3.1.1　第2课时　函数的概念（二） 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦函数概念（二），核心涵盖区间概念、同一函数判定、函数值域求法及复合函数定义域，通过京津城际列车速度范围情境导入，衔接函数概念基础，为后续函数性质学习搭建支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，分题型精研区间应用、同一函数判定等，总结通性通法如值域五法，强化数学思维。分层训练助学生规范数学语言表达，既巩固知识又提升能力，教师可高效开展分层教学。

第2课时　 函数的概念（二） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速 度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里 /时之间. 目录 数学·必修第一册 （2）还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？ ⁠ 【问题】　（1）如何表示列车的运行速度的范围？ 目录 数学·必修第一册 知识点一　区间的概念 1. 区间的概念 设 a ， b 是两个实数，而且 a ＜ b .我们规定： （1）满足不等式 a ≤ x ≤ b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示 为 ⁠； （2）满足不等式 a ＜ x ＜ b 的实数 x 的集合叫做开区间，表示 为 ⁠； [ a ， b ]　 （ a ， b ）　 目录 数学·必修第一册 （3）满足不等式 a ≤ x ＜ b 或0＜ x ≤ b 的实数 x 的集合叫做半开半 闭区间，分别表示为 ⁠. 这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点. [ a ， b ），（ a ， b ]　 目录 数学·必修第一册 2. 一般区间的表示 设 a ， b ∈R，且 a ＜ b ，规定如下： 区间 数轴表示 [ a ， b ] （ a ， b ） [ a ， b ） （ a ， b ] 目录 数学·必修第一册 3. 特殊区间的表示 区间 数轴表示 [ a ，＋∞） （ a ，＋∞） （－∞， b ] （－∞， b ） 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）区间只能表示连续的实数集或其子集，开闭不能混 淆；（2）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区 别；（3）区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立； （4）∞是一个符号，而不是一个数. 目录 数学·必修第一册 知识点二　同一个函数 前提条 件 ⁠相同 ⁠完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 定义域　 对应关系　 目录 数学·必修第一册 【想一想】 　定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个 函数. 目录 数学·必修第一册 1. 下列选项中能表示同一个函数的是（　　） A. y ＝ x ＋1与 y ＝ B. y ＝ x2＋1与 s ＝ t2＋1 C. y ＝2 x 与 y ＝2 x （ x ≥0） D. y ＝（ x ＋1）2与 y ＝ x2 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{ x ｜ x ≠1}，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和 对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相 同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相 同，但对应关系不同，不是同一个函数. 目录 数学·必修第一册 2. 用区间表示下列数集： （1）{ x ｜ x ≥1}＝ ⁠； （2）{ x ｜ x ∈R}＝ ⁠； （3）{ x ｜ x ＞－1且 x ≠2}＝ ⁠. 3. 函数 f （ x ）＝（ x －1）2＋1， x ∈[1，2]的值域是 ⁠. 解析：由 y ＝（ x －1）2＋1的图象（图略）知 y ∈[1，2]. [1，＋∞）　 （－∞，＋∞）　 （－1，2）∪（2，＋∞）　 [1，2]　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 区间的应用 【例1】　将下列集合用区间以及数轴表示出来： （1）{ x ｜ x ＜2}； 解： { x ｜ x ＜2}可以用区间表示为（－ ∞，2），用数轴表示如图①. 目录 数学·必修第一册 （2）{ x ｜－1＜ x ＜0或1≤ x ≤5}； 解： { x ｜－1＜ x ＜0或1≤ x ≤5}可以用 区间表示为（－1，0）∪[1，5]，用数轴表示 如图②. （3）{ x ｜2≤ x ≤8且 x ≠5}. 解： { x ｜2≤ x ≤8且 x ≠5}用区间表示 为[2，5）∪（5，8]，用数轴表示如图③. 目录 数学·必修第一册 通性通法 用区间表示数集的方法 （1）区间左端点值小于右端点值； （2）区间两端点之间用“，”隔开； （3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； （4）以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 集合{ x ｜0＜ x ＜1或2≤ x ≤4}用区间表示为 ⁠ ⁠. 2. 若区间[ a －1， a ]关于原点对称，则 a ＝ ，此时区间 为 ⁠. 解析：由已知得 a －1＝－ a ，解得 a ＝ .此时区间为 . （0，1）∪[2， 4]　 　 　 目录 数学·必修第一册 题型二 同一个函数的判定 【例2】　（多选）下列式子表示同一个函数的是（　　） A. f （ x ）＝｜ x ｜，φ（ t ）＝ B. y ＝ ， y ＝（ ）2 C. y ＝ · ， y ＝ D. y ＝ ， y ＝ x －3 目录 数学·必修第一册 解析： 　A： f （ x ）与φ（ t ）的定义域相同，又φ（ t ）＝ ＝｜ t ｜，即 f （ x ）与φ（ t ）的对应关系也相同，∴ f （ x ）与φ（ t ） 是同一个函数；B： y ＝ 的定义域为R， y ＝（ ）2的定义域为 { x ｜ x ≥0}，两者定义域不同，故 y ＝ 与 y ＝（ ）2不是同一个 函数；C： y ＝ · 的定义域为{ x ｜－1≤ x ≤1}， y ＝ 的定义域为{ x ｜－1≤ x ≤1}，即两者定义域相同.又∵ y ＝ · ＝ ，∴两函数的对应关系也相同.故 y ＝ · 与 y ＝ 是同一个函数；D：∵ y ＝ ＝｜ x －3｜与 y ＝ x －3的定义域相同，但对应关系不同，∴ y ＝ 与 y ＝ x －3不是同一个函数. 目录 数学·必修第一册 通性通法 判断两个函数是否为同一个函数的步骤 提醒　（1）在化简解析 式时，必须是等价变形； （2）与用哪个字母表示 无关. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　下列各组函数： ① f （ x ）＝ ， g （ x ）＝ x －1； ② f （ x ）＝ x ＋1， g （ x ）＝ x ＋ x0； ③ f （ x ）＝（ x －1）2， g （ t ）＝ t2－2 t ＋1； ④汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系 f （ t ）＝80 t （0≤ t ≤5） 与一次函数 g （ x ）＝80 x （0≤ x ≤5）. 其中表示同一个函数的是 .（填上所有正确的序号） ③④　 目录 数学·必修第一册 解析：① f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ∈R，且 x ≠0}， g （ x ）的定义域 为R， f （ x ）与 g （ x ）的定义域不同，不是同一个函数；② f （ x ） 的定义域为R， g （ x ）的定义域为{ x ｜ x ∈R，且 x ≠0}， f （ x ）与 g （ x ）的定义域不同，不是同一个函数；③虽然表示自变量的字母 不同，但 f （ x ）与 g （ t ）的定义域相同，对应关系相同，故是同一 个函数.④是同一个函数，定义域、对应关系都相同. 目录 数学·必修第一册 题型三 求函数的值域 【例3】　求下列函数的值域： （1） y ＝ －1； 解： （直接法）∵ ≥0，∴ －1≥－1， ∴ y ＝ －1的值域为[－1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册 （2） y ＝ x2－4 x ＋6， x ∈[1，5）； 解： （配方法、图象法） y ＝ x2－4 x ＋6 ＝（ x －2）2＋2，如图所示，∵ x ∈[1，5）， ∴函数 y 的值域为[2，11）. （3） y ＝2 x ＋4 ； 解： （换元法）令 t ＝ （ t ≥0）， 则 x ＝1－ t2，则 y ＝－2 t2＋4 t ＋2＝－2（ t －1）2＋4（ t ≥0），结合图象（图略）可得函数的值域为（－∞，4]. 目录 数学·必修第一册 （4） y ＝ . 解： （分离常数法） y ＝ ＝ ＝3－ . ∵ ≠0，∴ y ≠3， ∴ y ＝ 的值域为{ y ｜ y ∈R，且 y ≠3}. 目录 数学·必修第一册 通性通法 求函数值域常用的5种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数 时，可利用配方法求其值域； （3）图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的 值域； （4）换元法：通过对函数的表达式进行适当换元，可将复杂的函数 化归为简单的函数，从而利用简单函数自变量的取值范围求函 数的值域； （5）分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化 为“反比例函数”的形式，便于求值域. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　求下列函数的值域： （1） y ＝ ， x ∈[1，2）； 解： 因为1≤ x ＜2，所以1≤ x2＜4， 所以 ＜ ≤1. 所以2＜ ≤8. 所以函数的值域是（2，8]. 目录 数学·必修第一册 （2） y ＝ x ＋ （ x ＞0）； 解： 因为 x ＞0，所以 x ＋ ≥2 ＝4（当且仅当 x ＝2时 取等号），可知 y ＝ x ＋ （ x ＞0）的值域为[4，＋∞）. （3） y ＝ . 解： 因为 y ＝ ＝ ，所以 0≤ y ≤ ，所以原函数的值域为 . 目录 数学·必修第一册 1. 不等式 x －2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（　　） A. （2，＋∞） B. [2，＋∞） C. （－∞，2） D. （－∞，2] 解析： 　不等式 x －2≥0的所有解组成的集合为{ x ｜ x ≥2}，表 示成区间为[2，＋∞）. 目录 数学·必修第一册 2. （多选）下列各组函数是同一个函数的是（　　） A. f （ x ）＝ 与 g （ x ）＝ x B. f （ x ）＝ x 与 g （ x ）＝ C. f （ x ）＝ x0与 g （ x ）＝ D. f （ x ）＝ x2－2 x －1与 g （ t ）＝ t2－2 t －1 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于A， f （ x ）＝ ＝－ x 与 g （ x ）＝ x 的对应关系和值域不同，故不是同一个函数.对于B， g （ x ）＝ ＝｜ x ｜与 f （ x ）＝ x 的对应关系和值域不同，故不 是同一个函数.对于C， f （ x ）＝ x0与 g （ x ）＝ 都可化为 y ＝1且 定义域是{ x ｜ x ≠0}，故是同一个函数.对于D， f （ x ）＝ x2－2 x －1与 g （ t ）＝ t2－2 t －1的定义域都是R，对应关系也相同，而与 用什么字母表示无关，故是同一个函数.故选C、D. 目录 数学·必修第一册 3. 求下列函数的值域： （1） y ＝ ； 解： ∵ y ＝ ＝ ＝5＋ ，又 ≠0， 知 y ≠5. ∴函数的值域是{ y ｜ y ∈R且 y ≠5}. 目录 数学·必修第一册 （2） y ＝ x － . 解： 令 t ＝ （ t ≥0）， ∴ x ＝－ t2＋ ， ∴ y ＝－ t2－ t ＋ ＝－ （ t ＋1）2＋1， 当 t ≥0时， y ≤ ， ∴函数的值域为（－∞， ］. 目录 数学·必修第一册 　抽象函数、复合函数的定义域 1. 抽象函数的概念 没有给出具体数学表达式的函数，称为抽象函数. 目录 数学·必修第一册 2. 复合函数的概念 若函数 y ＝ f （ t ）的定义域为 A ，函数 t ＝ g （ x ）的定义域为 D ， 值域为 C ，则当 C ⊆ A 时，称函数 y ＝ f （ g （ x ））为 f （ t ）与 g （ x ）在 D 上的复合函数，其中 t 叫做中间变量， t ＝ g （ x ）叫做 内层函数， y ＝ f （ t ）叫做外层函数. 提醒　由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义 域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定 了复合函数的定义域. 目录 数学·必修第一册 3. 抽象函数或复合函数的定义域 理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： （1）函数的定义域是自变量 x 的取值范围，比如：函数 f （ x ）的 定义域是指 x 的取值范围，函数 f （ g （ x ））的定义域也是 指 x 的取值范围，而不是 g （ x ）的取值范围； （2） f （ t ）， f （ x ）， f （φ（ x ））， f （ h （ x ））四个函数中 的 t ， x ，φ（ x ）， h （ x ）在对应关系 f 下的范围相同； （3）已知 f （ x ）的定义域为 A ，求 f （φ（ x ））的定义域，其实 质是已知φ（ x ）的取值范围（值域）为 A ，求 x 的取值范围. 目录 数学·必修第一册 一、已知 f （ x ）的定义域，求 f （ g （ x ））的定义域 【例1】　若函数 f （ x ）的定义域为（－1，2），则函数 f （2 x ＋1） 的定义域为 ⁠. 解析：由－1＜2 x ＋1＜2，得－1＜ x ＜ ，∴ f （2 x ＋1）的定义域为 . 方法总结 　　若 f （ x ）的定义域为[ a ， b ]，则 f （ g （ x ））中 g （ x ） ∈[ a ， b ]，从中解得 x 的解集即 f （ g （ x ））的定义域. 　 目录 数学·必修第一册 二、已知 f （ g （ x ））的定义域，求 f （ x ）的定义域 【例2】　若函数 f （2 x ＋1）的定义域为（－1，2），则函数 f （ x ） 的定义域为 ⁠. 解析：∵－1＜ x ＜2，∴－1＜2 x ＋1＜5，∴ f （ x ）的定义域为（－ 1，5）. 方法总结 　　若 f （ g （ x ））的定义域为[ m ， n ]，则由 x ∈[ m ， n ]可确定 g （ x ）的范围，设 u ＝ g （ x ），则 f （ g （ x ））＝ f （ u ），又 f （ u ）与 f （ x ）是同一函数，所以 g （ x ）的范围即 f （ x ）的定义域. （－1，5）　 目录 数学·必修第一册 三、已知 f （ g （ x ））的定义域，求 f （ h （ x ））的定义域 【例3】　若函数 f （2 x ＋1）的定义域为 （－1，2），则函数 f （ x － 1）的定义域为 ⁠. （0，6）　 解析：由 f （2 x ＋1）的定义域为（－1，2），得－1＜ x ＜2，∴－1 ＜2 x ＋1＜5，即 f （ x ）的定义域为（－1，5）.由－1＜ x －1＜5，得 0＜ x ＜6，∴ f （ x －1）的定义域为（0，6）. 目录 数学·必修第一册 方法总结 　　已知 f （φ（ x ））的定义域，求 f （ h （ x ））的定义域，先由 x 的取值范围，求出φ（ x ）的取值范围，即 f （ x ）中的 x 的取值范围， 即 h （ x ）的取值范围，再根据 h （ x ）的取值范围求出 x 的取值范 围，即 f （ h （ x ））的定义域. 目录 数学·必修第一册 【迁移应用】 1. 若函数 y ＝ f （ x ）的定义域是[－1，3]，则函数 g （ x ）＝ 的定义域是（　　） A. [0，2] B. [－3，5] C. [－3，－2]∪（2，5] D. （－2，2] 解析： 　已知函数 y ＝ f （ x ）的定义域是[－1，3]，要使函数 g （ x ）有意义，则解得0≤ x ≤2. 目录 数学·必修第一册 2. 设函数 f （ x ）＝ ，则 f （ ）＋ f （ ）的定义域为（　　） A. ［ ，4］ B. [2，4] C. [1，＋∞） D. ［ ，2］ 解析： 　∵函数 f （ x ）＝ 的定义域为[1，＋∞）， ∴解得2≤ x ≤4，∴ f （ ）＋ f （ ）的定义域为[2，4]. 目录 数学·必修第一册 3. 若函数 f （2 x ）的定义域是[－1，1]，则函数 f （2 x －1）＋ f （2 x ＋1）的定义域是 ⁠. 解析：因为函数 f （2 x ）的定义域是[－1，1]，所以－2≤2 x ≤2， 所以函数 f （ x ）的定义域为[－2，2]，所以 f （2 x －1）＋ f （2 x ＋1）的定义域满足条件即所 以－ ≤ x ≤ ，所以函数 f （2 x －1）＋ f （2 x ＋1）的定义域是 ［－ ， ］. ［－ ， ］　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 区间（－3，2]用集合可表示为（　　） A. {－2，－1，0，1，2} B. { x ｜－3＜ x ＜2} C. { x ｜－3＜ x ≤2} D. { x ｜－3≤ x ≤2} 解析： 　由区间和集合的关系，可得区间（－3，2]可表示为 { x ｜－3＜ x ≤2}，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 已知函数 f （ x ）＝ ，则 f （ x ）的值域是（　　） A. B. C. D. （0，＋∞） 解析： 　∵ x2＋2≥2，∴0＜ ≤ ，∴ f （ x ）的值域为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 与函数 y ＝ x 是同一个函数的是（　　） A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝ C. y ＝ D. y ＝ 解析： 　选项A和选项C中，函数的值域都是[0，＋∞）；选项D 中，函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）；选项B中函数的 定义域和值域都和函数 y ＝ x 相同，对应关系也等价，因此选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 已知函数 f （ x ）＝－2 x ＋3的值域为[－5，5]，则它的定义域为 （　　） A. [－5，5] B. [－7，13] C. [－4，1] D. [－1，4] 解析： 　由函数 f （ x ）＝－2 x ＋3的值域为[－5，5]可知－5≤3 －2 x ≤5，解得－1≤ x ≤4，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. （多选）下列函数中，值域为[0，4]的是（　　） A. f （ x ）＝ x －1， x ∈[1，5] B. f （ x ）＝－ x2＋4 C. f （ x ）＝ D. f （ x ）＝ x ＋ －2（ x ＞0） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　 x ∈[1，5]时， x －1∈[0，4]，所以函数 f （ x ）＝ x －1， x ∈[1，5]的值域是[0，4]，故A正确；因为－ x2≤0，所以 － x2＋4≤4，所以函数值域是（－∞，4]，故B错误；因为－ x2≤0，所以16－ x2≤16，又16－ x2≥0，所以0≤ ≤4，即 函数值域为[0，4]，故C正确；因为 x ＞0，所以 x ＋ ≥2（当且仅 当 x ＝1时取等号），所以 x ＋ －2≥0，故函数值域为[0，＋ ∞），故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 函数 y ＝ x2＋ x （－1≤ x ≤3）的值域为 ⁠. 解析：二次函数 y ＝ x2＋ x 的图象开口向上，对称轴为 x ＝－ ，当 x ＝－ 时，函数取得最小值－ .当 x ＝3时，函数取得最大值12， 因此函数的值域为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 若函数 f （ x ）＝ （ x ≠2）的值域为集合 P ，则下列元素中 不属于 P 的是（　　） A. 2 B. －2 C. －1 D. －3 解析： 　 f （ x ）＝ ＝ ＝－3－ ，值域为 { y ｜ y ≠－3}，即 P ＝{ y ｜ y ≠－3}，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 8. （多选）若函数 y ＝ 在区间[－2，－1]上有意义，则实数 a 的可能取值是（　　） A. －1 B. 1 C. 3 D. 5 解析： 　函数 y ＝ 在区间[－2，－1]上有意义，等价于 ＋1≥0在区间[－2，－1]上恒成立，由 x ＜0，得 a ≤－ x 在区间 [－2，－1]上恒成立，∴ a ≤1，故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 9. （多选）若函数 f （ x ）＝ 的值域是[0，＋∞）， 则实数 a 的可能取值是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析： 　法一　令 g （ x ）＝ ax2＋ ax ＋2，要使 f （ x ）＝ 的值域是[0，＋∞），只需 a ＞0且Δ＝ a2－8 a ≥0，解 得 a ≥8，故选C、D. 法二　令 g （ x ）＝ ax2＋ ax ＋2，要使 f （ x ）的值域包括0，则 g （ x ）的最小值小于等于0.故解得 a ≥8.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 10. 规定符号*表示一种运算，即a*b＝ ＋ a ＋ b （ a ， b 为正实 数）且1*k＝3. （1）求正整数 k ； 解： 由已知得，1*k＝ ＋1＋ k ＝3， 解得 ＝1或 ＝－2（舍去），所以 k ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （2）求函数 y ＝k*x的值域. 解： y ＝k*x＝ ＋1＋ x ＝ ＋ （ x ＞0）， 令 t ＝ ，则 y ＝ ＋ （ t ＞0），结合函数的图象 （图略）， 可得 y ＞ ＋ ＝1，所以函数的值域为（1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $