3.3 探索与表达规律 同步练习2026-2027学年北师大版七年级数学上册

3.3 探索与表达规律 同步练习2026-2027学年北师大版 七年级数学上册 一、单选题 1．现有一个循环小数0.231853185……，小数点后第100位上的数是（     ） A．3 B．5 C．8 D．1 2．“幻方”起源于中国，是我们古代数学的杰作之一．如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若比大2，将填入图②的幻方中，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 3．如图，按程序运算，完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算，运算可以重复进行．如输入时，输出为第一次运算；再把输入，输出为第二次运算，…．当输入时，第次运算的结果是（  ） A． B． C． D． 4．某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是（    ） A．275717 B．571035 C．143549 D．351014 5．《棋盘上的米粒》故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3格上加倍至4粒，…，以此类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在第12格中所放的米粒数是（  ） A．22粒 B．24粒 C．粒 D．粒 6．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形，第一幅图有4个圆点，第二幅图有7个圆点，第三幅图有10个圆点，第四幅图有13个圆点，……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（   ） A．29 B．301 C．303 D．400 7．一组有规律的图案如下图所示，按照这样的规律，第六个图案中白色三角形的个数为（  ）个 A．242 B．724 C．728 D．729 8．把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，…，则第5个数字是（    ） A．78 B．80 C．82 D．89 二、填空题 9．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1，，，，……则第个数是_______（用含的代数式表示）． 10．观察下列两行数： ； ；则第二行的第个数是___________． 11．密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．将个英文字母，，，…，依次对应自然数，，，…，．给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数为偶数时，明文对应的序号为．例如密文“”对应的序号为，译成明文为“”；密文“”对应的序号为，译成明文为“”请将密文“，，，，”破译用英文字母表示的明文____． 12．用木棒按照如下方式摆图形． 摆1个八边形需要8根木棒，摆20个八边形需要_____根木棒． 13．汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上；（1）每次只能移动1个碟片．（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面．如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则________次． 三、解答题 14．观察下列等式解答问题： ①， ② ③ (1)按此规律，第④个等式为 ； (2)按此规律计算： ①    ② 15．如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：    (1)计算；； (2)计算：． 16．在综合与实践课上，小颖和同学们在平整的桌面上用大小形状完全相同的若干个小正方体搭建成如图所示的几何体．在这个活动过程中，他们发现并提出了一些数学问题，请帮他们解答． (1)请在方格纸中画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (2)按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共有 个． 17．观察下表中三角形个数变化的规律，填表并回答下面问题： 图形 … 横截线条数 0 1 2 … n 三角形个数 6 （   ） （   ） … （   ） (1)填表； (2)如果图中三角形的个数是102个，那么图中应有多少条横截线？ 18．如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C C B C A 1．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】先确定该循环小数的不循环部分和循环节，再通过计算余数得到第100位对应的数字． 【详解】解：观察循环小数，可得小数点后第1位是不循环数字，从第2位开始循环，循环节为，循环节长度为， ∵ 求小数点后第位的数字，先减去不循环的位，剩余位数为 ， ∴ 计算得，余数为，说明第位对应循环节的第个数字， ∵ 循环节的第个数字是， ∴ 小数点后第位上的数是． 2．【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题考查代数式求值．首先得到，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，得出，，即可求出，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵y比x大2， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．【答案】A 【知识点】程序流程图与代数式求值、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、代数式求值，解题的关键是能通过计算发现从第次运算输出的结果开始按，，循环，根据题意，依次求出运算的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当输入时， 第次运算输出的结果为：； 第次运算输出的结果为：； 第次运算输出的结果为：； 第次运算输出的结果为：； 第次运算输出的结果为：； 第次运算输出的结果为：； 第次运算输出的结果为：； 第次运算输出的结果为：； …， 由此可见，从第次运算输出的结果开始按，，循环． ∵， 所以第次运算输出的结果为． 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、数字类规律探索 【分析】根据题中密码规律确定出所求即可． 【详解】解：根据图中规律可得 原式 ． 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了找数字规律，解题的关键是从题意中找出规律：每一格均是前一格的双倍，即．根据题意找出规律：每一格均是前一格的双倍，所以． 【详解】解：设第n格中放的米粒数是，则： ， ， ， … ， ∴， 即在第12格中所放的米粒数是粒． 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类变化规律，观察图形得出摆第幅图需要圆点的个数为，再求出当时的值即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察题图可知： 摆第一幅图需要4个圆点，即； 摆第二幅图需要7个圆点，即； 摆第三幅图需要10个圆点，即； 摆第四幅图需要13个圆点，即； … ∴摆第幅图需要圆点的个数为， ∴第一百幅图中圆点的个数为． 故选B． 7．【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳推出一般规律是解题关键．求出第个图案中白色三角形的个数依次为、、，归纳推出第个图案中白色三角形的个数为个，其中为正整数，据此解答即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图案中白色三角形的个数为（个）， 第2个图案中白色三角形的个数为（个）， 第3个图案中白色三角形的个数为（个）， 第个图案中白色三角形的个数为个，其中为正整数， 则第六个图案中白色三角形的个数为（个）， 故选：C． 8．【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察根据排列的规律得到第1个数字为0，第2个数字为0加6个数即为6，第3个数字为从6开始加15个数得到21，第4个数字为从21开始加24个数即45，…，由此得到后面加的数比前一个加的数多9，由此得到第5个数字为0+6+（6+9×1）+（6+9×2）+（6+9×3）． 【详解】解：∵第一个数字为0， 第二个数字为0+6=6， 第三个数字为0+6+15=21， 第四个数字为0+6+15+24=45， 第五个数字为0+6+15+24+33=78， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了数字变化规律，发现数在变化过程中各边上点的数字的排列规律是解题关键． 9．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律问题． 根据已知数据找出规律即可． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 依此类推，第n个数为． 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的乘方的数字变化规律．解题关键是由特殊到一般，找出数字规律，符号规律．由第一行可知，每个数字为的乘方，即第n个数字为，第二行每一个数比第一行对应的数小2，由此得出答案． 【详解】解：∵第一行每个数可以写成： ∴第一行第n个数是 ∵第二行每个数可以写成： ∴第二行第n个数是； 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了根据给定规则进行数的转换与字母对应，熟练掌握密文到明文的转换规则（奇数加1、偶数除以2得到序号，再对应字母）是解题的关键． 根据密文与明文的转换规则，对每个密文分别判断奇偶性，再计算出明文对应的序号，最后将序号转换为英文字母． 【详解】解：是偶数，明文序号为，对应字母“”； 是奇数，明文序号为，对应字母“”； 是偶数，明文序号为，对应字母“”； 是奇数，明文序号为，对应字母“”； 是偶数，明文序号为，对应字母“”． ∴密文“，，，，”破译用英文字母表示的明文为， 故答案为：． 12．【答案】141 【知识点】图形类规律探索 【分析】根据图形得出规律摆个八边形需要根木棒，即可得出结果． 【详解】解：由图形得： 摆1个八边形需要8根木棒， 摆2个八边形需要根木棒， 摆3个八边形需要根木棒， …， ∴摆个八边形需要根木棒， ∴摆20个八边形需要根木棒． 13．【答案】63 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律，根据题意得到，把代入计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，小盘，大盘，小盘，完成，则， 当时，小盘，中盘，小盘从，大盘，小盘从，中盘从，小盘从，完成，则， ， ∴， ∴当时，， 故答案为：63 ． 14．【答案】(1) (2)①，② 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律、整式的化简求值等知识点，归纳出数字的变化规律并灵活运用规律成为解题的关键． （1）根据已有等式，类比、归纳即可解答； （2）①逆用（1）所得的规律即可解答； ②逆用（1）所得的规律即可解答． 【详解】（1）①， ② ③ 第n个等式为： 按此规律，第④个等式为： 故答案为： （2）① ② 15．【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （2）由（1）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查规律性的计算；根据数形结合的方法得到每个分数可以分成的哪2个分数之差是解决本题的关键． 16．【答案】(1) 根据题意可得， (2)55 【知识点】图形类规律探索、从不同方向看几何体 【分析】此题考查了从不同方向看几何体、图形的规律类问题，正确画图和找到规律是关键． （1）根据从不同方向看到的形状作图即可； （2）找到规律进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）根据题意可得， 第1层小正方体的个数为1个， 第2层小正方体的个数为个， 第3层小正方体的个数为个， 第4层小正方体的个数为个， …… 按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共（个） 故答案为： 17．【答案】(1)12，18， (2)16 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据三角形的概念和定义进行分析，注意不要遗漏．观察简单图形，得到当横截线条数为条时应有个三角形，即可作答． （2）依题意，列式，再计算即可作答． 本题考查了图形规律，代数式表达式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，没有横线的时候，只有6个三角形； 有一条横线的时候，有个三角形； 有2条横线的时候，有个三角形； 有3条横线的时候，有个三角形； 当横截线条数为条时应有个三角形． （2）解：依题意，， 解得． ∴图中应有条横截线． 18．【答案】(1)210 (2) (3) 【知识点】两个有理数的乘法运算、图形类规律探索、数字类规律探索 【分析】本题主要考查图形类规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形类的一般规律； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可进行求解； （3）利用（2）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为210； （2）解：由题意得：（n为正整数且）； （3）解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $