完整长方形：8×4=32（平方厘米）。 三角形：2×3÷2=3（平方厘米）。 剩余面积：32−3=29（平方厘米）。 图4 补法 方法点睛：补法口诀：完整图形−切掉的部分。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：长方形长10宽6，左上角切掉三角形（底4高3）。剩余面积是多少？ 解答： 10×6−4×3÷2=60−6=54（平方厘米）。 点拨：与例2同法：补成完整图形再减。 例3【平移法】 题目：求面积：平行四边形底6高2，右端接一个小三角形，整体像"房子"形。 分析：平移法：把小三角形移到左边，正好补成一个平行四边形。 详解： 平移后是平行四边形。 底=6，高=2。 面积=6×2=12（平方厘米）。 图5 平移法 方法点睛：平移法：移动图形拼成规则图形。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：求面积：底8高3的平行四边形（可平移拼接）。 解答： 面积=8×3=24（平方厘米）。 点拨：与例3同法：平移拼接。 例4【正方形减圆】 题目：正方形边长8厘米，中间有一个圆（半径1.5厘米）。求正方形去掉圆后阴影部分面积。（π取3.14） 分析：补法思路：整个正方形面积减去圆面积。 详解： 正方形：8×8=64（平方厘米）。 圆：3.14×1.5×1.5=3.14×2.25=7.065（平方厘米）。 阴影：64−7.065=56.935（平方厘米）。 图6 正方形减圆 方法点睛：含圆的组合图形：整体−圆面积。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：正方形边长10厘米，中间圆半径2厘米。求阴影面积。 解答： 100−3.14×4=100−12.56=87.44（平方厘米）。 点拨：与例4同法：整体−圆。 例5【两个正方形】 题目：大正方形边长4厘米，小正方形边长3厘米，并排拼成组合图形。求总面积。 分析：两个正方形面积相加即可。 详解： 大正方形：4×4=16（平方厘米）。 小正方形：3×3=9（平方厘米）。 总面积：16+9=25（平方厘米）。 图7 两个正方形 方法点睛：多个简单图形拼合：分别求积再相加。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：边长5和边长4的两个正方形并排拼在一起，总面积是多少？ 解答： 25+16=41（平方厘米）。 点拨：与例5同法：分别求积相加。 例6【综合应用】 题目：求组合图形面积：长方形5×3，右边接一个高4宽3的长方形，再在右上角加一个小三角形（底3高1）。 分析：先分块求各图形面积，再加总。 详解： 长方形1：5×3=15（平方厘米）。 长方形2：3×4=12（平方厘米）。 三角形：3×1÷2=1.5（平方厘米）。 总面积：15+12+1.5=28.5（平方厘米）。 图8 综合应用 方法点睛：复杂组合图形：先分割成基本图形，再依次求和。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：求面积：长方形6×4，右边接梯形（上底2下底4高3）。 解答： 24+(2+4)×3÷2=24+9=33（平方厘米）。 点拨：与例6同法：分块求和。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【割补综合】（某名校小升初真题） 题目：一个等腰直角三角形（直角边6厘米）中剪去一个最大的圆（半径2厘米）。求剩下图形的面积。（π取3.14） 分析：三角形面积减去圆面积。 详解： 三角形：6×6÷2=18（平方厘米）。 圆：3.14×2×2=12.56（平方厘米）。 剩下：18−12.56=5.44（平方厘米）。 方法点睛：最大圆问题：整体−圆。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：直角边8厘米的等腰直角三角形，剪去半径2厘米的圆，剩下多少？ 解答： 32−12.56=19.44（平方厘米）。 点拨：与真题1同法：整体−圆。 真题2【生活应用】（某重点中学分班考试真题） 题目：学校操场如图：中间是长方形（长100米宽60米），两端各接一个半圆（直径60米）。操场面积是多少？（π取3.14） 分析：长方形+两个半圆（合起来是一个整圆）。 详解： 长方形：100×60=6000（平方米）。 两个半圆合起来=整圆：3.14×30×30=2826（平方米）。 总面积：6000+2826=8826（平方米）。 方法点睛：两个半圆拼成一个整圆是常见转化。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：操场中间长方形长80米宽40米，两端半圆直径40米。面积多少？ 解答： 3200+3.14×20×20=3200+1256=4456（平方米）。 点拨：与真题2同法：长方形+整圆。 八、方法总结表 方法 操作步骤 例 割 分块→各求→相加 15+6=21 补 补完整→求整→减去 32−3=29 平移 移动→拼规则→求积 6×2=12 整体减 整体−空白部分 64−7.065 分块求和 多个简单图形相加 15+12+1.5 九、解题口诀 组合图形面积难，割补平移记心间； 能割就割分块算，各求面积再相加； 有缺口来就补齐，整体减去补上的； 两个半圆拼整圆，生活图形巧转化。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 两个长方形拼成L形：左边长5宽2，右边长3宽2。总面积是多少？ A2. 长方形长9宽5，切掉一个三角形（底4高3）。剩余面积是多少？ A3. 正方形边长6厘米，剪去半径1厘米的圆。剩下面积是多少？（π取3.14） A4. 边长4和边长5的两个正方形拼在一起，总面积是多少？ A5. 平行四边形底8高3（可平移拼接），面积是多少？ B组 能力提升（5题） B6. 长方形长12宽6，右上角切掉三角形（底4高6）。剩余面积是多少？ B7. 操场：长方形长80宽50，两端各接半圆（直径50）。操场面积是多少？（π取3.14） B8. 三角形底10高6，内部有一个半径1的圆。阴影面积是多少？（π取3.14） B9. 梯形上底6下底10高5，减去一个半径2的半圆。剩下面积是多少？（π取3.14） B10. 求组合面积：长方形7×4，上面接三角形底7高3。 C组 思维挑战（5题） C11. 大正方形边长10，四个角各剪去一个边长2的小正方形。剩下面积是多少？ C12. 两个长方形重叠：长6宽4，重叠部分长2宽2。总面积是多少？ C13. 圆半径5厘米，外切正方形边长10厘米。正方形与圆之间环形（四角）面积是多少？（π取3.14） C14. 直角梯形上底4下底8高6，减去一个半径3的整圆。剩下面积是多少？（π取3.14） C15. 学校花坛：长方形长20宽10，两端各接半圆（直径10）。花坛面积是多少？（π取3.14） 十一、参考答案与详细解析 A1 5×2+3×2=10+6=16（平方厘米）。 A2 9×5−4×3÷2=45−6=39（平方厘米）。 A3 36−3.14×1×1=36−3.14=32.86（平方厘米）。 A4 4×4+5×5=16+25=41（平方厘米）。 A5 8×3=24（平方厘米）。 B6 12×6−4×6÷2=72−12=60（平方厘米）。 B7 80×50+3.14×25×25=4000+1962.5=5962.5（平方米）。 B8 10×6÷2−3.14×1×1=30−3.14=26.86（平方厘米）。 B9 (6+10)×5÷2−3.14×2×2÷2=40−6.28=33.72（平方厘米）。 B10 7×4+7×3÷2=28+10.5=38.5（平方厘米）。 C11 100−4×2×2=100−16=84（平方厘米）。 C12 6×4×2−2×2=48−4=44（平方厘米）。 C13 100−3.14×25=100−78.5=21.5（平方厘米）。 C14 (4+8)×6÷2−3.14×3×3=36−28.26=7.74（平方厘米）。 C15 20×10+3.14×5×5=200+78.5=278.5（平方米）。 十二、本讲小结 本讲学习了组合图形面积的三种方法：割（分块求和）、补（完整图形减缺口）、平移（移动拼规则图形）。 遇到复杂图形先观察形状，选择合适的方法。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 补后忘减 补上的部分必须减掉 分割重复 分割线不能穿过内部 π取值 题目没说明取3.14 单位 注意平方厘米/平方米 学习建议：多画图帮助思考；下讲预告：第10讲 格点与面积·皮克定理。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $