3.1代数式（分层作业，13大题型）数学新教材北师大版七年级上册

分层作业 3.1 代数式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 代数式及其意义 题型02 列代数式及求值 题型03 代数式的实际应用 题型04 单项式的有关概念 题型05 多项式及整式的有关概念 题型06 升幂与降幂排列 B组 能力进阶 题型01 利用单项式的相关概念求值 题型02 利用多项式的相关概念求值 题型03 综合利用单项式、多项式的相关概念求值 C组 思维拔高 题型01 多项式中结论开放性问题 题型02 单项式中的规律探究问题 题型03 代数式求值与流程图 题型04 用代数式表示数和图形规律 代数式及其意义题型01 1．下列四个式子中，属于代数式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据代数式的定义：代数式是由运算符号连接数或表示数的字母得到的式子，不含等号和不等号，单独的数或字母也是代数式，判断各选项，即可选出正确答案． 【详解】解：A、含有等号，是等式，不是代数式，不符合题意； B、含有等号，是等式，不是代数式，不符合题意； C、是数字与字母的乘积，符合代数式的定义，符合题意； D、含有不等号，是不等式，不是代数式，不符合题意． 2．各代表圆、正方形、三角形、线段中的一种，如果图（1）表示，图（2）表示，那么图（3）表示（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图1和图2共同含有的符号和基本图形可以看出代表正方形，单独含有的符号和基本图形可以看出，代表圆，代表三角形，剩下的代表线段，根据图3是圆与线段与三角形的组合，即得． 本题主要考查了识别图形．解决此题的关键是熟练掌握各图形的符号组合与基本图形组合，通过两个图形含有的共同符号与共同基本图形，含有的单独符号与单独基本图形，确定M、N、P、Q各代表什么图形． 【详解】∵图1和图2都含有和正方形， ∴代表正方形， ∵图1只含有和圆，图2只含有和三角形， ∴代表圆，代表三角形； ∴代表线段． ∵图3是圆与线段与三角形的组合， ∴图3表示为． 故选：D． 3．如图，绿绳的长度是____________米（转弯处忽略不计）． 【答案】 【详解】解：由图形得绿绳的长度是米． 4．设a、b、c均为有理数，根据相应的运算律填空： （1）___________（加法结合律）； （2）________（乘法结合律）； （3）________（分配律）． 【答案】 【详解】解：（1）加法结合律：； （2）乘法结合律：； （3）乘法分配律：． 5．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 【答案】(1)小时 (2)小时，小时 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题中的等量关系来列代数式进行解答． （1）根据路程、速度和时间三个量之间具有关系：时间路程速度，用代数式表示出汽车从甲地到乙地需要行驶的时间； （2）早到的时间原来需要行驶的时间一加快速度后需要行驶的时间，用代数式进行表示即可． 【详解】（1）解：（小时）， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时． （2）解：（小时）， 小时， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时，汽车加快速度后可以早到小时． 列代数式及求值题型02 1．买一个足球需要元，买一个篮球需要元，则买6个足球和3个篮球共需（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式即可． 【详解】解：∵买一个足球需要元，买一个篮球需要元， ∴买6个足球和3个篮球共需元， 故选：B． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的概念，熟知多项式的项和次数是解题的关键． 多项式是五次四项式且按降幂排列，因此最高次项为第一项，其次数为，即；同时各项系数非零以保证四项存在，故；指数递减要求，结合，为正整数，解得，，代入计算即可． 【详解】解：∵ 多项式为五次四项式，且按降幂排列， ∴，，， ∵ ，为正整数， ∴，， ∴． 故选：C． 3．“比a的3倍大5的数”用代数式表示为_____． 【答案】 【分析】a的3倍表示为，从而可得答案． 【详解】解：比数a的3倍大5的数：． 故答案为． 【点睛】本题考查的是列代数式，掌握语句的含义是解本题的关键． 4．（24-25七年级·吉林·期末）因原材料涨价，某厂决定对产品进行提价，现有三种方案，方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为．三种方案哪种提价最多？ 【答案】方案三提价最多 【分析】本题考查的是列代数式，题目的关键是设未知数，按照两次提价方案顺次计算出结果，进而求解．先设产品原来的价格为a元，根据三种方案，分别计算提价后的结果即可． 【详解】解：设产品原来的价格为a元， 方案一提价后的价格为（元）； 方案二提价后的价格为（元）； 方案三提价后的价格为（元）． 因为，所以，所以方案三提价最多． 5．已知代数式，当时，该代数式的值为-1. （1）求的值． （2）已知当时，该代数式的值为-1，求的值． （3）已知当时，该代数式的值为9，试求当时该代数式的值． （4）在第（3）小题已知条件下，若有成立，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2）-4；（3） 8；（4） 【分析】（1）将x=0代入代数式求出c的值即可； （2）将x=1代入代数式即可求出a+b+c的值； （3）将x=3代入代数式求出35a+33b的值，再将x=-3代入代数式，变形后将35a+33b的值代入计算即可求出值； （4）由35a+33b的值，变形得到27a+3b=-2，将5a=3b代入求出a的值，进而求出b的值，确定出a+b的值，与c的值比较大小即可． 【详解】（1）当x=0时，=-1，则有c=﹣1； （2）把x=1代入代数式，得到a+b+3+c=﹣1， ∴a+b+c=﹣4； （3）把x=3代入代数式，得到35a+33b+9+c=9，即35a+33b+c=0， 35a+33b=-c 当x=﹣3时，原式=﹣35a﹣33b﹣9+c=﹣（35a+33b）﹣9+c=c-9+c=2c-9=-2-9=-11； （4）由（3）题得35a+33b=1，即9a+b=， 又∵3a=5b， ∴15b+b=， ∴b=， 则a=b>0， ∴a+b＞0， ∴a+b＞c． 【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 代数式的实际应用题型03 1．（2025·河北唐山·二模）关于代数式，下列表述正确的是（   ） A．表示与的和 B．表示与的乘积 C．表示与x的和 D．表示与x的乘积 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，分别列出各选项中的代数式，进行判断即可． 【详解】解：A、可列代数式为：，不符合题意； B、可列代数式为：，不符合题意； C、可列代数式为：，不符合题意； D、可列代数式为：，符合题意； 故选D． 2．小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为，则小美告诉小明的内容可能是（    ） A．买两件等值的商品可打7折，再减100元 B．买两件等值的商品可减100元，再打7折 C．买两件等值的商品可打3折，再减100元 D．买两件等值的商品可减100元，再打3折 【答案】D 【分析】根据可以理解为买两件等值的商品可减100元，再打3折，即可求解． 【详解】解：由，得出两件商品减100元， 由得出买两件打3折， ∴关系式可以理解为：买两件等值的商品可减100元，再打3折， 故选：D． 【点睛】本题考查代数式的应用，理解题意列代数式是解题的关键． 3．写出下列代数式的意义． （1）：________________． （2）：________________． 【答案】 与的平方的差 的平方与的平方的2倍的和 【分析】（1）（2）根据代数式的运算顺序，先乘方后加减，理清运算关系，即可描述出代数式的意义． 【详解】解：（1）代数式的运算顺序为先计算的平方，再计算与的差，因此其意义为与的平方的差； （2）代数式的运算顺序为先计算的平方和的平方，再计算的倍，最后计算和，因此其意义为的平方与的平方的倍的和． 4．代数式8x＋5y可以表示很多意义，例如：若x表示苹果每千克的钱数，y表示香蕉每千克的钱数，则8x＋5y表示买8 kg苹果和5 kg香蕉共花的钱数．请你给8x＋5y赋予另一种实际意义． 【答案】 若x表示成人的门票价格，y表示儿童的门票价格，则8x＋5y表示8个成人和5个儿童购买门票共用的钱数(答案不唯一) 【分析】同一个代数式可以表示不同的实际意义，本题答案不唯一，但一定要写出与生活实际联系的代数式意义. 【详解】略 【点睛】本题考查代数式的实际意义. 5．写出下面每个式子所表示的意义． （1）学校买篮球每个a元，每个足球比篮球少5元． a－5表示： 5a表示： （2）四年级有68人参加课外活动小组，五年级参加人数比四年级多x人． 68＋x表示： 68×2＋x表示： 【答案】（1）足球的价钱；5个篮球需要多少钱；（2）五年级人数；四五年级一共多少人. 【分析】（1）a表示每个篮球的单价，5表示每个足球比篮球少的钱数，所以a-5表示一个足球的价格；因为a表示每个篮球的单价，所以5a表示5个篮球的总价格；（2）四年级有68人参加课外活动小组，五年级参加人数比四年级多x人，所以68＋x表示五年级人数，表示四、五年级一共多少人． 【详解】解：（1）表示足球的价钱；表示5个篮球需用多少钱．   （2）表示五年级人数；表示四、五年级一共多少人． 【点睛】本题考查了用字母表示数，解决本题的关键是分析数量关系，明确字母表达式表示的意义． 单项式的有关概念题型04 1．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．单项式的系数是 C．的次数是 D．是三次单项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义以及单项式系数与次数的定义是解题的关键．根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进行判断． 【详解】A、的系数是，故A错误； B、单项式的系数是，故B错误； C、的次数是，故C错误； D、是三次单项式，故D正确． 故选：D． 2．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式M中有4个整式是单项式；②存在一个n，使得满足条件的整式M有且仅有2个；③满足条件的整式M共有10个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式分类，利用分类讨论思想按的不同取值枚举所有情况，再分别验证三个说法即可． 【详解】解：∵ 为自然数， 为正整数，且 ， ∴， ∴ ， 按分类讨论： 当 时，，得整式，共1个，是单项式； 当 时，，即 ，正整数 可取 ，对应整式为 ，共3个，其中1个是单项式； 当 时，，即 ，正整数 可取 ，对应整式为，，，共3个，其中1个是单项式； 当 时，，得 ，其余系数为0，对应整式 ，共1个，是单项式； 验证说法：① 单项式共有 个，故①正确； ② 各对应整式个数为 ，不存在有且仅有2个的，故②错误； ③ 整式总个数为 个，不是10个，故③错误； 综上，正确的说法共1个，故选B． 3．下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ 【分析】明确是常数. 利用单项式的定义逐一判断即可. 【详解】解：由单项式的定义可知，数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式. ①是数与字母的积，属于单项式； ②可化为，是多项式，不属于单项式； ③是与的积，属于单项式； ④0是单独的一个数，属于单项式； ⑤是常数，不是字母，因此是与的积，属于单项式. 4．判断下列代数式是不是单项式： (1)a； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)是单项式 (2)是单项式 (3)不是单项式 (4)是单项式 (5)是单项式 【分析】由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 多项式及整式的有关概念题型05 1．（25-26上·上海·期末）下列选项中是一次整式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一次整式是最高次数为1的整式，同时需注意区分代数式(式)与等式． 【详解】解：对于选项A：是多项式，其中、的次数均为1，该多项式的最高次数为1，且是分母不含未知数的整式，符合一次整式的定义，符合题意； 对于选项B：中，的分母含有未知数，属于分式，而非整式，因此不是一次整式，不符合题意； 对于选项C：是一个等式，它不是代数式，不符合题意； 对于选项D：的最高次项为，次数为2，属于二次整式，不是一次整式，不符合题意． 综上，正确答案是A． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”，例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则下列说法： ①存在多项式进行“换系数操作”后的结果与原多项式相同； ②对于，若且，则“换系数操作”后的不同多项式有3个； ③将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，多项式的系数，求代数式的值等知识，解题的关键是： ①取特殊值判断即可； ②把代入，得出，然后按照“换系数操作”列出所有的结果判断即可； ③当时，展开得到多项式的各项系数和为，常数项为，则，然后用每一项与其后面的项进行“换系数操作”，得出多项式的常数项求解即可． 【详解】解：①当时，a与化为相反数，此时“换系数操作”后的结果与原多项式相同，故①正确； ②若，则原多项式为，“换系数操作”后的多项式有，，，共三个，故②正确； ③当时，，则展开得到多项式的各项系数和为，常数项为， ∴， 选择第一项与其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为1，1，1，1，1，1，1，1，1，，即9个1和， 选择第二项与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为1，1，1，1，1，1，1，1，，即8个1和， …… 选择倒数第二项与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为， ∴“换系数操作”的所有多项式的常数项和为， 故③正确， 故选：D． 3．已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有__；属于多项式的有__．（填序号） 【答案】 ①②⑨ ③⑤⑥ 【详解】解：其中属于单项式的有①0，②，⑨； 属于多项式的有③，⑤，⑥． 4．将代数式填入相应的大括号中． 单项式：{            …}； 多项式：{            …}． 请指出其中各单项式的系数．多项式中哪个次数最高？次数是多少？ 【答案】 解：单项式：； 多项式：． 单项式的系数分别是． 多项式中次数最高，次数是4． 【分析】数或字母的乘积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，由此即可得到答案． 【详解】略 【点睛】本题考查多项式，单项式，多项式的次数，单项式的系数，关键是掌握多项式，单项式，多项式的次数，单项式的系数的定义． 5．请写出两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件：①六次三项式；②每一项的系数均为1或；③不含常数项；④每一项必须同时含有字母x，y． 【答案】 【分析】构造两个六次三项式，满足系数为、不含常数项且每项含和，需确保最高次为，且三项组合满足条件． 【详解】解：第一个多项式： 第一项取； 第二项取； 第三项取； 组合得：． 第二个多项式： 第一项取； 第二项取； 第三项取； 组合得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的次数、项数及系数的概念，解题关键是明确六次三项式的定义，并结合系数限制、常数项要求及字母包含情况构造多项式． 升幂与降幂排列题型06 1．（25-26七年级上·贵州铜仁·联考）把多项式按x进行降幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将多项式进行降幂排列． 根据题意，将各项按的指数从大到小排序即可． 【详解】原多项式为 ∵各项按的指数从大到小排序为，，，，， ∴把多项式按x进行降幂排列为． 故选：A． 2．多项式﹣6y4+5xy3﹣4x2+x3y是按（  ） A．x的降幂排列 B．x的升幂排列 C．y的降幂排列 D．y的升幂排列 【答案】B 【分析】按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，常数项应放在最前面． 【详解】多项式﹣6y4+5xy3﹣4x2+x3y，y的指数是4、3、1， 其中第三项中没有y； x的指数依次是3、2、1， 因此A、C、D不正确． 故选B． 【点睛】把一个多项式按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，常数项应放在最前面．如果是降幂排列应按此字母的指数从大到小依次排列，常数项应放在最后面． 3．将多项式按x的降幂排列为 ____________________ ． 【答案】 【分析】把多项式各项按x的指数从大到小的顺序排列． 【详解】解：多项式按x的降幂排列为． 4．将下列多项式按x的降幂排列： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列即可得. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 5．有一个关于、的多项式，每项的次数都是． (1)分别写出项数最多的一个多项式：______；项数最少的一个多项式：______； (2)写出同时满足下列要求的一个多项式： ①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据多项式的定义进行解答即可； （2）根据多项式的系数和次数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：多项式含有，，每项的次数都是，且， 各项的字母组成只能是： ，，，， 项数最多的一个多项式有四项， 项数最少的一个多项式有两项：（答案不唯一）， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）需要同时满足：①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列，的关于、的多项式，每项的次数都是， 满足要求的多项式为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了多项式及其次数，系数，熟练掌握多项式及其次数，系数的定义是解答本题的关键． 利用单项式的相关概念求值题型01 1．（25-26七年级上·重庆·月考）单项式的次数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略． 根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．. 【详解】解：根据单项式定义得：的次数为：． 故选：C． 2．（25-26七年级上·期末）已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法：①若，则；②满足条件的整式中不存在单项式；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的有关定义，通过展开得到值，可判断①；根据系数的条件可判断②；通过枚举法可判断③，综上即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵，其中为自然数，为正整数， 若，则，，， ∵ 是负整数，，故说法①错误； ②∵为自然数，为正整数， ∴，， ∴一定不是单项式，故说法②正确； ③∵为自然数，为正整数， ∴，，， 若，则符合条件的组合有：，，；，，；，，；，，；，，；，，，共组， ∴满足条件的整式共有个，故说法③错误； 综上，说法正确的有个， 故选：． 3．请写出一个系数为，次数为的单项式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，满足单项式系数为，次数为即可，答案不唯一． 【详解】解：系数为，次数为的单项式可以写为． 4．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？将它们进行分类． ，，，，，，，m． 【答案】 单项式：，，，m； 多项式：，，； 整式：，，，，，，m． 【分析】本题考查了整式、单项式以及单项式的相关概念．单项式和多项式统称为整式，由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和（或者差），叫做多项式．据此即可求解； 【详解】略 5．（25-26七年级上·陕西延安·期中）观察下列单项式：． (1)按此规律直接写出：第7个单项式是_______________；第8个单项式是_______________． (2)按此规律直接写出第（为正整数）个单项式，并写出它的系数和次数． 【答案】(1)， (2)第个单项式是，其系数为，次数为 【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． （1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知： 单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，， x的指数都是3，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，， 故第7个单项式是：， 第8个单项式是：． 故答案为：，； （2）解：由上可得第个单项式是，其系数为，次数为． 利用多项式的相关概念求值题型02 1．若 是关于 、 的三次二项式，则 、 的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】 的次数是 ， 的次数是1，要满足三次二项式，则，  解得，． 【详解】解：是关于 、 的三次二项式 ， 故选：． 【点睛】本题考查多项式的次数和项的含义，掌握多项式次数的计算方法和理解多项式的项数是解题的关键． 2．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 3．若关于x，y的多项式的各项系数之和是5，则“●”代表的数是_________． 【答案】6 【分析】本题考查了多项式的系数，根据题意直接列式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：6． 4．（25-26七年级上·吉林松原·期中）已知多项式是关于x的四次四项式． (1)求a、b的值； (2)将该多项式按x的降幂重新排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了多项式的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）根据多项式的定义可得，，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的四次四项式，是六次式， ∴，， ∴，； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 5．下列关于、的多项式是一个四次三项式，试确定、的值，并指出这个多项式是按哪个字母升幂或降幂排列的？ 【答案】，．多项式为，是按的升幂排列的． 【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列，直接利用多项式的定义得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵在多项式中，是常数项，的次数是，的次数是，的次数是，的次数是， ∴最高次数是m， 又多项式是一个四次多项式， ∴， ∴多项式为， 又多项式是一个三项式， ∴． ∴． ∴多项式为，是按的升幂排列的． 综合利用单项式、多项式的相关概念求值题型03 1．如果整式是关于x的二次单项式，则（        ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据多项式项数和次数的定义，即可求解． 【详解】解：∵整式是关于x的二次单项式， ∴，． 故选：D 【点睛】此题主要考查了多项式，关键是掌握一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 2．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）已知多项式是二次三项式，则常数m的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的概念，绝对值方程的解法，解题关键是掌握多项式的项数是单项式的个数，次数是最高项的次数． 根据二次三项式的定义，最高次项次数为2，且项数为3，因此需满足且，再求解即可． 【详解】解：∵ 多项式是二次三项式， ∴ ，且， 由，得 或， 但，即， ∴ ． 故选：D． 3．关于、的多项式是四次二项式，则________． 【答案】或 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，熟练掌握多项式的次数和项数的定义是解决本题的关键．根据多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案． 【详解】解：由题意，得当，时，，原多项式为； 当时，，原多项式为， 综上所述，m的值为2或， 故答案为：2或． 4．如果式子是关于x，y的五次多项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，求的值． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和单项式的次数的定义即可得出，相加可得答案． 【详解】解：∵是关于的五次多项式， ∴且， 解得． 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴且， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 5．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，在数轴上点表示，点表示，点表示，并且是多项式中最高次项的系数，是数轴上最小的正整数，单项式的次数为． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点、、在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、、同时运动，运动时间为秒． ①当时，求的长度． ②在点、、同时运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【答案】(1)； (2)①，；②不会，． 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，线段的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据系数、次数的定义，结合数轴可得出答案； （2）①根据题意得，，再把代入求解即可； ②根据，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：多项式中最高次项的系数是， ∴， 数轴上最小的正整数是， ∴， 单项式的次数为， ∴， 故答案为：； （2）解：①， ， 当时，，； ②∵，， ∴， ∴的值不会随着时间的变化而变化． 多项式中结论开放性问题题型01 1．如果是关于a的二次三项式，那么m、n满足的条件是（    ） A． B． C．，n为大于3的整数 D． 【答案】D 【分析】根据二次三项式的定义，可知多项式的最高次数是二次，共有三项，据此列出n的关系式，从而确定m、n满足的条件． 【详解】解：∵多项式是关于a的二次三项式， ∴且， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次三项式的定义：一个多项式含有几项，是几次就叫几次几项式．注意一个多项式含有哪一项时，哪一项的系数就不等于0． 2．（25-26七年级上·陕西·月考）李老师在黑板上写了一个多项式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个多项式是一个四次三项式； 小红：这个多项式的最高次项的系数是4； 小华：这个多项式的常数项是5． 如果上面的描述都是正确的，那么李老师写出的多项式有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的相关定义．根据描述，多项式需满足：是四次三项式、最高次项系数为4、常数项为5．逐项验证各选项即可． 【详解】解：∵ 小明描述：多项式是四次三项式； 小红描述：最高次项系数为4； 小华描述：常数项为5． 对于选项A： 项数为三项，符合； 最高次项为 ，次数为4，系数为4，符合； 常数项为5，符合． 对于选项B： 最高次数为5，不是四次，不符合． 对于选项C： 最高次项为 ，系数为，不是4，不符合． 对于选项D： 最高次项系数为，不是4，且常数项为，不是5，不符合． ∴ 李老师写出的多项式有可能是A， 故选：A． 3．已知关于的多项式是二次三项式，则________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的相关概念，熟练掌握多项式次数和项的定义是解题的关键． 根据二次三项式的定义，最高次项次数为2且项数为3，因此需满足且二次项系数，计算即可求解． 【详解】解：依题意得：，且， 解得或，且， 所以． 故答案为． 4．写出同时满足下列个条件的一个多项式： 该多项式含有字母和； 该多项式第一项是常数项； 该多项式是三次四项式； 该多项式各项系数和为零． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的相关知识，根据题意正确写出符合要求的多项式是解题的关键． 根据题目的要求可直接写出符合条件的多项式，本题为开放题，答案不唯一． 【详解】解：写出同时满足所给个条件的一个多项式如下： （答案不唯一）． 5．（24-25七年级·期末）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求的值； (2)是一个关于x，y的二次三项式，且x，y满足，求这个多项式的值． 【答案】(1)6 (2)28 【分析】本题考查了代数式求值，单项式，多项式，非负数的性质：绝对值、偶次方，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据多项式的次数、单项式的次数的定义即可求出m、n的值，从而求出的值； （2）根据多项式的项、次数的定义求出m的值，根据非负数的性质求出x、y的值，即可求出这个多项式的值． 【详解】（1）解：∵多项式是四次四项式， ， 解得， ∵单项式的次数与这个多项式的次数相同， ， ； （2）解：， 又，， ，， ，， 是一个关于x，y的二次三项式， ，， 解得， ∴这个二次三项式是， ∴这个多项式的值为． 单项式中的规律探究问题题型02 1．（24-25九年级上·云南·月考）按照一定规律排列的式子：，，，……，第个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式有规律排列问题，关键是明白单项式的分母是奇数，x的指数是偶数．由单项式排列的规律，分母是奇数，x的指数是偶数，即可求解． 【详解】解：按照一定规律排列的式子：，，，，，，则第个式子是， 故选：B． 2．（25-26七年级上·福建·期中）观察下列单项式：，根据你发现的规律，第2025个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的规律探究，熟练掌握识别系数符号、数值和指数的变化模式并归纳出通用公式是解题的关键． 通过观察单项式的系数符号、系数数值和字母的指数，找出规律，进而推导出第个单项式的表达式，再代入求解． 【详解】解：∵第个单项式的系数符号为，系数数值为，指数为 ∴第个单项式为 当时， ∵为奇数， ∵系数数值为 ∵指数为 ∴第个单项式为 故选：B． 3．（24-25七年级上·广东东莞·质检）观察下列关于的单项式：，，，，，，…，按照上述规律，第个（为正整数）单项式是______． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究问题，解答本题的关键是明确题意，发现单项式系数与数字的变化特点，写出相应的单项式．根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式． 【详解】解：∵关于x的单项式为：，，，，，，…， ∴第n个单项式为． 故答案为：． 4．【观察与发现】 ，，，，，，， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)， (2)第个单项式为：，它的系数为：，次数为： 【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． （1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）由题意可知： 单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，， x的指数都是2，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，， 故第7个单项式是：， 第8个单项式是：． 故答案为：，； （2）由（1）可得出第个单项式为：，它的系数为：，次数为：． 5．观察下列单项式：，，，，…，，，…写出第个单项式．为解决这个问题，特提供下面的解题思路：通过观察单项式的结构特征，分三步确定：先确定符号，再确定系数的绝对值，最后确定次数． （1）这组单项式系数的符号规律是________系数的绝对值规律是________； （2）这组单项式的次数的规律是________；第六个单项式是________； （3）根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是________； （4）请你根据猜想，写出第2019个单项式． 【答案】（1）（-1）n，2n-1；（2）从1开始的连续自然数，11x6；（3）（-1）n（2n-1）xn；（4）-4037x2019 【分析】（1）根据已知数据得出单项式的系数的符号规律和系数的绝对值规律； （2）根据已知数据次数得出变化规律； （3）根据（1）（2）中数据规律得出即可； （4）利用（3）中所求即可得出答案． 【详解】解：（1）根据各项系数的符号以及系数的值得出： 这组单项式的系数的符号规律是（-1）n，系数的绝对值规律是2n-1． 故答案为：（-1）n，2n-1； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．第6个单项式为：11x6 故答案为：从1开始的连续自然数，11x6． （3）第n个单项式是：（-1）n（2n-1）xn． 故答案为：（-1）n（2n-1）xn； （4）第2019个单项式是-4037x2019． 故答案为：-4037x2019． 【点睛】此题主要考查了单项式变化规律，得出次数与系数的变化规律是解题关键． 代数式求值与流程图题型03 1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）按如图的“数值转换机”计算：若开始输入的x值为2，计算的值最后输出的结果是（   ） A．5 B．7 C．11 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值、有理数的混合运算，解决本题的关键是将数代入到程序所给的代数式中计算即可．根据题意，将代入到中得，此时，需要将代入到中得，此时，输出即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴最后输出的结果是． 故选：C． 2．按下面的运算程序计算： 当输入时，输出结果为；当输入时，输出结果为．如果输入的值为正整数，输出的结果为，那么满足条件的的值为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，理解运算程序是正确解答的前提，掌握有理数混合运算法则是解答本题的关键． 根据运算程序，分别就次输出，次输出，次输出，进行验证推算即可解答． 【详解】解：如果输入的值，一次运算就输出结果，于是，解得； 如果输入的值，两次运算才能输出结果，于是第次运算输出的结果为，再第次输入的数满足，解得； 如果输入的值，三次运算才能输出结果，于是第次运算输出的结果为，再第次输入的数满足，解得不合题意舍去； 所以满足条件的的值是或， 故选：D． 3．按如图所示的程序计算y的值，若输入的x值为，则输出y的结果为__________.    【答案】 【分析】根据，确定出代入中计算的值即可． 【详解】解：输入的值为， ， 把代入中， 得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是流程图的有关知识，能准确读取程序框图的运算规律是解题的关键． 4．任意给定一个非零数，按下列程序计算．    (1)当时，求输出结果； (2)嘉琪认为“不论为何非零数，其结果均为”，嘉琪的观点正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：正确，理由如下： ， ∴嘉琪的观点正确． 【分析】（1）把的代入程序计算即可求解； （2）根据程序列代数式计算即可． 【详解】（1）解：把的代入程序得，， ∴输出结果为：． （2）略 【点睛】本题主要考查代数式的代入计算，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． 5．如图是数值转换机示意图． (1)写出输出结果______（用含的式子表示）； (2)填写下表； 的值 … 0 1 2 3 … 输出值 … ______ 13 ______ 1 ______ ______ 28 … (3)输出结果的值有什么特征？写出一个你的发现． 【答案】(1) (2)，，， (3)由表格可得，互为相反数的的输出结果相等． 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值，读懂程序流程图是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）把相应的的值代入（1）中的式子计算即可得出答案； （3）根据表格得出结论即可． 【详解】（1）解：由题意得：输出结果为：； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填写表格如下： 的值 … 0 1 2 3 … 输出值 … 13 1 28 … （3）解：略． 用代数式表示数和图形规律题型04 1．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（　　） A．15 B．17 C．19 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出是解题的关键．由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形个，第③个图案有三角形个，第④个图案有三角形，…第n个图案有三角形个（时），由此得出规律解决问题． 【详解】解：∵第①个图案有三角形1个， 第②图案有三角形个， 第③个图案有三角形个， … ∴第n个图案有三角形个（时）， 则第⑦个图中三角形的个数是个， 故选：D． 2．正整数构成的数列，满足：①数列递增，即；②，则称为“类斐波拉契数列”，例如：.则满足的“类斐波拉契数列”有（   ）种. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】分析各数据间的关系，设第一个数为n，第二个数为n+d，则第三个数为2n+d，第四个数为3n+2d，第五个数为5n+3d，列式得到5n+3d=59，再确定n与d的值即可得到答案. 【详解】设第一个数为n，第二个数为n+d，则第三个数为2n+d，第四个数为3n+2d，第五个数为5n+3d， ∵， ∴5n+3d=59， ∴， ∵此数列为正整数数列， ∴n、d为正整数， ∴当d=3、13、8、18时，n=10、4、7、1，共有4种， 故选：D. 【点睛】此题考查列代数式求值，正确理解题意列出关系式是解题的关键，得到后需选数代入求值. 3．瑞士中学教师巴尔末成功的从光谱数据：，……中得到巴尔末公式，从而打开光谱奥妙的大门.请你根据以上光谱数据的规律写出它的第七个数据___. 【答案】## 【分析】分子的规律依次是，32，42，52，62，72，82，92…，分母的规律是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…，所以第七个数据是． 【详解】解：由数据可得规律： 分子是，32，42，52，62，72，82，92分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…， ∴第七个数据是． 故答案为： 【点睛】主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 4．观察下列等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26， … 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52× = ×25； ②　　×396=693×　　． （2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明． 【答案】解：（1）①275；572. ②63；36. （2）“数字对称等式”一般规律的式子为： （10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）. 证明如下： ∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b， ∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a， 右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b， ∴左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a） =（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a）， 右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a） =（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a）， ∴左边=右边. ∴“数字对称等式”一般规律的式子为： （10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）. 【分析】根据题意可得三位数中间的数等于两数的和，根据这一规律然后进行填空，从而得出答案；根据题意得出一般性的规律，然后根据多项式的计算法则进行说明理由． 【详解】（1）两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数、个位上的数、十位上的数， ∴①52×275=572×25； ②63×396=693×36； （2）略 【点睛】考点：规律题 5．如图是由边长相同的灰色、白色方块拼成的图形． (1)第n个图形中灰色方块共有______个，白色方块共有______个； (2)第100个图形中白色方块共有______个； (3)第个图形中白色方块的总数与第个图形中灰色方块总数相比，哪种颜色的方块总数多？多几个？（用含n的式子表示） 【答案】(1)5n， (2)301 (3)灰色方块的总数多，多个 【分析】（1）依次求出每个图形中灰色方块和白色方块的个数，发现规律即可解决问题； （2）（3）由（1）的发现，即可解决问题． 【详解】（1）解：第1个图形中灰色方块共有个，白色方块共有个； 第2个图形中灰色方块共有个，白色方块共有个； 第3个图形中灰色方块共有个，白色方块共有个； ……， 第个图形中灰色方块共有个，白色方块共有个； 故答案为：； （2）解：令，白色方块共有个； 故答案为：； （3）解：第个图形中白色方块的总数：， 第个图形中灰色方块总数：， ， 故灰色方块的总数多，多个． 【点睛】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现灰色和白色方块个数变化的规律是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1 代数式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 代数式及其意义 题型02 列代数式及求值 题型03 代数式的实际应用 题型04 单项式的有关概念 题型05 多项式及整式的有关概念 题型06 升幂与降幂排列 B组 能力进阶 题型01 利用单项式的相关概念求值 题型02 利用多项式的相关概念求值 题型03 综合利用单项式、多项式的相关概念求值 C组 思维拔高 题型01 多项式中结论开放性问题 题型02 单项式中的规律探究问题 题型03 代数式求值与流程图 题型04 用代数式表示数和图形规律 代数式及其意义题型01 1．下列四个式子中，属于代数式的是（   ） A． B． C． D． 2．各代表圆、正方形、三角形、线段中的一种，如果图（1）表示，图（2）表示，那么图（3）表示（    ）． A． B． C． D． 3．如图，绿绳的长度是____________米（转弯处忽略不计）． 4．设a、b、c均为有理数，根据相应的运算律填空： （1）___________（加法结合律）； （2）________（乘法结合律）； （3）________（分配律）． 5．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 列代数式及求值题型02 1．买一个足球需要元，买一个篮球需要元，则买6个足球和3个篮球共需（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．“比a的3倍大5的数”用代数式表示为_____． 4．（24-25七年级·吉林·期末）因原材料涨价，某厂决定对产品进行提价，现有三种方案，方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为．三种方案哪种提价最多？ 5．已知代数式，当时，该代数式的值为-1. （1）求的值． （2）已知当时，该代数式的值为-1，求的值． （3）已知当时，该代数式的值为9，试求当时该代数式的值． （4）在第（3）小题已知条件下，若有成立，试比较与的大小． 代数式的实际应用题型03 1．（2025·河北唐山·二模）关于代数式，下列表述正确的是（   ） A．表示与的和 B．表示与的乘积 C．表示与x的和 D．表示与x的乘积 2．小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为，则小美告诉小明的内容可能是（    ） A．买两件等值的商品可打7折，再减100元 B．买两件等值的商品可减100元，再打7折 C．买两件等值的商品可打3折，再减100元 D．买两件等值的商品可减100元，再打3折 3．写出下列代数式的意义． （1）：________________． （2）：________________． 4．代数式8x＋5y可以表示很多意义，例如：若x表示苹果每千克的钱数，y表示香蕉每千克的钱数，则8x＋5y表示买8 kg苹果和5 kg香蕉共花的钱数．请你给8x＋5y赋予另一种实际意义． 5．写出下面每个式子所表示的意义． （1）学校买篮球每个a元，每个足球比篮球少5元． a－5表示： 5a表示： （2）四年级有68人参加课外活动小组，五年级参加人数比四年级多x人． 68＋x表示： 68×2＋x表示： 单项式的有关概念题型04 1．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．单项式的系数是 C．的次数是 D．是三次单项式 2．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式M中有4个整式是单项式；②存在一个n，使得满足条件的整式M有且仅有2个；③满足条件的整式M共有10个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 4．判断下列代数式是不是单项式： (1)a； (2)； (3)； (4)； (5)． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 多项式及整式的有关概念题型05 1．（25-26上·上海·期末）下列选项中是一次整式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”，例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则下列说法： ①存在多项式进行“换系数操作”后的结果与原多项式相同； ②对于，若且，则“换系数操作”后的不同多项式有3个； ③将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有__；属于多项式的有__．（填序号） 4．将代数式填入相应的大括号中． 单项式：{            …}； 多项式：{            …}． 请指出其中各单项式的系数．多项式中哪个次数最高？次数是多少？ 5．请写出两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件：①六次三项式；②每一项的系数均为1或；③不含常数项；④每一项必须同时含有字母x，y． 升幂与降幂排列题型06 1．（25-26七年级上·贵州铜仁·联考）把多项式按x进行降幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．多项式﹣6y4+5xy3﹣4x2+x3y是按（  ） A．x的降幂排列 B．x的升幂排列 C．y的降幂排列 D．y的升幂排列 3．将多项式按x的降幂排列为 ____________________ ． 4．将下列多项式按x的降幂排列： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．有一个关于、的多项式，每项的次数都是． (1)分别写出项数最多的一个多项式：______；项数最少的一个多项式：______； (2)写出同时满足下列要求的一个多项式： ①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列． 利用单项式的相关概念求值题型01 1．（25-26七年级上·重庆·月考）单项式的次数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级上·期末）已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法：①若，则；②满足条件的整式中不存在单项式；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．请写出一个系数为，次数为的单项式：_______． 4．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？将它们进行分类． ，，，，，，，m． 5．（25-26七年级上·陕西延安·期中）观察下列单项式：． (1)按此规律直接写出：第7个单项式是_______________；第8个单项式是_______________． (2)按此规律直接写出第（为正整数）个单项式，并写出它的系数和次数． 利用多项式的相关概念求值题型02 1．若 是关于 、 的三次二项式，则 、 的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 3．若关于x，y的多项式的各项系数之和是5，则“●”代表的数是_________． 4．（25-26七年级上·吉林松原·期中）已知多项式是关于x的四次四项式． (1)求a、b的值； (2)将该多项式按x的降幂重新排列． 5．下列关于、的多项式是一个四次三项式，试确定、的值，并指出这个多项式是按哪个字母升幂或降幂排列的？ 综合利用单项式、多项式的相关概念求值题型03 1．如果整式是关于x的二次单项式，则（        ）． A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）已知多项式是二次三项式，则常数m的值为（   ） A． B．3 C． D． 3．关于、的多项式是四次二项式，则________． 4．如果式子是关于x，y的五次多项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，求的值． 5．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，在数轴上点表示，点表示，点表示，并且是多项式中最高次项的系数，是数轴上最小的正整数，单项式的次数为． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点、、在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、、同时运动，运动时间为秒． ①当时，求的长度． ②在点、、同时运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 多项式中结论开放性问题题型01 1．如果是关于a的二次三项式，那么m、n满足的条件是（    ） A． B． C．，n为大于3的整数 D． 2．（25-26七年级上·陕西·月考）李老师在黑板上写了一个多项式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个多项式是一个四次三项式； 小红：这个多项式的最高次项的系数是4； 小华：这个多项式的常数项是5． 如果上面的描述都是正确的，那么李老师写出的多项式有可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的多项式是二次三项式，则________． 4．写出同时满足下列个条件的一个多项式： 该多项式含有字母和； 该多项式第一项是常数项； 该多项式是三次四项式； 该多项式各项系数和为零． 5．（24-25七年级·期末）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求的值； (2)是一个关于x，y的二次三项式，且x，y满足，求这个多项式的值． 单项式中的规律探究问题题型02 1．（24-25九年级上·云南·月考）按照一定规律排列的式子：，，，……，第个式子是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建·期中）观察下列单项式：，根据你发现的规律，第2025个单项式是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东东莞·质检）观察下列关于的单项式：，，，，，，…，按照上述规律，第个（为正整数）单项式是______． 4．【观察与发现】 ，，，，，，， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 5．观察下列单项式：，，，，…，，，…写出第个单项式．为解决这个问题，特提供下面的解题思路：通过观察单项式的结构特征，分三步确定：先确定符号，再确定系数的绝对值，最后确定次数． （1）这组单项式系数的符号规律是________系数的绝对值规律是________； （2）这组单项式的次数的规律是________；第六个单项式是________； （3）根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是________； （4）请你根据猜想，写出第2019个单项式． 代数式求值与流程图题型03 1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）按如图的“数值转换机”计算：若开始输入的x值为2，计算的值最后输出的结果是（   ） A．5 B．7 C．11 D．23 2．按下面的运算程序计算： 当输入时，输出结果为；当输入时，输出结果为．如果输入的值为正整数，输出的结果为，那么满足条件的的值为（　　） A． B． C． D．或 3．按如图所示的程序计算y的值，若输入的x值为，则输出y的结果为__________.    4．任意给定一个非零数，按下列程序计算．    (1)当时，求输出结果； (2)嘉琪认为“不论为何非零数，其结果均为”，嘉琪的观点正确吗？请说明理由． 5．如图是数值转换机示意图． (1)写出输出结果______（用含的式子表示）； (2)填写下表； 的值 … 0 1 2 3 … 输出值 … ______ 13 ______ 1 ______ ______ 28 … (3)输出结果的值有什么特征？写出一个你的发现． 用代数式表示数和图形规律题型04 1．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（　　） A．15 B．17 C．19 D．24 2．正整数构成的数列，满足：①数列递增，即；②，则称为“类斐波拉契数列”，例如：.则满足的“类斐波拉契数列”有（   ）种. A．1 B．2 C．3 D．4 3．瑞士中学教师巴尔末成功的从光谱数据：，……中得到巴尔末公式，从而打开光谱奥妙的大门.请你根据以上光谱数据的规律写出它的第七个数据___. 4．观察下列等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26， … 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52× = ×25； ②　　×396=693×　　． （2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明． 5．如图是由边长相同的灰色、白色方块拼成的图形． (1)第n个图形中灰色方块共有______个，白色方块共有______个； (2)第100个图形中白色方块共有______个； (3)第个图形中白色方块的总数与第个图形中灰色方块总数相比，哪种颜色的方块总数多？多几个？（用含n的式子表示） 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $