3.1.1 函数的概念（第2课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1 函数的概念（第2课时） 人教A版2019数学 必修第一册 第三章 函数的概念与性质 函数的概念及其表示 函数的基本性质 函数的单调性与最大值 奇偶性 幂函数 幂函数 函数的应用（一） 函数的应用 本章知识框图 函数的概念 函数的表示法 对勾函数与飘带函数 课标要求 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和 对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 （参见案例２），体会集合语 言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 （如图象法、 列表法、解析法等）表示函数，理解函数图象的作用。 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 03 01 02 经历区间概念的形成、函数定义域求解和函数相等判定的过程，体会数学抽象和逻辑推理的思想方法. 理解区间的含义，掌握区间的表示方法，能熟练用区间表示数集，理解函数相等的概念，能正确判定两个函数是否为同一个函数. 课时教学目标 掌握函数定义域的求解规则，能准确求出简单函数及抽象函数的定义域 问题1：上一节课我们学习了用集合语言和对应关系描述函数概念，请同学们回顾一下，函数概念的三要素是什么？ 环节一 新课导入 环节二 新课探究 问题2：请同学们自主阅读教科书上 64 ~ 65页与区间相关的内容并填写下表？ 研究函数时常会用到区间的概念． 含义 名称 符号 数轴表示 复合型 单边有界 复合型 环节二 新课探究 含义 名称 符号 数轴表示 复合型 {x|a<x<b} {x|a≤x≤b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} 设 , 是两个实数，且，我们规定 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 闭区间 相应区间的端点 环节二 新课探究 实数集R可以用区间表示为，“∞”读作 “无穷大”， “”读作 “负无穷大”，“”读作 “正无穷大”． 含义 名称 符号 数轴表示 单边 有界 左闭无穷区间 右闭无穷区间 左开无穷区间 右开无穷区间 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 环节二 新课探究 含义 名称 符号 数轴表示 复 合 型 或 两个区间的并集 去掉单点的全体实数 多个区间只能用符号“”表示“或”,单个元素无法用区间表示 环节二 新课探究 问题3:函数的三要素为：定义域，对应关系和值域，请结合函数的定义，你能说出它们之间具有怎样的关系吗？ 定义域 A 确定的 对应关系: f 值域 集合A中的 任意一个数x 原料 加工厂 产品 唯一确定 的数 y 值域是定义域和对应关系决定的 如果两个函数的定义域 相同，对应关系完全一致 对应的函数值相同 两个函数是同一个函数 环节三 应用新知 例1 把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3) ； (4) 或 环节三 应用新知 ①区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开； ②区间表示实数集的几条原则： a.连续的实数集，b.左端点必须小于右端点，c.开或闭不能混淆； ③用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别； ④由于区间是表示实数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立. 理解区间概念的注意点 关于无穷大的两点说明 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式 ，而 没有明确指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的 实数的集合． 例2 环节三 应用新知 解：使根式有意义的实数的集合是， 使分式有意义的实数的集合是. 所以，这个函数的定义域是 即 例2 环节三 应用新知 思考：与区别 是值域中一个确定的值 不是值域中一个确定的值 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 求函数的定义域应关注三点 ①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： (ⅰ)分式的分母不为0；(ⅱ)偶次根式的被开方数非负；(ⅲ)要求. ②不对解析式化简变形，以免定义域变化． ③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时， 定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 环节三 应用新知 例3 环节三 应用新知 例3 环节三 应用新知 例3 环节四 新知拓展——复合函数的定义域 例4 环节四 新知拓展——复合函数的定义域 复合函数定义 环节四 新知拓展——复合函数的定义域 抽象函数定义域的方法 环节四 新知拓展——复合函数的定义域 变式训练 环节四 新知拓展——函数值域的求解 例5 环节四 新知拓展——函数值域的求解 例5 环节四 新知拓展——函数值域的求解 例5 环节四 新知拓展——函数值域的求解 例5 环节四 新知拓展——函数值域的求解 函数值域的求解方法 环节四 新知拓展——函数值域的求解 变式训练 环节四 新知拓展——函数值域的求解 变式训练 环节四 新知拓展——函数值域的求解 变式训练 环节五 归纳小结 环节六 作业布置 巩固作业：教科书第P67页练习第1,2,3题 教科书第72页习题3.1第1,2,3,4,5,6题 感谢聆听 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f： 为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 ，图象、表格等 定义域 x的取值范围是A 值域 与x的值相对应的y值的集合是 ①是一个符号，而不是一个数； ②以“”或“”为区间的一端时，这一端必须用小括号. 已知函数， （1）求函数的定义域；（2）求，的值；（3）当时，求，的值． （2）将与代入解析式，有； ． （3）因为，所以，有意义． ； 已知函数， （1）求函数的定义域；（2）求，的值；（3）当时，求，的值． 1、 已知，， 则______，_______，________. 2、已知，求 3、已知函数，且，则_________ 由题意，即，解得或. 4、求下列函数的定义域： （1） ； （2） （3） (1)要使函数有意义，则，解得，定义域为 (2)要使函数有意义，则，解得，定义域为 . (3)要使函数有意义，则，解得，定义域为. (1)下列函数中哪个与函数是同一个函数？ ① ；②；③；④ 解：函数：定义域为，对应关系 ①，定义域，定义域不同，不是同一函数； ②，定义域，定义域、对应关系均相同，是同一函数； ③，对应关系不同，不是同一函数； ④，定义域，定义域不同，不是同一函数. 综上：②与是同一个函数. (2)下列各组式子是否表示相等函数，为什么？ ①和；②和. ①：，定义域, ：，定义域, 定义域不相同，故不是相等函数. (2)下列各组式子是否表示相等函数，为什么？ ①和；②和. ②：，定义域， ：，定义域， 定义域相同，且，对应关系相同， 故是相等函数. 因为 ，所以 ，即 的定义域为 ， 所以由 ，解得 ， 所以所求函数定义域为 分析：先由 求出的范围，也就是 的定义域，再由 在 的定义域之内解出 的集合即可. 已知 的定义域为，求 的定义域 如果函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，值域为 ， 则当 时，称函数 为 与 在 上的复合函数，其中 叫做中间变量， 叫做内函数， 叫做外函数. 已知 的定义域为 ，求 的定义域，其实质是已知 的取值范围为 ，求出 的取值范围.如 的定义域 ，则不等式组 的解集即为 的定义域； 已知 的定义域为 ，求 的定义域，其实质是已知 ，求 的取值范围，此范围就是 的定义域. (1)已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域为_________； (2)已知函数 ，则函数 的定义域为_______. (2)因为函数 中， ，即 ， 所以 中 ，且 ， 所以 且 ，故所求 的定义域为 (1)因为 定义域 ，所以 ，解得 ， 函数 的定义域为 . (1) 因为 ，代入求得，所以函数的值域为 . (2) ，由于，画出对应函数图象， 如图，可知 ，即函数 （ ）的值域为 ． 求下列函数的值域： (1) ；(2)（ ）． （3）由函数 EMBED Equation.DSMT4 ，因为 ，可得 ， 所以函数的值域为 ． （4）函数定义域为 ，令，所以 ， 即 ，当 时， ，即函数的值域为 . 求下列函数的值域： (3) ． (4)． 已知函数 ，定义域为， 方法二：判别式法． ，整理得 当 时，方程为 ，不成立； 当 时， ，即 ， 所以 ， 综上， . 方法一：换元法．设 ， 则 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，故值域为 . 求下列函数的值域： （5） ． （6）令 ，则，且 ， 当 时， ；当 时， ， 因为 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ， 所以函数 的值域为 . （7） ， 因为 ，所以 ，故 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 故 ，即函数值域为 . 求下列函数的值域： (6) ； (7)． (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的“二次函数”形式的方法； (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； (4)换元法：对于一些无理函数（如 ），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求原函数的值域. 解：（1）因为 ，所以， 所以函数 的值域为 . 求下列函数的值域： （1） ;（2）；（3） ；（4） (2)由函数 ，可得其定义域为， 则 ，即 ，所以函数 的值域为 且 . （3）令 ，则， 则 ， 根据二次函数的性质，结合二次函数图象 当 时，函数取得最大值，最大值为 ， 当 时， ，所以函数 的值域为 . 求下列函数的值域： （1） ;（2）；（3） ；（4） （4）因为 ，所以， 令 ，则 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 ， ，故函数的值域为 ． 试卷第8 = 8 页（共8 = 8 页） 试卷第1 = 1 页（共1 = 1 页） 求下列函数的值域： （1） ;（2）；（3） ；（4） $