专题04 弧长与扇形面积的特殊解法（举一反三专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

专题04 弧长与扇形面积的特殊解法（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 直接求弧长】 1 【题型2 整体求弧长】 1 【题型3 实际应用求弧长】 2 【题型4 求路径长】 3 【题型5 直接求扇形面积】 4 【题型6 和差法求扇形面积】 6 【题型7 割补法求扇形面积】 7 【题型8 对称法求扇形面积】 8 【题型9 平移法求扇形面积】 9 【题型10 旋转法求扇形面积】 10 【题型11 等积法求扇形面积】 11 【题型1 直接求弧长】 【例1】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·河南三门峡·三模）如图，在菱形中，，点，分别为，边上的点，且扇形分别与，边相切．若，则的长为______． 【变式1-2】（2026·山西长治·三模）如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【变式1-3】（2026·吉林长春·模拟预测）如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则经过点的的长度是_____． 【题型2 整体求弧长】 【例2】（2026六年级下·上海·专题练习）如图所示，以的三个顶点为圆心，15毫米为半径，在内画弧，得到三段弧，求这三段弧长之和． 【变式2-1】（2025·广东珠海·二模）如图，四条边都大于2的平行四边形，分别以四个顶点为圆心，半径都为1在四边形内画弧，则阴影部分四段弧长之和为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·安徽淮北·二模）如图，线段，以为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为________． 【变式2-3】（25-26六年级下·上海宝山·阶段检测）如图所示，已知正方形的边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，然后以B为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以D为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以A为圆心，长为半径画弧，…，如此继续下去，画出第n道弧时，这道弧的弧长之和为________．（保留） 【题型3 实际应用求弧长】 【例3】（2023·湖南常德·中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，__________．（结果保留一位小数） 【变式3-1】（2026·河南·中考真题）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·宁夏银川·三模）“银川阅海欢乐岛”摩天轮是银川目前最高的观景摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为．某轿厢从最低点A出发顺时针旋转至点B，此时B到水平台的距离恰好为，则轿厢所经过的路径（即劣弧）长度为 _______ m．（结果保留） 【题型4 求路径长】 【例4】（2026·江苏盐城·三模）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【变式4-1】（2026·浙江杭州·二模）如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【变式4-2】（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为     A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26六年级下·上海·期中）如图，某曲线由线段、，线段、及线段依次相连而成，点为对应的圆心，点为对应的圆心．扇形在曲线上进行滚动，运动全过程无滑动．扇形首先从图①绕着点旋转到图②的位置，再由图②紧贴运动到图③（），再绕着线段的中点旋转到图④的位置，再绕着点旋转到图⑤的位置，再由图⑤紧贴运动到图⑥的位置．已知：，，，，那么点由图①到图⑥，所运动的路径长为_____．（结果保留） 【题型5 直接求扇形面积】 【例5】（2026·河南周口·三模）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为________． 【变式5-1】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，已知，，，尺规作图痕迹如图所示，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分的面积为_____． 【变式5-2】（2026·浙江湖州·二模）如图，是的中位线，以点为圆心，的长为半径作弧交边于点．若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·浙江丽水·二模）如图，，的角平分线交于点，以的中点为圆心，为半径的半圆分别交，于点，，连接，，．若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型6 和差法求扇形面积】 【例6】（2026·河南平顶山·三模）如图，是的直径，，上的点C，D分别在直径的两侧，若平分，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径作弧交轴的正半轴于点，过点作轴的垂线交弧于点，则图中阴影部分的面积为_______． 【变式6-3】（2026·宁夏银川·一模）如图，以等腰直角两锐角顶点A、B为圆心作等圆，与恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为______． 【题型7 割补法求扇形面积】 【例7】（2026·山东青岛·二模）如图，边长为的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为____________． 【变式7-1】（2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·河南商丘·一模）如图，在正方形中，分别以点 C，D 为圆心，的长为半径画，，两弧相交于点E．若，则阴影部分的面积为______（结果保留π）． 【变式7-3】（2026·河南鹤壁·一模）如图，在矩形中，，，以为圆心，分别以，的长为半径画弧，与、分别交于点、，则图中阴影部分的面积为____________． 【题型8 对称法求扇形面积】 【例8】如图，边长为3的正方形中心与半径为3的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）． 【变式8-1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为______．（填“”或“”或“”） 【变式8-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，为正方形的外接圆，，，分别为和的中点，则图中阴影部分的面积为__________． 【变式8-3】（2026·山西阳泉·三模）如图，为半圆O的直径，C为的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π） 【题型9 平移法求扇形面积】 【例9】如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，是大半圆的弦且与小半圆相切，且．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由． 【变式9-1】（2025·河南·模拟预测）如图，在等边三角形中，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【变式9-2】（2025·河南周口·模拟预测）如图，扇形圆心角为，将扇形沿着射线方向平移，当点落到线段中点时平移停止，若的长为，则图中阴影部分的面积是______． 【变式9-3】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，将半径为的扇形沿西北方向平移，得到扇形，若，则阴影部分的面积为______．    【题型10 旋转法求扇形面积】 【例10】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【变式10-1】（2026·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，，，将绕点A旋转至，使得A，B，E三点共线，则边扫过的面积（即阴影部分面积）为（     ） A． B．9 C． D． 【变式10-2】（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中放置一个边长为2的正方形，将正方形沿轴的正方向无滑动的在轴上滚动，当点离开原点后第一次落在轴上时，点运动的路径与轴围成的面积为______． 【题型11 等积法求扇形面积】 【例11】（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，正六边形内接于．若正六边形的边长为，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【变式11-2】（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）． 【变式11-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点、，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点 (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得为90°， ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，则裁出的两块木料的面积之和为 ； (3)如图3，李师傅在直径上取点，作，与半圆相交于点若，，，求的长．(用含、的代数式表示) 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 弧长与扇形面积的特殊解法（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 直接求弧长】 1 【题型2 整体求弧长】 1 【题型3 实际应用求弧长】 4 【题型4 求路径长】 7 【题型5 直接求扇形面积】 10 【题型6 和差法求扇形面积】 13 【题型7 割补法求扇形面积】 16 【题型8 对称法求扇形面积】 19 【题型9 平移法求扇形面积】 23 【题型10 旋转法求扇形面积】 27 【题型11 等积法求扇形面积】 31 【题型1 直接求弧长】 【例1】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形和圆的对称性，易得阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和，进行求解即可. 【详解】解：观察可知，阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和， ∵正方形的边， ∴， ∴的长为， ∴阴影部分的周长为. 【变式1-1】（2026·河南三门峡·三模）如图，在菱形中，，点，分别为，边上的点，且扇形分别与，边相切．若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，过点作，垂足为点，由菱形性质可知，，，得出为等边三角形，进而求得的长，再根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为点． 由菱形性质可知，，， ∴为等边三角形， ∴ ∴， ∴的长为． 【变式1-2】（2026·山西长治·三模）如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：当弧是劣弧时，则弧长为； 当弧是优弧时，如图，则弧长为 ∴弧的长为或． 【变式1-3】（2026·吉林长春·模拟预测）如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则经过点的的长度是_____． 【答案】 【分析】先找到圆心的位置，然后根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：连接，由网格的特点作的垂直平分线交于点，连接， 则点为经过点的的圆心， 由图知， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴的长度是． 【题型2 整体求弧长】 【例2】（2026六年级下·上海·专题练习）如图所示，以的三个顶点为圆心，15毫米为半径，在内画弧，得到三段弧，求这三段弧长之和． 【答案】 【分析】由题意可知，这三段弧所在圆的半径是相等的，而这三段弧所对的圆心角的和正好等于． 【详解】设、、所对的弧长分别为， 由题意知，，半径毫米， 则，，． 所以三段弧长之和为（毫米） 【点睛】本题主要考查弧长计算，弧长与圆的半径和圆心角有关．由题意知，这三段弧所在圆的半径是相等的，均为15毫米，而这三段弧所对的圆心角大小虽不知，但它们的和正好等于（三角形内角和等于），这个条件是我们解决此题的关键． 【变式2-1】（2025·广东珠海·二模）如图，四条边都大于2的平行四边形，分别以四个顶点为圆心，半径都为1在四边形内画弧，则阴影部分四段弧长之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据n边形的内角和定理计算出四边形的内角和，而四个扇形的圆心角的和等于四边形的内角和，然后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵四个扇形的圆心角的和等于四边形的内角和，即为， ∴阴影部分面积之和为． 故答案为：C． 【变式2-2】（2026·安徽淮北·二模）如图，线段，以为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为________． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式计算得出半圆①、②、③的弧长，从而得出规律，求和即可得出结果． 【详解】解：∵，以为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①， ∴半圆①的弧长为， ∵取的中点，以为直径画半圆②； ∴半圆②的弧长为； ∵取的中点，以为直径画半圆③， ∴半圆③的弧长为； …， 同理可得：半圆④的弧长为；半圆⑤的弧长为，半圆⑥的弧长为， ∴大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为． 【变式2-3】（25-26六年级下·上海宝山·阶段检测）如图所示，已知正方形的边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，然后以B为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以D为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以A为圆心，长为半径画弧，…，如此继续下去，画出第n道弧时，这道弧的弧长之和为________．（保留） 【答案】 【分析】本题考查圆的周长，理解题意，将图形分成部分进行求解，找出规律：第道弧半径，圆心角为，则弧长为，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第1道弧半径，圆心角为，则弧长为； 第2道弧半径，圆心角为，则弧长为； 第3道弧半径，圆心角为，则弧长为；…… 依次类推，第道弧半径，圆心角为，则弧长为； 则这道弧的弧长之和为 ， 故答案为：． 【题型3 实际应用求弧长】 【例3】（2023·湖南常德·中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，__________．（结果保留一位小数） 【答案】0.1 【分析】由已知求得与的值，代入得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，进而即可得解． 【详解】∵， ∴， ∵C是弦的中点，D在上，， ∴延长可得O在上， ∴， ∴， ， ∴． 【变式3-1】（2026·河南·中考真题）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，得出，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴的长为：． 【变式3-2】（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 【变式3-3】（2026·宁夏银川·三模）“银川阅海欢乐岛”摩天轮是银川目前最高的观景摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为．某轿厢从最低点A出发顺时针旋转至点B，此时B到水平台的距离恰好为，则轿厢所经过的路径（即劣弧）长度为 _______ m．（结果保留） 【答案】 【分析】首先根据摩天轮最高点高度和圆心高度求出圆的半径，然后过点作圆心所在水平线的垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出圆心角的一部分，结合点的位置求出的度数，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：设摩天轮的圆心为，半径为，由题意可知，最高点离水面平台的距离为，圆心到的距离为， ∴． 过点作水平线，过点B作于点C，如下图， ∵点B离水面平台的距离为，圆心到的距离为， ∴， 在中，，， ∴， ∴． ∵点为最低点， ∴， ∴， ∴劣弧的长度为． 【点睛】圆的最低点与圆心的连线垂直于圆心所在的水平线，的圆心角所对的弧长为． 【题型4 求路径长】 【例4】（2026·江苏盐城·三模）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 【变式4-1】（2026·浙江杭州·二模）如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】点滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点为圆心，长为半径，旋转角度为，第二次翻滚是以点为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，矩形的对角线长为， 第一次翻滚，点经过的路径长为， 第二次翻滚，点经过的路径长为， 则点滚动所经过的路径长为． 【变式4-2】（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质和判定，弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．证明四边形是矩形，因为点为的中点，则点为的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径是在以为圆心为半径的圆上转过，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， 于点，于点， 四边形是矩形， 又点为的中点， 点为的中点， 则， 点走过的路径长． 故选：A． 【变式4-3】（25-26六年级下·上海·期中）如图，某曲线由线段、，线段、及线段依次相连而成，点为对应的圆心，点为对应的圆心．扇形在曲线上进行滚动，运动全过程无滑动．扇形首先从图①绕着点旋转到图②的位置，再由图②紧贴运动到图③（），再绕着线段的中点旋转到图④的位置，再绕着点旋转到图⑤的位置，再由图⑤紧贴运动到图⑥的位置．已知：，，，，那么点由图①到图⑥，所运动的路径长为_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，弧长公式为，根据题意可得O的路径长为4个半径为的圆弧，加上两个半径分别为1和3且圆心角均为30°的弧长，即可求解． 【详解】解：依题意可知 ①到②运动的弧长为； ②到③运动的弧长为； ③到④运动的弧长为； ④到⑤运动的弧长为； ⑤到⑥运动的弧长为． 所以由图①到图⑥，所运动的路径长为 ． 【题型5 直接求扇形面积】 【例5】（2026·河南周口·三模）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为________． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出，再结合扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解： ， ， ， 扇形的面积为． 【变式5-1】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，已知，，，尺规作图痕迹如图所示，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】利用三角函数求出的长，由作图得，由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知平分， ∴， 在中，，则， ∵， ∴， ∴阴影部分面积为． 【变式5-2】（2026·浙江湖州·二模）如图，是的中位线，以点为圆心，的长为半径作弧交边于点．若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中位线的性质求出的长度和，进而求出，再由扇形面积公式计算即可． 【详解】解： 是的中位线，， ，且， ， ， ， ， 扇形的面积为． 【变式5-3】（2026·浙江丽水·二模）如图，，的角平分线交于点，以的中点为圆心，为半径的半圆分别交，于点，，连接，，．若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、平行线的性质、扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 利用圆周角定理得到，进而求出的度数，利用角平分线的性质求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，利用圆周角定理求出的度数，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 扇形的面积为． 【题型6 和差法求扇形面积】 【例6】（2026·河南平顶山·三模）如图，是的直径，，上的点C，D分别在直径的两侧，若平分，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直径所对圆周角为直角得，结合角平分线算出圆周角为，再利用圆周角定理得到圆心角、均为，求出圆半径，分别计算直角三角形与扇形的面积，二者相加即为阴影面积． 【详解】解析  ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， 如图，连接， 由圆周角定理可知， ， ∵， ∴， ， ∴． 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 【变式6-2】（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径作弧交轴的正半轴于点，过点作轴的垂线交弧于点，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】由点坐标得圆半径与直角三角形边长，算出圆心角，再用扇形面积减直角三角形面积求出阴影面积． 【详解】解：连接, ∵点， ∴半径， ∵点，轴， ∴是直角三角形，， 由勾股定理：， 又， ∴ ∴扇形面积： 面积： ∵阴影面积扇形的面积 的面积． 【变式6-3】（2026·宁夏银川·一模）如图，以等腰直角两锐角顶点A、B为圆心作等圆，与恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为______． 【答案】/ 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出相等的边和角的度数，利用勾股定理求出，假设与的半径分别为，根据等圆和相切的性质得出，最后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 假设与的半径分别为，且与外切，两圆为等圆， ∴，， ∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和为． 【题型7 割补法求扇形面积】 【例7】（2026·山东青岛·二模）如图，边长为的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】根据得出是等边三角形，，利用三角函数求出，根据，利用扇形及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ∵正方形的边长为，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴． 【变式7-1】（2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，分别计算空白区域面积即可． 【详解】解：连接，如图， 阴影部分面积，矩形面积，的面积，空白区域面积，空白区域面积，扇形面积，扇形面积， ∴阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∵矩形，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点， ∴，,矩形面积， 在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∴，，， ∴的面积， ∴，， ∴, ∴扇形面积， ∵空白区域面积矩形面积 的面积扇形面积， ∴， ∴， ∵扇形面积， ∴空白区域面积矩形面积扇形面积， ∴， ∴， ∵阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∴， ∴． 【变式7-2】（2026·河南商丘·一模）如图，在正方形中，分别以点 C，D 为圆心，的长为半径画，，两弧相交于点E．若，则阴影部分的面积为______（结果保留π）． 【答案】 【分析】先连接、，由题意可知，判断为等边三角形，得出；再计算扇形的圆心角为，求出扇形的面积和扇形的面积，然后计算出的面积，最后得出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接、，如图， 因为以点C、D为圆心，长为半径画弧， 所以， 所以是等边三角形， 所以； 因为扇形的圆心角为， 所以扇形的面积为， 所以扇形的面积为； 因为是等边三角形， 所以面积为， 所以阴影部分面积为： ． 【变式7-3】（2026·河南鹤壁·一模）如图，在矩形中，，，以为圆心，分别以，的长为半径画弧，与、分别交于点、，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，勾股定理等，掌握相关的性质是解题的关键． 连接，交弧于点，由勾股定理先求出的长度，得到，然后分别求出，，，即可． 【详解】解：如图，连接，交弧于点， 由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 【题型8 对称法求扇形面积】 【例8】如图，边长为3的正方形中心与半径为3的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）． 【答案】 【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：延长DC，CB交⊙O于M，N， 则图中阴影部分的面积： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【变式8-1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为______．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】利用割补法，对正方形中阴影和空白部分的面积进行比较． 【详解】解：如图所示，连接，交于， 由题意得，、、、分别是正方形四条边的中点， ∴点为正方形的中心， ∴， 根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积， ∴， ∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半， ∴． 【变式8-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，为正方形的外接圆，，，分别为和的中点，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查圆与内接正方形，扇形的面积公式，三角形的等积变形，熟练掌握相关知识并运用转化思想是解题关键． 连接、、，根据正方形的性质和勾股定理，可计算出，结合，分别为和的中点，则．由等积变形可得，，则阴影，面积可看作扇形和扇形的面积之和，利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接、、， ∵四边形是正方形， ∴与交于点，，，， ∴， 在直角中，， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，分别为和的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理，， ∴． 故答案为． 【变式8-3】（2026·山西阳泉·三模）如图，为半圆O的直径，C为的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据题意得，阴影部分面积即为扇形的面积，结合图形得出，，再由扇形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，阴影部分面积即为扇形的面积， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 【题型9 平移法求扇形面积】 【例9】如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，是大半圆的弦且与小半圆相切，且．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由． 【答案】能求出阴影部分的面积，阴影部分的面积为，理由见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连，过O作于C点，由垂径定理得到，由切线的性质可得为小圆的半径，则． 【详解】解：能求出阴影部分的面积，阴影部分的面积为，理由如下； 将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连，过O作于C点， ∴， ∵是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴为小圆的半径， ∴ ． 【变式9-1】（2025·河南·模拟预测）如图，在等边三角形中，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，扇形的面积，连接，可得、、和都是等边三角形，即可得，利用割补法可得，进而根据扇形的面积公式计算即可求解，运用转化思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴把移到，再把移到的位置，可知， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】（2025·河南周口·模拟预测）如图，扇形圆心角为，将扇形沿着射线方向平移，当点落到线段中点时平移停止，若的长为，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，由图形可得，利用求出扇形的半径即可求解，通过图形得到是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， 设扇形的半径为， ∵，的长为， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，将半径为的扇形沿西北方向平移，得到扇形，若，则阴影部分的面积为______．    【答案】 【分析】如图，设交于点D，交于点E，连接，过点D作于点J，连接，根据求解即可． 【详解】解：如图，设交于点D，交于点E，连接，过点D作于点J,连接，    将半径为的扇形沿西北方向平移，即将半径为的扇形向西平移，再向上平移， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查不规则图形的面积、勾股定理、正弦函数、扇形面积公式等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积． 【题型10 旋转法求扇形面积】 【例10】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 【变式10-1】（2026·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，，，将绕点A旋转至，使得A，B，E三点共线，则边扫过的面积（即阴影部分面积）为（     ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，解答即可 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形，且， ， ， ∴， 绕点A旋转至，使得A，B，E三点共线， ，，，， 【变式10-2】（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设BP与CC1相交于Q，则∠BQC=90°， ∴当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动， 延长CB到E，使BE=BC，连接EC， ∵C、C1关于PB对称， ∴∠EC1C=∠BQC=90°， ∴点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动， 当点P与点A重合时，点C1与点E重合， 当点P与点D重合时，点C1与点F重合， 此时，， ∴∠PBC=30°， ∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=，BQ=， ∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，， 线段扫过的区域的面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键． 【变式10-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中放置一个边长为2的正方形，将正方形沿轴的正方向无滑动的在轴上滚动，当点离开原点后第一次落在轴上时，点运动的路径与轴围成的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质作出图形，再利用勾股定理列式求出正方形的对角线，然后根据点A运动的路径线与x轴围成的面积为三个扇形的面积加上两个直角三角形的面积，列式计算即可得解． 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，扇形的面积，熟练掌握性质和面积公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下： 正方形的边长为2，则对角线长为， 点A运动的路径线与x轴围成的面积为三个扇形的面积加上两个直角三角形的面积， 根据正方形的性质，得到三个扇形的圆心角都是，半径分别为2，，2， 故图形的面积为： ， 故答案为：． 【题型11 等积法求扇形面积】 【例11】（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和垂径定理，证明，从而推出这两个三角形的面积相等，即可知道三角形的面积即是扇形的面积，利用平行线的性质和圆周角定理推出，即可知道度数，最后利用扇形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：， ， ， ，， ， ． 阴影部分的面积为． ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 【变式11-1】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，正六边形内接于．若正六边形的边长为，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查不规则图形的面积，灵活运用正多边形外接圆的性质，圆周角定理等知识点是解题的关键． 连接、交于点，根据，判断出垂直平分，根据，，得出为等边三角形，可得出半径的长度，由等量关系，证出，可得阴影部分的面积与扇形面积相同，再根据扇形公式进行求解即可． 【详解】解：连接、交于点，如下图所示： ∵， ∴垂直平分， 即，， ∵正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 即， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 故阴影部分的面积与扇形面积相同， ∴． 【变式11-2】（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）． 【答案】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，连接，设与交于点，与交于点；根据全等三角形的判定与性质证明，从而证明，根据等边三角形的判定与性质、三角形的面积公式计算出，再由计算阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，连接． 设与交于点，与交于点． ∵四边形是菱形， ∴是角的平分线，． ∵，， ∴，，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∵， ∴， ∴， 同理，得． ∵，，， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，掌握菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形和扇形的面积计算公式是解题的关键． 【变式11-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点、，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点 (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得为90°， ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，则裁出的两块木料的面积之和为 ； (3)如图3，李师傅在直径上取点，作，与半圆相交于点若，，，求的长．(用含、的代数式表示) 【答案】(1) 解：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴． (2)①；② (3) 【分析】（1）连接半径，通过线段的等量代换，得到，通过圆的半径相等，证明，即可通过圆心角相等推出两个弧的长相等； （2）①连接半径，通过半径相等和90°角，借助一线三等角全等模型，通过证明三角形全等，得到线段的数量关系，再通过等量代换将阴影部分的线段之和转化为的长，即可计算得到周长； ②借助①中的关系，求出的长，从而得到半径的长，再通过等量代换，得到和的关系，借助勾股定理列方程求出线段的长，再通过作差法求面积即可； （3）通过半径相等，和两个以半径为斜边的直角三角形（两个直角三角形，分别包含和或），从而借助勾股定理建立联系，再通过等量代换得到与m，n的关系即可． 【详解】（1）略 （2）①解：如图，连接，， 由题意，得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 由图可知，， ， ∴裁出的两块木料的周长之和为； ②由①可知，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴在中，，， 解得， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， 由图可知，阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 ， ， 故答案为：． （3）如图，连接，， 由（1），得，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，即， 整理，得， ∴． 【点睛】本题综合考查了“全等三角形的判定与性质”“圆的基本概念”“圆的相关计算”“勾股定理”等知识点，借助圆的概念，通过等量代换的方式，找到全等三角形，再通过全等三角形的性质和勾股定理，建立问题所求值与已知值的关系是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $