13.2.1 微专题：三角形三边关系进阶 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

八年级数学上册（人教版） 第十三章 三角形· 微专题：三角形三边关系进阶 三角形三边关系常与整式绝对值化简、整边长分类穷举、凸四边形对角线夹逼、三角形内部点极值范围、倍长中线构造全等紧密交织。 三角形三边关系 分类 特征 数学模型 / 公式 解题关键 整边长计数穷举 已知周长 L 或最大边为整数 可得 先由三边关系锁定最大边范围，再从大到小有序穷举两小边 绝对值化简 含 等代数式 利用两边之和大于第三边判断式子符号，正直接脱，负变相反数 含参取值范围 已知两边或三边含未知数 x 列出三组两边之和大于第三边不等式，求交集并验证边长为正 凸四边形对角线 凸四边形对角线 AC, BD 与周长 下界用4个交点小三角形相加除以2，上界用4个大三角形相加除以2 内部点距离和 三角形内部任意一点 P 到三顶点 延长 AP 交对边，利用折线包围 双向累加消元 倍长中线构造全等 已知两边与第三边上的中线 AD 延长中线一倍（DE=AD）构造 SAS 全等，将中线与两边集中到同侧三角形 一、三边代数性质与整边长计数模型 【模型 1】三角形构成判定与整边长计数穷举模型 【核心结论】若已知三角形三边长为 ，要判定其能否构成三角形，只需检验较小的两边之和大于最大边（即若 ，只需满足 ）． 【整边长计数通法】已知周长 或部分边长时，设边长为正整数 满足 且 ： ① 由 及 ，可得 ，即 ，说明最大边必须小于半周长； ② 结合 确定最大边 的范围：，再对 逐个进行分类讨论，严防遗漏或重复． 【典例 1】（2025·北京海淀·八年级期末） 已知 △ABC 的三边长 均为正整数，周长为 ，且 ． （1）求最大边 的所有可能取值； （2）满足条件的互不全等的三角形共有多少个？其中不等边三角形有几个？ 【审题指要】利用三边关系将两小边之和转化为周长与最大边之差，确定 的取值范围，再按 的值从大到小有序穷举 的整数组合． 解：（1）根据题意，三边满足 且 ． 由三角形三边关系，两边之和大于第三边，得 ． 把 代入，得 ，解得 ． 又 ∵ ，∴ ，即 ，解得 ． ∴ ． ∵ 为正整数，∴ 的可能取值为 ． （2）对 的取值分别分类讨论： ① 当 时， 且 ． 可能的正整数组合 为：，共 个； ② 当 时， 且 ． 可能的正整数组合 为：，共 个； ③ 当 时， 且 ． 可能的正整数组合 为：，共 个（等边三角形）． 综上所述，满足条件的互不全等的三角形共有 个． 其中不等边三角形要求 ，对应的组合为 ，共有 个． 【梯级演练 1】（变式进阶·2026·上海徐汇·八年级校考） 若一个三角形的三边长均为整数，其中两边长分别为 和 ，且第三边长为奇数，则满足条件的三角形周长可能是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 解：设第三边长为 ． 根据三角形三边关系，两边之差小于第三边小于两边之和，得： ，即 ． ∵ 为奇数，∴ 的可能取值为 ． 当 时，三角形周长为 ； 当 时，三角形周长为 ； 当 时，三角形周长为 ． 结合选项，周长可能为 （对应选项 A）或 ． 故选：A． 【梯级演练 2】（培优冲刺·2025·江苏南京·期末压轴） 已知正整数 满足 ，且这三个数能构成一个三角形的三边长．若 ，则满足条件的三元数组 共有（　　）组． A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 解：∵ 构成三角形三边，且 ， ∴ 是小于 的正整数，且必须满足两小边之和大于第三边，即 ． 对 的可能取值（ 只能取 ）进行分类讨论： ① 当 时，，得 ；又 ，∴ 可取 ，此时有 共 组； ② 当 时，，得 ；又 ，∴ 只能取 ，此时有 共 组； ③ 当 时，，得 ，但要求 ，无解； ④ 当 或 时，显然无法满足 ． 综上所述，满足条件的三元数组共有 组． 故选：A． 【模型 2】利用三边关系化简绝对值与多项式模型 【核心结论】若 为 △ABC 的三边长，则根据三角形三边不等关系： ① 两边之和大于第三边： 可得 ； 可得 ； 可得 ； ② 两边之差小于第三边： 可得 ； 可得 ． 【绝对值化简通法】去绝对值符号的关键在于严格判断绝对值内部代数式的正负符号： 若式子为正，去绝对值直接脱去；若式子为负，去绝对值后整体取相反数（添负号并加括号），最后合并同类项． 【典例 2】（2025·广东广州·八年级期末） 已知 是 △ABC 的三边长，且满足 ． 化简：． 【审题指要】逐个分析四个绝对值内部算式的正负性：；；；．依据符号法则去绝对值并合并同类项． 解：∵ 是 △ABC 的三边长， ∴ 根据三角形两边之和大于第三边，得： ① ，可得 ； ② ，可得 ； ③ ，可得 ； ④ ，可得 ． ∴ 原式 ． 【梯级演练 1】（变式进阶·2026·浙江杭州·八年级阶段练习） 已知 为 △ABC 的三边长，化简： 的结果为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 解：∵ 为 △ABC 的三边长， ∴ ，可得 ； ，可得 ； ，可得 ． ∴ 原式 ． 故选：B． 【梯级演练 2】（培优冲刺·2025·山东济南·八年级期中） 已知 是 △ABC 的三边长，周长为 ，化简： ． 解：∵ 是 △ABC 的三边长，且周长 ， 根据三角形三边不等关系： ，可得 ； ，可得 ； ，可得 ． ∴ 原式 ． 【模型 3】已知两边或含参未知边的取值范围模型 【核心结论】已知三角形两边长分别为 （设 ），则第三边长 的取值范围为：． 【含参讨论通法】若三边长包含含未知数代数式或参数（如边长为 等）： 分别建立三组两边之和大于第三边的不等式：，，． 解一元一次不等式组求公共解集，并结合实际边长为正数（）综合确定参数的取值范围． 【典例 3】（2025·武汉江汉·八年级期末） 已知 △ABC 的三边长分别为 ． （1）求实数 的取值范围； （2）若 △ABC 是以 为腰的等腰三角形，求 的值及 △ABC 的周长． 【审题指要】（1）列出三边构成三角形的不等式组及各边为正数的不等式，求公共解；（2）分为 或 两种情况讨论，并检验是否满足三边关系． 解：（1）根据三角形三边关系，两边之和大于第三边且各边长为正数： 由 ，解得 ，即 ； 由 ，解得 ； 由 ，解得 ； 由边长大于 （），解得 ． 求上述解集的公共部分，得：． （2）∵ △ABC 是以 为腰的等腰三角形， ∴ 需分两种情况讨论： 情况一：． 解得 ．此时三边长分别为 ． 检验：，能构成等腰三角形，符合题意． 此时 △ABC 的周长为 ． 情况二：． 解得 ．此时三边长分别为 ． 检验：，能构成等腰三角形，符合题意． 此时 △ABC 的周长为 ． 综上所述， 时周长为 ； 时周长为 ． 【梯级演练 1】（变式进阶·2026·四川成都·八年级校考） 已知等腰三角形的一边长为 ，另一边长为 ，则该等腰三角形的周长为（　　） A．　　　　B．　　　　C． 或 　　　　D． 解：∵ 该三角形为等腰三角形，已知两边长分别为 和 ， ∴ 需分类讨论腰长： ① 当腰长为 时，三边长为 ． ∵ ，两边之和小于第三边，不能构成三角形，故舍去； ② 当腰长为 时，三边长为 ． ∵ ，能构成等腰三角形，符合题意． 此时三角形周长为 ． 故选：B． 【梯级演练 2】（培优冲刺·2025·陕西西安·八年级期末） 已知 为 △ABC 的三边长，且满足 ，若 是 △ABC 的最长边，求整数 的所有可能值． 解：∵ 是最长边， ∴ ，解得 ； ，解得 ； 根据两边之和大于第三边：，得 ，解得 ； 各边长为正数，解得 ． 综合不等式组公共解集，得：． ∵ 为整数，∴ 的可能取值为 ． 二、几何拓扑中的线段不等关系与极值模型 【模型 4】凸四边形对角线之和与周长双向夹逼模型 【核心结论】如图所示，设凸四边形 的四边长分别为 ，两条对角线为 交于点 ，则有双向夹逼不等式： 即：凸四边形两条对角线之和大于周长的一半，且小于周长． 【证明思维导引】 ① 证明下界（大于周长一半）：在对角线分割出的 个小三角形 △OAB, △OBC, △OCD, △ODA 中分别利用两边之和大于第三边相加； ② 证明上界（小于周长）：在以四边形边为底的 个大三角形 △ABC, △ADC, △ABD, △BCD 中分别列出三边不等式相加． 【典例 4】（2025·河北石家庄·八年级期末） 如图，在任意凸四边形 中，对角线 与 相交于点 ． （1）求证：； （2）求证：； （3）若四边形 的周长为 ，则其两条对角线之和 的取值范围是多少？ 【审题指要】分别利用交点 构成的四个小三角形与原四边形构成的四个大三角形，利用三角形两边之和大于第三边进行不等式累加消元． 证明：（1）在对角线交点 形成的四个小三角形中，由三角形三边关系得： 在 △OAB 中，；　　① 在 △OBC 中，；　　② 在 △OCD 中，；　　③ 在 △ODA 中，．　　④ 将①+②+③+④四式相加，得： 即 ． 两边同时除以 ，得：． （2）在由四边形顶点构成的四个大三角形中，由三角形三边关系得： 在 △ABC 中，；　　⑤ 在 △ADC 中，；　　⑥ 在 △ABD 中，；　　⑦ 在 △BCD 中，．　　⑧ 将⑤+⑥+⑦+⑧四式相加，得：． 两边同时除以 ，得：． （3）由（1）（2）的结论可知： ， ∴ ． 【梯级演练 1】（变式进阶·2026·天津南开·八年级期末） 已知凸四边形 的四条边长分别为 ，则对角线 与 之和的取值范围为（　　） A．　　　　B． C．　　　　D． 解：四边形 的周长为 ． 根据四边形对角线与周长双向夹逼不等式： 代入周长 ，得： 即 ． 故选：A． 【梯级演练 2】（培优冲刺·2025·河南郑州·八年级期中） 如图，在四边形 中，，对角线 与 相交于点 ．求证：． 证明：延长 交 于点 ． 在 △OCE 中，两边之和大于第三边，得：； 两边同时加上 ，得：．　　① 在 △ABE 中，两边之和大于第三边，得：； 两边同时加上 ，得：．　　② 由①②结合，得：． 又在 △ABC 中，，代入即可严密得证：． 【模型 5】三角形内部点到三顶点距离之和模型 【核心母定理（折线包围不等式）】如图所示，点 是 △ABC 内部任意一点，则有：． 【全景三点距离和范围】若点 为 △ABC 内任意一点，周长为 ，则： 【证明通法】 ① 证明 ：延长 交 于点 ，两次利用三角形三边关系传递过渡； ② 证明下界：在 △PAB, △PBC, △PCA 中分别写出 相加除以 ； ③ 证明上界：同理写出 三式相加除以 ． 【典例 5】（2025·重庆沙坪坝·八年级期末） 如图，点 是 △ABC 内部任意一点． （1）求证：； （2）若 △ABC 的三边长分别为 ，求证：． 【审题指要】（1）通过辅助线“延长 交 于 ”，将不共线线段拆分到两个三角形中过渡；（2）轮换字母得出三组对称不等式，分别累加求解． 证明：（1）如图，延长 交 于点 ． 在 △ABD 中，两边之和大于第三边，得：．　　① 在 △PCD 中，两边之和大于第三边，得：．　　② 将①式与②式两边分别相加，得： 两边消去 ，并注意到 ，得：． 同理，延长 交 于点 ，可严格证明 ． （2）先证下界： 在 △PAB 中，；　　③ 在 △PBC 中，；　　④ 在 △PCA 中，．　　⑤ 将③+④+⑤相加，得： 两边同除以 ，得：． 再证上界： 由（1）的折线包围结论，同理可得： ；　　⑥ ；　　⑦ ．　　⑧ 将⑥+⑦+⑧相加，得： 两边同除以 ，得：． 综上所述， 得证． 【梯级演练 1】（变式进阶·2026·湖南长沙·八年级阶段测评） 已知 △ABC 的三边长分别为 ，点 是 △ABC 内一点，则 的取值范围是（　　） A．　　　　B． C．　　　　D． 解：三角形周长为 ． 根据三角形内部点到三顶点距离和的性质定理： 代入周长 ，得： 即 ． 故选：A． 【梯级演练 2】（培优冲刺·2025·安徽合肥·八年级期末） 如图，在 △ABC 中， 是 边上任意一点（不与 重合）．求证：． 证明：在 △ABD 中，两边之和大于第三边，得：；　　① 在 △ACD 中，两边之和大于第三边，得：．　　② 将①式与②式相加，得： ∵ ， ∴ 两边同时除以 ，得： 得证． 【模型 6】倍长中线构造全等确定中线取值范围模型 【核心母模型】如图所示，在 △ABC 中， 是 边上的中线，已知两边 ，求中线 的取值范围． 【核心解法通法：倍长中线构造全等】 ① 作辅助线：延长 至 ，使得 ，连接 （或连接 ）； ② 证明全等：在 △ABD 与 △ECD 中，由 证得 △ABD ≌ △ECD (SAS)； ③ 线段转化：由全等得 ； ④ 建立不等式：在 △ACE 中，由三边关系得 ，即 ； ⑤ 得出结论：中线 的取值范围为：． 【典例 6】（2025·河北保定·八年级期末） 如图，在 △ABC 中， 是 边上的中线，已知 ． （1）求中线 的取值范围； （2）若中线 的长为整数，求 的长； （3）若延长 到点 使 ，连接 ，求 △ACE 的周长取值范围． 【审题指要】遇到“中线”及“中点”求线段范围，首选“倍长中线法”，将分散在两个三角形中的线段 集中到一个三角形 △ACE 中，再应用三角形三边不等关系求解． 解：（1）延长 至点 ，使 ，连接 ． ∵ 是 边上的中线，∴ ． 在 △ABD 和 △ECD 中：． ∴ △ABD ≌ △ECD (SAS)． ∴ ． 在 △ACE 中，根据三角形三边关系，得： ∵ ， ∴ ，即 ． 两边同除以 ，得：． （2）∵ 的长为整数，且 ， ∴ 的长可以为 ． （3）在 △ACE 中，周长 ． ∵ ， ∴ ， 即 △ACE 的周长取值范围为 ． 【梯级演练 1】（变式进阶·2026·福建福州·八年级质检） 已知 △ABC 的两边长分别为 和 ， 是第三边上的中线，则 的取值范围是（　　） A．　　　　B． C．　　　　D． 解：设已知的两边长分别为 ， 为第三边上的中线． 采用倍长中线法构造全等三角形： 延长 至 使 ，可得 ，且转化得三角形另一边长为 ． 在构造出的三角形中，由三边关系得：，即 ． 两边同时除以 ，得：． 故选：A． 【梯级演练 2】（培优冲刺·2025·辽宁沈阳·八年级期末） 如图，在 △ABC 中， 是 边上的中线，点 在 上， 在 上，连接 ．若 ，求证：． 证明：延长 至 ，使 ，连接 ． ∵ 是 边中线，∴ ． 易证 △ABD ≌ △GCD (SAS)，∴ ． 在 △ACG 中，由三角形三边关系得：． 即 ，可得 ． 在 △DEF 中利用中点性质与折线段不等关系，可严密得证：． 学科网（北京）股份有限公司 $