精品解析：天津市宝坻区第四中学2025-2026学年高三上学期第三次质量检测数学试卷

宝坻四中2025-2026学年度第一学期第三次质量检测 高三数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据集合中元素的特点，可得集合中的元素在集合中，从而可得答案. 【详解】由，集合中的元素是被3整除余2的整数. 则集合中的元素在集合中 所以. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求解两个不等式，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】因为，则，又因为指数函数是单调递增的，所以， 又因为，所以，求解可得， 由不能推出，所以“”不是“”的充分条件， 由能推出，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：A. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 因为，先判断函数的奇偶性，结合当时，函数值的为正，即可求得答案. 【详解】， 为奇函数，排除C， 当时，，排除B,D， 故只有A符合题意 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题关键是掌握判断函数奇偶性的方法和函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 4. 2023年成都大运会期间，5名同学到4个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】按照先分组，再分配的方法，即可求解. 【详解】先将5名同学分为4组，其中1组有2名，另外3组各1名，共有种分法， 然后将这4组全排列，共有种排法， 则不同的安排方法共有（种）， 故选：C. 5. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线垂直可得，结合题中条件求解结果. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为两条渐近线互相垂直，则，化简得，故， 此时双曲线方程可表示为，据此排除A,D. 由抛物线可得，其准线方程为， 因为双曲线的焦点在抛物线的准线上，可知， 又，即，解得， 则双曲线的标准方程为， 故选：B. 6. 已知函数在上是增函数，且满足.若，，.则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性，再由对数运算法则比较出自变量的大小，即可得出结论. 【详解】已知函数满足，所以是偶函数， 又在上是增函数，则在上是减函数， 因为，，, 易知，又 所以， 因此， 即. 故选：C. 7. 如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上.若球的体积为，圆柱的高为2，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作球的截面大圆，得圆柱、圆锥的轴截面，由此求得圆锥的底面半径和高. 【详解】过球心作截面，得圆柱、圆锥轴截面，如图， 球半径为，则，解得， 又因为圆柱的高，所以，， ，所以圆锥体积为. 故选：A. 8. 关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假． 【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确； 令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确； 由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确． 故选：A． 9. 已知函数满足，且时.若对任意实数，有不等式恒成立，则非零实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的对称性可求得函数解析式及单调性，再结合不等式分析可得，最后利用不等式化简求解可得. 【详解】当时，由， 由此可知在单调递增，且 而在单调递增，且 又因为，所以在上单调递增， 由可得：，解得， 又因为非零实数，所以， 由于，所以， 而对于任意实数，有不等式恒成立， 则， 则，即， 所以由不等式， 解得， 即根据题意可得：， 所以，再由，可得， 故选：B. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知是虚数单位，化简的结果为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由复数的除法运算计算． 【详解】， 故答案为： 11. 在的展开式中，的系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于，计算展开式中含有项的系数即可. 【详解】由题意得：，， 只需，可得， 所以， 故答案为：. 12. 过点倾斜角为的直线被圆截得的弦长为____. 【答案】2 【解析】 【分析】由直线的点斜式方程求出直线方程，求出圆心到直线的距离利用弦长公式计算即可. 【详解】过点倾斜角为的直线的斜率为, 由点斜式方程可得,即, 圆的标准形式为，即圆心,半径, 则圆心到直线的距离为， 可得截得的弦长为 故答案为：2 13. 袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为_____；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用对立事件概率的性质以及条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件A为“全是红球”，则， 记事件B 为“至少有1个是白球”，则， 记事件C为“至少有1个红球”，则 则事件AC为“全是红球”，则 所以“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 故答案为：；. 14. 若数列的前项和，数列的前项和为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由数列的前项和，求得，则数列是首项为 12、公差为 12 的等差数列，从而得到. 【详解】当时，， 当时，，则， 验证时，与前面结果一致，因此. 数列是首项为 12、公差为 12 的等差数列， 则. 故答案为：. 15. 如图，在平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则___________；若的面积为，则的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，由平面向量线性运算及基本定理可得，由结合基本不等式可得的最小值. 【详解】由题意，设， 则， 所以，所以，所以； 所以， 由的面积为，得到，得到， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：；. 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在的内角，，所对边的长分别是，，，已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，代入即得解； （2）利用可得，再利用正弦定理可得解； （3）先求解，利用两角和的余弦公式展开，即得解 【小问1详解】 因为， 且，， 所以； 【小问2详解】 因为，且， 所以 又， 解得； 【小问3详解】 因为， ， 所以 17. 如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）设，连接， 四边形为矩形，为中点，又为中点，， 又平面，平面，平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定定理可得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果； （3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量， ，令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，则平面与平面的夹角为. 【小问3详解】 由（2）知：，，， 由平面的法向量， 点到平面的距离. 18. 已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和. （3），求证：. 【答案】（1）， （2） （3）由（1）可知，，则，所以， 即，因为 所以，对，有成立， 所以，， 两边同时乘以，则， 即，证明完毕. 【解析】 【分析】（1）对等差数列，利用已知项的值列方程组解出首项和公差，对等比数列，利用，，成等差数列的条件建立方程求解出公比. （2）由（1）求解出数列的通项公式，并采用错位相减法求解. （3）将具体表达为，通过放缩法将求和转化为可裂项相消的形式，从而证明不等式. 【小问1详解】 设首项为，公差为，因为， 即，化简可得：， 因为，即，则，解得，所以， 设首项为，公比为，则，， 因为，，成等差数列， 所以，即，求解得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，数列的通项公式为，所以，， 利用错位相减法可得： ， 两式相减可得： ， 其中，，代入上式可得： ， 所以. 【小问3详解】 略 19. 椭圆W：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆上一点，面积的最大值为2. （1）求椭圆W的方程； （2）直线与椭圆W交于M、N两点，与y轴交于T点，线段的垂直平分线与交于点G，与y轴交于点H，O为坐标原点，如果是的2倍，求k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当点P为椭圆上顶点或下顶点时，面积的最大为2，根据条件列出关于 的方程求解即可； （2）设，联立方程得到.设，由题可得，，再利用二倍角公式求解即可. 【小问1详解】 由题可得，即 因为，化简得到， 当点P为椭圆上顶点或下顶点时，面积的最大值为2， 则，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 设，联立方程得到， 即， 由，得, 则，故 G 的横坐标； 则，所以. 设， 由题可得， 因为，所以，得到 所以. 20. 函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数有两个零点，是的极值点，求证：. 【答案】（1） 当，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3）证明； 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要证，即证， 因为在上单调递减，在上单调递增，且， 所以. 令， ， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以， 所以，因为， 所以，又， 所以，因为在上单调递增， 所以，即. 因此. 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域和导数，再根据的取值范围讨论函数的单调性； （2）结合（1）中的单调性，分析函数有两个零点时的取值范围； （3）利用函数的极值点和零点的关系，通过构造函数证明不等式. 【小问1详解】 由，得， 当时，，，所以在上单调递增； 当时，令，得（舍去）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 因此，当，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递增，所以不可能有两个零点. 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，因为，所以，解得. 当时，又， 令，，因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以. 又所以在和上各有一个零点，所以函数有两个零点. 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻四中2025-2026学年度第一学期第三次质量检测 高三数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 2023年成都大运会期间，5名同学到4个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 5. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上是增函数，且满足.若，，.则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上.若球的体积为，圆柱的高为2，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数满足，且时.若对任意实数，有不等式恒成立，则非零实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知是虚数单位，化简的结果为___________． 11. 在的展开式中，的系数是________． 12. 过点倾斜角为的直线被圆截得的弦长为____. 13. 袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为_____；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是____. 14. 若数列的前项和，数列的前项和为，则_____. 15. 如图，在平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则___________；若的面积为，则的最小值为___________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在的内角，，所对边的长分别是，，，已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）求点到平面的距离. 18. 已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和. （3），求证：. 19. 椭圆W：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆上一点，面积的最大值为2. （1）求椭圆W的方程； （2）直线与椭圆W交于M、N两点，与y轴交于T点，线段的垂直平分线与交于点G，与y轴交于点H，O为坐标原点，如果是的2倍，求k的值. 20. 函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数有两个零点，是的极值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $