天津市2026-2027学年高三数学上学期第一次月考模拟练习试卷03

天津市2026-2027学年高三年级数学上学期第一次月考 数学模拟练习试卷03 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题共45分） 一､选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 3.设函数，则函数的图象可能为（ ） A B. C. D. 4.已知角的终边过点，则（ ） A. B. 1 C. D. 5.已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.三个数，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7.在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 8.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为4，P是正八边形边上任意一点，则以下结论正确的个数是（ ） ①的最大值为 ②在方向上的投影向量为 ③ ④若函数，则函数的最小值为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共105分） 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上． 10. 已知角的终边经过点，则__________． 11. 设α、β都是锐角，且，则____________. 12.已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为___________. 13.已知函数，给出下列结论：①函数的最小正周期为；②函数是偶函数；③函数关于点成中心对称；④函数在上是减函数.其中正确的结论是_______.（写出所有正确结论的序号） 14.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上为增函数，则的取值范围是___________. 15.设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a取值范围是____. 三､解答题：本大题共5个小题，共计75分．请在解答时写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤答案写在答题卡的相应位置上． 16.已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，，求； （3）若，求的值． 17.在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小： （2）若，，，求的值； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 18.如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知．//，，点P为线段EC的中点． （1）求证：∥平面CDE； （2）求直线DP与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19.已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 20.已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上有零点． ①求实数的取值范围； ②设函数，记在上的最小值为，求的最大值． 天津市2026-2027学年高三年级数学上学期第一次月考 数学模拟练习试卷03 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题共45分） 一､选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的概念得是假命题，再写其否定形式即可得答案. 【详解】定义域为的函数是偶函数， 所以不是偶函数． 故选：D． 3.设函数，则函数的图象可能为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据函数的奇偶性和函数值特征进行鉴别即可解决. 【详解】函数的定义域为 则为偶函数，图像关于y轴轴对称，排除选项AC； 又，则排除选项D. 故选：B 4.已知角的终边过点，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的定义求得，利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以 . 故选：D. 5.已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由已知可得为上的增函数，从而可得恒成立，参变分离可求的取值范围. 【详解】根据 可知， 令， 可得为上的增函数， 所以恒成立，分离参数得， 而当时，， 当且仅当，即时取等号，故最大值为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 6.三个数，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求单调区间，由单调性即可比较. 【详解】，，， 记，则， 令，解得，所以在上单调递减， 因为，所以，即. 故选：D 7.在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量基本定理及三点共线即可求解. 【详解】 由题意可得：， ， 设， 则, 又三点共线，所以， 解得， 所以， 故选：A 8.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为4，P是正八边形边上任意一点，则以下结论正确的个数是（ ） ①的最大值为 ②在方向上的投影向量为 ③ ④若函数，则函数的最小值为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设，利用余弦定理可得，对于①，取的中点为可推出，结合图形可知当点与点或点重合时取得最大值，计算可知①正确；对于②，根据投影向量定义计算可判断其错误；对于③，代入点坐标计算可知错误；对于④，将点坐标代入所求函数，整理并根据二次函数性质求得其最小值为，可知④错误. 【详解】易知正八边形的每条边所对的圆心角都是，所以， 以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如下图所示： 设，在中，由余弦定理，, 可得， 且 . 对于①，取的中点为，则,且； 则； 由正八边形对称性可知当点与点或点重合时，取得最大值， 不妨取，则，则, 所以， 因此，即①正确； 对于②，易知， 所以在方向上的投影向量为，因此②错误； 对于③，易知， 而，因此，即③错误； 对于④，易知 由可得： ， 由二次函数性质可知当时，取得最小值， 所以函数最小值为，因此④错误. 因此只有①正确. 故选：B 9.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果. 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得. 故选：B 第II卷（非选择题共105分） 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上． 10. 已知角的终边经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得，利用诱导公式化简所求式，再通过弦切互化，代入正切值即可求得. 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 11. 设α、β都是锐角，且，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】 由α是锐角，求出的值，再由β是锐角，得出的值，将角转化成，利用两角和差的余弦公式化简计算，并验证即可. 【详解】因为α是锐角，，所以， 因为β是锐角，所以， 又，所以， 所以 当时， ，此时，即，与矛盾，舍去， 当时， ，符合要求. 故答案为： 12.已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断出在单调递增，利用单调性解不等式. 【详解】函数为奇函数，函数关于中心对称.则 又在上单调递增， 在单调递增，从而可化为：， ，原不等式的解集为. 故答案为：. 13.已知函数，给出下列结论：①函数的最小正周期为；②函数是偶函数；③函数关于点成中心对称；④函数在上是减函数.其中正确的结论是_______.（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用二倍角和辅助角公式可化简得；根据正弦型函数的最小正周期、奇偶性、对称中心和值域的求法依次判断各个选项即可. 【详解】由题意得：， 对于①，的最小正周期，①正确； 对于②，，，为偶函数，②正确； 对于③，令，解得：，此时， 关于点成中心对称，③正确； 对于④，当时，，此时有增有减， 在上有增有减，④错误. 故答案为：①②③. 14.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上为增函数，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再根据正弦函数的单调增区间，求得的取值范围． 【详解】解：将函数的图象向左平移个单位， 得到函数 的图象． 若在区间上为增函数，则，且， 求得，则的取值范围为，， 故答案为：，． 15.设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合题意可知函数在区间内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数的正负及的正负即可求解． 【详解】由题意，函数与函数在区间内恰有3个零点， 设， 即函数在区间内恰有3个零点， 当时，函数在区间内最多有2个零点，不符合题意； 当时，函数的对称轴为， ， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当，即时，函数在区间上无零点， 所以函数在上有三个零点，不符合题意； 当，即时，函数在区间上只有一个零点， 则当时，， 令，解得或，符合题意； 当，即时，函数在区间上有1个零点， 则函数在上有2个零点， 则，即，所以； 当，即时，函数在区间上有2个零点， 则函数在上只有1个零点， 则或或，即无解． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 三､解答题：本大题共5个小题，共计75分．请在解答时写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤答案写在答题卡的相应位置上． 16.已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，，求； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意由正弦定理以及锐角三角形可得； （2）利用余弦定理解方程可得； （3）根据二倍角以及两角和的余弦公式即可计算出. 【小问1详解】 由于，所以， 由根据正弦定理可得， 所以，且三角形为锐角三角形，即 所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理知， 即，解得或（舍）， 故. 【小问3详解】 由，可得， 所以， ， 即 17.在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小： （2）若，，，求的值； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可： （2）先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可； （3）先利用等面积法得到，因为，再由正弦定理可知，然后计算出的值即可. 【小问1详解】 由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； 【小问3详解】 因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得， 又因，且， 即，解得. 18.如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知．//，，点P为线段EC的中点． （1）求证：∥平面CDE； （2）求直线DP与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用面面平行的性质直接证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法处理即可. （3）用面面角的向量求法处理即可. 【小问1详解】 因为//，面，面， 所以//平面， 同理，//平面，又， 面，所以平面//平面， 因为平面， 所以//平面． 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，故． 而四边形是正方形，所以， 又，以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系 ，则，，，，，，，． 设平面的法向量为， 则即 令，则，所以． 设直线与平面所成角的大小为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 取平面的一个法向量， 设平面与平面夹角的大小为， 则 所以平面与平面夹角的余弦值是． 19.已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义求出数列的公差，可得其通项公式，再求出数列中的两项可得其公比，即可求出的通项公式； （2）根据（1）中的通项公式利用错位相减法计算可求出； （3）根据的定义以及二项式定理可知当时，，当时，，再结合等比数列前项和公式即可求出结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得，解得， 所以， 即可得数列的通项公式为； 所以可得，即可得； 因此等比数列的公比为， 所以， 即的通项公式为， 【小问2详解】 由（1）可知， 因此； 可得， 两式相减可得 ； 所以可得； 【小问3详解】 易知， 又因为， 显然当为奇数时，，此时除以3的余数为2， 因此当时，； 当为偶数时，，此时除以3的余数为1， 因此当时， 经检验可知当时，，当时，，当时，，当时，； 所以数列的前项和 ； 即可得. 20.已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上有零点． ①求实数的取值范围； ②设函数，记在上的最小值为，求的最大值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程. （2）①先求得，对进行分类讨论，结合在上有零点求得的取值范围. ②首先利用导数求得在上的最小值，通过构造函数法，结合导数求得的最大值，也即的最大值. 【详解】（1）当，，， ∴，， ∴曲线在点处的切线方程为，即． （2）∵，∴． ①∵，∴，，， 当时，，无零点，舍去． 当时，，∴在上单调递增， 此时，由， 得． ∴实数的取值范围为． ②∵， ∴， ∵，，∴， ∴在上单调递增， 由①知，在上有唯一零点，且， ∴当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ∴在上的最小值为． ∵，∴， ∴． 设，， ， 所以单调递减，， 即的最大值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $