第4讲 函数的概念及其表示专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四讲 函数的概念及其表示—专题练习 【知识点梳理】 函数的概念 知识点一、函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确 定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x)，x∈A. 函数特性： （1）非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空的实数集. （2）任意性：A的每一个实数在B中都有函数值与之对应. （3）单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应. 知识点二、函数的三要素 1.定义域：自变量的取值范围，是使得函数关系式有意义的实数构成的集合. 2.对应关系. 3.值域：函数的值域是函数值的集合. 知识点三、同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数. 知识点四、区间 1.区间的概念 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.含“∞”的区间表示 定义 符号 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 知识点五、抽象函数与复合函数 1.抽象函数和复合函数的概念 （1）没有给出具体解析式的函数称为抽象函数. （2）若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当，称函 数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函 数，y=f(t)叫做外层函数. 2.抽象函数或复合函数的定义域 （1）函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合. （2）函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. （3）f(t)，f(g(x))，f(h(x))三个函数中的t,g(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同. 函数的表示法 知识点一、函数的三种表示方法 1.函数的三种表达式 （1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的关系. （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. （3）图像法：就是用图像表示两个变量之间的对应关系. 2.三种表示法的优缺点 （1）解析法 优点：①对应关系简明、全面；②可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 缺点：不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示. （2）列表法 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 缺点：只能表示出自变量取较少的有限值的对应关系. （3）图像法 优点：①能直观表示随着自变量的变化相应函数值的变化趋势.②便于研究函数的某些性质. 缺点：只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时候误差较大. 知识点二、分段函数 1.定义：在定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同对应关系的函数称为分段函数. 2.分段函数的图像：分段函数的图像由几段曲线或“离散”的点组成，在同一直角坐标系中， 根据每段的定义范围和解析式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点. 知识点三、函数的图像 1.描点法画函数图像 步骤：（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与之相对应的函数值f(x)， 并用表格的形式表示出来. （2）描点：把表格中的点（x，f(x)）在平面直角坐标系中描出来. （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来. 2.函数图像的平移变换 图像平移口诀：对x变化，左加右减；对y变化，上加下减. 3.函数的图像的对称变换 图像对称口诀；关于谁对称，谁不变，关于原点对称全都变. 4.函数图像的翻折变换 （1）y=f(x)保留x轴及其上方的图像，把x轴下方的图像翻折到x轴上方可得到|y=f(x)| 的图像. （2）y=f(x)去掉y轴左侧图像，保留y轴及其右侧的图像，作y轴右侧的图像关于y轴对 称的图像可得到y=f(|x|)的图像. 【专题练习】 考点一：函数的概念 1.函数关系的判断 例1.下列图形中，可以表示函数y＝f（x）的是（　　） A． B． C． D． 解：由图像可得，一个x只能对应一个y，所以选项A，C，D错误．故选：B． 例2.(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 解：按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．故选：AD. 随堂练习： 1.(多选)下列四种说法中，正确的有(　　) A．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 解：由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．故选：ACD. 2.下列对应关系中，能构成从集合到集合的函数的是（ ） A.，对应法则 B.，对应法则 C.，对应法则 D.，对应法则 解：函数要求集合中每一个元素在中有唯一元素对应 B中时，；C中时分式无意义； D中时分式无意义，均不满足只有A符合函数定义故选：A. 3.已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系： ①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|， 其中能构成从M到N的函数的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解：由题可知：D正确.故选：D. 4.下列曲线中，y不是x函数的是（　　） A． B． C． D． 解：根据函数的定义，对于定义域内的任意变量x，变量y都有唯一的值与之对应， 对照各个图象，可知B、C、D三项均符合该定义， 在A的图象中，存在1个x对应2个y值的情况，不符合该定义，故它不是函数的图象． 故选：A． 5.图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（　　） A．② B．①④ C．②④ D．③④ 解：根据函数的定义，每个x都有一个唯一确定的函数值y，故只有③④符合条件． 故选：D． 6.集合M＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义 域，N为值域的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 解：由题意可知：M＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}， A对在集合M中（0，2]内的元素没有原像，所以A不对； C对不符合一对一或多对一的原则，故C不对； D对在值域当中有的元素没有原像，所以D不对； 而符合函数的定义．故选：B． 7.下列对应f：A→B是从集合 A到集合 B的函数的是（　　） A．A＝{x|x＞0}，B＝{y|y≥0}，f：y B．A＝{x|x≥0}，B＝{y|y＞0}，f：y＝x2 C．A＝{x|x是三角形}，B＝{y|y是圆}，f：每一个三角形对应它的内切圆 D．A＝{x|x是圆}，B＝{y|y是三角形}，f：每一个圆对应它的外切三角形 解：A．集合A中的任意元素x，满足在集合B中有唯一的y对应，满足条件． B．集合A中的元素0，在集合B中没有y与x对应，不满足条件． C．函数是数集合数集的对应，集合A，B，不是数集，不满足条件． D．集合A中的任意元素x，满足在集合B中有唯一的y对应，不满足条件．故选：A． 8.在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝； ②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25； ④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤ 解：①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数． ②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数． ③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数． ⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．故选：D. 2.求函数的定义域 例1.求下列函数的定义域 （1）. （2）. （3）. 解：（1）由题意得：，解得：-3≤x≤1故答案为：. （2）联立条件，解得且故答案为：. （3）联立，得且，即故答案为：. 随堂练习： 1.求下列函数的定义域 （1）y＝3－x； （2）y＝； （3）y＝； 解　(1)函数y＝3－x的定义域为R. (2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2>0，即x>－2， 所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}． (3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，解得x≤5，且x≠±3. 所以函数y＝的定义域为{x|x≤5且x≠±3}． 2.求下列函数的定义域： （1）f(x)＝； （2）f(x)＝. （3）函数y＝． （4）f(x)＝. 解：（1）要使函数式有意义，必须满足，解得：≤x≤， 即函数的定义域为[，]. （2）要使函数式有意义，必须满足，解得：x<0且x≠－3. 所以函数的定义域为（－∞，－3）∪（－3,0）． （3）由题意可得 ，所以x≥－1且x≠1， 故函数y＝的定义域为{x|x≥－1且x≠1}． (4)要使函数f(x)有意义，则，解得－1≤x<1. 因此函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}． 3.抽象函数的定义域 例1.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 解：同一对应法则，括号内代数式取值范围一致由，解得 故答案为： 例2.已知函数的定义域为，则的定义域为 . 解：，即定义域为；由，解得.故答案为：. 例3.若函数的定义域为,则函数 的定义域为 . 解：根据已知可得函数的定义域需满足：，解得：,即函数定义域为.故答案为：. 随堂练习： 1.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 解：由，解得故答案为： 2.已知定义域为，则的定义域为 . 解：联立，得，交集只有故答案为：. 3.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 解：，则，故定义域为故答案为： 4.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 解：，即定义域为再由，解得故答案为：. 5.若函数f（x）的定义域是[﹣3，2]，则函数的定义域是（　　） A．[﹣4，1] B．[﹣3，1] C．[﹣3，1） D．[﹣4，1） 解：因为函数f（x）的定义域是[﹣3，2]，而函数， 可得﹣3≤x+1≤2解得﹣4≤x≤1，又x﹣1≠0，得﹣4≤x＜1．故选：D． 6.若函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，1]，则函数的定义域为（　　） A．（﹣1，2] B．[0，2] C．[﹣1，2] D．（1，2] 解：f（2x﹣1）中，﹣1≤x≤1，则﹣3≤2x﹣1≤1，所以函数中，解得﹣1＜x≤2．故选：A． 7.已知函数f（2x﹣3）的定义域为[1，3），则f（1﹣3x）的定义域为　 　． 解：∵函数f（2x﹣3）的定义域为[1，3），即1≤x＜3， ∴﹣1≤2x﹣3＜3，即f（x）的定义域为[﹣1，3）， ∴﹣1≤1﹣3x＜3，解得， ∴函数f（1﹣3x）的定义域为．故答案为：． 8.已知函数f（x+1）的定义域为（﹣2，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为 　． 解：∵f（x+1）的定义域为（﹣2，0），∴x∈（﹣2，0），∴x+1∈（﹣1，1）， ∴f（x）的定义域为（﹣1，1）， ∵f（2x﹣1），∴2x﹣1∈（﹣1，1），解得x∈（0，1），∴f（2x﹣1）的定义域为（0，1）． 故答案为：（0，1）． 3.已知函数定义域求参数取值范围 例1.已知函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是 　． 解：由题意得ax2﹣ax+2≥0恒成立， 当a＝0时，2≥0恒成立，满足题意； 当a≠0时，，解得0＜a≤8， 综上0≤a≤8．故答案为：[0，8]． 例2.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 　． 解：∵函数的定义域为R，∴不等式ax2﹣ax+3＞0在R上恒成立， 当a＝0时，不等式化为3＞0，显然恒成立，符合题意， 当a≠0时，则，解得0＜a＜12， 综上所述，实数a的取值范围是[0，12）．故答案为：[0，12）． 随堂练习： 1.函数y的定义域为R，则实数k的取值范围为 　． 解：函数y的定义域为R等价于kx2﹣2kx+4≥0恒成立， 当k＝0时，显然成立；当k≠0时，由Δ＝4k2﹣16k≤0，得0＜k≤4， 综上，实数k的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]． 2.函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是　 　． 解：由已知得ax2+4ax+3＝0无解， 当a＝0时，3＝0，无解，满足； 当a≠0时，Δ＜0即16a2﹣12a＜0，解得0， 综上，0.故答案为：[0，）． 3.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是　　 ． 解：若函数的定义域为R，则mx2﹣x+2＞0的解集为R 当m＝0时，不等式变为﹣x+2＞0，得x＜2不符合题意； 当m≠0时，要使得解集为R，则，解得， 综上可得实数m的取值范围是．故答案为：{m|}． 4.已知函数的定义域为R，则a的取值范围是（　　） A．[0，1] B．（0，+∞） C．[1，+∞） D．[0，+∞） 解：根据题意得ax2+1≥0恒成立，当a≥0时，满足题意.故选：D． 5.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，4） B．[0，4） C．[0，4] D．（﹣∞，0]∪（4，+∞） 解：若f（x）的定义域是R，则mx2+2mx+4＞0在R恒成立， m＝0时，显然成立， m≠0时，只需，解得：0＜m＜4. 综上，m的取值范围是[0，4）.故选：B. 6.若函数的定义域为R，则实数m可以是（　　） A．0 B．3 C．6 D．8 解：函数的定义域为R，则对任意x∈R，2mx2﹣mx+1＞0恒成立， 当m＝0时，则1＞0恒成立， 当m≠0时，则，解得0＜m＜8， 综上所述，实数m取值范围是[0，8）．故选：ABC． 4.求函数的值域 例1.求函数的值域.（分离常数法） 解：分离常数：， 因为，所以.故答案为：. 例2.求函数的值域.（换元法） 解：令，则，且. 代入原函数得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴，在上单调递增. 当时，，故值域为. 例3.函数的值域是__________. 解：由，得(y－3)x2＋(y－3)x－(y＋1)＝0， 当y＝3时，上式无解． 当y≠3时，要使方程有解，需满足Δ＝(y－3)2＋4(y－3)(y＋1)≥0. 即5y2－14y－3≥0，解得y≤－或y>3. ∴的值域为∪(3，＋∞).故答案为：∪(3，＋∞). 随堂练习： 1.函数y＝x2－4x＋6的值域 . 解：配方得y＝(x－2)2＋2≥2，故函数值域为：[2，+∞). 2.函数的值域为 . 解：， 因为，所以.故答案为：. 3.函数的值域为 ． 解：令，则，代入得：， 当时，，值域为.故答案为：. 4.求下列函数的值域： （1）y＝； （2）y＝2x－. 解：（1）y＝，显然≠0，所以y≠2， 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． （2）设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1， 所以y＝2(t2＋1)－t＝， 由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为[,+∞）. 5.求下列函数的值域. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 解：(1)因为，所以， 所以函数的值域为. （2）因为， 所以函数的值域为. （3）. 因为，所以，所以的值域为. （4）方法1：因为，又因为，所以，所以， 所以.故函数的值域为. 方法2：因为， :所以，即. 当时，，解得； 当时，不成立. 故函数的值域为. 方法3：由，得，所以，所以，故函数的值域为. （5）令，则且，所以. 因为，所以.所以函数的值域为. 6.（1）函数的值域是 . 解：定义域为R，去分母得：， 整理为：， ①当，即时，方程为，无解，故； ②当时，判别式：， 解得.结合，值域为.故答案为：. （2）函数的值域（）为 . 解：先化简：， 再分离常数：， 因为，所以，故.故答案为：）. （3）函数的值域为 . 解：定义域为R，去分母得：， 整理为：， 当，即时，方程为，解得，存在解，故可取； 当时，判别式：， 解得.综上，值域为. 故答案：. 5.同一个函数的判断 例1.下列四组函数中表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝x B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝，g(x)＝|x| D．f(x)＝0，g(x)＝＋ 解：∵f(x)＝－x，g(x)＝x，对应关系不同，∴A中两个函数不表示同一个函数； ∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应关系不一致，∴B中两个函数不表示同一个函数； ∵f(x)＝＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一个函数；f(x)＝0，g(x)＝＋＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一个函数．故选：C. 随堂练习： 1.(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝ B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 C．f(x)＝ ，g(x)＝ D．f(t)＝，g(t)＝t＋4(t≠4) 解：A．因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； B．这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； C．这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数； D．这两个函数的定义域和对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数． 故选：CD. 2.已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 其中是同一个函数的是(　　) A．没有 B．仅有② C．②④ D．②③④ 解：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同．故选：C. 3.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A.， B.， C.， D.， 解：同一函数需定义域、对应法则完全相同A定义域不同；B对应法则不同；D定义域不 同；C定义域均为R，化简后解析式一致，是同一函数故选：C. 4.下列各组函数表示同一函数的是（　　） A． B． C．f（s）＝（s+1）2，g（t）＝t2+2t+1 D． 解：对于A，f（x）＝2025x的定义域为R，g（x）|x|的定义域为R，两个函数定义域相同，对应函数解析式不同，不是同一函数； 对于B，由，可得f（x）定义域为[3，+∞），由x2﹣9≥0可得g（x）定义域为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞），两个函数定义域不同，不是同一函数； 对于C，两函数定义域均为R，虽然字母不同，但函数对应关系均相同，是同一函数； 对于D，f（x）定义域为R，g（x）定义域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），两个函数定义域不同，不是同一函数．故选：C． 5.在下列函数中，与函数y＝x表示同一函数的（　　） A． B． C． D． 解：函数y＝x的定义域为R， A：函数的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故与函数y＝x不是同一函数； B：函数的定义域为R，可化简为，定义域相同，对应关系一样，与函数y＝x是同一函数； C：函数的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，故与函数y＝x不是同一函数； D：函数与函数y＝x解析式不相同，定义域不同，故与函数y＝x不是同一函数．故选：B． 6.下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一个函数的是________(填上所有正确的序号)． 解：①不是同一个函数，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R. ②不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝. ③是同一个函数，定义域、对应关系都相同． ④不是同一个函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R. ⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．故答案为：③⑤. 考点二：函数的表示法 1.求函数的解析式 例1.已知，且为一次函数，求的解析式. 解：设，则； 与对比得：，解得或. 当-时，，故； 当-时，，故. 例2.（1）已知函数，则的解析式为 . （2）已知，则的解析式为 . 解：（1）方法1换元法：令，则， 所以， 即. 方法2配凑法：因为 ， 所以. （2）方法1换元法：令，则， 所以， 所以函数的解析式为. 方法2配凑法：. 因为，所以. 例3.已知函数满足，则函数的解析式为 . 解：在已知等式中，用替换，得. 联立方程得：， 消去，得. 故答案为：. 随堂练习： 1.（1）已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则函数的解析式f(x) . 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1) ＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， ∴,解得：. ∴f(x)＝x2－2x－1.故答案为：x2－2x－1. （2）已知一次函数满足，则的解析式为 . 解：设， 则， 所以，解得或， 所以或. （3）已知二次函数满足，则该二次函数的解析式为 . 解：设二次函数的解析式为， 由题意得，解得，所以. 2.（1）已知函数，则 . 解: 根据题意,令,则,且,则, 可得所以 （2）已知，则的解析式为 . 解：. 因为，所以. 3.（1）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 解：由,得, 即 ①, 将换为,得 ②, 由① ②, 得 ,故. （2）已知，其中，则函数的解析式为 . 解：在原式中用替换，得. 联立方程得：， 消去，得. 故的解析式为. 故答案为：. （3）已知的定义域为，满足，则函数 . 解：因为① 将替换为 ，得到:② ① - ② ，得:， 所以. 4.（1）已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)； （2）已知＝x2＋，求f(x)； （3）已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)． 解：(1)方法一　(换元法)：令x＋1＝t，∴x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1， ∴f(x)＝3x－1. 方法二　(配凑法)：f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，∴f(x)＝3x－1. (2)∵＝x2＋＝＋2，令t＝，∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2. (3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x①中， 以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x②, 由①②消去f(－x)可得f(x)＝x－1. 2.分段函数及其应用 例1.已知函数f(x)＝， (1)求f(－5)，f(1)，； (2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围． 解：(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(1)＝3×1＋5＝8，＝＝＝3×＋5＝. (2)因为a2＋2≥2，所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，解得a≥1或a≤－， 即实数a的取值范围是 (－∞，－]∪[1，＋∞)． 随堂练习： 1.已知函数，若，则  . 解：若，由，得（舍去）. 若，由，得. 因为应舍去，所以. 综上所述，.故答案为：. 2.已知函数f(x)＝，则f(2)＝ . 解：f(2)＝＝1.故答案为：1. 3.已知函数，若，则的取值范围是  . 解：当时，，此时的取值范围是； 当时，，此时无解； 当时，，此时无解. 故的取值范围是.故答案为：. 4.函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值是 . 解：当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1，舍去； 当－1<x<2时，x2＝3得x＝或x＝－(舍去)．故答案为：. 5.设函数f(x)＝，则f(f(3))等于(　　) A. B．3 C. D. 解：∵f(3)＝≤1，∴f(f(3))＝＋1＝.故选：A. 6.设f(x)＝，则f(5)的值是(　　) A．16 B．18 C．21 D．24 解：f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，f(5)＝f(21)＝24.故选：D. 7.函数f(x)＝的定义域为 ，值域为 ． 解：定义域为各段的并集，即(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1)． 值域为各段的并集(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1)．故答案为：(－1,1)，(－1,1). 3.函数图像的识别及应用 例1.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 解：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝， 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 例2.画出y=|x2-3x+2|的图像. 解：结合y=f(x)保留x轴及其上方的图像，把x轴下方的图像翻折到x轴上方可得到|y=f(x)| 的图像，（图像略）. 随堂练习： 1.函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　) A B C D 解：方法一：函数的解析式可化为y＝，画出此分段函数的图象，故选B. 方法二：由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A，C，D.故选：B. 2.函数y＝的大致图象是(　　) A B C D 解：方法一：y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，当x＝0时，y＝0，排除B. 方法二：y＝＝1－，由函数的平移性质可知A正确．故选：A. 3.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 . 解：由题图可知，图象是由两条线段组成， 当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式， 则，解得：.所以 f(x)＝x＋1. 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1. ∴f(x)＝. 4.已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x.所以. (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． 5.画出y=|x2+5x-6|的图像. 解：结合y=f(x)保留x轴及其上方的图像，把x轴下方的图像翻折到x轴上方可得到|y=f(x)| 的图像，（图像略）. 6.画出y=x2-3|x|+2的图像. 解：分段y=，然后根据分段画出每一段图像（图像略）. 7.画出函数y＝|x＋1|－|x－2|图像． 解：y＝|x＋1|－|x－2|＝, 作出函数的图象， 8.画出函数的图象，并根据图象指出函数的值域. 解：. 画出函数图象如图所示. 根据图象可知，该函数的值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲 函数的概念及其表示—专题练习 【知识点梳理】 函数的概念 知识点一、函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确 定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x)，x∈A. 函数特性： （1）非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空的实数集. （2）任意性：A的每一个实数在B中都有函数值与之对应. （3）单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应. 知识点二、函数的三要素 1.定义域：自变量的取值范围，是使得函数关系式有意义的实数构成的集合. 2.对应关系. 3.值域：函数的值域是函数值的集合. 知识点三、同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数. 知识点四、区间 1.区间的概念 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.含“∞”的区间表示 定义 符号 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 知识点五、抽象函数与复合函数 1.抽象函数和复合函数的概念 （1）没有给出具体解析式的函数称为抽象函数. （2）若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当，称函 数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函 数，y=f(t)叫做外层函数. 2.抽象函数或复合函数的定义域 （1）函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合. （2）函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. （3）f(t)，f(g(x))，f(h(x))三个函数中的t,g(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同. 函数的表示法 知识点一、函数的三种表示方法 1.函数的三种表达式 （1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的关系. （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. （3）图像法：就是用图像表示两个变量之间的对应关系. 2.三种表示法的优缺点 （1）解析法 优点：①对应关系简明、全面；②可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 缺点：不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示. （2）列表法 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 缺点：只能表示出自变量取较少的有限值的对应关系. （3）图像法 优点：①能直观表示随着自变量的变化相应函数值的变化趋势.②便于研究函数的某些性质. 缺点：只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时候误差较大. 知识点二、分段函数 1.定义：在定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同对应关系的函数称为分段函数. 2.分段函数的图像：分段函数的图像由几段曲线或“离散”的点组成，在同一直角坐标系中， 根据每段的定义范围和解析式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点. 知识点三、函数的图像 1.描点法画函数图像 步骤：（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与之相对应的函数值f(x)， 并用表格的形式表示出来. （2）描点：把表格中的点（x，f(x)）在平面直角坐标系中描出来. （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来. 2.函数图像的平移变换 图像平移口诀：对x变化，左加右减；对y变化，上加下减. 3.函数的图像的对称变换 图像对称口诀；关于谁对称，谁不变，关于原点对称全都变. 4.函数图像的翻折变换 （1）y=f(x)保留x轴及其上方的图像，把x轴下方的图像翻折到x轴上方可得到|y=f(x)| 的图像. （2）y=f(x)去掉y轴左侧图像，保留y轴及其右侧的图像，作y轴右侧的图像关于y轴对 称的图像可得到y=f(|x|)的图像. 【专题练习】 考点一：函数的概念 1.函数关系的判断 例1.下列图形中，可以表示函数y＝f（x）的是（　　） A． B． C． D． 例2.(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 随堂练习： 1.(多选)下列四种说法中，正确的有(　　) A．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 2.下列对应关系中，能构成从集合到集合的函数的是（ ） A.，对应法则 B.，对应法则 C.，对应法则 D.，对应法则 3.已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系： ①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|， 其中能构成从M到N的函数的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 4.下列曲线中，y不是x函数的是（　　） A． B． C． D． 5.图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（　　） A．② B．①④ C．②④ D．③④ 6.集合M＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义 域，N为值域的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 7.下列对应f：A→B是从集合 A到集合 B的函数的是（　　） A．A＝{x|x＞0}，B＝{y|y≥0}，f：y B．A＝{x|x≥0}，B＝{y|y＞0}，f：y＝x2 C．A＝{x|x是三角形}，B＝{y|y是圆}，f：每一个三角形对应它的内切圆 D．A＝{x|x是圆}，B＝{y|y是三角形}，f：每一个圆对应它的外切三角形 8.在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝； ②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25； ④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤ 2.求函数的定义域 例1.求下列函数的定义域 （1）. （2）. （3）. 随堂练习： 1.求下列函数的定义域 （1）y＝3－x； （2）y＝； （3）y＝； 2.求下列函数的定义域： （1）f(x)＝； （2）f(x)＝. （3）函数y＝． （4）f(x)＝. 3.抽象函数的定义域 例1.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 例2.已知函数的定义域为，则的定义域为 . 例3.若函数的定义域为,则函数 的定义域为 . 随堂练习： 1.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 2.已知定义域为，则的定义域为 . 3.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 4.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 5.若函数f（x）的定义域是[﹣3，2]，则函数的定义域是（　　） A．[﹣4，1] B．[﹣3，1] C．[﹣3，1） D．[﹣4，1） 6.若函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，1]，则函数的定义域为（　　） A．（﹣1，2] B．[0，2] C．[﹣1，2] D．（1，2] 7.已知函数f（2x﹣3）的定义域为[1，3），则f（1﹣3x）的定义域为　 　． 8.已知函数f（x+1）的定义域为（﹣2，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为 　． 3.已知函数定义域求参数取值范围 例1.已知函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是 　． 例2.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 　． 随堂练习： 1.函数y的定义域为R，则实数k的取值范围为 　． 2.函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是　 　． 3.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是　　 ． 4.已知函数的定义域为R，则a的取值范围是（　　） A．[0，1] B．（0，+∞） C．[1，+∞） D．[0，+∞） 5.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，4） B．[0，4） C．[0，4] D．（﹣∞，0]∪（4，+∞） 6.若函数的定义域为R，则实数m可以是（　　） A．0 B．3 C．6 D．8 4.求函数的值域 例1.求函数的值域.（分离常数法） 例2.求函数的值域.（换元法） 例3.函数的值域是__________. 随堂练习： 1.函数y＝x2－4x＋6的值域为 . 2.函数的值域为 . 3.函数的值域为 ． 4.求下列函数的值域： （1）y＝； （2）y＝2x－. 5.求下列函数的值域. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 6.（1）函数的值域是 . （2）函数的值域（）为 . （3）函数的值域为 . 5.同一个函数的判断 例1.下列四组函数中表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝x B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝，g(x)＝|x| D．f(x)＝0，g(x)＝＋ 随堂练习： 1.(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝ B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 C．f(x)＝ ，g(x)＝ D．f(t)＝，g(t)＝t＋4(t≠4) 2.已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 其中是同一个函数的是(　　) A．没有 B．仅有② C．②④ D．②③④ 3.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A.， B.， C.， D.， 4.下列各组函数表示同一函数的是（　　） A． B． C．f（s）＝（s+1）2，g（t）＝t2+2t+1 D． 5.在下列函数中，与函数y＝x表示同一函数的（　　） A． B． C． D． 6.下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一个函数的是________(填上所有正确的序号)． 考点二：函数的表示法 1.求函数的解析式 例1.已知，且为一次函数，求的解析式. 例2.（1）已知函数，则的解析式为 . （2）已知，则的解析式为 . 例3.已知函数满足，则函数的解析式为 . 随堂练习： 1.（1）已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则函数的解析式f(x) . （2）已知一次函数满足，则的解析式为 . （3）已知二次函数满足，则该二次函数的解析式为 . 2.（1）已知函数，则 . （2）已知，则的解析式为 . 3.（1）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . （2）已知，其中，则函数的解析式为 . （3）已知的定义域为，满足，则函数 . 4.（1）已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)； （2）已知＝x2＋，求f(x)； （3）已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)． 2.分段函数及其应用 例1.已知函数f(x)＝， (1)求f(－5)，f(1)，； (2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围． 随堂练习： 1.已知函数，若，则  . 2.已知函数f(x)＝，则f(2)＝ . 3.已知函数，若，则的取值范围是  . 4.函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值是 . 5.设函数f(x)＝，则f(f(3))等于(　　) A. B．3 C. D. 6.设f(x)＝，则f(5)的值是(　　) A．16 B．18 C．21 D．24 7.函数f(x)＝的定义域为 ，值域为 ． 3.函数图像的识别及应用 例1.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 例2.画出y=|x2-3x+2|的图像. 随堂练习： 1.函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　) A B C D 2.函数y＝的大致图象是(　　) A B C D 3.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 . 4.已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 5.画出y=|x2+5x-6|的图像. 6.画出y=x2-3|x|+2的图像. 7.画出函数y＝|x＋1|－|x－2|图像． 8.画出函数的图象，并根据图象指出函数的值域. 1 学科网（北京）股份有限公司 $