第二十五章一元二次方程同步练2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以“概念巩固-技能应用-综合拓展”分层设计，覆盖一元二次方程全章核心知识，通过基础题夯实概念运算，中档题提升应用能力，提升题培养逻辑推理与创新意识，适配单元复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义、根的判别式、基本解法|选择1-4考查概念辨析，解答16训练直接开平方法与因式分解法，强化运算能力| |中档|应用问题、参数取值、根的性质|选择5-8结合商品降价、新运算情境，填空12-14涉及方程解的整体代入，培养模型意识| |提升|综合推理、拓展应用|选择9-10分析解题错误与象限判断，解答20通过配方法解决面积最值，发展创新意识与数学思维|

· 第二十五章 一元二次方程 同步练习 · 2026-2027学年人教版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 3．一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 4．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 5．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（   ） A． B． C． D．或 6．关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 7．若关于x的方程有实数根．则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 9．如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（    ） 小卫同学解答过程： 解：，             第一步 ，             第二步 ，             第三步 或，             第四步 解得或．             第五步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 10．若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 12．已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 13．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 14．某化工厂一月份的产值为万吨，二、三月份的增长率相同，若第一季度产值达到万吨，设增长率为，则所列方程为______． 15．《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为______． 三．解答题（本大题共5小题，共75分） 16．解方程： (1)； (2)． 17．若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 18．关于x的一元二次方程（）． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根． (2)求证：是该方程的根． 19．某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒元． (1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______盒； (2)现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？ 20．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D A A B B C A 1．D 【分析】根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”三个条件逐一判断选项． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程. 对各选项分析如下： A选项含有两个未知数，不满足条件，排除； B选项未知数的最高次数为1，不满足条件，排除； C选项分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除； D选项只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义． 2．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．把，，代入进行计算，再根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．B 【详解】解：， ， ， ， ． 4．D 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：由得， ∴或， 解得，， 故选：D． 5．A 【分析】设降价的百分率为，根据降低率的公式建立方程，求解即可． 【详解】解：设降价的百分率为， 根据题意可列方程为， 解方程得(舍)， ∴每次降价的百分率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，然后再对所求代数式变形，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴，即， ∴． 故选A． 7．B 【分析】本题考查了根的判别、方程的解等知识点，分和两种情况解答即可． 【详解】解：当时，方程化为，解得：； 当时，则，解得：且， 综上所述，k的取值范围为． 故选：B． 8．B 【分析】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 9．C 【详解】解：正确步骤如下： ， ， ， 或， 解得或． ∴第三步的提取公因式出错． 10．A 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点所在的象限． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，，， ∴点所在的象限是第一象限； 当时，，， ∴点所在的象限是第二象限； 综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限． 故选：A． 11．4 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且，即且， 解得，， 故答案为：4． 12． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 将代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为： 13． 且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有实数根需满足判别式非负，由此建立条件不等式组求解即可． 【详解】解：方程 是一元二次方程， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 故 的取值范围是 且 ． 14． 【分析】等量关系为：一月份的产值二月份的产值三月份的产值万吨，把相关数值代入即可． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键． 【详解】一月份的产值为万吨，平均每月增长率为， 二月份的产值为， 三月份的产值为， 可列方程为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意并列出合适的一元二次方程． 这些桌面的宽度为，结合图用含的代数式表示出三种桌子的长度后列出方程，求解即可． 【详解】解：设：这些桌面的宽度为， 则由图可得，小桌的长为，中桌的长为，长桌的长为， 有， 解得， ， ， 即这些桌面的宽度为． 故答案为：． 16．(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴或， 解得：，． （2）解： ， ∴或， 解得：， 17．，方程的另一个根为 【分析】本题考查了一元二次方程的根及解一元二次方程．将代入求得b的值，然后解方程组即可． 【详解】∵是方程有一个根， ∴， ∴ 当时，原方程为， 解得，． ∴，方程的另一个根为． 18．(1) 证明：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根； (2) ∵， ∴是该方程一个根． 【分析】本题考查根的判别式，方程的解： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）将代入方程，进行判断即可． 【详解】（1）略． （2）略． 19．(1) (2)要获得1200元利润，应按每盒70元销售 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量； （2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，在结合每盒售价不得高于72元，即可确定的值． 【详解】（1）解：根据题意，提价后平均每天的销售量为：（盒． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：． 解得：，， 该款口罩的每盒售价不得高于72元， 不合题意，舍去． 答：要获得1200元利润，应按每盒70元销售． 20．(1) (2)，理由见解析 (3)20 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 答案第4页，共8页 答案第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $