3.3 探索与表达规律 教学设计 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

3.3 探索与表达规律（第1课时 用代数式表示规律）（精品教案） 课题 3.3 探索与表达规律（第1课时 用代数式表示规律） 单元 第三章 整式及其加减（3.3 探索与表达规律 第1课时） 学科 初中数学（北师大版2024） 年级 七年级 课时 1 课时（45 分钟） 课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：探索给定情境中隐含的数量关系或变化规律；能以代数式表示简单的规律，并借助运算验证其一般性。对应核心素养：符号意识、推理意识、模型观念。 素养目标 1、【推理意识】经历观察、猜想、归纳、验证的完整过程，发现日历和图形中的数量规律，发展由特殊到一般的归纳推理能力。 2、【符号意识】能用代数式表示简单情境中的规律（如日历3×3方框、火柴棒搭三角形），体会用字母表示规律的简洁性和一般性。 3、【运算能力·推理意识】能借助整式加减运算验证规律的一般性（如设中间数为 a，证明9个数之和为 9a）。 4、【模型观念】感受数学规律在生活中的普遍性，体会“观察—猜想—表示—验证—应用”的数学探究路径。 教材分析 本节课是北师大版（2024）七年级上册第三章“整式及其加减”第3节的第1课时。学生已掌握代数式、整式、合并同类项，本节是这些知识的综合应用，也是从“会算”到“会用”的关键一跃。 教材以日历为主要情境：先观察横行、竖列的相邻数关系，再用3×3方框框出9个数，发现“9个数之和=9×中间数”，进而用字母 a 表示中间数、用整式加减验证这一规律；最后迁移到火柴棒搭三角形的图形规律。 本节是“问题解决策略：归纳”的预备课，在整个初中代数学习中具有方法论意义。 学情分析 已知基础：会列代数式、会合并同类项、有日历使用经验。 认知障碍：①能发现“和是9的倍数”，但不会用字母代数的方法一般性地证明；②图形规律中，看不出“每增加一个图形增加几根”；③设哪个量为 a 最优（中间数）缺乏选择策略。 教学策略：从真实日历入手，让学生先算几组具体的数，再引导“如果换一个月份、换一个位置还成立吗？”制造一般性需求；用“设中间数为 a”作为代数化的突破口。 教学重点 发现日历和图形中的规律；用代数式表示规律并验证。 教学难点 选择合适的量设为字母（如中间数 a），并用整式加减验证规律的一般性。 教学准备 多媒体课件（PPT）、某月日历表（每生一张）、火柴棒（每生10根）、学习任务单。 教学环节（时长） 教师活动 学生活动 设计意图 一、情境引入 （3分钟） 【活动1·猜数游戏】 教师：请同学们在日历上任意圈出竖列上相邻的三个数，把它们的和告诉我，我立刻能说出这三个数。 学生报和：如 60、36、45…… 教师快速回答：13、20、27；5、12、19；8、15、22。 教师追问：我为什么能猜出来？日历里藏着什么规律？今天我们一起来探索。 1、圈数、报和； 2、验证教师答案； 3、产生好奇。 用猜数游戏制造悬念，激发探究欲望。 二、探究1 日历中的规律 （12分钟） 【活动2·观察日历】 教师出示某月日历（见图1），提出问题： （1）横行相邻三个数（如 8、9、10）有什么关系？【依次大 1】 （2）竖列相邻三个数（如 9、16、23）有什么关系？【依次大 7】 （3）用3×3方框圈出9个数（见图1阴影）：8、9、10、15、16、17、22、23、24，它们的和是多少？【8+9+10+15+16+17+22+23+24=144】 （4）这个和与中间数 16 有什么关系？【144 = 9×16】 教师追问：换一个3×3方框（如圈 1、2、3、8、9、10、15、16、17），和是多少？还是中间数的9倍吗？ 学生计算：和 = 72 = 9×8。 教师引导猜想：方框中9个数之和 = 9 × 正中间的数。 图1 日历中的3×3方框 1、在自己的日历上圈一圈、算一算； 2、小组交流发现； 3、提出猜想。 从具体数据出发，经历“观察—计算—猜想”的归纳过程。 三、探究2 用字母验证 （10分钟） 【活动3·代数证明】 教师提问：换一个月份、换一个位置，这个规律还成立吗？只靠举例不够，怎么办？ 学生：用字母表示。 教师引导设：设正中间的数为 a（见图2）。 其余8个数依次为：a−8、a−7、a−6、a−1、a+1、a+6、a+7、a+8。 9个数之和 = (a−8)+(a−7)+(a−6)+(a−1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) 　　　　　 = 9a（合并同类项后，±8、±7、±6、±1 全部抵消）。 教师归纳：只要是日历上的3×3方框，9个数之和一定等于9×中间数。 这就是用代数方法证明规律的一般性。 图2 用中间数 a 表示其余8个数 1、尝试自己设字母； 2、化简9个数之和； 3、体会“抵消”的妙处。 从特殊到一般，用整式加减完成证明，落实推理意识。 四、探究3 图形规律 （10分钟） 【活动4·火柴棒搭三角形】 教师出示图3：用火柴棒连续搭三角形。 提问：搭1个、2个、3个三角形各需几根火柴棒？ 学生：①1个→3根；②2个→5根；③3个→7根。 教师追问：每多搭1个三角形，增加几根？【2根】 教师引导归纳： ·第1个：3 = 2×1+1； ·第2个：5 = 2×2+1； ·第3个：7 = 2×3+1； ·第 n 个：2n + 1 根。 教师验证：当 n=10 时，2×10+1=21 根；用实物搭一搭验证。 图3 火柴棒搭三角形 1、用火柴棒搭一搭； 2、填表找规律； 3、归纳第 n 个的表达式。 图形规律迁移，体会“每增加一个量增加几”的分析方法。 五、典例精讲 （5分钟） 【活动5·应用】 例1：在日历上，小明用十字形框出5个数（上、下、左、右、中），若中间数为 a，这5个数的和是多少？ 解：5个数为 a−7、a−1、a、a+1、a+7，和 = 5a。 例2：按图3的方式搭正方形，搭1个需4根，搭2个需7根，搭3个需10根。搭 n 个需几根？ 解：每多1个增加3根，第 n 个需 3n+1 根。 方法提炼：①找不变量和增量；②从特殊列式；③用字母 n 一般化。 1、独立完成； 2、同桌互查。 迁移应用，巩固“观察—归纳—表示”路径。 六、课堂练习 （3分钟） 1、日历上竖列相邻3个数之和为 42，求这3个数。【答案】设中间数为 a，则 (a−7)+a+(a+7)=3a=42，a=14，三个数为 7、14、21。 2、按图3方式，搭 100 个三角形需多少根火柴棒？【答案】2×100+1=201 根。 独立完成。 当堂检测。 七、课堂小结 （2分钟） 一、探索规律的路径：观察 → 猜想 → 表示 → 验证 → 应用； 二、日历规律：横行差1、竖列差7、3×3方框9数之和=9×中间数； 三、图形规律：找“每增加一个图形增加几”，再用字母 n 表示； 四、代数验证：设字母 → 列式 → 合并同类项 → 得出结论。 口头梳理。 形成方法论。 八、作业布置 （分层） A 层：教材习题3.3“知识技能”第1、2题。 B 层：日历上用“H”形框出5个数，若中间数为 a，求这5个数的和。【答案】5a。 C 层：自己设计一个图形规律（如摆正方形、棋子），写出第 n 个的表达式，并验证。 预习：回顾与思考（第三章小结）。 记录作业。 分层作业。 板书设计 3.3 探索与表达规律（第1课时） 一、日历：横行差1，竖列差7 二、3×3方框：和 = 9a（a为中间数） 三、火柴棒三角形：第 n 个 = 2n + 1 四、路径：观察 → 猜想 → 表示 → 验证 — 板书结构化。 预设 反思要点 1、目标达成：学生能否独立用字母表示规律并验证？ 2、活动效果：猜数游戏、日历探究、火柴棒活动哪个最有效？ 3、易错预判：①设字母时不选中间量导致式子复杂；②图形规律数错“每增加几个”；③忘记验证一般性。 4、改进设想：若学生基础好，可拓展到“H”形、“X”形方框；若基础弱，先只研究3×3方框。 — 提前预设。 课后反思（课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $