13.2.1三角形的边（5大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦“三角形的边”核心知识点，系统梳理三边关系定理（基于两点之间线段最短推导）、推论及第三边取值范围，构建从判定规则到五个题型（判断构成、第三边范围、关系应用、等腰分类、稳定性应用）的学习支架。 资料以生活实例（如自行车支架、港珠澳大桥斜拉索）培养数学眼光，通过等腰三角形分类讨论题强化推理意识，结合快速判定等解题技巧提升运算能力。课中辅助分层教学，课后例题变式助学生查漏补缺，夯实知识。

13.2.1 三角形的边 【新人教版】 【题型1 判断能否构成三角形】............................................................................................................................2 【题型2 确定第三边取值范围】............................................................................................................................2 【题型3 三角形三边关系的应用】........................................................................................................................2 【题型4 等腰三角形中的分类讨论】....................................................................................................................3 【题型5 三角形稳定性及其应用】........................................................................................................................4 1. 三边关系定理（推导依据：两点之间，线段最短） ①核心定理：三角形任意两边之和大于第三边 a+b>c、a+c>b、b+c>a ②推论：三角形任意两边之差小于第三边 |a-b|<c、|a-c|<b、|b-c|<a ③取值范围：已知两边长m、n（m>n），第三边x：m-n<x<m+n 2. 线段构三角判定规则 三条线段，两条较短边长之和＞最长边，才可围成三角形。 3. 三角形稳定性 ①定义：三角形三边长度固定，形状、大小永久固定； ②对比：四边形、多边形无稳定性，受力易变形； ③生活应用：塔吊支架、桥梁钢架、自行车车架。 1. 判定三边只验算一组不等式，未锁定最长边简化判断； 2. 等腰边长题目不分类讨论，算出结果不检验三边关系； 3. 求解第三边范围只写单侧边界，缺少上下限； 4. 忽略“两边之和等于第三边不能构成三角形”。 1. 快速判定：仅验证两条较短边长之和＞最长边； 2. 整数边长：直接截取区间内整数； 3. 等腰计算：分“已知边为腰、已知边为底”两类讨论，最后用三边关系舍去无效解。 题型一 判断能否构成三角形 【例1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是（　　）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-3】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）现有长度为，，，的四根木棒，任意选取三根，能够顺次首尾相连拼出三角形的组合的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 确定第三边取值范围 【例2】（25-26八年级上·甘肃临夏·阶段检测）已知三角形两条边的长度分别是5和7，那么第三边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·河北·期末）若三角形的两条边长分别为和，则它的第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）已知三角形的三边长分别为2，6，，则的值可以是（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 【变式2-3】（25-26八年级上·山东德州·期中）三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 题型三 三角形三边关系的应用 【例3】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·广西玉林·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c是的三边，其中，且三角形的周长为奇数．求c的值． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东德州·期中）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 题型四 等腰三角形中的分类讨论 【例4】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 【变式4-1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A．4 B． C． D．4或 【变式4-2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________ ． 【变式4-3】（21-22八年级上·广西贺州·期末）已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 题型五 三角形稳定性及其应用 【例5】（25-26八年级上·山东烟台·期末）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜钉一根木条，这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【变式5-1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【变式5-2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）第十五届全国运动会自行车（公路）赛在广东省珠海市举行，这是全运会唯一一项跨越粤港澳三地的标志性赛事．如图，自行车支架一般都会采用的设计．这种设计方法应用的几何原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【变式5-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.1 三角形的边 【新人教版】 【题型1 判断能否构成三角形】............................................................................................................................2 【题型2 确定第三边取值范围】............................................................................................................................3 【题型3 三角形三边关系的应用】........................................................................................................................5 【题型4 等腰三角形中的分类讨论】....................................................................................................................6 【题型5 三角形稳定性及其应用】........................................................................................................................9 1. 三边关系定理（推导依据：两点之间，线段最短） ①核心定理：三角形任意两边之和大于第三边 a+b>c、a+c>b、b+c>a ②推论：三角形任意两边之差小于第三边 |a-b|<c、|a-c|<b、|b-c|<a ③取值范围：已知两边长m、n（m>n），第三边x：m-n<x<m+n 2. 线段构三角判定规则 三条线段，两条较短边长之和＞最长边，才可围成三角形。 3. 三角形稳定性 ①定义：三角形三边长度固定，形状、大小永久固定； ②对比：四边形、多边形无稳定性，受力易变形； ③生活应用：塔吊支架、桥梁钢架、自行车车架。 1. 判定三边只验算一组不等式，未锁定最长边简化判断； 2. 等腰边长题目不分类讨论，算出结果不检验三边关系； 3. 求解第三边范围只写单侧边界，缺少上下限； 4. 忽略“两边之和等于第三边不能构成三角形”。 1. 快速判定：仅验证两条较短边长之和＞最长边； 2. 整数边长：直接截取区间内整数； 3. 等腰计算：分“已知边为腰、已知边为底”两类讨论，最后用三边关系舍去无效解。 题型一 判断能否构成三角形 【例1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵判断能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可， 选项A：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项B：，∴能组成三角形，符合要求； 选项C：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项D：，∴不能组成三角形，不符合要求． 【变式1-1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可． 【详解】解：、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，且， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，不符合题意． 【变式1-2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是（　　）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：对选项A，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意； 对选项B，两短边为，，最长边为，，故不能组成三角形，符合题意； 对选项C，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意； 对选项D，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意． 【变式1-3】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）现有长度为，，，的四根木棒，任意选取三根，能够顺次首尾相连拼出三角形的组合的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】按顺序列举所有选取三根木棒的组合，再根据三角形三边关系筛选符合条件的组合． 【详解】解：从四根木棒中任选三根，所有组合为： ①、、， ∵， ∴能构成三角形； ②、、， ∵， ∴不能构成三角形； ③、、， ∵， ∴不能构成三角形； ④、、， ∵， ∴能构成三角形； 综上，符合条件的组合有2种． 题型二 确定第三边取值范围 【例2】（25-26八年级上·甘肃临夏·阶段检测）已知三角形两条边的长度分别是5和7，那么第三边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形三边的不等关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求出第三边的取值范围． 【详解】解：∵两边长分别为5和7，第三边为a， ∴，即． 【变式2-1】（25-26八年级上·河北·期末）若三角形的两条边长分别为和，则它的第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设第三边长为， 得，即， 选项中只有符合该范围． 【变式2-2】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）已知三角形的三边长分别为2，6，，则的值可以是（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，即：． 故的值可以是7． 【变式2-3】（25-26八年级上·山东德州·期中）三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合周长表达式得到周长的取值范围． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵周长， ∴，即． 题型三 三角形三边关系的应用 【例3】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此作答即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得，，， ∴，即， ∴，间的距离不可能是． 【变式3-1】（25-26八年级上·广西玉林·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长． 【详解】解：设第三边长为x， 则，即， 又∵x为整数， ∴x最大为6， ∴三角形的周长最大值为， 故选：A． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c是的三边，其中，且三角形的周长为奇数．求c的值． 【答案】或 【分析】利用算术平方根和平方的非负性求出的值，再利用三角形三边关系求出的范围，结合三角形的周长为奇数即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， ∵a，b，c是的三边， ∴， ∴， 又∵周长为奇数，即为奇数， ∴或． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东德州·期中）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，得；，得；，得， ∴原式 ． 题型四 等腰三角形中的分类讨论 【例4】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 【答案】B 【分析】题目未说明已知边长是腰还是底边，需分类讨论，再验证三边关系得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：①当为底边长时，腰长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为； ②当为腰长时，底边长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为． ∴底边长为或． 【变式4-1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A．4 B． C． D．4或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据等腰三角形的性质，结合周长比例分两种情况计算腰长与底边长，再利用三角形三边关系验证是否成立，从而确定底边长，然后即可求解； 【详解】解：∵等腰三角形周长为，一腰上的中线将周长分为的两部分， ∴两部分的长度分别为，， 设等腰三角形的腰长为，底边长为， 分两种情况讨论： ①若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为8、8、， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况不成立， ②若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为、、4， ∵，，满足三角形三边关系，故该情况成立， 综上，这个等腰三角形的底边长为4； 故选：A； 【变式4-2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________ ． 【答案】4 【分析】根据为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当边长为的边为腰长时， 底边长为， 此时三角形三边长为， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去， ②当边长为的边为底边长时， 腰长为， 此时三角形三边长为， 满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴该等腰三角形的底边长为． 【变式4-3】（21-22八年级上·广西贺州·期末）已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【答案】或． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．根据“一腰上的中线将周长分成和两部分”，分两种情况列出方程组，再结合三角形三边关系验证，进而求出等腰三角形的腰长． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为， ①腰半腰，底半腰， ， 解得：， 此时三边长为：，，， 验证三边关系：，成立； ②腰半腰，底半腰， ， 解得：． 此时三边长为：，，， 验证三边关系：，成立； 答：这个等腰三角形的腰长是或． 题型五 三角形稳定性及其应用 【例5】（25-26八年级上·山东烟台·期末）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜钉一根木条，这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．用木条固定矩形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选：D． 【变式5-1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 【变式5-2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）第十五届全国运动会自行车（公路）赛在广东省珠海市举行，这是全运会唯一一项跨越粤港澳三地的标志性赛事．如图，自行车支架一般都会采用的设计．这种设计方法应用的几何原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性，构造三角形支架比较牢固稳定． 【详解】解：自行车支架一般都会采用的设计， 这种设计方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B． 【变式5-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 1 学科网（北京）股份有限公司 $