第7讲 基本不等式 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第7讲 基本不等式 一、知识讲解 1、基本不等式概念：如果，那么或，当且仅当时，等号成立 提醒：求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等（常见陷阱） ① 一正：参与不等式的各项都大于0； ② 二定：和定积最大，积定和最小（a+b为定值时，ab有最大值；ab为定值时，a+b有最小值） ③ 三相等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、基本不等式的变形 （1）添负号：若,则 （2）基本不等式链： 常见平方变形：. 名词解释： ：调和平均数； ：几何平均数； ：算术平均数； ：平方平均数 3、求最值 （1）直接法、不等式链法： （2）配凑法-凑分母： （3）同除法： （4）1的代换、乘1法：已知x+y=t，求的最值，先将转化为 （5）分式分离法：分离常数法将分式分解为对勾函数； （6）换元法将分母转换为单项式进行分离常数 （7）消元法：将3个变量转化为双变量或者单变量 二、必过题型 【题型一 直接法、基本不等式串、二次函数法】 1.（2026·北京朝阳）若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2026·四川眉山）已知，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2026·湖北）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏）若直角三角形的面积为，则两条直角边的和不可能是（      ） A． B． C． D． 5．（25-26高一·北京）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．甲、乙两车从地沿同一线路到达地，甲车一半时间的速度是，另一半时间的速度为，乙车用速度、各行走了一半路程，且，则__车先到达地． 7．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 8．（25-26高一上·全国）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 9.（25-26高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 10.（25-26高一上·海南）(1)已知均为正实数，求证； (2)已知，求证：. 【题型二 配凑法】 1.（25-26高一上·云南期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 3.（25-26高一上·江苏徐州·期末）若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（25-26高一上·四川成都·期中）下列函数的最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏）函数的最小值为__________. 6．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 7.（2026·河南开封）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 8.（25-26安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 9.（2026·浙江）已知，，且，则的最小值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 10.（2026广东）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 11.（2026·云南）已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 12.（2026·四川）已知，且，则的最小值是（       ） A．11 B．9 C．8 D．6 13．（25-26高二下·安徽六安）已知均为正数，，则的最大值为________． 14．（25-26高一上·四川成都·期中）若，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【题型三 分离法、换元法】 1.（25-26高一上·江西）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 2．（25-26高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 3．（25-26高一上·河北）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26高一上·江苏南京）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值. 5.（25-26高三上·河南）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高一上·江苏）已知，且不等式恒成立，则的最大值为___________. 7.（25-26高三下·云南）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8.已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，则的最大值为 ． 9. 函数(的最大值为 . 【题型四 1的代换、乘1法】 1.（25-26高一上·江苏南京）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 2．（25-26高二上·北京朝阳）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（多选题）（25-26高一上·黑龙江）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最大值 4.（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，，且，则的最小值为________． 5.（25-26高一下·湖南）（多选）已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 6.（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 7．（ 2026·广东梅州）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 8.（25-26高三上·江苏扬州 ），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 9.（25-26高三下·陕西）（多选）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（ 2026高三·全国）已知且满足，则的最小值为 ． 11．（25-26高一上·四川成都）已知正数、满足，求 的最小值； 12．（多选）（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 13．（25-26高一上·甘肃·期末）已知，求证(1)；(2). 14.（25-26高三上·重庆期中）若，则的最小值为（   ） A． B．4 C．9 D． 15.（25-26安徽合肥·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．9 D．4 【题型五 同除法】 1.（25-26高一上·广东）已知正实数满足，则的最小值为 ． 2.（25-26高一上·黑龙江黑河）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·福建）已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 4.（25-26高一上·上海）已知实数，则的最大值为 ． 5．（25-26高三上·河南）已知，则的最小值为__________. 【题型六 消元法】 1.（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·重庆 ）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 3.（25-26高一上·山东青岛）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·河北张家口·期末）已知，为正实数，且，则（   ） A． B． C．的最小值为6 D．的最小值为8 5.（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·福建期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 7．（25-26高一上·湖南长沙·期末）（多选）已知，且，则（    ） A． B．存在使得 C．不存在使得 D． 8．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知，，且． (1)求的最大值；(2)求的最小值． 【题型七 恒成立与能成立、应用题】 1.（25-26高一上·安徽）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 2.（25-26高一上·天津河西）已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建期中）当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 4．（多选）（25-26高一下·湖南）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·内蒙古）若对任意，恒成立，求的取值范围． 6.（25-26高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值；(2)若恒成立，求的取值范围. 7．（25-26高一上·四川）已知，，，且，证明： (1)；(2). 8.（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.（25-26高一上·山东）沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 10．（25-26高一上·广东）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 基本不等式 一、知识讲解 1、基本不等式概念：如果，那么或，当且仅当时，等号成立 提醒：求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等（常见陷阱） ① 一正：参与不等式的各项都大于0； ② 二定：和定积最大，积定和最小（a+b为定值时，ab有最大值；ab为定值时，a+b有最小值） ③ 三相等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、基本不等式的变形 （1）添负号：若,则 （2）基本不等式链： 常见平方变形：. 名词解释： ：调和平均数； ：几何平均数； ：算术平均数； ：平方平均数 3、求最值 （1）直接法、不等式链法： （2）配凑法-凑分母： （3）同除法： （4）1的代换、乘1法：已知x+y=t，求的最值，先将转化为 （5）分式分离法：分离常数法将分式分解为对勾函数； （6）换元法将分母转换为单项式进行分离常数 （7）消元法：将3个变量转化为双变量或者单变量 二、必过题型 【题型一 直接法、基本不等式串、二次函数法】 1.（2026·北京朝阳）若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】因为，所以，则，所以“”是“”的充分不必要条件. 2.（2026·四川眉山）已知，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】当时，满足，此时； 由，且，，得，当且仅当时等号成立. 故“”是“”的必要不充分条件.故选：A. 3.（2026·湖北）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为。故选：B 4．（25-26高一上·江苏）若直角三角形的面积为，则两条直角边的和不可能是（      ） A． B． C． D． 【解答过程】设直角三角形的两条直角边分别为，， 直角三角形的面积为，，，， 当且仅当时，等号成立，，两条直角边的和不可能是选项B.故选：B. 5．（25-26高一·北京）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ，令，则， ，当且仅当，即时取等号，该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元．故选：B． 6．甲、乙两车从地沿同一线路到达地，甲车一半时间的速度是，另一半时间的速度为，乙车用速度、各行走了一半路程，且，则__车先到达地． 【详解】解：设两地的路程为1，那么甲车到达指定地点的时间为，则，； 乙车到达指定地点的时间为，则，； ，；，由知；故答案为：甲． 7．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【解答过程】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故选：A. 8．（25-26高一上·全国）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立.故选：C 9.（25-26高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的最大值为1.故选：C. 10.（25-26高一上·海南）(1)已知均为正实数，求证； (2)已知，求证：. 【详解】（1）因为，，，以上三式相加，得， 所以，即． （2）因为,则， 因为，，由得当且仅当时等号成立.所以. 【题型二 配凑法】 1.（25-26高一上·云南期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【解答过程】因为，则， ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：B. 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【详解】因为，所以， 当且仅当．即时，等号成立．故答案为：2 3.（25-26高一上·江苏徐州·期末）若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为.故选：C. 4．（多选题）（25-26高一上·四川成都·期中）下列函数的最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，，当且仅当时，等号成立，故B正确； C选项，化简可得，当且仅当时，等号成立，故C正确； D选项，易知，当，即时，等号成立，最小值为，故D错，选：BC． 5．（25-26高一上·江苏）函数的最小值为__________. 【解答过程】因为, 当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为. 6．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【解答过程】因为，，且，则， 可得， 当且仅当时等号成立，结合可得，当且仅当时等号成立，所以取得最小值. 7.（2026·河南开封）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C由题意，. 8.（25-26安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号,所以的最大值为8．故选：B. 9.（2026·浙江）已知，，且，则的最小值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】因为， 所以，，当且仅当，即时等号成立．故选：C． 10.（2026广东）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【详解】因为，即，即，且，则， 则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B 11.（2026·云南）已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 【详解】由题得，因为，所以，同理，将条件变形为，则， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为28.故选：C. 12.（2026·四川）已知，且，则的最小值是（       ） A．11 B．9 C．8 D．6 【详解】，因为，所以，故，当且仅当时，A 13．（25-26高二下·安徽六安）已知均为正数，，则的最大值为________． 【详解】由题意得 14．（25-26高一上·四川成都·期中）若，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【详解】因为，故，则，故 ，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为，故选：D 【题型三 分离法、换元法】 1.（25-26高一上·江西）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【解答过程】易知．因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故，则的最大值是．选A. 2．（25-26高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【解答过程】，，则，不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立，所以，即实数m的最大值为.故选：B. 3．（25-26高一上·河北）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答过程】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D. 4．（25-26高一上·江苏南京）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值. 【详解】令，将代入得：， ∵，∴，当且仅当，即，即时，等号成立. 故函数的最小值为5，此时. 5.（25-26高三上·河南）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因，设，则，由可得， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 即得，解得，即的最小值为.故选：D. 6.（25-26高一上·江苏）已知，且不等式恒成立，则的最大值为___________. 【详解】令，因为，所以， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当，即时取等号，即时取等号，因为不等式恒成立， 所以，则.故的最大值为3. 7.（25-26高三下·云南）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由得， 令，，则且，， 所以 ，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ，故选：A． 8.已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，则的最大值为 ． 【详解】记，则，求最大值 9. 函数(的最大值为 . 【详解】设（t>0），则.∴=≤. 当且仅当,即时取“=”号.故当时，. 【题型四 1的代换、乘1法】 1.（25-26高一上·江苏南京）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A 2．（25-26高二上·北京朝阳）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答过程】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是4.故选：A. 3．（多选题）（25-26高一上·黑龙江）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最大值 【详解】，由，可得，当且仅当时取等号，所以ab有最大值，故A错误； 因为，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B正确； 解法一：因为，当且仅当时取等号，则有最小值4，故C正确； 解法二：因为，所以，当且仅当时取等号，则有最小值4，故C错误； 由不等式，可得，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D错误． 故选:BC． 4.（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，，且，则的最小值为________． 【详解】因为，，则， 当，即，且等号成立，解得，均满足， 因此的最小值为. 5.（25-26高一下·湖南）（多选）已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 【详解】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且，由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以，即的最大值为，D正确. 6.（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 7．（ 2026·广东梅州）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【详解】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.故选：D 8.（25-26高三上·江苏扬州 ），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【详解】因为，则； 当且仅当时，即时，等号成立，因此的最小值是16.故选：C 9.（25-26高三下·陕西）（多选）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 又，当且仅当时取等号，所以，故B正确；，故C错误；，当且仅当时取等号，故D错误. 10．（ 2026高三·全国）已知且满足，则的最小值为 ． 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故答案为：． 11．（25-26高一上·四川成都）已知正数、满足，求 的最小值； 【详解】（1）因为，，所以，， 所以， 当且仅当，且，即时，等号成立，故的最小值为； 12．（多选）（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【解答过程】对于A，由可得，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，因此A错误； 对于B，易知， 当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确； 对于C，由可得，所以； 当且仅当时，等号成立，此时的最小值为，即C正确； 对于D，易知，所以； 当且仅当，即时，等号成立，因此D正确.故选：BCD. 13．（25-26高一上·甘肃·期末）已知，求证(1)；(2). 【详解】（1）解：因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以. （2）解：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 14.（25-26高三上·重庆期中）若，则的最小值为（   ） A． B．4 C．9 D． 【详解】由题意， 当且仅当，即等号成立，所以的最小值为9.故选：C 15.（25-26安徽合肥·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．9 D．4 【详解】由，可得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为9.故选：C. 【题型五 同除法】 1.（25-26高一上·广东）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【详解】为正实数，则为正数，由得，因为，所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为. 2.（25-26高一上·黑龙江黑河）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，所以，由，则，所以 ，当且仅当即等号成立， 所以的最小值为，故选：A. 3.（25-26高一上·福建）已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 【详解】因为，所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值，所以当取最大值时，，，， 所以，所以，， 所以当时，取最小值。此时，， 4.（25-26高一上·上海）已知实数，则的最大值为 ． 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 5．（25-26高三上·河南）已知，则的最小值为__________. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号.所以的最小值为. 【题型六 消元法】 1.（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意，为正数，且，则，即，所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最大值为.故选：A 2.（25-26高三上·重庆 ）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【解答过程】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故选：B. 3.（25-26高一上·山东青岛）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】，，， ，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为.故选：C. 4．（多选）（25-26高一上·河北张家口·期末）已知，为正实数，且，则（   ） A． B． C．的最小值为6 D．的最小值为8 【解答过程】A.由 ，得，因为，所以，解得，又，所以，故正确； B. 由 ，得，因为，所以，因为，解得，故正确； C. 因为 ，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 联立，解得时，等号成立，故错误；故D正确；故选：ABD. 5.（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答过程】由可得， 因为，，由可得，故，且， 故 .当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值.D. 6.（25-26高二下·福建期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立，所以的最小值为，故D正确. 7．（25-26高一上·湖南长沙·期末）（多选）已知，且，则（    ） A． B．存在使得 C．不存在使得 D． 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于C，由，得，则， 若存在使得，则与已知相矛盾，C正确； 对于B，由且，得，B错误； 对于D，，D正确.故选：ACD. 8．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知，，且． (1)求的最大值；(2)求的最小值． 【详解】（1）依题意，，，且，所以，所以， 二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，取得最大值为，此时. 所以的最大值为. （2），当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 【题型七 恒成立与能成立、应用题】 1.（25-26高一上·安徽）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【解答过程】由正实数满足，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得.故选：C. 2.（25-26高一上·天津河西）已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由都是正数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为， 又由恒成立，所以.故选：A. 3．（25-26高一上·福建期中）当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 【详解】因为当，时，，可得， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为9.故选：A. 4．（多选）（25-26高一下·湖南）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错；故选：ACD 5．（25-26高一上·内蒙古）若对任意，恒成立，求的取值范围． 【详解】由， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，故的取值范围为． 6.（25-26高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值；(2)若恒成立，求的取值范围. 【解答过程】（1） ，当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则，所以的取值范围. 7．（25-26高一上·四川）已知，，，且，证明： (1)；(2). 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ，， 故，当且仅当时等号成立. 8.（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，且，则，则， 所以， 因为恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.选A. 9.（25-26高一上·山东）沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为，所以即，当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即，因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12，即，所以的取值范围是. 10．（25-26高一上·广东）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为．因为，当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为．因为， 当时，即，时等号成立．所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $